Rèn luyện tư duy thông qua giải toán Phương trình hàm cho học sinh khá, giỏi Toán trung học phổ thông

Công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Toán THPT về chuyên đề “Phương trình hàm”……… 11 Chương 2: PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN “PHƯƠNG TRÌNH HÀM” VÀ VIỆC RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

PHÙNG VĂN ĐOÀN

RÈN LUYỆN TƯ DUY THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI TOÁN

“PHƯƠNG TRÌNH HÀM” CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TOÁN

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài……… 1

2 Mục tiêu nghiên cứu……… 3

3 Đối tượng và khách thể nghiên cứu……… 3

4 Vấn đề nghiên cứu……… 3

5 Giả thuyết khoa học……… 3

6 Phương pháp nghiên cứu……… 3

7 Phạm vi nghiên cứu……… 4

8 Một số nét mới của đề tài……… 4

9 Cấu trúc luận văn……… 4

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN……… 5

1.1 Lịch sử vấn đề nghiên cứu……… 5

1.2 Tư duy và vai trò của dạy học chuyên đề “Phương trình hàm” cho học sinh khá, giỏi Toán THPT……… 5

1.2.1 Khái niệm tư duy……… 5

1.2.2 Một số đặc điểm cơ bản của tư duy……… 6

1.2.3 Tư duy Toán học……… 6

1.2.4 Dạy học giải toán “Phương trình hàm”……… 10

1.2.5 Công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Toán THPT về chuyên đề “Phương trình hàm”……… 11

Chương 2: PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN “PHƯƠNG TRÌNH HÀM” VÀ VIỆC RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG………… 13

2.1 Một số kiến thức cơ bản về hàm số……… 13

2.1.1 Hàm số……… 13

2.1.2 Đặc trưng của một số hàm số trong chương trình Toán THPT……… 16

2.1.3 Khái niệm về “Phương trình hàm”……… 17

2.2 Phương pháp giải một số dạng “Phương trình hàm”……… 18

2.2.1 Phương pháp đưa về hệ phương trình……… 18

2.2.2 Phương pháp đưa về phương trình “Sai phân cấp 2”……… 26

2.2.3 Phương pháp sử dụng giới hạn và tính liên tục của hàm số………… 31

2.2.4 Phương pháp Quy nạp Toán học……… 46

2.2.5 Phương pháp thế biến……… 57

2.2.6 Phương pháp sử dụng phương trình hàm Cauchy……… 78

2.2.7 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu , cộng tính và nhân tính của hàm số, tính đối xứng giữa các biến……… 94

2.3 Rèn luyện một số phẩm chất tư duy thông qua một số bài toán ……… 117

2.3.1 Rèn luyện tư duy “Khái quát hóa” và “Đặc biệt hóa” thông qua một số bài toán……… 117

2.3.2 Tiếp cận giải bài toán “Phương trình hàm” theo nhiều cách………… 134

2.3.3 Nhận dạng các hằng đẳng thức qua các “Phương trình hàm”……… 136

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM……… 139

3.1 Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm……… 139

3.1.1 Mục đích thực nghiệm……… 139

3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm……… 139

3.2 Tổ chức thực nghiệm……… 139

3.2.1 Đề kiểm tra lần 1……… 140

3.2.2 Đề kiểm tra lần 2……… 140

3.2.3 Bài tập làm ở nhà……… 140

3.3 Kết quả các lần kiểm tra và một số nhận xét sau thực nghiệm………… 141

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ……… 144

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 145

KoMal: Tạp chí Toán học – Vật lí của Hungary

¥ : Tập hợp các số tự nhiên

*

¥ : Tập hợp các số tự nhiên khác 0 Nxb: Nhà xuất bản

Putnam: Cuộc thi Toán cho sinh viên ở Mĩ và Canađa

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Luật giáo dục của Việt Nam nêu rõ “ Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập của học sinh” ( Điều 24, chương I của luật giáo dục năm 2005 )

Trong thời đại khoa học công nghệ phát triển mạnh mẽ, hội nhập đã trở thành xu thế tất yếu thì yêu cầu của xã hội đối với con người càng ngày càng cao

Do đó việc phát triển giáo dục không chỉ nhằm “nâng cao dân trí” mà còn phải “đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Kiến thức thì lại mênh mông, sau khi học xong

có thể nhiều kiến thức mà con người được học sẽ bị quên đi, nhưng cái còn lại lâu dài ở trong mỗi người sau khi học đó là tư duy được thể hiện trong xã hội, cuộc sống hàng ngày như giao tiếp ứng xử, giải quyết vấn đề …

Việc dạy học ngày nay về cơ bản là để đạt được mục tiêu hình thành và phát triển năng lực tư duy, trí tuệ của học sinh Để phát triển được tư duy học sinh, chúng ta phải đầu tư thời gian cho các chương trình rèn luyện kỹ năng phát triển tư duy, phải có ý thức thường xuyên khuyến khích và giúp đỡ học sinh thông qua việc dạy học nhằm nâng cao trình độ và năng lực tư duy phù hợp với khả năng và tâm sinh lí của học sinh

Qua quá trình đổi mới phương pháp dạy học của toàn ngành giáo dục nước ta hiện nay, mặc dù vai trò của người học được nâng cao, giáo dục đòi hỏi người học phải là cá nhân tích cực, chủ động, sáng tạo trong quá trình dạy và học nhưng vai trò và nhiệm vụ của người thầy không hề bị mờ nhạt mà còn được coi trọng hơn và đòi hỏi cao và khắt khe nhiều hơn trước đây Muốn phát triển năng lực tư duy của học sinh, giáo viên không chỉ dạy theo chuẩn kiến thức mà còn phải mở rộng, nâng cao cho học sinh tiếp cận với các vấn đề khoa học theo nhiều khía cạnh khác nhau, đặt ra nhiều tình huống có vấn đề đòi hỏi học sinh phải tư duy để giải quyết Khi học sinh đã học được cách giải quyết các vấn đề khoa học thì giáo viên lại yêu cầu

như vậy không chỉ đơn thuần để nâng cao hiệu quả dạy học, vượt qua các kì thi mà còn để phát triển năng lực tư duy, từ đó học sinh có thể xử lý tốt những vấn đề phức tạp, luôn luôn thay đổi mà cuộc sống hiện đại đặt ra sau này

