Sử dụng kỹ năng giải toán trong giảng dạy môn toán ở trường trung học phổ thông.PDF

Chương 2: Một số phương pháp áp dụng kỹ năng giải toán trong hoạt động giảng dạy 2.1.. Sử dụng kỹ năng giải toán là một trong những xu hướng mới nhất trong giảng dạy môn toán ở THPT tr

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

KHOA SƯ PHẠM

DƯƠNG LÊ THU TRANG

Sử dụng kỹ năng giải toán trong giảng dạy môn toán ở trường trung học phổ thông

luËn v¨n th¹c sÜ GIÁO DỤC HỌC

Hµ néi – 2008

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

KHOA SƯ PHẠM

DƯƠNG LÊ THU TRANG

Sử dụng kỹ năng giải toán trong giảng dạy môn toán ở trường trung học phổ thông

Mã số : 60 14 10

luËn v¨n th¹c sÜ GIÁO DỤC HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Vũ Lương

Hµ néi - 2008

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin chân thành cảm ơn Hội đồng đào tạo chuyên ngành Lý luận và phương pháp giảng dạy, Ban giám hiệu, các thầy cô giáo Khoa Sư Phạm, trường Đại học Quốc gia Hà Nội

Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, khích

lệ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Vũ Lương, người đã trực tiếp tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn

Dù đã cố gắng, luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo, các chuyên gia và các bạn đồng nghiệp gần xa để bản luận văn được hoàn thiện hơn

Một lần nữa xin chân thành cảm ơn

Tác giả

Dương Lê Thu Trang

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

THPT: trung học phổ thông CMR, cmr: chứng minh rằng đpcm: điều phải chứng minh BĐT: bất đẳng thức

p/t: phương trình VP: vế phải HS: học sinh KL: kết luận TXĐ: tập xác định đvdt: đơn vị diện tích

MỤC LỤC

Lời cảm ơn

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

Mục lục

Mở đầu……… 5

Chương 1: Sử dụng kỹ năng giải toán-phương pháp hiệu quả nâng cao chất lượng giảng dạy 1.1 Kỹ năng giải toán và phân loại…… ……… ……… 8

1.1.1 Kỹ năng giải toán………….…… …… …….……… 8

1.1.2 Phân loại kỹ năng giải toán……… ……… 16

1.1.2.1 Kỹ năng giải toán cơ bản….……… ………… 16

1.1.2.2 Kỹ năng giải toán tổng quát……… ………… 17

1.1.2.3 Kỹ năng chính……… ………… 18

1.1.2.4 Kỹ năng đặc biệt……… ……… 26

1.1.2.5 Kỹ năng trung gian……… ……… 27

1.2 Kỹ năng giải toán là điều kiện cần cho một hoạt động giảng dạy có hiệu quả……… 28

1.2.1 Nguyên nhân để hoạt động giảng dạy không có hiệu quả…… 28

1.2.2 Độ phức tạp của một bài toán……… …… ………… 30

1.2.3 Hàm năng lực tiếp thu của học sinh với bài toán có độ phức tạp cho trước…… ……… … 36

1.2.4 Phương pháp xác định hàm năng lực…… ……… ………… 37

1.2.5 Hoạt động giảng dạy trợ giúp để tạo điều kiện cần cho một hoạt động giảng dạy hiệu quả…… …… ……… 38

1.3 Kỹ năng giải toán làm tăng hiệu quả của mọi phương pháp giảng dạy…….……… … ……… 38

Chương 2: Một số phương pháp áp dụng kỹ năng giải toán

trong hoạt động giảng dạy

2.1 Phương pháp dạy học sinh giải những bài toán khó… … ……… 41 2.2 Sử dụng các kết quả trung gian giải những bài toán

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Theo thống kê kết quả đào tạo của thực tiễn giáo dục Việt Nam chúng ta phát hiện ra nhiều nhược điểm và mâu thuẫn:

