Sử dụng phương pháp vật lý thống kê nhằm nâng cao hiệu quả dạy học nội dung nhiệt học trong chương trình vật lý phổ thông hiện hành cho học sinh khối chuyên vật lý

Thuyết động học phân tử chất khí, do sử dụng các quan niệm của vật lý thống kê nên đã phối hợp được tính thuận nghịch của chuyển động cơ học của mỗi phân tử với tính không thuận nghịch c

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

KHOA SƯ PHẠM

NGUYỄN TRƯỜNG GIANG

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VẬT LÝ THỐNG KÊ NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ DẠY HỌC NỘI DUNG NHIỆT HỌC TRONG CHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ PHỔ THÔNG HIỆN HÀNH

CHO HỌC SINH KHỐI CHUYÊN VẬT LÝ

LUẬN VĂN THẠC SỸ SƯ PHẠM VẬT LÝ

HÀ NỘI - 2008

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

KHOA SƯ PHẠM

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VẬT LÝ THỐNG KÊ

NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ DẠY HỌC NỘI DUNG NHIỆT HỌC TRONG CHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ PHỔ THÔNG HIỆN HÀNH

CHO HỌC SINH KHỐI CHUYÊN VẬT LÝ

LUẬN VĂN THẠC SỸ SƯ PHẠM VẬT LÝ Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN VẬT LÝ)

Mã số: 60 14 10

Học viên: Nguyễn Trường Giang

Cao học ngành Sư phạm Vật lý Khóa 1

Cán bộ hướng dẫn: GS.TS Nguyễn Quang Báu

HÀ NỘI - 2008

MỤC LỤC

Trang

LỜI CẢM ƠN

MỞ ĐẦU…… ……… ……….…….…… 1

1 Lý do lựa chọn đề tài ……….…… 1

2 Lịch sử nghiên cứu……….…….…… 3

3 Mục tiêu nghiên cứu……….… 3

4 Khách thể nghiên cứu……….……… 3

5 Vẫn đề nghiên cứu……….….……… 4

6 Giả thuyết nghiên cứu……….…….………… 4

7 Phương pháp chứng minh giả thuyết……….……… 4

8 Cấu trúc của luận văn……… 4

Chương 1: PHƯƠNG PHÁP VẬT LÝ THỐNG KÊ TRONG KHẢO SÁT CÁC HIỆN TƯỢNG NHIỆT……… …….… 5

1 1 Cơ sở của phương pháp vật lý thống kê……….…….… 5

1.1.1 Luận đề cơ bản của vật lý thống kê……… … ……… … 5

1.1.2 Mô hình toán học của vật lý thống kê……… 5

1.1.3 Những lý do sử dụng phương pháp vật lý thống kê trong khảo sát các hiện tượng nhiệt…… … ………….……… …… 6

1.1.4 Các hiện tượng nhiệt trên quan điểm vật lý thống kê…… 10

1.1.4.1 Chuyển động Brown ………… ………… ………… 10

1.1.4.2 Định luật phân bố phân tử theo vận tốc và các ứng dụng 11

1 2 Quan điểm hiện đại của vật lý thống kê……….… 22

1.2.1 Mở đầu và nhiệm vụ đặt ra……….……… 23

1.2.2 Các bước thực hiện……….……… 24

1.2.2.1 Hàm phân bố xác suất của hệ…… ………… …… … 24

1.2.2.2 Biểu diễn năng lượng tự do qua tổng thống kê và hệ thức nhiệt động liên hệ năng lượng tự do và năng lượng trung bình……… 29

Trang

1.2.2.3 Tổng thống kê của hệ khí lý tưởng………… … …… 30 1.2.2.4 Các kết quả của thuyết động học phân tử chất khí…… 32

Chương 2: GIẢNG DẠY CÁC NỘI DUNG VẬT LÝ NHIỆT

HỌC TRÊN QUAN ĐIỂM VẬT LÝ THỐNG KÊ CHO HỌC

2.1 Hai con đường xây dựng nội dung vật lý nhiệt học trong chương

trình vật lý trung học phổ thông……… 34 2.2 Nội dung của nhiệt học trong chương trình trung học phổ thông

hiện hành và những hạn chế đối với học sinh chuyên vật lý ………… 35 2.3 Phương pháp vật lý thống kê giảng dạy nội dung nhiệt học phần

thuyết động học phân tử trong chương trình vật lý phổ thông hiện

hành đối với học sinh chuyên vật lý ……….….… 36 2.3.1 Giảng dạy mô hình khí lý tưởng….……….… 36 2.3.2 Giảng dạy các kết quả đặc trưng của thuyết động học phân tử

chất khí trên quan điểm vật lý thống kê……….……… … 42 2.3.3 Giảng dạy các đại lượng trung bình mô tả hệ khí theo phân

bố về độ lớn của vận tốc (phân bố Maxwell)……… 45 2.4 Phương pháp vật lý thống kê giảng dạy nội dung nhiệt động lực

học (bao gồm các nguyên lý cơ bản của nhiệt động lực học)… …… 50 2.4.1 Yếu tố thứ nhất của nhiệt động lực học: Nhiệt độ….……… 51

động lực học đối với học sinh khối chuyên lý……… 59

Trang

2.4.5.2 Giảng dạy nguyên lý thứ 2 của nhiệt động lực học theo

quan điểm vật lý thống kê……… 60 2.4.6 Phân bố thống kê và sự giải thích về sự tồn tại nhiệt độ tuyệt

CÁC KẾT LUẬN, ĐỀ XUẤT VÀ KIẾN NGHỊ TRONG VIỆC

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VẬT LÝ THỐNG KÊ GIẢNG DẠY

NỘI DUNG NHIỆT HỌC CHO HỌC SINH KHỐI CHUYÊN

3 Những kiến nghị và lưu ý trong phương pháp giảng dạy nội dung

nhiệt học khi áp dụng phương pháp vật lý thống kê để giảng dạy cho

học sinh chuyên vật lý ……….………… 71

MỞ ĐẦU

1 Lý do lựa chọn đề tài

Khi nghiên cứu vật lý nhiệt học ở bậc trung học phổ thông có khả năng lớn lao để hình thành ở học sinh những quan niệm về những phương pháp nghiên cứu được sử dụng trong lĩnh vực khoa học này, để phát triển thế giới quan khoa học của học sinh Việc nghiên cứu trong giáo trình vật lý các hiện tượng nhiệt theo quan điểm vi mô cho phép giới thiệu với học sinh các quy luật thống kê và những đặc điểm của chúng so với các quy luật động lực học, điều này chuẩn bị cho việc nghiên cứu các định luật của tự nhiên ở mức độ cao hơn, mới về chất Khi đó học sinh sẽ làm quen với vẫn đề là trong khoa học có nhiều phương pháp khác nhau để cùng nghiên cứu một hiện tượng

Về đặc điểm nội dung thì khi giải thích các hiện tượng nhiệt, luôn có sự tương đương về mặt nguyên tắc của phương pháp nhiệt động lực học và phương pháp động học phân tử (thống kê) Mỗi phương pháp (tùy thuộc vào mục đích sử dụng và nghiên cứu) đều có những ưu việt và những thiếu xót của mình, không thể đánh giá quá cao giá trị của phương pháp nào trong chúng so với phương pháp kia Phương pháp nhiệt động lực học được sử dụng khi nghiên cứu các tính chất tổng quát của các hiện tượng nhiệt và dựa vào các định luật thực nghiệm nền tảng (các nguyên lý nhiệt động lực học), có xét đến những sự kiện thực nghiệm khác