Trong chương trình Toán học THPT hiện nay, hàm số là một khái niệm rất

cơ bản và quan trọng, có nhiều ứng dụng trong thực tế, dùng để mô tả các mối liên

hệ giữa các đối tượng, thuộc tính thay đổi với nhau Trong nội dung hàm số ở chương trình Toán THPT có nhiều vấn đề thường gặp khi dạy học và bồi dưỡng học sinh như xây dựng hay thiết lập các hàm số sơ cấp theo một quy tắc nào đó, bài toán này còn được gọi là “Các bài toán về Phương trình hàm” , nghiên cứu khảo sát tính chất của một số hàm số thường gặp, dựng đồ thị của chúng, xem xét việc ứng dụng của hàm số để giải quyết một số dạng toán như giải phương trình, bất phương trình… Trong những vấn đề đó của hàm số thì “ Phương trình hàm” là vấn đề hấp dẫn tuy nhiên lại rất khó cho cả người dạy lẫn người học, chính vì vậy chúng thường có mặt trong các kì thi học sinh giỏi Toán cấp Tỉnh, Thành phố, Quốc gia, Khu vực và Quốc tế

Hệ thống các bài tập về “ Phương trình hàm” rất đa dạng và phong phú, cách giải chúng cũng không đơn giản có thể bằng một phương pháp hay phải kết hợp nhiều phương pháp mới giải được, vì vậy khi bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi về vấn đề này sẽ rèn luyện, phát triển tư duy linh hoạt, sáng tạo cho người học và nâng cao được chất lượng giáo dục

Hiện nay, việc dạy học giải bài tập “ Phương trình hàm” để rèn luyện tư duy, phát triển trí tuệ cho học sinh còn ít, mới chỉ chú trọng trong công tác ôn luyện, bồi dưỡng đội tuyển thi học sinh giỏi của các trường THPT chuyên trên cả nước Vì vậy đối với các học sinh khá, giỏi Toán ở các trường THPT, các học sinh ở các trường THPT chuyên không nằm trong đội tuyển thì hầu như không có cơ hội được học chuyên đề “Phương trình hàm” để rèn luyện tư duy, phát triển trí tuệ

Với mong muốn xây dựng được một số dạng bài tập và phương pháp giải “ Phương trình hàm” để rèn luyện tư duy cho học sinh THPT qua việc dạy học theo

chuyên đề bồi dưỡng học sinh khá, giỏi toán THPT, chúng tôi chọn đề tài “Rèn

luyện tư duy thông qua dạy học giải toán “ Phương trình hàm” cho học sinh khá, giỏi Toán Trung học Phổ thông” làm đề tài để nghiên cứu

2 Mục tiêu nghiên cứu

Hệ thống các bài tập phương trình hàm trong các tài liệu chuyên khảo môn Toán, trong các diễn đàn toán học, các đề thi học sinh giỏi Toán ở các địa phương, Quốc gia và Quốc tế, để từ đó xem xét phân loại và nghiên cứu phương pháp giải chúng Qua đó có thể đưa ra được một số dạng bài tập phương trình hàm có thể khai thác để rèn luyện các thao tác và các kĩ năng tư duy cho học sinh

Với mục tiêu trên hy vọng đề tài sẽ đóng góp một phần nhỏ vào việc nâng cao chất lượng dạy học Toán THPT nói chung và công tác bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng

3 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Việc khai thác sử dụng bài tập “Phương trình hàm” để rèn luyện tư duy cho học sinh THPT

5 Giả thuyết khoa học

Qua việc dạy học giải một số dạng toán “Phương trình hàm” có thể rèn luyện được cho học sinh một số phẩm chất, năng lực tư duy Toán học, qua đó góp phần nâng cao được chất lượng dạy và học Toán mang tính chiều sâu ở các trường THPT hiện nay

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Nghiên cứu lí luận

Nghiên cứu cơ sở lí luận về tư duy trong các tài liệu tâm lý học, giáo dục học, lý luận dạy học môn Toán

Nghiên cứu các tài liệu về giải tích, các tài liệu viết về hàm số và phương trình hàm

Nghiên cứu các đề thi học sinh giỏi Toán ở các địa phương, cấp Quốc gia, vô địch Toán các nước trên thế giới, vô địch Toán các khu vực và vùng lãnh thổ, vô địch Toán quốc tế

Nghiên cứu vấn đề “Phương trình hàm” trên các diễn đàn toán học hiện nay

6.2 Nghiên cứu thực tiễn

Tìm hiểu một số dạng bài tập “Phương trình hàm” qua một số giáo viên có kinh nghiệm trong việc bồi dưỡng học sinh chuyên Toán ở một số trường THPT chuyên

Đánh giá sự rèn luyện, phát triển tư duy của học sinh thông qua thực nghiệm

sư phạm tại trường THPT Ngô Quyền – Ba Vì thuộc thành phố Hà Nội

7 Phạm vi nghiên cứu

Bài tập “Phương trình hàm” và một số phương pháp giải “Phương trình hàm” thường dùng

8 Một số nét mới của đề tài

Tuyển chọn được phương pháp giải một số dạng “Phương trình hàm” để có thể dùng để dạy học bồi dưỡng học sinh khá, giỏi toán THPT