1 Số học sinh không đỗ tốt nghiệp THPT có tỷ lệ cao dù rằng các đề thi

có phần dễ hơn so với hàng chục năm trước

2 Chúng ta là một trong 10 nước trên thế giới đạt thành tích cao nhất trong các kỳ thi toán quốc tế (theo thống kê từ khi bắt đầu tham gia đến nay, năm 1974) nhưng cũng là nước có nền giáo dục đại trà không được xếp hạng

3 Chúng ta nói nhiều đến cơ sở vật chất, học phí hơn là việc đầu tư vào nhân tố quyết định cho hiệu quả của hoạt động đào tạo là năng lực của giáo viên và học sinh

4 Chúng ta nói nhiều đến lãng phí tiền của mà không hề biết rằng từ bao nhiêu năm qua chúng ta đã lãng phí tuổi trẻ của bao nhiêu thế hệ học sinh vì những hoạt động giảng dạy không hiệu quả Và sự tổn thất này cho đất nước còn nặng nề hơn gấp nhiều lần khi các em học sinh trưởng thành, trở thành nguồn nhân lực không có khả năng tư duy và tri thức

5 Ai cũng hiểu chỉ khi chúng ta giải những bài toán càng khó thì tư duy nhận thức ở mức độ cao càng được hình thành và rèn luyện trong khi hoạt động giảng dạy hiện nay đa số là từ chối những bài toán khó

Để giải quyết những mâu thuẫn này chúng ta phải đi tìm nguyên nhân chính và tìm cách giải quyết một cách khoa học

Công việc chính của một hoạt động giảng dạy là cung cấp các kiến thức cần thiết và rèn luyện tư duy nhân thức ở mức độ cao thông qua thực hành giải các bài toán Hoạt động giảng dạy hoàn toàn không có hiệu quả nếu học sinh không

có khả năng giải quyết vấn đề Nhiều học sinh và ngay cả giáo viên không có

khả năng giải quyết vấn đề vì không có kỹ năng giải toán Chính vì vậy tôi chọn

đề tài “Sử dụng kỹ năng giải toán trong giảng dạy môn toán ở trường trung học

phổ thông” Việc phát hiện các kỹ năng giải toán và áp dụng như thế nào vào

hoạt động dạy và học chính là nội dung của luận văn Sử dụng kỹ năng giải toán

là một trong những xu hướng mới nhất trong giảng dạy môn toán ở THPT trên thế giới nên các tài liệu chưa nhiều, do đó việc tìm tòi tổng kết kinh nghiệm để thu được các kỹ năng giải toán là những kết quả ban đầu, chắc chắn sẽ không đầy đủ và còn nhiều thiếu sót, rất mong sự góp ý của các thầy cô và các bạn

đồng nghiệp để luận văn được hoàn chỉnh hơn

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu xây dựng một số phương pháp dạy- học sử dụng kỹ năng giải toán trong giảng dạy môn toán ở trường THPT để nâng cao hiệu quả giảng dạy đồng thời rèn luyện cho học sinh khả năng nhận thức ở mức độ cao (đặc biệt là những học sinh khá, giỏi) Từ đó có thể điều chỉnh phương pháp dạy-học cho hợp lí nhằm nâng cao kết quả đào tạo

3 Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu

Đối tượng: Phương pháp dạy- học môn toán ở trường THPT

Khách thể nghiên cứu: Dạy-học môn toán THPT

4 Giả thuyết khoa học

Việc dạy-học môn toán ở trường THPT sẽ được nâng cao hiệu quả nếu xây

dựng được phương pháp dạy học hợp lý, khoa học

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu cơ sở lý luận về phương pháp dạy-học môn toán

5.2 Khảo sát thực trạng việc dạy-học môn toán ở trường THPT

5.4 Xây dựng cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán

5.3 Xây dựng một số phương pháp dạy-học môn toán ở trường THPT sử dụng

kỹ năng giải toán

6 Giới hạn phạm vi nghiên cứu

Nội dung: Phương pháp dạy và học môn toán hệ THPT

Khách thể: Các trường THPT

7 Phương pháp nghiên cứu

7.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu các vấn đề liên quan đến phương pháp dạy-học

7.2 Phương pháp quan sát

Khảo sát việc dạy và học môn toán ở trường THPT để thấy được

thực trạng của việc dạy và học môn toán THPT hiện nay

8 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo luận văn được trình bày trong 2 chương:

Chương 1 Sử dụng kỹ năng giải toán-phương pháp hiệu quả

nâng cao chất lượng giảng dạy

Chương 2 Một số phương pháp áp dụng kỹ năng giải toán

trong hoạt động giảng dạy

Chương 1: SỬ DỤNG KỸ NĂNG GIẢI TOÁN - PHƯƠNG PHÁP HIỆU QUẢ

NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG GIẢNG DẠY

1.1 Kỹ năng giải toán và phân loại:

Trong mục này sẽ trình bày khái niệm kỹ năng giải toán và một cách phân loại các dạng kỹ năng giải toán cùng với các ví dụ minh họa

1.1.1 Kỹ năng giải toán:

Kỹ năng giải toán là một cách sử dụng các kiến thức cơ bản chuyển bài toán cần giải về dạng tương đương đơn giản

Ví dụ với dạng bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ta thường có các phương pháp giải sau:

a) Sử dụng đạo hàm:

 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng (a;b)

(a có thể là -∞, b có thể là +∞)

Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a;b)

So sánh các giá trị cực trị với các giới hạn tại a và b

Dựa vào bảng biến thiên để rút ra kết luận

Đặc biệt: Trường hợp hàm số chỉ có một cực trị duy nhất trên (a;b), khi đó:

- Nếu cực trị là cực đại thì giá trị cực trị là lớn nhất

- Nếu cực trị là cực tiểu thì giá trị cực trị là nhỏ nhất

 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [a;b]

Ta tiến hành như đối với trường hợp khoảng bằng cách lập bảng biến thiên, ngoài ra có thể áp dụng qui tắc:

- Tìm các điểm cực trị: x x1, 2, ,x n trên [a;b]

- Tìm các giá trị f a( ), ( ), ( ), (f b f x1 f x2), , (f x n)

Chú ý: (1) Chỉ tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [a;b] khi

hàm số đó liên tục trên [a;b]

(2) Nếu hàm số y=f(x) đơn điệu trên [a;b] ta chỉ cần so sánh f(a) và f(b);

O

S

y

3

2 4Vậy

Nhận xét: Nếu ta tính y  4sin cosx x sinx thì giải phương trình y  0 sẽ cho ta

những nghiệm không đẹp dó đó việc tính giá trị cực trị sẽ khó khăn Ta sẽ khảo

sát sự biến thiên của hàm số y thông qua một biến số phụ

V x + 0 -

V(x)

3

3281

Vậy chiều cao hình nón là 4

3

R

thì hình nón nội tiếp hình cầu có thể tích lớn nhất

b) Sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm phương trình:

Cho hàm số y=f(x) có D là tập xác định, f(D) là tập giá trị tương ứng

Khi đó ta có  y0 f D( ) sẽ  x0 D sao cho y0  f x( 0)

Ta thực hiện theo 2 bước:

+ Xét phương trình f x( 0) y0 (1) với y0 là tham số

+ Tìm điều kiện tồn tại nghiệm x0 của phương trình (1)

Ví dụ 1.3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1log ( 1)

log x (x 1)

2 1

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi

Ví dụ 1.6 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y x x

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

(3sin 2xcos2 )x (3 1 )(sin 2xcos 2 ) 10x 

10 3sin 2x cos 2x 10 10 5 3sin 2x cos 2x 5 10 5

Vậy max ( )f x 2n tại x 1

Ví dụ 1.8 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 2

1.1.2 Phân loại kỹ năng giải toán:

1.1.2.1 Kỹ năng cơ bản:

Trong toán học có những dạng bài toán cơ bản được giải bằng một cách giải chung gọi là kỹ năng cơ bản

Ví dụ 1.11 Hãy tìm giá trị của tham số m để phương trình x2 2mx  m 2 0

có nghiệm thỏa mãn điều kiện 0 x 1

Nhận xét: Kỹ năng cơ bản để giải bài toán này là sử dụng định lý đảo của tam thức bậc 2 để xác định thứ tự giữa nghiệm và hai giá trị 0 và 1