Trong các sách giáo trình vật lý đại học, thuyết nhiệt động lực học và thuyết động học phân tử về các hiện tượng nhiệt được trình bày tách biệt nhau Điều này là sự cần thiết nghiên cứu một cách có hệ thống và căn bản các thuyết vật lý trong trường đại học Trong việc giảng dạy vật lý ở trường phổ thông, đối với các quốc gia như Đức, Liên Xô,…lựa chọn theo một con đường khác: Các yếu tố nhiệt động lực học và vật lý thống kê được nghiên cứu đồng thời, các hiện tượng nhiệt được đưa ra cùng lúc theo quan điểm

nhiệt động lực học và động học phân tử Sở dĩ như vậy là vì ở trường trung học phổ thông học sinh chỉ tìm hiểu tư tưởng của các phương pháp này và những minh họa của việc áp dụng chúng trong các trường hợp đã được chương trình quy định Tuy nhiên, trong chương trình vật lý trung học phổ thông ở Việt Nam:

- Chỉ giới thiệu sơ lược cơ sở của thuyết động học phân tử và thuyết nhiệt động lực học nhưng không làm rõ được tính đồng thời của 2 thuyết trong việc giải thích các hiện tượng nhiệt

- Trong phần vật lý nhiệt học, học sinh vẫn tiếp tục tìm hiểu các quy luật động lực học nhưng không được hình thành ở mình những quan niệm về quy luật thống kê Ta biết rằng khi học phần cơ học, học sinh đã được làm quen với những quá trình thuận nghịch chỉ tồn tại trong các điều kiện lý tưởng, còn trong vật lý phân tử học sinh khảo sát cả những quá trình không thuận nghịch (sự chuyển hóa cơ năng thành nội năng khi có ma sát,…) Chính điều này đã làm cho học sinh không có được quan niệm về chuyển động nhiệt

so với chuyển động cơ học như là một dạng chuyển động mới của vật chất, học sinh không thể có sự phân biệt những dạng chuyển động này của vật chất khác nhau ở chỗ chuyển động cơ học diễn ra một cách có trật tự, còn chuyển động nhiệt thì xảy ra một cách hỗn loạn

Thuyết động học phân tử chất khí, do sử dụng các quan niệm của vật lý thống kê nên đã phối hợp được tính thuận nghịch của chuyển động cơ học của mỗi phân tử với tính không thuận nghịch của các hiện tượng nhiệt xét toàn bộ,

đã chỉ ra được tính không thể quy dạng chuyển động nhiệt của vật chất về dạng chuyển động cơ học Chính nhờ các quan niệm của vật lý thống kê về chất khí, do phát hiện được cơ chế không thuận nghịch của những quá trình vật lý trong các hệ phân tử mà đã giải thích được hiện tượng khuyếch tán và

do phát hiện được cơ chế hỗn loạn của chuyển động nhiệt nên đã giải thích được sự xuất hiện thăng giáng mà rõ nét nhất chính là chuyển động Brown

Với những ý nghĩa to lớn của vật lý thống kê ta hoàn toàn có thể dùng

nó để giải thích tường tận các hiện tượng nhiệt, điều đó sẽ giúp cho học sinh hình thành và phát triển tư duy vật lý, hình thành các con đường khác nhau để giải thích các kết quả vật lý

2 Lịch sử nghiên cứu

Các hiện tượng nhiệt trong chương trình vật lý phổ thông được khảo sát

và giải thích dựa trên các kết quả của thuyết động học phân tử, các cơ sở của nhiệt động lực học một cách đơn giản ở mức độ cơ sở, không giải thích và chỉ

rõ những kết quả cụ thể của các vẫn đề nhiệt học Đó là sự áp dụng để giải thích chuyển động Brown, các phương trình trạng thái khí lý tưởng, các nguyên lý của nhiệt động lực học,…Với việc áp dụng các kết quả của vật lý thống kê ta sẽ chỉ rõ được những kết quả cụ thể của các hiện tượng nhiệt như chuyển động Brown, các phương trình trạng thái khí lý tưởng, …

3 Mục tiêu nghiên cứu

Cốt lõi của việc dùng vật lý thống kê để giải thích các hiện tượng nhiệt chính là việc hình thành những quan niệm thống kê, những đại lượng đặc trưng của thống kê và áp dụng vào các quá trình nhiệt Tuy nhiên để hình thành những quan niệm thống kê cần phải liên hệ chặt chẽ với những vẫn đề

cơ bản của nội dung vật lý trung học phổ thông, chẳng hạn cùng với việc rút

ra công thức áp suất chất khí, hay khảo sát sự chuyển động hỗn loạn của các

phân tử khí,…

4 Khách thể và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng chúng ta khảo sát ở đây chính là những đại lượng cơ bản đặc trưng của vật lý thống kê

Với việc khảo sát như vậy, chúng ta sẽ xem xét:

- Các đại lượng cơ bản của vật lý thống kê

- Các hiện tượng nhiệt xem xét trên quan điểm thống kê để thu được các kết quả đã biết

5 Vần đề nghiên cứu

Có 2 vần đề cần nghiên cứu đó là:

- Các luận đề, các đại lượng đặc trưng cơ bản của vật lý thông kê

- Các hiện tượng nhiệt được nghiên cứu dựa trên quan điểm thống kê,

và các kết quả thu được khi áp dụng các kết quả thống kê

6 Giả thuyết nghiên cứu

Giải thích các hiện tượng nhiệt trên quan điểm của vật lý thống kê

7 Phương pháp chứng minh giả thuyết

- Bằng việc trình bày các đại lượng đặc trưng của vật lý thống kê ta sẽ chỉ rõ được các giá trị tham số mô tả hệ vi mô

- Bằng việc dùng các tham số vi mô khảo sát các hiện tượng nhiệt ta sẽ giải thích thỏa đáng các kết qua thu được của nhiệt học như chuyển động Brown, phương trình trạng thái khí, …

8 Cấu trúc của luận văn

Cấu trúc của luận văn bao gồm phần mở đầu trình bày lý do lựa chọn

đề tài, lịch sử, mục tiêu và vẫn đề nghiên cứu, giả thuyết và phương pháp chứng minh giả thuyết nghiên cứu

Chương 1 trình bày giả thuyết và phương pháp chúng minh giả thuyết

Cụ thể là việc xây dựng các luận đề cơ bản của vật lý thống kê, và dùng các luận đề đó để xây dựng các kiến thức của nhiệt học và giải thích các kết quả của nhiệt học

Chương 2 trình bày phương pháp, cách thức bao gồm các tiến trình, các bước giảng dạy nội dung nhiệt học cho học sinh khối chuyên vật lý bằng cách

áp dụng vật lý thống kê thông qua những luận điểm đã xây dựng ở chương 1 Cuối cùng là đưa ra kết luận, những đề xuất và kiến nghị trong việc sử dụng phương pháp vật lý thống kê giảng dạy nội dung nhiệt học cho học sinh khối chuyên vật lý

Chương 1: CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP VẬT LÝ THỐNG KÊ

TRONG KHẢO SÁT CÁC HIỆN TƯỢNG NHIỆT

1.1 Cơ sở của phương pháp vật lý thống kê

1.1.1 Luận đề cơ bản của vật lý thống kê

Đối tượng nghiên cứu của vật lý thống kê là các hệ vĩ mô, tức là các hệ nhiều phân tử (hạt) điển hình ta xét là chất khí Để mô tả hệ một cách đầy đủ

ta phải biết thông tin về trạng thái động học của từng phần tử cấu thành hệ ở từng thời điểm xác định Và để đặc trưng cho điều đó ta gọi đó là trạng thái vi

mô của hệ

Do sự tương tác và chuyển động không ngừng của các phân tử, vị trí và xung lượng của chúng luôn luôn biến đổi, nói khác đi trạng thái vi mô của hệ luôn biến đổi Ta không thể xác định được trạng thái vi mô của hệ vì lý do:

 Hệ nhiều hạt do đó để xác định trạng thái vi mô của hệ cần thiết lập hệ với số lượng lớn các phương trình

 Ta không các định được điều kiện ban đầu các phần tử có tọa độ, xung lượng như thế nào