Khai thác được một số bài tập “Phương trình hàm” để rèn luyện một số phẩm chất tư duy cho học sinh khá, giỏi Toán THPT

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn được trình bày trong 3 chương

Chương 1 : Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 : Phương pháp giải một số dạng “Phương trình hàm” và việc

rèn luyện tư duy cho học sinh khá, giỏi Toán Trung học Phổ thông

Chương 3 : Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Lịch sử vấn đề nghiên cứu

Từ trước đến nay cũng đã có một số tác giả nghiên cứu về vấn đề phát triển

tư duy thông qua dạy học ở một số chủ đề thuộc môn toán THPT, và cũng có tác giả nghiên cứu “Phương trình hàm” qua luận văn thạc sĩ đã bảo vệ tại hội đồng chấm luận văn trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội như :

Nguyễn Hoàng Cương với đề tài “Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho

học sinh chuyên toán thông qua giảng dạy chuyên đề “phép biến hình trong mặt phẳng”

Tô Thị Linh với đề tài “Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi

trong dạy học phương trình, bất phương trình chứa căn thức ở trường THPT”

Phạm Thị Thảo với đề tài “Phát hiện và bồi dưỡng học sinh năng khiếu qua

việc giảng dạy phương trình hàm”

Và còn nhiều tác giả khác cũng nghiên cứu về vấn đề tư duy qua dạy học Nhưng vấn đề rèn luyện tư duy qua việc dạy học chuyên đề “Phương trình hàm” thì hầu như chưa có tác giả nào đề cập và nghiên cứu đến Chuyên đề “Phương trình hàm” rất hay, lại có nhiều dạng toán đòi hỏi người học phải có kiến thức chuyên sâu, phải tư duy nhiều mới giải quyết được Vì vậy qua việc dạy học chuyên đề

“Phương trình hàm” sẽ giúp ích một phần nhỏ vào việc rèn luyện tư duy cho học sinh để nâng cao chất lượng giáo dục, nên tác giả đã chọn đề tài này để nghiên cứu

1.2 Tư duy và vai trò của dạy học chuyên đề “Phương trình hàm” trong việc rèn luyện tư duy cho học sinh khá, giỏi Toán THPT

1.2.1 Khái niệm tư duy

Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan ( Dựa theo [4] )

Tư duy là một quá trình tâm lý liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ - quá trình tìm tòi sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách từng phần hay khái quát

thực tế trong khi phân tích và tổng hợp nó Tư duy sinh ra trên cơ sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nó

( Dựa theo [17] )

1.2.2 Một số đặc điểm cơ bản của tư duy

Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề, tư duy có tính khái quát, tư

duy có tính gián tiếp;

Tư duy của con người có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: tư duy và ngôn ngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau, nhưng cũng không đồng nhất với nhau Sự thống nhất giữ tư duy và ngôn ngữ thể hiện rõ ở khâu biểu đạt kết

quả của quá trình tư duy;

Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, tư duy thường bắt đầu từ nhận thức cảm tính, dù tư duy có khái quát và trừu tượng đến đâu thì nội dung của tư duy vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, tri giác, biểu tượng trực quan,…) X L Rubinstein khẳng định rằng: “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong trừu tượng, tựa hồ như làm thành chỗ dựa cho tư duy”

( Dựa theo [3] )

1.2.3 Tư duy Toán học

Chưa có một định nghĩa thống nhất giữa các nhà khoa học thế nào là tư duy Toán học Cách sử dụng thuật ngữ để đặt tên cho các loại hình tư duy là chưa thống nhất, và cũng khó mà thống nhất Một loại hình tư duy nào đó theo cách hiểu của tác giả này có thể không đồng nhất với loại hình tư duy ấy theo cách hiểu của tác giả kia, và cũng không phân biệt hoàn toàn với loại hình tư duy có tên gọi khác

Tuy nhiên, cho dù có những quan niệm khác nhau về thuật ngữ, cũng như việc phân chia các thành tố của tư duy Toán học hay năng lực tư duy toán, thì các nhà khoa học đều thống nhất trong vai trò quan trọng của việc giáo dục tư duy Toán học cho học sinh, tác động nâng cao chất lượng dạy học môn Toán Có thể nêu ra một số loại hình và thao tác tư duy Toán học dưới đây:

1.2.3.1 Các loại hình tư duy Toán học

Tư duy hàm là suy nghĩ để nhận thức, giải quyết vấn đề trong tương quan khi

một đối tượng này thay đổi kéo theo đối tượng khác thay đổi

Tư duy lôgic là suy nghĩ để nhận thức, giải quyết vấn đề theo các quy tắc suy

Tư duy sáng tạo là suy nghĩ nhận thức theo một phương diện mới, giải quyết

vấn đề theo cách mới, vận dụng trong hoàn cảnh mới

Tư duy biện chứng là xem xét sự vật và hiện tượng trong mối quan hệ biện

chứng, có tính quy luật, trong quan điểm toàn diện, vận động và phát triển theo nhiều quan điểm khác nhau

( Dựa theo [14] )

1.2.3.2 Các thao tác tư duy Toán học

Phán đoán : Dựa vào điều đã biết, đã thấy để suy xét rút ra nhận định về điều

chưa biết, chưa xảy ra

Phân tích và tổng hợp : Theo từ điển tiếng Việt thì Phân tích là phân chia thật

sự hay bằng tưởng tượng một đối tượng nhận thức ra thành các yếu tố; trái với tổng hợp Tổng hợp là tổ hợp bằng tưởng tượng hay thật sự các yếu tố riêng rẽ nào đó làm thành một chỉnh thể; trái với phân tích Còn theo Triết học thì Phân tích là phương pháp phân chia cái toàn thể thành ra từng bộ phận, từng mặt, từng yếu tố để nghiên cứu và hiểu được các bộ phận, mặt, yếu tố đó Tổng hợp là phương pháp dựa vào sự phân tích và liên kết, thống nhất các bộ phận, mặt, yếu tố lại để nhận thức được cái toàn thể