Bài giải:

Vậy với 1 m 2 thì p/t x2 2mx  m 2 0 có nghiệm nằm trong [0;1]

1.1.2.2 Kỹ năng tổng quát:

Kỹ năng tổng quát là những kỹ năng được dùng cho nhiều dạng bài toán thuộc

tất cả các nội dung của toán học phổ thông Chúng ta có thể liệt kê:

Nhận xét: Kỹ năng phản chứng thực chất là một cách lập luận giúp cho học sinh

dễ vận dụng các kiến thức theo một trình tự hợp lý, sáng sủa nhất

Bài giải:

Ta có 8 8 64 bảng con (2 2)  , tổng các số trên bảng con được xếp theo thứ tự

S1 S2   S64

Giả sử phản chứng “Không tồn tại bảng con nào mà tổng 4 số lớn hơn 137”

Từ giả thiết phản chứng suy ra S64 137 Khi đó, ta có

Ví dụ khi giải các phương trình nói chung (phương trình chứa căn nói riêng) chúng ta có các phương pháp giải chính

a) Phương pháp 1: Biến đổi đẳng thức

Ví dụ 1.13 Giải phương trình

3 2x 1 3 x  1 1 3 2x2  x 1 (1)

Bài giải:

Áp dụng đẳng thức u  v 1 uv(u1)(v 1) 0 ta biến đổi p/t về dạng tương đương

Vậy phương trình (4) có nghiệm x=0; 1

Nhận xét: Chúng ta cũng có thể sử dụng các đánh giá (so sánh) sau

Vậy phương trình có nghiệm x=1

c) Phương pháp 3: Sử dụng tính chất đơn điệu

 Với phương trình có dạng n f x( )n g x( ) [ ( )g x  f x A x( )] ( ), A x( )0

Ta giả sử f x( ) g x( )  n f x( ) n g x( )g x( ) f x( ) Do đó: ( ) ( )

f x g x

Sau đó giải phương trình này để tìm nghiệm của phương trình ban đầu

Ví dụ 1.19 Giải phương trình x 4 2x  3 x 1

Do đó x=1 Vậy phương trình ban đầu có nghiệm x=1

 Cũng có những trường hợp để sử dụng tính chất đơn điệu chúng ta phải chuyển phương trình thành hệ phương trình

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm x=1

 Khi giải phương trình chứa căn chúng ta nên chú ý đến tính đơn điệu của các hàm số sau:

1 y2n1x là hàm đơn điệu tăng

2 y2n x là hàm đơn điệu tăng trên [0;)

3 Nếu f(x), g(x) là những hàm tăng suy ra f(x)+g(x) và f(g(x)) là những hàm

Ta nhận thấy f x( ) x 3 3 x là hàm tăng trên [ 3; ) nên ta có:

Nếu x 1 f x( ) f(1) 3 phương trình vô nghiệm

Nếu    3 x 1 f x( ) f(1) 3 phương trình vô nghiệm

Với x 1 f x( ) f(1)3 Vậy phương trình có nghiệm x=1

d) Phương pháp 4: Phương pháp lượng giác

Một số phương trình có thể đặt xcos ; xtg để chuyển phương trình đã cho thành phương trình lượng giác

5 3sin  8(cos sin ) 5 3sin 8(1 3sin .cos )

sin  1 8sin2.cos2 sin  1 2sin 22  sin cos 4

22

k k

k k

cos 3sin 2 4sin 2 cos sin 2 [3 2(1 cos 4 )]

cos sin 2 sin 6 sin( 2 ) cos sin 6 cos cos 6

22

6 2

14 72

2

k k

k k

1.1.2.5 Kỹ năng trung gian:

Có rất nhiều bài toán khó mà chúng ta phải sử dụng nhiều kết quả trung gian (các bài toán nhỏ) mới đưa ra được lời giải Những bài toán này khó có thể tìm ra hướng giải nếu không biết trước được những kết quả trung gian cần thiết Việc

sử dụng các kết quả trung gian để giải các bài toán khó ta gọi là sử dụng các kỹ năng trung gian