Như vậy sự phức tạp và biến đổi không ngừng của trạng thái vi mô khiến cho phương pháp cơ học thuần túy không thể áp dụng được Tuy nhiên chính sự phức tạp của hệ vĩ mô lại là cơ sở để chúng ta tiếp cận theo phương

pháp thống kê Theo đó: Nếu ta biết được xác suất của trạng thái vi mô thì

các giá trị quan sát được của các tham số vi mô (áp suất, nhiệt độ, thể tích,…) được tính như giá trị trung bình của chúng theo các trạng thái vi

mô [2, tr.52]

1.1.2 Mô hình toán học của vật lý thống kê

Vật lý thông kê bắt nguồn từ khái niệm xác suất Ta sẽ xem xét dựa trên quan điểm xác suất

Xét ví dụ kinh điển sau đây: Giả sử có 1 đồng tiền, có 2 mặt sấp và ngửa khác nhau Khi gieo đồng tiền rất nhiều lần ta thấy rằng số lần sấp và ngửa là xấp xỉ như nhau, và do đó xác suất để đồng tiền khi gieo có mặt sấp hoặc ngửa là ½ Khi nói như vậy là ta đã định nghĩa WA của 1 sự kiện riêng lẻ

A là tỷ số của lần quan sát thấy sự kiện này NA và tổng số lần quan sát N

N

N

A  (1.1) Như vậy ở trên khi nói về xác suất để xảy ra sự kiện A ta quan niệm rằng có một ranh giới rõ nét giữa sự kiện A và sự kiện không phải là A Tuy nhiên trong vật lý thì điều đó là không thể Lấy ví dụ: Ta không thể xác định được xác suất để 1 phân tử khí có vận tốc theo phương x là ux vì:

- Giá trị của ux là luôn có sai số, sai số lớn hay nhỏ tùy thuộc vào mức

độ chính xác của thí nghiệm

- Tất cả các thí nghiệm xác định ux dù có hiện đại, đảm bảo tin cậy đến đâu đi chăng nữa thì cũng mắc sai số tuân theo hệ thức bất định Heisenberg

Do đó trong trường hợp này ta chỉ có thể xem xét xác suất để phần tử

có vận tốc ux sai kém dux mà thôi Và như vậy thì xác suất này là hàm của ux,

và càng lớn nếu dux càng lớn Mặt khác các phân tử khí là hoàn toàn tương đương nhau nên ta có thể coi chúng là tập hợp đặc trưng cho trạng thái của 1 phân tử ở các thời điểm khác nhau Do đó ta có:

N

dN du

u

W( x) x  (1.2) W(ux): hàm mật độ xác suất, tức là xác suất để phần tử có vận tốc theo phương x là ux sai kém 1 đơn vị

1.1.3 Những lý do sử dụng phương pháp vật lý thống kê trong khảo sát các hiện tượng nhiệt

Sau khi đã trình bày những luận điểm của vật lý thống kê và mô hình toán học của chúng ta sẽ đi tìm lý do tại sao lại áp dụng phương pháp vật lý thống kê cho việc khảo sát hiện tượng nhiệt

Ta chú ý rằng việc khảo sát các hiện tượng nhiệt, về bản chất ta đang khảo sát hệ chất khí lý tưởng bao gồm một số lượng rất lớn các phân tử cấu thành mà ta gọi là hạt

Mỗi một phân tử khí đều chuyển động không ngừng Ta hãy xem xét một phân tử chuyển động, giả sử ở thời điểm ta khảo sát nó đang chuyển động

về phái bên phải, nếu như trên đường đi của mình nó không gặp cản trở gì thì tất nhiên nó sẽ tiếp tục chuyển động với vận tốc như cũ và theo hướng ban đầu Tuy nhiên trên thực tế, khi di chuyển nó đã gặp vô số các phân tử khác,

và tất nhiên là xảy ra va chạm, sự va chạm diễn ra rất nhiều và khi này đặt ra

1 câu hỏi: Sau va chạm phân tử mà chúng ta khảo sát sẽ chuyển động theo hướng nào ? tốc độ của nó còn giữ nguyên giá trị cũ hay không ? Mọi khả năng đều có thể xảy ra, bởi vì các va chạm có thể xảy ra theo mọi hướng, bên trái, bên phải, phía trước, phía sau,…cả độ mạnh, yếu,… Như thế ta thấy rằng việc gặp phải những va chạm lộn xộn như trên mà phân tử ta khảo sát sẽ chuyển động theo mọi phương Bên cạnh đó ta cũng không thể biết được quãng đường phân tử ta khảo sát đã đi qua mà không bị va chạm dài bao nhiêu?…

Quá trình khảo sát như trên cho chúng ta thấy rằng các phân tử cấu

thành nên chất khí luôn luôn chuyển động, và chuyển động là hỗn loạn, đó

chính là tính phổ biến của các hiện tượng nhiệt

Như đã xét ở trên, chuyển động của một số rất lớn các phân tử lại xảy

ra tương tác với nhau điễn ra một cách hết sức phức tạp và rắc rối Việc tính toán xem mỗi phân tử khí chuyển động như thế nào là điều hão huyền do tính phức tạp Và chính vì không thể tiến hành thực hiện các phép toàn cần thiết nên chúng ta phải tìm ra 1 phương pháp khác cho phép mô tả chuyển động của các phân tử

Trên quan điểm đó khái niệm “xác suất” đã được xuất hiện và cũng chính là lần đầu tiên “tính ngẫu nhiên” đã xâm nhập trong vật lý

Bây giờ ta sẽ giải thích tại sao “tính ngẫu nhiên” mang bản chất của toán học lại giúp ta mô tả hiện tượng nhiệt Để trả lời câu hỏi đó ta sẽ phải

giải quyết vẫn đề là: Các trạng thái của chất khí được diễn tả như thế nào?

Ta thấy rằng khi có cân bằng nhiệt động, theo quan điểm vĩ mô tức là theo quan điểm về các tính chất biểu hiện ra bên ngoài mà ta thấy được thì trạng thái của khối khí sẽ hoàn toàn xác định khi ta chỉ rõ các giá trị của 1 cặp bất kỳ trong 3 đại lượng cơ bản đặc trưng cho nó: nhiệt độ, áp suất, thể tích

Nhưng mặt khác, nếu coi phân tử là những “quả cầu rắn” thì theo cơ học cổ điển, trạng thái của quả cầu như vậy được xác định hoàn toàn khi biết

rõ vị trí và vận tốc của nó trong không gian Diễn tả như vậy là theo quan điểm vi mô, ta gọi tắt là diễn tả vi mô trạng thái của hạt Như vậy, để diễn tả một cách vi mô một trạng thái bất kỳ dù cân bằng hay không cân bằng của một khối khí ta phải chỉ ra được vị trí và vận tốc của tất cả các phân tử của khối khí đó, điều đó cũng đúng khi ta nói rằng ta có thể mô tả các trạng thái của 1 vật theo quan điểm vi mô nếu ta chỉ rõ các vị trí và vận tốc của tất cả các phân tử cấu thành nên vật đó

Ta nhận thấy rằng các phân tử khí luôn luôn chyển động, tức là luôn thay đổi trạng thái của mình, do đó trạng thái vi mô của khối khí là luôn luôn thay đổi Song các thí nghiệm lại nhận thấy rằng các thông số vĩ mô mà ta thấy được của toàn bộ khối khí như áp suất, nhiệt độ, thể tích,… có giá trị không đổi trong một thời gian dài Điều đó cho phép ta có kết luận rằng:

Cùng một trạng thái vĩ mô tương ứng sẽ có rất nhiều trạng thái vi mô của khối khí Do có nhiều trạng thái vi mô nên sau một khoảng thời gian nào đó

khối khí từ trạng thái vi mô này sẽ chuyển sang một trạng thái vi mô khả dĩ khác, và điều đó tương ứng với sự chuyển trạng thái từ trạng thái không cân bằng về trạng thái cân bằng một cách tự phát Để làm rõ nhận xét trên ta xét một ví dụ minh họa sau: Xét khối khí gồm 4 phân tử đặt trong 1 hình hộp

vuông phẳng, 2 chiều, giả sử tại một thời điểm nào đó cả 4 phân tử khí đó đều nằm ở góc trái, bên dưới đáy hộp