Trong hoạt động giải toán, trước hết phải quan sát một cách tổng hợp để nhận dạng bài toán thuộc loại gì cần huy động những kiến thức nào, sau đó phân tích cái đã cho và cái phải tìm, hoặc phân tích ra nhiều bài toán nhỏ, phân tích các mối liên hệ giữa các yếu tố để tìm lời giải Thông thường khi tìm tòi lời giải, ta dùng phương pháp

phân tích nhiều hơn, nhưng khi trình bày lời giải, ta dùng phương pháp tổng hợp cho gọn Các kiến thức trong sách giáo khoa thường được trình bày theo phương pháp tổng hợp cho cô đọng, súc tích Khi dạy học toán, giáo viên nên có những câu hỏi dẫn dắt phân tích để rèn luyện kỹ năng phân tích cho học sinh Rèn luyện năng lực phân tích

và tổng hợp cho học sinh có vai trò quan trọng Khi có năng lực này, học sinh sẽ nhìn nhận bài toán một cách có hệ thống, biết phán đoán, biết suy luận để tìm lời giải cho bài toán cụ thể hay một hệ thống các bài toàn nào đó

So sánh : Thao tác này nhằm phát hiện những đặc điểm chung và sự khác

nhau của một số đối tượng So sánh thường dẫn đến tương tự, khái quát hóa

Tương tự : Là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ

của những đối tượng khác nhau ( Hai phép chứng minh là tương tự nhau nếu đường lối và phương pháp chứng minh giống nhau )

Khái quát hóa và đặc biệt hóa : Khái quát hóa là suy luận chuyển từ khảo sát

một tập hợp đối tượng (khái niệm, tính chất,…) này sang tập hợp khác rộng hơn chúa tập hợp ban đầu làm tập con bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát, hay mở rộng khái niệm, tính chất ngay trên tập hợp

đã xét Khái quát hóa trong Toán học thường được thể hiện ở các mặt:

Khái quát các quan hệ Toán học (thứ tự, bằng nhau, tương đương, hàm số,

vị trí, cùng cấu trúc, …);

Khái quát đặc điểm của các vấn đề toán học: Khái quát một cách khoa học đặc điểm của vấn đề làm cho ta nhận thức nhiều vấn đề bề ngoài có vẻ khác nhau, nhưng bản chất là giống nhau, tức là thống nhất được các vấn đề, ta đã nhận thức được tính đồng nhất của các vấn đề Phương pháp này giúp người học giảm nhẹ gánh nặng về trí nhớ, nâng cao hiệu quả tư duy, hiểu rõ được vấn đề chính xác, dễ dàng hơn, giúp học sinh phát triển được năng lực phát hiện vấn đề và giải quyết vấn

đề

Khái quát hướng suy nghĩ và phương pháp giải quyết vấn đề: Sự khái quát đặc điểm nói trên là vô cùng quan trọng, nhưng sự khái quát hướng suy nghĩ và phương pháp giải quyết vấn đề còn quan trọng hơn Bởi, đây là tri thức phương pháp mà giáo viên

vấn đề này mà ta có thể dùng để chỉ đạo giải quyết một loạt các vấn đề cùng loại hay

mở rộng hơn Vì thế sau khi dạy giải một bài toán cần chú ý khái quát hướng suy nghĩ

và cách giải cho học sinh

Dùng hình thức khái quát để giải quyết vấn đề, mà cụ thể hơn là giải các bài toán, là quá trình vận dụng những kết quả đã khái quát, những kiến thức chung vào để giải quyết các bài toán Bởi vì khái quát hóa và đặc biệt hóa là hai mặt đối lập của một quá trình tư duy thống nhất Quá trình giải bài toán tất nhiên theo lược đồ 4 bước của Polya Nhưng việc giải bài tập toán có thể theo quy trình: trước hết phân tích các thành phần của bài toán, khái quát nhanh những đặc điểm, liên tưởng nhanh bài toán giống với bài nào, nhận dạng bài toán Từ đó mở ra hướng suy nghĩ, tìm cách giải quyết

Đặc biệt hóa là ngược lại của khái quát hóa Trong quá trình dạy học Toán ở phổ thông học sinh cũng đã được tập luyện nhiều hoạt động đặc biệt hóa trong một mối quan hệ với hai hoạt động khác là: hoạt động phát hiện mối quan hệ chung riêng, hoạt động khái quát hóa Quan điểm: “Khai thác mối quan hệ giữa ba hoạt động trên, trong việc tập luyện cho học sinh khái quát hóa, không chỉ yêu cầu họ đi

từ riêng đến chung (khái quát hóa) mà còn đòi hỏi họ đi từ chung đến riêng (đặc biệt hóa) và làm rõ mối quan hệ chung riêng giữa cái đạt được và cái xuất phát.” là đúng đắn

Đặc biệt hóa là áp dụng một kết quả trong trường hợp tổng quát vào một trường hợp đặc biệt Tất nhiên là nếu kết quả đúng cho trường hợp tổng quát thì nó cũng phải đúng cho trường hợp đặc biệt Suy diễn đó không có gì khó khăn và chúng ta vẫn thường làm khi áp dụng định lý tổng quát vào các bài toán cụ thể mà ta đang giải

Tuy nhiên, vai trò của đặc biệt hóa càng trở nên quan trọng trong trường hợp ta đang có dự đoán nào đó về một đối tượng đang xét và ta đang muốn chứng minh rằng dự đoán đó đúng, nhưng ta chưa tìm cách chứng minh Trong trường hợp này ta nên sử dụng “đặc biệt hóa”