Ví dụ 1.27 Với a b c, , là những số thực dương, Chứng minh rằng

Hướng 1: Đánh giá hiệu quả, chất lượng của hoạt động giảng dạy theo một số tiêu chuẩn như cơ sở vật chất, trình độ giảng viên, chương trình giảng Cách đánh giá này được sử dụng cho một quốc gia, một đơn vị giáo dục lớn

Hướng 2: Đánh giá hiệu quả của hoạt động giảng dạy qua các bài kiểm tra, các

kỳ thi, các bài tập lớn về nhà, tín chỉ Cách đánh giá này là cách đánh giá truyền thống ở nhiều nước trên thế giới, mang tính chất thống kê, khái quát

Trong phần này chúng ta xây dựng một cách tiếp cận cụ thể đến khái niệm hiệu quả của hoạt động giảng dạy nhằm tạo ra điều kiện cho mọi hoạt động giảng dạy hàng ngày thực sự có hiệu quả

1.2.1 Nguyên nhân để hoạt động giảng dạy không có hiệu quả:

Không chỉ miền núi, nông thôn, vùng sâu, vùng xa mà ngay cả các trường THPT ở thành phố với đầy đủ các phương tiện dạy học vẫn có những học sinh sau 3 năm học toán không những không thu được kiến thức cơ bản mà còn không có khả năng sáng tạo và khả năng thực hành Có nhiều nguyên nhân dẫn đến kết quả này, một trong số những nguyên nhân đó là khả năng tư duy của học sinh không đủ để hiểu và giải các bài toán

Có nhiều lý do được đưa ra Có người cho rằng, do đặc tính thụ động trong tư duy của người Á Đông bắt chiếc người khác thì tài tình nhưng không thể sáng tạo ra cái mới Nhưng cũng phải thừa nhận rằng chính nền văn hóa và giáo dục của chúng ta nhiều khi đã làm thui chột khả năng sáng tạo của học sinh Ở đa

số các trường THPT hiện nay những học sinh có điểm cao thường là những em

có trí nhớ cực tốt Nhưng trí nhớ chỉ là một phần của sự thông minh Và thường thì khi học sinh đạt điểm cao thì các thầy cô giáo cho rằng mình đã đạt được mục tiêu giảng dạy nhưng quên mất rằng học sinh dù có giỏi đến mấy mà không có óc sáng tạo thì cũng mãi chỉ là học sinh mà thôi Ngày nay người ta quan niệm nhiệm vụ của nhà trường như một công cụ để truyền đạt một khối lượng kiến thức tối đa cho thế hệ trẻ Chính vì thế khoảng cách chất lượng hiệu quả giữa các trường chuyên và các trường phổ thông kém chất lượng càng ngày càng lớn theo năm tháng

Với truyền thống hiếu học nhiều gia đình học sinh dù nghèo cũng không tiếc tiền của, công sức nuôi con ăn học Nhưng thật chua xót phải nhận xét rằng các hoạt động giảng dạy ở các trường phổ thông hiện nay thực sự là hình thức và không hiệu quả Nhiều giáo viên hầu như không giảng dạy một cách nghiêm túc mà luôn đấu tranh đòi giảm độ khó, độ phức tạp, hạn chế trương trình để biện hộ, che đậy cho sự lười biếng và thiếu trách nhiệm của mình

Hiện nay trong giảng dạy môn toán chúng ta cũng đã áp dụng nhiều phương pháp giảng dạy mới như: phương pháp dạy học theo nhóm, phương pháp dạy học thông qua tổ chức các hoạt động học tập, phương pháp dạy học đàm thoại phát hiện, phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn…Tuy nhiên khi

áp dụng các phương pháp này trong thực hành giảng dạy thì hiệu quả thu được lại chưa cao, vì những phương pháp này còn tồn tại một số nhược điểm sau:

- Hiệu quả của các phương pháp trên phụ thuộc nhiều vào trình độ kiến thức của giáo viên và học sinh Bài giảng thường không hấp dẫn, lôi cuốn học sinh

vì đa số học sinh còn kém; số học sinh khá, giỏi rất ít

- Thời gian không có ích còn nhiều trong quá trình giảng dạy: Nếu trong quá trình giảng dạy giáo viên đưa ra các câu hỏi hay bài toán dễ thì học sinh dễ chán; bài toán đưa ra khó mà giáo viên trình bày ngay cách giải thì học sinh không có cơ hội suy nghĩ và như vậy không rèn luyện được khả năng tư duy ở mức độ cao của học sinh, còn nếu để học sinh tự giải mà học sinh không giải quyết được thì lãng phí thời gian Mặt khác, để thực hiện được đúng mục tiêu của những phương pháp này thì các hoạt động, câu hỏi dành cho học sinh thường phải có mức độ khó khá cao nên rất dễ sinh ra thời gian lãng phí

Vì vậy xây dựng một điều kiện cần để hoạt động giảng dạy có hiệu quả là cần thiết Điều kiện này cần được thực hiện ở mọi trường để chấm dứt các hoạt động giảng dạy không hiệu quả

1.2.2 Độ phức tạp của một bài toán:

Khái niệm bài toán dễ, bài toán khó là khái niệm rất phổ biến trong hệ thống giáo dục Nhiều chuyên gia giảng dạy toán trên thế giới đều có cảm nhận kinh nghiệm khá giống nhau về các bài toán khó và dễ Khi đọc các tài liệu nước ngoài chúng

ta dễ nhận ra điều này Tuy nhiên ở các nước cũng có sự đánh giá khác nhau về một số dạng bài toán khó và dễ, phụ thuộc vào nội dung giảng dạy và đối tượng giảng dạy của mình Dựa trên sự thống kê từ những đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi đại học, tài liệu toán phổ thông ở một số nước có nền giáo dục tiên tiến chúng

ta tạm chia một cách đánh giá độ phức tạp (độ khó) của bài toán theo một trình

tự rời rạc Độ khó của một bài toán tùy thuộc vào sự thành công của người giải nên từ sự thống kê kết quả giảng dạy của các trường chuyên, các kỳ thi tốt nghiệp THPT, các kỳ thi đại học, thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế chúng ta chắc chắn nhận được một sự phân chia rời rạc có cơ sở thống kê khoa học Ta có thể chia các dạng độ phức tạp từ đơn giản đến phức tạp của bài toán như sau:

Để giải bài toán này chỉ cần nhớ được công thức đạo hàm cơ bản (sin )u u.cosu

22

bày mẫu trong nhiều tài liệu

Ví dụ 2.3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số yx33x2 tại x=3

cơ bản (đã được tổng kết trong những bài giảng cơ bản) để đưa ra lời giải

Ví dụ 2.5 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

2

22

sin cos 1 sin 2

năng trung gian)

sin( 2 ) sin sin

rất khó phát hiện Những bài toán này là những bài toán khó nhất trong các đề toán thi đại học

kỹ năng mà mình đã biết Những bài toán này là những bài toán dễ trong các kỳ thi quốc gia và quốc tế

Ví dụ 2.10 Giả sử bảng (m n ) bao gồm những số nguyên dương, chúng ta thực hiện phép biến đổi theo quy tắc nhân tất cả các số của một hàng nào đó với 2 hoặc trừ tất cả các số của một cột nào đó đi 1 Chứng minh rằng: Ta có thể nhận được một bảng gồm toàn số 0 sau một số hữu hạn bước

Bài giải:

Chú ý rằng: nếu chúng ta nhân tất cả các số của một hàng nào đó với 2 thì các số

0 trên bảng không thay đổi

Bài toán sẽ được chứng minh nếu chúng ta chỉ ra một phép biến đổi chuyển tất

cả các số của một cột thành 1, sau đó trừ tất cả các số đi 1

Phép biến đổi đó như sau:

* Trừ liên tiếp các số của một cột đi 1 sao cho số dương nhỏ nhất trở thành 1

* Nhân tất cả các hàng có chứa số 1 của cột nhận được với 2 và trừ cột đó đi 1, khi đó các số 1 không thay đổi còn các số khác giảm đi 1 Thực hiện liên tiếp các phép biến đổi như vậy ta thu được một cột gồm toàn số 1