Hình 1.1 Mô hình khảo sát phân tử khí trong hộp, 4 phân tử khí ở 1 góc phía dưới

Ta thấy rằng vì khối khí không chiếm đầy toàn bộ thể tích dành cho nó

vì thế khối khí ở trạng thái không căn bằng Sau một thời gian nào đó, mỗi phân tử khí có thể chuyển động đến một góc tùy ý của hình hộp với cùng một khả năng như nhau Trong trường hợp đặc biệt sẽ xảy ra khả năng cả 4 phân

tử khí sẽ lại tập hợp tại 1 góc bên phải phía trên của hình hộp

Hình 1.2 Mô hình khảo sát phân tử khí trong hộp, 4 phân tử khí ở 1 góc phải phía trên

Ta nhận thấy nếu vậy thì có 2 điều ta lưu tâm:

Một là vì khối khi chưa chiếm đầy toàn bộ thể tích của hình hộp dành cho nó nên hiển nhiên khối khí vẫn ở trạng thái không cân bằng

Hai là chỉ có duy nhất 1 cách thực hiện khả năng đó mà thôi

Bây giờ, khi ta xét cả 4 phân tử khí phân bố đều ở 4 góc của hình hộp vuông

Hình 1.3 Mô hình khảo sát phân tử khí trong hộp, 4 phân tử khí ở 4 góc

Rõ ràng, khối khí khi này ở trạng thái cân bằng, xong không phải có 1 cách thực hiện điều trên Thật vậy, nếu ta ký hiệu số thứ tự cho các phân tử khí là 1, 2, 3, 4, thì giả sử phân tử khí thứ nhất ở ô bên trái phía dưới, thì phân

tử khí thứ 2 còn 3 ô để phân bố, phân tử khí thứ 3 còn 2 ô để phân bố, cuối cùng phân tử khí thứ 4 còn 1 ô để phân bố, vậy số cách 4 phân tử khí phân bố

về 4 phía của hình hộp vuông là: 1.3.2.1 = 6 cách Hoán vị vòng quanh cho 4 phân tử khí thì số cách phân bố sẽ là: 4.6 = 24 cách Như vậy ta có thể kết

luận: Trạng thái cân bằng nhiệt động tương ứng với một số lượng lớn nhất

các trạng thái vi mô khả dĩ mà các trạng thái này có khả năng như nhau, nói khác đi xác suất xuất hiện các trạng thái vi mô khả dĩ đó là như nhau (sau này khi xét trên quan điểm Vật lý thống kê hiện đại ta gọi nó là nguyên lý đẳng xác suất) Còn trạng thái vĩ mô không cân bằng chỉ có 1 trạng thái và chỉ có thể thực hiện bằng một số cách ít hơn mà thôi

Ở trên ta chỉ xét hệ gồm 4 phân tử khí, khi số phân tử của khối khí tăng lên rất nhiều, sự khác nhau về khả năng thực hiện các trạng thái căn bằng và không cân bằng càng rõ nét Theo đó thì nếu tại một thời điểm nào đó ta phát hiện thấy trạng thái không cân bằng trong thể tích khối khí đang khảo sát thì sau một thời gian nào đó với khả năng xảy ra rất lớn (xác suất cao) khối khí

đó sẽ chuyển về trạng thái cân bằng Khi đó chúng ta thấy ngay rằng trạng thái cân bằng là trạng thái ứng với xác suất lớn nhất và lộn xộn nhất Do đó việc chuyển tự phát từ trạng thái không cân bằng về trạng thái cân bằng tương ứng với sự chuyển từ trạng thái có trận tự về trạng thái lộn xộn

Như vậy chúng ta đã nêu ra rõ lý do vì sao phải áp dụng khái niệm xác suất hay phương pháp vật lý thống kê để mô tả chuyển động nhiệt của phân

tử, đó là: không thể tiến hành các phép tính toán chính xác để xác định các vị trí và vận tốc cấu thành vật chất

1.1.4 Các hiện tượng nhiệt trên quan điểm vật lý thống kê

1.1.4.1 Chuyển động Brown

Với mô hình vật lý thống kê mà đặc trưng là hàm phân bố xác suất cho

ta thấy rằng các hiện tượng thăng giáng tuy là 1 đại lượng ngẫu nhiên nhưng giá trị trung bình của nó là có tính quy luật Để minh chứng điều này ta hãy xét chuyển động Brown là cơ sở của thuyết động học phân tử về chất khí

Xét hệ hạt, ban đầu 1 hạt đang nằm ở ví trị gốc tọa độ, do ngẫu nhiên 1

phần tử đến đập vào nó đẩy nó đi 1 quãng đường là a Do phân tử có thể ngẫu nhiên từ nhiều phía đến đập vào nên hạt cũng có khả năng di chuyển khắp nơi, song trung bình thì nó lại đứng nguyên tại gốc tọa độ Ta sẽ tính trung bình sau N lần phân tử va chạm vào nó thì nó cách gốc tọa độ là bao nhiêu?

Không mất tính tổng quát khi ta xét hạt chuyển động theo 1 phương và a=1 Ta gọi Dn-1 là khoảng cách từ hạt đó tới gối tọa độ sau n-1 lần phần tử đập vào, và đến lần thứ n khoảng cách của nó có thể tăng hoặc giảm đi 1 Vì hạt chuyển động có thể lệch sang trái hoặc sang phải nên giá trị trung bình D của 1 hạt theo thời gian là 0 Để đặc trưng cho sự chuyển động của các hạt, ta tính giá trị trung bình của D2 , ta gọi là giá trị toàn phương trung bình của

Dn

Ta có: ( 1 ) ( 2 2 1 1 )

1

2 1

0

2 1

2



D D

Tương tự như vậy ta có: Dn2 N  Dn2  N

Như vậy sự dịch chuyển theo các hướng tính trung bình trong chuyển động Brown ta thu được sự tỷ lệ với N

Sự dịch chuyển tỷ đối trong chuyển động Brown hay là độ sai tỷ đối giữa kết quả quan sát và giá trị trung bình tỷ lệ với

N

1 , tức là giảm khi số lần quan sát tăng Khi N→∞ thì sai số tiến đến 0 Điều này giải thích tại sao ta không quan sát chuyển động Brown ở các vật lớn có số phân tử N rất lớn

1.1.4.2 Định luật phân bố phân tử theo vận tốc và các ứng dụng

Trong phần này chúng ta sẽ khảo sát định luật phân bố phân tử theo vận tốc đó chính là phân bố Maxwell, phân bố này kết quả của tính chất hỗn loạn của chuyển động phân tử mà ta dùng phương pháp vật lý thống kê để khảo sát

a) Phân bố Maxwell: Xét 1 khối khí ở trạng thái cân bằng nhiệt, trong

đó không có chuyển động tập thể nào Chuyển động của các phân tử hoàn toàn là hỗn loạn không có phuơng nào là ưu tiên hơn phương nào Mỗi phân

tử đều có thể có vận tốc hướng theo mọi phương Ta sẽ tìm xác suất để phân

tử cho phân tử có vận tốc theo phương tùy ý và độ lớn biến thiên trong khoảng v, v+dv

Xét chuyển động theo từng phương của các phần tử Cụ thể ta xét xác suất để 1 phần tử có vận tốc theo phương x nằm trong khoảng vx, vx+dvx là:

w1=W(vx)dvx Tương tự như vậy ta cũng xét cho xác suất để phân tử có vận tốc theo phương y nằm trong khoảng vy, vy+dvy và phương z nằm trong khoảng vz,

vz+dvz:

w2=W(vy)dvy, w3= W(vz)dvz Chú ý rằng W(v) là hàm mật độ xác suất cùng 1 dạng cả 3 phương x,y,z