Ta hãy áp dụng dự đoán vào một trường hợp đặc biệt, và nếu đối với trường hợp này dự đoán là đúng thì dự đoán của ta đáng tin hơn Không những thế nếu ta có thể

chứng minh dự đoán trong trường hợp đó thì có thể hy vọng các chứng minh đó có thể

mở rộng cho trường hợp tổng quát Còn trái lại đối với trường hợp đặc biệt đang xét không đúng thì mọi chuyện sẽ kết thúc

Trừu tượng hóa : Là gạt bỏ những dấu hiệu không bản chất để tìm ra dấu

hiệu bản chất(Việc phân biệt bản chất hay không bản chất chỉ mang tính tương đối) ( Dựa theo [7] )

1.2.4 Dạy học giải toán “ Phương trình hàm”

1.2.4.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học

Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn;

Phát triển năng lực trí tuệ : Rèn luyện những thao tác tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ;

Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của con người lao động mới

( Dựa theo [7] )

1.2.4.2 Phương pháp chung để giải Toán

Trên thực tế không có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán Tuy nhiên chúng ta có thể trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý cách suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết trong quá trình dạy học

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với bản gợi ý chi tiết của Polya(1975) về cách thức giải bài toán có thể nêu ra phương pháp chung để giải toán như sau:

Bước 1( Tìm hiểu nội dung đề bài): Phát biểu đề bài dưới những dạng thức

khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán, phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh, có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

Bước 2(Tìm cách giải): Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có

tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần

giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn, hay một bài toán nào có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng

dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học,…

Kiểm tra lời giải bằng cách xem xét lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan,…

Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí nhất

Bước 3(Trình bày lời giải): Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc

phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

Bước 4(Nghiên cứu sâu lời giải): Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả

của lời giải

Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

1.2.4.3 Tiềm năng của chuyên đề “Phương trình hàm” trong việc rèn luyện tư duy cho học sinh THPT

Chuyên đề “Phương trình hàm” có nhiều bài tập hay và đẹp cả về mặt thẩm

mĩ và Toán học, tuy rất khó đối với học sinh THPT nhưng đối với học sinh khá và giỏi Toán thì nếu được bồi dưỡng chuyên đề này thì tư duy của học sinh sẽ được rèn luyện và phát triển rất tốt vì các bài toán về phương trình hàm thể hiện được nhiều nét để học sinh có thể rèn luyện tương đối đầy đủ các thao tác tư duy Toán học, nó còn đòi hỏi học sinh phải tư duy rất cao Vì vậy việc bồi dưỡng chuyên đề này cho học sinh khá, giỏi Toán là việc cần thiết và quan trọng trong quá trình giáo dục ở các trường THPT hiện nay

1.2.5 Công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Toán THPT về chuyên đề “Phương trình hàm”

1.2.5.1 Khái niệm học sinh khá, giỏi Toán THPT

Học sinh khá, giỏi Toán THPT là những học sinh có khả năng về Toán và đạt thành tích cao trong học tập môn Toán Những học sinh có khả năng về Toán là những học sinh tiếp thu nhanh bài học, thành thạo biến đổi các biểu thức Toán học,

biết suy luận và lập luận trong chứng minh định lí hay bài toán, biết liên hệ các chủ

đề toán trong chương trình Toán THPT

1.2.5.2 Vai trò của công tác bồi dưỡng học sinh giỏi

Đảng ta quan niệm: “Hiền tài là nguyên khí của quốc gia” và rất coi trọng việc bồi dưỡng nhân tài cho đất nước Bộ giáo dục và đào tạo có những chủ trương mới về công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Đó là tiếp tục chú trọng xây dựng hệ thống các trường chuyên một cách hoàn thiện hơn, khuyến khích và tôn vinh các học sinh đạt thành tích cao Chương trình giáo dục phổ thông được phân thành các ban giúp học sinh phát huy được năng khiếu của mình, nhà trường có thể vận dụng việc dạy phân hóa vào bồi dưỡng học sinh giỏi Tổ chức các lớp bồi dưỡng học sinh khá, giỏi học theo chương trình nâng cao và yêu cầu khắt khe hơn so với học sinh bình thường

1.2.5.3 Thực trạng dạy học chuyên đề “Phương trình hàm”ở các trường THPT hiện nay

Hiện nay, chuyên đề “Phương trình hàm” chưa được đề cập nhiều trong các trường THPT Các học sinh chuyên Toán đã được tiếp cận và được học “Phương trình hàm” từ nhiều năm nay, còn các học sinh ở các trường phổ thông thì rất ít có

cơ hội tiếp cân và là lĩnh vực rất xa đối với họ, khi gặp phải thì rất bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn để gải quyết đa số học sinh đều cảm thấy “Phương trình hàm” là lĩnh vực rất khó bởi một trong các lí do là: ít được rèn luyện, tài liệu tham khảo viết

về “Phương trình hàm” rất ít, các giáo viên không dạy chuyên không đầu tư nghiên cứu sâu về mảng này nên ngại dạy cho học sinh

Vì vậy chuyên đề “Phương trình hàm” là cũ trong Toán học sơ cấp nhưng lại

là vấn đề mới đối với hầu hết học sinh THPT hiện nay

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG “PHƯƠNG TRÌNH HÀM”

VÀ VIỆC RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TOÁN

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2.1 Một số kiến thức cơ bản về hàm số

2.1.1 Các định nghĩa và tính chất

2.1.1.1 Hàm số

Cho D và Y là hai tập hợp con của tập ¡ Một hàm số f :D ® Y là một

quy tắc sao cho mỗi phần tử x Î D ứng với duy nhất phần tử y Î Y

D được gọi là tập xác định của hàm số f , y được gọi là giá trị của hàm số tại đối số x Î D và được kí hiệu là f x ( )