Ví dụ với bảng m n  3 3 (3 hàng, 3 cột) có các số nguyên dương như bảng dưới thì ta thực hiện các bước nhau sau:

3 1 2 1 1 2 2 2 4 1 2 4 2 4 8 1 4 8 2 8 16 1 8 16

5 2 1 3 2 1 3 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 4 2 1 4 2

4 3 5 2 3 5 2 3 5 1 3 5 2 6 10 1 6 10 2 12 20 1 12 20 Như vậy sau các phép biến đổi trên ta đã thu được cột thứ nhất gồm toàn số 1 Sau đó trừ cột này đi 1 ta được một cột gồm toàn số 0 Thực hiện các bước như vậy với cột 2 và cột 3 ta sẽ thu được bảng gồm toàn số 0

kỹ năng đặc biệt mà còn phải phát hiện và chứng minh các kết quả trung gian cần thiết cho việc xây dựng lời giải của bài toán Đây là dạng bài toán khó nhất trong các kỳ thi quốc gia và quốc tế

Ví dụ 2.11 Giả sử dãy các số hữu tỷ không âm a a1, 2, ,a n, thỏa mãn

f  Nếu học sinh hiểu biết không thấu đáo hệ thống kiến thức và

không có kỹ năng giải toán

2

f  Nếu học sinh nắm vững kiến thức, có khả năng giải toán

trong thời gian cho phép 2

f  Nếu học sinh nắm vững kiến thức và có khả năng giải toán

trong thời gian ngắn

Kí hiệu: N8 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} tương ứng với độ phức tạp của bài toán

4 { , 1,1 3, 2}

2 2

A  tương ứng với năng lực tiếp thu của học sinh

Khi đó: Hàm f xác định trên tập rời rạc N8 và nhận giá trị trên A4 gọi là hàm biểu thị năng lực tiếp thu của học sinh tương ứng với bài toán có độ phức tạp cho

trước Đối với mỗi tập hợp học sinh khác nhau thì hàm f được xác định thông

qua các đề kiểm tra cụ thể

Chú ý rằng chúng ta có thể làm thay đổi giá trị của f bằng các hoạt động giảng

dạy trợ giúp Dễ thấy khi 1

Nếu học sinh giải được 2 bài toán độ phức tạp 1, 2 thì f 1

Nếu học sinh giải được  4 bài toán trong thời gian dài thì 3

2

f 

Nếu học sinh giải được 5 bài toán trọn vẹn trong thời gian cho phép thì f 2

Một hoạt động giảng dạy được gọi là có hiệu quả nếu giá trị năng lực của học

1 Trình bày hệ thống các kiến thức cơ bản

2 Trình bày một số ví dụ minh họa

3 Phân tích các bước giải để gợi ý cho học sinh tự tìm ra các kỹ năng giải toán cần thiết

1.3 Kỹ năng giải toán làm tăng hiệu quả của mọi phương pháp giảng dạy:

Khi giảng dạy bằng bất kỳ một phương pháp giảng dạy nào đối với môn toán ở THPT chúng ta cũng phải thực hành giải các bài toán Giải các bài toán với độ phức tạp khác nhau giúp cho học sinh củng cố kiến thức đã học và rèn luyện tư duy toán học Các yếu tố này là tiêu chuẩn chính để đánh giá hiệu quả của hoạt động giảng dạy

Với các phương pháp giảng dạy đang được sử dụng hiện nay thì kỹ năng giải toán đóng vai trò thực sự quan trọng:

a) Phương pháp dạy học theo nhóm:

Tổ chức dạy học toán theo nhóm là tổ chức hoạt động dạy học toán trong các nhóm (lớp học được chia thành các nhóm nhỏ từ 4 đến 6 người) Tùy theo mục đích, yêu cầu của vấn đề học tập, các nhóm được phân chia ngẫu nhiên hoặc có chủ định trong cả tiết học hoặc thay đổi trong từng phần của tiết học

Dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ trong môn toán cho phép các thành viên trong nhóm chia sẻ các suy nghĩ, băn khoăn, kinh nghiệm của bản thân bằng cách nói