Xác suất để phân tử có vận tốc thỏa mãn 3 điều kiện trên đồng thời là:

w=w1 w2 w3=W(vx)W(vy)W(vz)dvxdvydvz (1.3)

Ta cũng có độ lớn của vận tốc là: v2=vx2+vy2+vz2 (*)

Do chuyển động không ưu tiên phương nào nên xác suất để phân tử có vận tốc nằm giữa vx, vx+dvx; vy, vy+dvy; vz, vz+dvz chỉ phụ thuộc vào độ lớn Khi này ta sẽ có:

x v v v B

e   (1.6)

Thay (1.6) vào (1.3), ta và chú ý đến hệ thức (*) ta thu được:

x v v v B

, 0

, 0

; cos

sin sin

cos sin

Khi này: w = w(v,  ,  )  A3eBv2v2d sin ddv

2

4 2

) cos

dn Bv

  (1.8)

Vẫn đề tiếp theo là ta xác định các giá trị của các hằng số A, B

Muốn vậy ta hãy xem xét các kết quả thực nghiệm mà Maxwell tìm ra trên cơ sở đó ta sẽ khớp các giá trị của các hằng số A, B trong (1.8)

Maxwell đã tìm ra quy luận khách quan mô tả phân bố phân tử và hàm mật độ xác suất cho phân tử theo vận tốc:

2 2 2 / 3

2 2 2 / 3

2 2

) 2 (

4 )

(

) 2 ( 4

v e kT

m Ndv

dn v

W

dv v e kT

m N dn

kT mv

kT mv

kT

m A

kT

m B

A kT

m

2

2 2

4 ) 2 (





Đồng thời ta có thể tính được vận tốc xác suất cực đại theo phương trình đạo hàm của hàm phân bố xác suất : ( )  0

m

kT v

kT

m v ve

kT

m v

e e

kT

mv v

kT

22

0]2[

)2(

40]2)

([)2

(

4

max W 2

2 2 2 / 3 2

2 2

2 / 3

2 2

Như vậy với mô hình vật lý thống kê ta đã tìm ra quy luật phân bố phân

tử hàm mật độ xác suất theo vận tốc, việc chuẩn hóa giá trị các hằng số theo

hệ phương trình Maxwell để phù hợp với thực nghiệm

Khi chứng minh công thức Maxwell ta đã thừa nhận các giả thuyết sau đây :

1 Chuyển động của phân tử không có phương ưu tiên

2 Phân tử có thể có bất kỳ vận tốc nào

3 Vận tốc phân tử nhận các giá trị khác nhau là 1 sự kiện ngẫu nhiên Như thế có nghĩa là ta xem xét các phân tử khí có va chạm với nhau trong thời gian rất ngắn so với thời gian chuyển động tự do của chúng.Và như vậy phân tử khí sẽ chuyển động theo quán tính, tức là chuyển động của phân

tử này độc lập với phân tử khác Do đó chất khí phải thật loãng, các phân tử cách nhau tương đối xa, chỉ tương tác với nhau khi va chạm mà thôi, tất cả những điều đó chỉ có chất khí lý tưởng là thỏa mãn

b) Các ứng dụng: Bây giờ ta sẽ áp dụng phân bố Maxwell để thu lại tất

cả các kết quả của thuyết động học chất khí bao gồm các đại lượng về động năng trung bình trong chuyển động tịnh tiến, phương trình cơ bản của thuyết

động học phân tử, các phương trình trạng thái về khí lý tưởng,…

Độ lớn trung bình của vận tốc phân tử khí

Ta áp dụng công thức:

vdv e

v kT

m dv

v e kT

m v

dv v vW

mv kT

2 2 2 / 3 0

2 2

) 2 (

4 )

2 (

4 )

(





dt te kT

) 2 (

2 ( 2

) 2 ( 2

0

2 2 2

/ 3

kT

mt d e m

kT kT

mt kT

a

n dx e

0 0

2 2

/

)

2 ( ) 2 (

2

dx xe m

kT dx

xe m

kT kT

Tốc độ căn quân phương

Tốc độ căn quân phương được định nghĩa như sau:

dv e v kT

m dv

v e kT

m v

dv v W v

mv kT

mv

0

4 2 / 3 2

2 2 / 3 0

2 0

2

) 2 (

4 )

2 (

4 )

n dx

e

1 0

2

2

) 1 2 (

5 3 1 2

2 0

4

) 2 ( 8

3 2

) 2 ( 8

3 1 2

kT

m kT

m kT

m dv

m kT kT

m kT

m

) 2 ( 8

3 )

2 (

2 / 5

2 / 3

Ý nghĩa của tốc độ căn quân phương cho ta thấy nó là bình phương của mỗi tốc độ phân tử khí và sau đó lấy trung bình của tất cả các tốc độ bình phương, và nhờ (1.14) ta sẽ thiết lập được động năng trung bình của chuyển động tịnh tiến, kết hợp với phương trình cơ bản của thuyết động học phân tử

ta sẽ rút ra các định luật cơ bản chất chất khí

Động năng trung bình của chuyển động tịnh tiến của phân tử khí

Nhờ (1.14), ta dễ dàng tính động năng trung bình của chuyển động tịnh tiến của phân tử khí

m

kT m v

m v

m mv

2

3 2

3 3

2

1 2

1 2

1 2

hoàn toàn có thể định nghĩa nhiệt độ T: Nhiệt độ T là thước đo động năng

trung bình chuyển động tịnh tiến của các phân tử hay mức độ chuyển động hỗn loạn của các phân tử [10, tr.51]

Cũng cần lưu ý rằng ta không chỉ áp dụng suy luận trên cho các phân tử khí ta hoàn toàn có thể áp dụng cho các vật khác ví dụ như các hạt phấn hoa thậm chí cho cả các quản bóng tennis Ở đây lại là 1 minh chứng cho ta thấy

cơ sở của chuyển động Brown Một hạt phấn hoa lơ lửng trong nước và ở trạng thái cân bằng nhiệt nó hoàn toàn xử sự như 1 phân tử to và có cùng 1 động năng chuyển động tịnh tiến như các phân tử nước quanh nó, nhưng vì nó

có khối lượng lớn hơn rất nhiều nên hạt phấn hoa có tốc độ căn quân phương

là nhỏ hơn đáng kể vì thế mà ta quan sát được chuyển động của nó

Phương trình cơ bản của thuyết động học phân tử

Trước khi xây dựng phương trình cơ bản của thuyết động học phân tử

ta hãy xem xét khái niệm về áp suất và thể tích Ta xét các phân tử khí đi tới thành bình sẽ va chạm với thành bình và nảy lùi trở lại, khi có cân bằng nhiệt

giữa chất khí và bình chứa thì va chạm như vậy không làm thay đổi động năng của phân tử khí và có thể coi đó là va chạm đàn hồi, thành bình chỉ nhận xung lực của các phân tử khí tác dụng vào mà thôi Do đó áp suất của chất khí chính là xung lực trung bình mà các phân tử khí tác dụng lên một đơn vị diện tích thành bình trong 1 đơn vị thời gian Tất nhiên theo quan điểm thống kê xung lực trung bình này cũng có thăng giáng và thăng giáng tỷ đối, để loại trừ thăng giáng này thì số các phân tử khí phải là rất lớn Vì lẽ đó áp suất của chất khí chỉ tồn tại khi mà số phân tử khí là lớn Mặt khác ta cũng thấy chuyển động của các phân tử khí là hỗn loạn không có phương ưu tiên cho nên lực va chạm với thành bình cũng không có phương ưu tiên, tổng hợp của chúng phải

là 1 lực vuông góc với thành bình và hướng từ trong ra ngoài, như vậy áp suất khí luôn vuông góc với thành bình

Với thể tích khí đó là khoảng không gian chuyển động tự do của các phân tử khí Vì thể tích phân tử khí là rất nhỏ cho nên thể tích khí cũng chính

là thể tích của khoảng không nằm giữa các phân tử Giới hạn của thể tích khí

là thành bình chứa

Tóm lại các thông số trạng thái như nhiệt độ, áp suất, thể tích là những đại lượng chỉ có ý nghĩa khi ta xét một tập hợp nhiều phân tử Đó là những đại lượng vĩ mô