Tập hợp { ( )f x x Î D} được gọi là tập giá trị của hàm số f

Điểm x0 Î D được gọi là điểm bất động của hàm số f nếu f x( 0)= x0 Các hàm số sơ cấp thường gặp trong chương trình Toán THPT là các hàm lũy thừa, hàm mũ, hàm lôgarit, hàm lượng giác và các hàm số được tạo bởi hữu hạn các phép toán số học (Cộng, trừ, nhân, chia), hoặc phép lấy hàm hợp của các hàm

số sơ cấp trên

2.1.1.2 Hàm số đơn ánh, toàn ánh, song ánh

Hàm số f :D ® Y được gọi là đơn ánh nếu

Cho hai hàm số :f D ® Y và g Y ® ¡ Hàm hợp của hai hàm số ,: f g là

ïîHàm số ( )f x đƣợc gọi là hàm lặp tuần hoàn trên tập D nếu tồn tại số

Hàm số ( )f x xác định trên khoảng ( ; ) a b đƣợc gọi là liên tục trên khoảng

( ; )a b nếu nó liên tục tại mọi điểm x Î ( ; )a b

Hàm số ( )f x xác định trên đoạn [ ; ] a b đƣợc gọi là liên tục trên đoạn [ ; ] a b

nếu nó liên tục trên khoảng ( ; )a b và lim ( ) ( )

( ) ( )lim

Hàm số ( )f x được gọi là khả vi trên khoảng ( ; ) a b nếu nó khả vi tại mọi

Hàm số ( )f x xác định trên D được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao

cho ( )f x £ M với mọi x Î D

Hàm số ( )f x xác định trên D được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao

cho ( )³ m với mọi x Î D

Hàm số ( )f x xác định trên D được gọi là bị chặn nếu nó đồng thời bị chặn

1, 2 ( ; )

" Î mà x1 £ x2 Þ f x( )1 ³ f x( )2 Hàm số tăng hoặc giảm trên khoảng ( ; )a b được gọi là đơn điệu trên ( ; ) a b

Hàm số ( )f x đƣợc gọi là tăng thực sự (đồng biến) trên khoảng ( ; ) a b nếu

1, 2 ( ; )

" Î mà x1 < x2 Þ f x( )1 < f x( )2 Hàm số f x đƣợc gọi là giảm thực sự (nghịch biến) trên khoảng ( ; )( ) a b nếu

1, 2 ( ; )

" Î mà x1 < x2 Þ f x( )1 > f x( )2 Hàm số tăng hay giảm thực sự trên ( ; )a b đƣợc gọi là hàm số đơn điệu thực

sự trên( ; )a b

Một số tính chất của các hàm số đơn điệu

Mọi hàm đơn điệu thực sự trên khoảng ( ; )a b đều là đơn ánh trên khoảng ( ; ) a b

Nếu ( )f x và ( ) g x là hai hàm tăng (giảm) thì ( ) f x + g x( ) cũng là hàm tăng (giảm) Nếu ( )f x và ( ) g x là hai hàm tăng và không âm thì ( ) ( ) f x g x cũng là hàm tăng

Nếu ( )f x là hàm đơn điệu trên ( ; ) a b thì ( ( )) f f x là hàm tăng

Nếu ( )f x là đơn ánh và liên tục trên khoảng ( ; ) a b thì nó đơn điệu thực sự trên

" Î Þ - Î và (f - x)= - f x( )Hàm số :f D ® ¡ đƣợc gọi là hàm tuần hoàn (cộng tính) chu kì T > 0 khi

f x = f x - f x , " Î ¡ x 2.1.2.8 Hàm côsin ( ) f x = cosx có đặc trưng hàm là:

2(2 ) 2 ( ) 1

2.1.3 Khái niệm về “Phương trình hàm”

Cho ,D Y là hai tập con của tập các số thực ¡ Bài toán xác định tất cả các

hàm số :f D ® Y thỏa mãn một số điều kiện về (đẳng thức, tính chất của hàm số,

tính chất của tập hợp, …) nào đó là bài toán quan trọng và thường gặp trong Giải tích và được đặt tên cho lớp phương trình đặc biệt được gọi là “Phương trình hàm”

Phương trình hàm là phương trình đặc biệt mà ẩn là một (hoặc vài) hàm số Giải phương trình hàm là việc tìm tất cả các hàm số thỏa mãn phương trình hàm đã cho và một số điều kiện cho trước

2.2 Phương pháp giải một số dạng “Phương trình hàm”

2.2.1 Phương pháp đưa về hệ phương trình

Phương pháp đưa về hệ phương trình là một phương pháp thường được sử dụng cho việc giải các phương trình hàm có dạng

( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( )

a x f u x +b x f v x = c x , trong đó ( ), ( ), ( ), ( ), ( )a x b x c x u x v x là các hàm số cho trước, còn f là hàm số cần tìm thỏa mãn phương trình hàm trên

Thông thường khi giải phương trình hàm dạng trên thì chúng ta thường dùng các phép thế thích hợp để tạo ra các phương trình hàm khác có dạng tương tự Kết hợp phương trình hàm đã cho với các phương trình hàm vừa tạo ra sẽ được một hệ gồm nhiều phương trình hàm và từ hệ này ta có thể tìm ra được hàm số theo yêu cầu Phương pháp làm như vậy được gọi là phương pháp đưa về hệ phương trình

Bài toán 1 (Việt Nam 2000) Tìm tất cả các hàm số f :¡ ® ¡ thỏa mãn

2 2

a a

a a

Nếu a Ï -( 1; 0] thì không tồn tại hàm số f x thỏa mãn bài toán đã cho ( )

Nếu a Î -( 1; 0] thì

2 2

( )

11

f x

x

a a

( )

11

f x

x

a a

x

+ = + , " Î ¡x \ {0;1} (5)

-Lời giải Thay x bởi x 1

x

vào (5) ta đƣợc

+ vào (10) ta đƣợc

Vậy hàm số cần tìm là

21( )