Bây giờ ta sẽ khảo sát chuyển

động của 1 phân tử riêng rẽ với khối

lượng m’, vận tốc va chạm với thành

bình là v theo 1 phương Ox Như chúng

ta đã nói mọi va chạm của phân tử với

thành bình là va chạm đàn hồi nên khi

phân tử va chạm vào thành bình thành

phần vận tốc theo phương Ox bị thay

đổi chiều Do đó ta có độ biến thiên của

động lượng theo phương Ox là: ∆p = (-m’vx)-m’vx = -2m’vx Phần tử khí có khối lượng m’ va chạm vào thành bình đối diện, Δt là thời gian giữa các lân

va chạm cũng chính là thời gian phân tử khí đi tới thành đối diện và quay trở lại với khoảng cách là 2L, vận tốc là vx theo phương Ox

v m t

x x

2

' /

2

' 2

xi

v L

m L

L

v m L

F

P

1

2 3 2

1 2

v

v    và số phân tử khí là rất lớn chuyển động theo các phương hỗn độn nên giá trị trung bình của bình phương các thành phần vận tốc là bằng nhau và bằng 1/3 giá trị của bình

phương vận tốc các phân tử xét theo mọi phương, đó chính là vận tốc căn quân phương Vậy ta rút ra phương trình cơ bản của thuyết động học phân

kê: Nếu ta biết được xác suất của trạng thái vi mô thì các giá trị quan sát

được của các tham số vi mô (áp suất, nhiệt độ, thể tích,…) được tính như giá trị trung bình của chúng theo các trạng thái vi mô

Phương trình trạng thái khí lý tưởng

Sau khi đã thiết lập được phương trình cơ bản của thuyết động học phân tử ta dễ dàng suy ra phương trình trạng thái khí lý tưởng Thật vậy:

Thay giá trị vận tốc căn quân phương trong công thức (1.14) vào phương trình cơ bản của thuyết động học phân tử, ta có :

nkT PV V

nkT m

kT V

nm V

v nm



3 3 3

2

(1.20) Công thức (1.20) mô tả phương trình trạng thái khí lý tưởng

Trong công thức (1.20) khi thể tích không đổi, V=const, thì

T const T

k

V

n

P ( )  , đây chính là định luật Charles

Nếu áp suất không đổi, P=const, thì k T const T

P

n

V  ( )  , đây chính là định luật Gay - Lussac

Nếu trong số n phân tử khí có nhiều loại khác nhau, mỗi loại có n1, n2,

1 3

n kT V

n n n P

đây chính là định luật Dalton

Như vậy các định luật thức nghiệm về chất khí được rút ra từ phương trình cơ bản của thuyết động học phân tử và tốc độ căn quân phương Phương trình cơ bản của thuyết động học phân tử và tốc độ căn quân phương được rút

ra từ định luật phân bố phân tử theo vận tốc và quan niệm áp suất là xung lức trung bình mà phân tử khí tác dụng lên 1 đơn vị diện tích Mặt khác định luật phân bố phân tử của Maxwell là kết quả của tính chất hỗn loạn đối với chuyển động phân tử được khảo sát trên quan điểm xác suất thống kê

Phương trình cơ bản của thuyết động học phân tử và định luật phân bố

phân tử theo thế năng, phương pháp xác định hằng số Avogadro

Khi xem xét định luật phân bố phân tử theo vận tốc chúng ta không để

ý đến các ngoại lực tác dụng lên phân tử, vì thế cho nên ta đã xem các phương

x, y, z là bình đẳng như nhau, không phương nào ưu tiên hơn phương nào Tuy nhiên trong thực tế thì không phải như vậy, các phần tử khí ít nhất của chịu tác dụng của trường trọng lực, theo đó thì chuyển động nhiệt làm cho các phần tử phân bố đều và lực trọng trường làm cho các phân tử bị kéo xuống mặt đất, và như vậy mật độ các phân tử khí giảm dần theo chiều cao Ta sẽ chứng minh điều này

Do ngoại lực tác dụng nên áp suất của chúng thay đổi từ điểm này đến điểm khác Chọn trục tọa độ Oz theo phương thẳng đứng và xét 2 điểm có độ cao là z, z+dz Xét 1 khối khí hình trụ có diện tích đáy là dS và chiều cao dz chứa dn phân tử khí

Hình 1.5 Độ chênh lệch áp suất phân tử khí khi xét trong trọng trường đều

Gọi áp suất tác dụng lên đáy trên bình hình trụ là p thì áp suất tác dụng lên đáy dưới bình là P+dP Độ biến thiên áp suất là: P-(P+dP)=-dP

Áp suất này có giá trị đúng bằng trọng lượng khối khí (dg) có trong bình hình trụ với chiều cao là dz và diện tích đáy là ds Không mất tính tổng quát ta có thể chọn ds=1 đơn vị diện tích, khi này ta có : -dP=dg

Mật độ phân tử khí trong bình hình trụ là no thì số phân tử khí chứa trong cột khí là : dn=ds.dz.no=nodz

Gọi khối lượng mỗi phân tử khí là m thì trọng lượng của toàn bộ số phân tử khí nằm trong hình trụ có chiều cao dz và đáy là ds=1 là: dg=mgnodz=-dP

Ta chú ý rằng với no là mật độ phân tử khí trong bình, áp dụng phương trình cơ bản của thuyết động học phân tử thì :

kT

P n kT n kT V

mg P

dP Pdz kT

dP Pdz

kT

mg dP

z z

) 0 (

kT

mgz

e P z P kT

mgz P

) (

Từ (1.21) chú ý rằng P và no tỷ lệ với nhau nên ta có:

) 0 (

) 0 ( ) ( ) ( ) 0 (

) 0 ( ) (

) (

P

n z P z n P

n z P

z n

n( )  ( 0 )  (1.22)

Với công thức (1.22) cho ta thấy sự phân bố áp suất của khí quyển trong trọng trường ở độ cao z là P(z) mà ở mặt đất là P(0), qua đó ta thấy áp suất khí quyển trong trọng trường giảm theo hàm mũ với số mũ âm của độ cao z, khi z=0 thì P(z)=P(0) là áp suất lớn nhất của khí quyển

Công thức (1.22) chính là mô tả sự phân bố phân tử khí theo thế năng của Boltzmann, theo đó thì khi chất khí đặt trong trường lực thì nơi nào có thế năng càng nhỏ sẽ có mật độ phân tử khí càng lớn, và đồng thời mật độ phân tửu khí ở sát mặt đất là lớn nhất

Ý nghĩa của công thức (1.22) không chỉ có vậy, nhờ (1.22) mà ta dễ dàng xác định được giá trị của hằng số Avogadro, bằng việc tính giá trị phân

tử khí ở các độ cao khác nhau, ta có:

A kT

h h f

kT fh kT fh

N R n

n T

h h f k n

n kT

h h f e

n

n e

) (

) ln(

) (

1 2

2 1 1

2 1

2 )

( 1

) (

) ln(

2 1 1 2

h h f n

n RT

1.2 Quan điểm hiện đại của vật lý thống kê

Trong mục 1.1 ta đã trình bày thuyết động học phân tử, các kết quả liên quan theo quy luật thống kê, đó là định luật phân bố phân tử theo vận tốc của Maxwell, đó là những quy luật rất quan trọng nhưng trong thực tế là ít dùng đến Sở dĩ như vậy là vì các định luật phân bố của Maxwell không thể dùng một cách trực tiếp để tính xem sự thay đổi của chất khí như thế nào,… trong khi chưa có một sự nhận thức đầy đủ nào về cấu tạo phân tử của chất khí mà người ta rút ra những quy luật thực nghiệm của các loại khí ở áp suất thấp

Vì những hạn chế như vậy, nên xét theo quan điểm hiện đại của vật lý thống kê ta đi xây dựng các đại lượng đặc trưng để suy ra các kết quả của thuyết động học phân tử chất khí

1.2.1 Mở đầu, và nhiệm vụ đặt ra

Khi xem xét các tính chất của trạng thái vĩ mô và các quá trình thay đổi trạng thái vĩ mô ta phải xem xét các đặc trưng của trạng thái vĩ mô Theo đó thì các trạng thái vĩ mô được đặc trưng bằng các tham số vĩ mô, các tham số

vĩ mô lại đặc trưng cho hệ và có thể đo đạc được bằng thực nghiệm như áp suất, thể tích,…

Ta cần nhớ rằng tham số vĩ mô có 2 loại là :

 Tham số nội : Là các tham số được xác định bởi trạng thái, tính chất của chính các hạt tạo thành hệ, đó là năng lượng, nhiệt độ,…

 Tham số ngoại : Là các tham số diễn tả các điều kiện bên ngoài như thể tích,…

Như đã nói do sự phức tạp và thay đổi liên tục của trạng thái vi mô, theo đó thì phương pháp cơ học hoàn toàn bất lực, song tiếp cận theo quan

điểm thống kê ta thấy rằng : Nếu xác định xác suất của trạng thái vi mô thì

khi đó các giá trị quan sát được của các tham số vĩ mô được tính như giá trị trung bình của chúng theo các trạng thái Điều này ta đã nói ở phần khảo sát

phân bố Maxwell, nhưng ta chưa khai thác ý tưởng này một cách sâu sắc mà chỉ sử dụng mô hình toán học của vật lý thống kê để xây dựng phân bố Maxwell

Như vậy theo quan điểm thống kê việc xác định xác suất của các trạng thái vi mô là vẫn đề cốt lõi và khi đó ta có thể tính toán các giá trị trung bình thống kê của các đại lượng động học

Để có thể xây dựng được các kết quả của thuyết động học phân tử dựa trên quan điểm thống kê hiện đại, ta đặt ra những nhiệm vụ sau :

1 Xây dựng hàm phân bố xác suất của hệ, các đại lượng đặc trưng

2 Tính năng lượng tự do, năng lượng trung bình của hệ

3 Tính tổng thống kê

4 Dùng các hệ thức nhiệt động suy ra các kết quả của thuyết động học phân tử chất khí,

1.2.2 Các bước thực hiện

1.2.2.1 Hàm phân bố xác suất của hệ

a) Nguyên lý đẳng xác suất đối với hệ cô lập, Phân bố vi chính tắc

Ta khảo sát sự cân bằng nhiệt động giữa hệ vĩ mô với môi trường (bao gồm hệ khác) tương đương với việc khảo sát trạng thái cân bằng của 1 hệ cô lập bao gồm hệ vĩ mô được khảo sát và môi trường ngoài

Xét khi hệ cô lập ở trong trạng thái cân bằng thì năng lượng của nó ở trong khoảng E,E E Ứng với điều kiện này có rất nhiều trạng thái vi mô với năng lượng thỏa mãn hệ thức:

E E E

E n ,   (1.24)

Tổng số các trạng thái lượng tử thỏa mãn điều kiện (1.24) gọi là trọng số thống kê của hệ cô lập, kí hiệu là 

Trong thực tế kiểm nghiệm đã thấy được sự đúng đắn của nguyên lý

sau đây: Khi hệ cô lập ở trong trạng thái cân bằng nhiệt động thì mọi trạng

thái vi mô khả dĩ đều có xác suất như nhau Nguyên lý này gọi là nguyên lý

đẳng xác suất [1, tr.2], [2, tr.77]

Ký hiệu i là xác suất của trạng thái vi mô i nào đó, khi đó theo nguyên

lý đẳng xác suất thì giá trị i là không đổi vì mọi trạng thái vi mô khả dĩ đều

có xác suất như nhau, mặt khác xác suất này là khả năng xảy ra của 1 trạng thái so với tổng số các trạng thái mà hệ thỏa mãn điều kiện (1.24), vì thế ta có:

b) Phân bố Gibbs

Ta xét hệ khảo sát nhỏ hơn rất nhiều so với hệ ngoài, ta tạm gọi là hệ con Vẫn đề đặt ra là xác định xác suất để hệ con ở trong trạng thái vi mô ứng với mức năng lượng En nào đó Ta thấy rằng trạng thái cân bằng của hệ cô lập bao gồm cả hệ con được đặc trưng bởi năng lượng E0 =const và nhiệt độ T xác định Bây giờ ta sẽ tìm xác suất trạng thái hệ ứng với năng lượng En của

hệ con khi hệ con đó cân bằng nhiệt động với môi trường ở nhiệt độ T

Hình 1.6 Khảo sát hệ con và môi trường, hệ con và môi trường tạo thành hệ cô lập, với E n là năng lượng của hệ con, E * là năng lượng tương ứng của môi trường

Vì hệ con cộng với môi trường là hệ cô lập nên ta có:

En + E* = Eo = const Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử năng lượng của hệ con nhỏ hơn rất nhiều so với năng lượng của môi trường Từ giả thiết đó ta có :

Từ hình vẽ ta có trọng số thống kê của cả hệ cô lập:

) (

) ( (

kê của 2 hệ thay đổi nên trọng số thống kê của cả hệ cũng thay đổi Mặt khác

ta biết rằng trọng số thống kê là tổng số trạng thái của hệ xét trong khoảng năng lượng E, như thế nó là hàm tăng nhanh của năng lượng, vì vậy En tăng thì 1(E n) tăng, và đồng thời 2(E 0 E n) lại giảm [2, tr.80]

Theo định nghĩa entropi thống kê, ta có: S = kln, ở đây với k là hằng

số Boltzmann Khi này ta có:

) (

1 ) (

ln ) (

ln )

k E E E

E k

E E

)}

(

1 exp{

)

k E

S(Eo-En) = S(Eo) -

T

E n (1.29) Kết hợp (1.27), (1.28) và (1.29), ta được:

Ở đây A là một hằng số được chọn sao cho ωn(En) thoả mãn điều kiện chuẩn hóa:

 

E ) 1 (

 



n

có nghĩa là thấy tổng theo mọi trạng thái

lượng tử khả dĩ Như vậy hằng số A được xác định từ điều kiện: A

E

g( ) e kT

E n



gọi là tổng số thống kê của

hệ Từ đó ta có thể viết lại biểu thức (1.31) như sau:

kT E n

n

n

e Z

E )  1 (

Biểu thức (1.34) gọi là biểu thức phân bố Gibbs hay phân bố chính tắc

Nó xác định xác suất trạng thái của mọi hệ con khi hệ này cân bằng nhiệt động với môi trường có nhiệt độ T [2, tr.81]

Cần lưu ý rằng ωn(En) là xác suất của một trạng thái lượng tử nào đó có năng lượng En, chứ không phải xác suất giá trị En của năng lượng Nếu muốn xác định xác suất giá trị En của năng lượng thì ta phải nhân ωn với bội suy biến của mức En Ký hiệu bội suy biến đó là g(En) và xác suất giá trị En là ω(En), ta có: ωn(En)=g(En) ωn(En)

Trên cơ sở (1.34) ta có: kT

E n n

n

n

e E g Z

E )  1 ( ) (

Bây giờ hãy xét ý nghĩa của phân bố Gibbs (1.34)

Trước hết ta thấy rằng theo (1.34) thì khi năng lượng En tăng xác suất

ωn giảm theo luật hàm mũ Sở dĩ như vậy là vì khi hệ con có năng lượng En

thì môi trường có thể ở trong nhiều trạng thái vi mô khác nhau, với năng lượng E*=Eo-En Số trạng thái đó chính là trọng số thống kê ∆(Eo-En) của môi trường Mặt khác, trọng số thống kê là hàm giảm nhanh khi năng lượng giảm Vì vậy, khi En của hệ con tăng thì năng lượng của môi trường giảm, do