Trong bài toán 3 ta thấy hàm số g x( ) x 1

x

-= là hàm lặp tuần hoàn chu kì 3

và ta cần thực hiện hai phép thế, rồi kết hợp với phương trình đã cho sẽ được hệ phương trình hàm có thể tìm ra được hàm số thỏa mãn bài toán

Trong bài toán 4 ta thấy hàm số ( ) 1

- là hàm lặp tuần hoàn chu kì 4

và ta cần thực hiện ba phép thế, rồi kết hợp với phương trình đã cho sẽ được hệ phương trình hàm có thể tìm ra được hàm số thỏa mãn bài toán

Từ đó chúng ta có thể đưa ra dạng phương trình hàm có thể đưa được về hệ phương trình hàm để giải như sau

Dạng 1: Tìm tất cả các hàm số : f D ® ¡ thỏa mãn

( ) ( ) ( ) ( ( )) ( )

a x f x +b x f g x = c x , " Îx D Trong đó ( ), ( ), ( ), ( ) a x b x c x g x là các hàm số cho trước và ( ) g x là một hàm lặp tuần hoàn chu kì k

Chúng ta có thể nêu ra phương pháp chung để giải dạng toán này như sau Bước 1: Xác định chu kì k của hàm lặp tuần hoàn ( ) g x

Bước 2: Thực hiên liên tiếp các phép thế x bởi g x1( ) = g x( ),

2( )

g x , …,

1( )

k

g- x vào phương trình đã cho ta được các phương trình hàm mới

Bước 3: Kết hợp các phương trình mới thiết lập với phương trình đã cho ta

sẽ được hệ phương trình hàm k ẩn Giải hệ phương trình này ta sẽ tìm ra được hàm

số ( ) f x thỏa mãn bài toán

Nếu ta thay x bởi một hàm số ( ) u x nào đó vào phương trình dạng 1 thì ta

có dạng phương trình hàm sau tổng quát và phức tạp hơn dạng 1

Dạng 2: Tìm tất cả các hàm số : f D ® ¡ thỏa mãn

( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )

a x f u x + b x f v x = c x , x" Î D Trong đó ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) a x b x c x u x v x là các hàm số cho trước

Chúng ta có thể nêu ra phương pháp chung để giải dạng toán này như sau:

Để giải được phương trình này ta phải đưa phương trình về dạng 1

Trong phương trình này chưa có hàm nào là lặp tuần hoàn Để làm xuất hiện hàm lặp tuần hoàn ta thực hiện như sau: Ta chọn hàm số ( ) t x sao cho

Thay x bởi 3

1

x x

+ vào (12) ta đƣợc

2 1( ( )) ( ) 64

4) Tìm tất cả các hàm số :f ¡ ® ¡ thỏa mãn

2009 (f x- 1)+ 2010 (1f - x)= 2011x , x" Î ¡ 5) Tìm tất cả các hàm số f :¡ \ {0;1}® ¡ thỏa mãn

x

" Î ¡ 10) Tìm tất cả các hàm số :f ¡ \ {0}® ¡ thỏa mãn

x

" Î ¡ 11) Tìm tất cả các hàm số :f ¡ \ {0}® ¡ thỏa mãn

( ) ( )b

x

+ = , " Îx ¡ \ {0}; , ,a b c Î ¡ *12) Tìm tất cả các hàm số :f ¡ ® ¡ thỏa mãn

2( ) ( a )

" Î ¡ ¹ Î ¡ 13) Tìm tất cả các hàm số :f ¡ \ {0}® ¡ thỏa mãn

( ) ( )

x - + x = , " Î ¡x \ {0} 16) Tìm tất cả các hàm số :f ¡ \ {0;1}® ¡ thỏa mãn

x

" Î ¡

2.2.2 Phương pháp đưa về phương trình “Sai phân cấp 2”

Phương trình “Sai phân cấp 2” là phương trình có dạng

au + + bu + + cu = , trong đó , ,a b c là các hằng số cho trước ( a ¹ 0) và u là n

số hạng tổng quát của một dãy số chưa được xác định với n Î ¥

Phương pháp đưa về phương trình “Sai phân cấp 2” được thể hiện như sau Giả sử ta cần tìm tất cả các hàm số :f D ® ¡ thỏa mãn

af f x +bf x + cx = , x" Î D Với , ,a b c là các hằng số thuộc ¡ cho trước *

Thay x bởi ( ) f x vào phương tình trên ta được n

Theo lý thuyết về phương trình Sai phân nếu l l là các nghiệm thực ta có 1; 2

1 2

l ¹ l thì u n = A l1n + B l2n, " Î ¥ n

1 2

l = l = l thì u n = (A n + B l) n, " Î ¥ n

Nếu l1;l là các nghiệm phức thì 2 u n = r A n( cosn j + B sinn j ), " Î ¥ , trong n

đó ,r j lần lượt là mô đun và Argument của các số phức l1;l 2

Khi đó ta có hệ phương trình 0

1( )

íï =ïì

Lời giải Xét phương trình ( ( )) f f x + f x( )= 2x, " Î ¡ x (19)

Thay x bởi ( ) f x vào (19) ta được n

Bài toán 9 (Singapore 2002) Tìm tất cả các hàm số f :¡ + ® ¡ + thỏa mãn

( ( )) ( ) 12

Lời giải Thay x bởi ( ) f x vào (20) ta đƣợc n

Khi đó u n = A.( 4)- n + B.3n, " Î ¥ n

Theo cách xây dựng trên ta có u ³ n 0, " Î ¥ n

Dựa vào biểu thức u n = A.( 4)- n + B.3n ta có

Nếu A > 0 thì ta thấy tồn tại số n lẻ đủ lớn sao cho u < n 0 (vô lí)