đó trọng số thống kê của môi trường giảm Xác suất của hệ con tỉ lệ với trọng

số thống kê của môi trường với năng lượng E*=Eo-En là:

ωn(En) ~ ∆(E*) = ∆(Eo-En) Như vậy, rõ ràng là ωn(En) phải giảm khi En tăng Từ phân bố Gibbs ta

dễ dàng tính được giá trị trung bình của các đại lượng vật lý đặc trưng cho hệ

n n n

n

e A z A

n A e E g z

Thông thường, đối với hệ vĩ mô ta có thể coi gần đúng phổ năng lượng

là phổ liên tục Khi đó ta có thể thay phép lấy tổng bằng phép tích phân:



 21

) ( ) (

E

E

dE E f E A

Ở đây [E1,E2] là khoảng năng lượng khả dĩ của hệ, f(E) là hàm số phân

bố xác suất theo năng lượng Nó liên quan tới mật độ trạng thái theo hệ thức:

f(E) = ω(E)(E) = 

n e E g

1 ) (

1.2.2.2 Biểu diễn năng lượng tự do qua tổng thống kê và hệ thức nhiệt

động liên hệ năng lượng tự do và năng lượng trung bình

Hàm trạng thái xác định bởi hệ thức:

F = -kTlnZ (1.40) được gọi là năng lượng tự do của hệ Vì các mức năng lượng En của hệ phụ thuộc số hạt N của hệ và phụ thuộc các tham số ngoại x cho nên tổng số thống

kê Z là hàm của T, x, và N Từ đó ta thấy năng lượng tự do là hàm của T, x và N: F=F(T, x, N)

Năng lượng tự do F và năng lượng trung bình (hay nội năng) Ē của hệ

có liên hệ với nhau Ta sẽ xác định mối liên hệ này qua việc tính Ē

Theo định nghĩa trung bình thống kê, ta có:

n n

kT E n

n n

e T Z

kT e

E Z E

2

1

Z T kT Z T Z

Hệ thức (1.42) gọi là phương trình Gibbs-Helmholtz [2, tr.86]

Tiếp theo, ta xét mối liên hệ giữa năng lượng trung bình Ē, năng lượng

tự do F và entrôpi S

Đối với hệ mở nằm trong trạng thái cân bằng nhiệt động với môi trường thì hàm phân bố xác suất theo năng lượng chỉ khác 0 rõ rệt tron một khoảng năng lượng ∆E xung quanh giá trị Ē

Ta có thể xác định khoảng ∆E theo hệ thức: ( ) ( ) 1

Từ đó suy ra:

) (

1

E f

E 



Mặt khác, ta có f(Ē)=ω(Ē) (Ē) Chú ý tới điều này ta có thể viết:

) ( ) (

1

E E

1 )

(

E E

Entrôpi của hệ mở được xác định theo hệ thức: S = kln∆ trong đó ∆

là trọng số thống kê trong khoảng ∆E

Muốn tìm mối liên hệ giữa ba đại lượng Ē, F và S ta chỉ cần tìm mối liên hệ giữa Ē, Z và ∆

Trước hết, ta có:  2 

1 ) (

Z  Đại lượng dưới dấu tích khác 0 rõ rệt

trong khoảng ∆E xung quanh giá trị Ē, vì vậy ta có: Z E e kT E

1.2.2.3 Tổng thống kê của hệ khí lý tưởng

Để xây dựng các kết quả cơ bản của thuyết động học phân tử, ta xem xét mô hình khí lý tưởng Ta biết rằng khí lý tưởng là chất khí mà các phân tử khí hoàn toàn độc lập nhau, không tương tác với nhau, do đó năng lượng của

cả hệ khí lý tưởng bằng tổng năng lượng của các phân tử khí cấu thành nên hệ

khí đó Bây giờ dựa trên phân bố Gibbs, ta sẽ xác định tổng thống kê của hệ khí lý tưởng

Ký hiệu n i là mức năng lượng nào đó của phân tử khí lý tưởng, En là

mức năng lượng của cả hệ Khi đó: En = 



N i

n kT N

i

n n

kT E

N

Z e

N kT

e Z

i

i n

i n

!

!

1 1

i

i n

n

kT n

2 2

2 2

2 2 3

3 2

2 2 2 3

1 2 3 2

2 2

exp 2

exp 2

exp

mkTV mkTV

n n

mkTV

Áp dụng công thức tích phân dạng:

a dx





 0

2 2

mkT N

V Z N

1.2.2.4 Các kết quả của thuyết động học phân tử chất khí

Bây giờ ta sẽ dùng tổng thống kê theo (1.52) để tính các kết quả của thuyết động học phân tử chất khí

a) Năng lượng tự do: Theo công thức (1.40) định nghĩa năng lượng tự

do, ta có: F=-kTlnZ, với:

N T

V

mkT N

V

Z

N N

N

N N

!

1 ln ln

ln 2

!

ln

3 2 2

3 2

2

!

1 ln

N

mk N

3 ln

kT

b) Năng lượng trung bình: Theo công thức (1.47) ta có biểu thức xác

định giá trị năng lượng trung bình Z

T kT

N

2

3 ln

T

N kT C T N V N T kT E

2

3 1 2

3 )

ln 2

3 ln

NkT E

c) Phương trình trạng thái khí lý tưởng: Ta có biểu thức áp suất của khí

lý tưởng mô tả theo công thức

V

F P

NkT C

T

N V N V

kT V

Công thức (1.55) là phương trình trạng thái khí lý tưởng

Ứng với các trường hợp nhiệt độ, thể tích, áp suất không thay đổi từ (1.55) ta thu được các hệ quả là các định luật Boyle – Mariotte, Charles, Gay-Lussac

Như vậy phương trình trạng thái khí lý tưởng không chỉ là hệ quả của các định luật thực nghiệm mà bản thân trong nó chứa đựng những thông tin vi

mô của hệ hạt cấu thành nên hệ khí lý tưởng, dựa trên quan điểm vật lý thống

kê hiện đại phương trình này hiểu theo nghĩa rộng hơn, và giải thích dưới góc

độ vi mô của hệ hạt tạo thành khí lý tưởng [1, tr.13]

Chương 2: GIẢNG DẠY CÁC NỘI DUNG VẬT LÝ NHIỆT HỌC

TRÊN QUAN ĐIỂM VẬT LÝ THỐNG KÊ CHO HỌC SINH KHỐI CHUYÊN VẬT LÝ

2.1 Hai con đường xây dựng nội dung vật lý nhiệt học trong chương trình vật lý trung học phổ thông

Nội dung “Nhiệt học” trong chương trình vật lý phổ thông nói chung và

dành cho học sinh khối chuyên lý nói riêng mà cụ thể là chương trình lớp 10

về cơ bản là nghiên cứu các hiện tượng liên quan đến những quá trình xảy ra bên trong của chất khí lý tưởng, đó là sự tương tác của các phân tử cấu thành bên trong hệ khí lý tưởng, các quá trình nóng chảy, bay hơi (nội dung của thuyết động học chất khí),….những hiện tượng này liên quan đến một dang

chuyển động mang bản chất khác của vật đó là chuyển động nhiệt, mà cụ thể

là chuyển động của các phân tử cấu thành nên vật Như vậy nội dung của vật

lý nhiệt học trung học phổ thông là nghiên cứu về chuyển động nhiệt

Có hai phương pháp để nghiên cứu hay xây dựng nội dung của chuyển động nhiệt, đó là:

Phương pháp nhiệt động lực học

Phạm vi nên

ứng dụng Ứng dụng trong vật lý phân tử

Ứng dụng trong phần nhiệt động lực học

Nội dung cơ bản

Dựa vào cấu tạo phân tử của các chất và sự chuyển động hỗn loạn của chúng, người ta dùng các quy luật của xác suất

Nghiên cứu các quá trình trao đổi và chuyển hóa năng lượng dựa trên hai nguyên lý cơ bản được rút