Nếu A < 0 thì ta thấy tồn tại số n chẵn đủ lớn sao cho u < n 0 (vô lí)

Vậy A = 0 Suy ra u n = B.3n.Suy ra 0

ïî

Từ đây ta đƣợc ( )f x = 3x , x" Î ¡ +

Thử lại thấy hàm số trên thỏa mãn bài toán

Vậy có duy nhất hàm số thỏa mãn bài toán là ( )f x = 3x, " Î ¡ x +

Nhận xét 2: Bài toán Singapore 2002 có thể khái quát hóa được qua bài toán toán

Xét dãy số {u n}n+ ¥=0 được xác định bởi công thức 0 1 *

Theo cách xây dựng trên ta có u ³ n 0, " Î ¥ n

Dựa vào biểu thức u n = A.( 1) (- n a + b)n + B b n ta có

Nếu A > 0 thì ta thấy tồn tại số n lẻ đủ lớn sao cho u < n 0 (vô lí)

Nếu A < 0 thì ta thấy tồn tại số n chẵn đủ lớn sao cho u < n 0 (vô lí)

Vậy A = 0 Suy ra u n = B b n Suy ra 0

Từ đây ta được ( )f x = bx , x" Î ¡ +

Thử lại thấy hàm số trên thỏa mãn bài toán

Vậy có duy nhất hàm số thỏa mãn bài toán là ( )f x = bx , x" Î ¡ +

Ta thấy rằng bài toán Singapore 2002 là trường hợp cụ thể của bài toán này khi

( ( )) ( ) 2 3

f f n + f n = n + k, " În ¥,k Î ¥ 22)(Putnam 1988) Tìm tất cả các hàm số f :¡ + ® ¡ thỏa mãn +

( ( )) 6 ( )

f f x = x - f x , x" Î ¡ +23)(Bến Tre TST 2011) Tìm tất cả các hàm số :f ¡ ® ¡ thỏa mãn

( ( )) 7 ( ) 18

f f x + f x = x , x" Î ¡ +24)(Đức TST 1998) Tìm tất cả các hàm số :f ¥ ® ¥ thỏa mãn

( ( )) ( ) 2 6

f f n + f n = n + , n" Î ¥ 25) Tìm tất cả các hàm số :f ¥ ® ¡ thỏa mãn (0)f = 1; (1)f = 2 và

2.2.3 Phương pháp sử dụng giới hạn và tính liên tục của hàm số

Bài toán cơ sở 1 Tìm tất cả các hàm số liên tục : f ¡ ® ¡ thỏa mãn

Vậy ( )f x = c, " Îx ¡ ,cÎ ¡ (thỏa mãn bài toán)

Nhận xét 3:1)Bài toán sau cũng được giải tương tự

Tìm tất cả các hàm số liên tục : f ¡ ® ¡ thỏa mãn

( ) 3 (2 )

f x = f x , x " Î ¡ 2)Chúng ta có thể tổng quát hóa bài toán trên như sau

Bài toán tổng quát 1 Tìm tất cả các hàm số liên tục : f ¡ ® ¡ thỏa mãn

f x = bf ax , " Îx ¡ ,a ¹ ±1,b¹ - 1, (1- a)(1- b)³ 0

Lời giải Nếu a < 1 ta có

2 2( ) ( ) ( ) n ( n )

f x = bf ax = b f a x = = b f a x , " Îx ¡ ," În ¥

toán không thay đổi

2)Nhiều trường hợp phương trình hàm chưa có dạng trên thì ta có thể tìm nghiệm riêng có biểu thức dạng phần dư của phương trình, rồi đặt hàm phụ biến đổi phương trình hàm về “Bài toán tổng quát 1” để giải

Bài toán 11 Tìm tất cả các hàm số liên tục f :¡ ® ¡ thỏa mãn

21

( )

f x = ax Thay vào (24’) ta đƣợc

( ) 2 ( ) ( ) 0

g x - g tx + g t x = , " Îx ¡ ,t Î (0;1) Đặt ( )h x = g x( )- g tx( ), " Îx ¡ ,t Î (0;1).Ta có (0)h = 0

Và ( )h x - h tx( )= 0, " Îx ¡ ,t Î (0;1)

Suy ra h x( )= h tx( )= h t x( 2 )= = h t x( n ), " Îx ¡ ,t Î (0;1)," În ¥

Vì f x liên tục nên ( )( ) g x liên tục, suy ra ( ) h x liên tục

Nên ta có ( ) lim ( n ) ( lim n ) (0) 0

Vậy hàm số cần tìm là 2

2 2

1( )

Nhận xét 4: 1)Trong bài toán trên ta chỉ cần điều kiện t ¹ ± Khi đó ta có bài 1

toán sau tổng quát hơn: Tìm tất cả các hàm số liên tục : f ¡ ® ¡ thỏa mãn

( ) 2 ( ) ( )

f x - f tx + f t x = x , " Îx ¡ ,t ¹ ±1 2)Trong nhiều trường hợp việc tìm nghiệm riêng hoặc tìm hàm phụ phức tạp thì chúng ta phải có kĩ thuật riêng để tìm cách làm, chẳng hạn như các bài toán dưới đây

Bài toán 14 Tìm tất cả các hàm số liên tục f :¡ ® ¡ thỏa mãn

( )

f x = ax.Thay vào (25’) ta đƣợc 9 (8 ) 9 (4 )a x - a x + 2 (2 )a x = 100x Û 40ax = 100x , x" Î ¡

Vậy hàm số cần tìm là ( ) 5

2

f x = x , x" Î ¡

Nhận xét 5: Từ các bài toán 13, 14 ta suy ra dạng tổng quát của chúng là

Bài toán tổng quát Tìm tất cả các hàm số liên tục : f ¡ ® ¡ thỏa mãn