Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi trong dạy học giải phương trình lượng giác lớp 11 ban nâng cao

Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trong Nghị Quyết Trung ương 4 khóa VII 1-1993, Nghị quyết Trung ương 2 khóa VIII 12- 1996 và được thể chế hóa trong Luật Giáo d

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ HOA

RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI TRONG DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

LỚP 11 BAN NÂNG CAO

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.Nguyễn Thành Văn

HÀ NỘI - 2011

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Lịch sử nghiên cứu 2

3 Mục tiêu nghiên cứu 2

4 Phạm vi nghiên cứu 2

5 Mẫu khảo sát 3

6 Vấn đề nghiên cứu 3

7 Giả thuyết nghiên cứu 3

8 Phương pháp nghiên cứu 3

8.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận 3

8.2 Phương pháp điều tra, quan sát 3

8.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 4

8.4 Phương pháp thống kê toán học 4

9 Dự kiến các luận cứ 4

10.Cấu trúc luận văn 4

Chương 1: CỞ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 5

1.1 Tư duy 5

1.1.1 Khái niệm về tư duy 5

1.1.2.Đặc điểm của tư duy 8

1.1.3.Các thao tác tư duy 10

1.2 Tư duy sáng tạo 12

1.2.1.Khái niệm về sáng tạo 12

1.2.2 Quá trình sáng tạo 14

1.2.3 Tư duy sáng tạo 14

1.2.4 Cấu trúc của tư duy sáng tạo 16

1.3 Phương hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học môn Toán 19

1.3.1 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần kết hợp với các hoạt động trí

tuệ khác 19

1.3.2 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý tưởng mới 20

1.3.3 Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo 20

1.3.4 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học 21

Kết luận chương 1 21

Chương 2: RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 22

2.1 Nguồn gốc của lượng giác 22

2.2.Thực trạng dạy và học phương trình lượng giác ở trường THPT 22

2.2.1.Thực trạng học phương trình lượng giác ở trường THPT 23

2.2.2 Thực trạng dạy phương trình lượng giác ở trường THPT 24

2.3 Nội dung chương trình lượng giác ở Trung học phổ thông 24

2.4 Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy giải phương trình lượng giác lớp 11 26

2.4.1 Rèn luyện theo các thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo 26

2.4.2 Khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải cho một bài toán 44

2.4.3 Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học ứng dụng lượng giác vào đại số 51

2.4.4 Sử dụng một số bất đẳng thức đơn giản giải một số dạng phương trình lượng giác 54

2.4.5 Sáng tạo bài toán mới 65

2.5 Một số giáo án 78

Kết luận chương 2 97

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 98

3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm……… ………… 98

3.1.1 Mục đích của thực nghiệm sư phạm……….……….98

3.1.2 Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm……….……….98

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm……… ……… 98

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm……….………….98

3.2.2 Nội dung thực nghiệm……… ……98

3.3 Phương pháp thực nghiệm……….……… …….102

3.4 Tiến hành thực nghiệm……… … 103

3.5 Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm……… …104

3.5.1 Cơ sở để đánh giá kết quả sư phạm…….……… 104

3.5.2 Đánh giá kết quả thực nghiệm……… 104

3.5.2.1 Đánh giá định tính……….………104

3.5.2.2 Đánh giá định lượng……… ……105

KẾT LUẬN 106

TÀI LIỆU THAM KHẢO 107

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đảng và nhà nước ta xác định giáo dục là quốc sách hàng đầu và xem giáo dục là công cụ mạnh nhất tiến vào tương lai Hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng Sản Việt Nam (khóa VII) đã chỉ ra: “Giáo dục đào tạo phải hướng vào đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo có năng lực giải quyết các vấn đề thường gặp, qua đó góp phần tích cực thực hiện các mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh xã hội công bằng, dân chủ văn minh”

Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trong Nghị Quyết Trung ương 4 khóa VII (1-1993), Nghị quyết Trung ương 2 khóa VIII (12- 1996) và được thể chế hóa trong Luật Giáo dục sửa đổi ban hành ngày 27/6/2005, điều 2.4, đã ghi “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bổi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

Việc đổi mới phương pháp dạy và học môn toán ở bậc học phổ thông là việc cấp thiết Qua các đợt đi học thay sách (hè 2006, 2007, 2008) chúng ta thấy rất rõ phương châm của Bộ Giáo dục và Đào tạo là đổi mới phương pháp dạy và học ở bậc THPT Điều đó được thể hiện qua phân bố chương trình (chương trình được giảm tải nhiều) với các yêu cầu cụ thể có kèm theo hướng dẫn giáo viên (thông qua sách hướng dẫn giáo viên) Từ đó yêu cầu giáo viên phải đổi mới phương pháp dạy

Với sự chỉ đạo của ban giám hiệu ở nhà trường THPT theo chỉ thị của Bộ, giáo viên ở các bộ môn đã từng bước đổi mới phương pháp dạy Đặc biệt phong trào này sôi động trong việc ứng dụng các công nghệ dạy học vào giảng dạy Vì công cuộc đổi mới phương pháp dạy và học vẫn đang trong giai đoạn đầu nên

chưa có sự thay đổi nhiều Do đó đòi hỏi người giáo viên cần nghiên cứu sâu sắc hơn trong việc đổi mới này

Trong chương trình toán THPT phần nội dung kiến thức “lượng giác” là một nội dung khó đối với cả giáo viên và học sinh mà trong các đề thi đại học thường có nội dung giải phương trình lượng giác Với cách dạy và học theo lối truyền thống, lối tư duy thụ động đã ăn sâu khá nhiều vào các thế hệ học sinh và ngay cả bản thân giáo viên thì theo kinh nghiệm giảng dạy và nhiều ý kiến của giáo viên, học sinh cho thấy dạy học lượng giác để thi đại học mất quá nhiều thời gian Vì công thức lượng giác nhiều, khó nhớ; các dạng bài tập phong phú với nhiều cách giải khác nhau Do đó cần rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh để đáp ứng nhu cầu mới của thời đại

Với các lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu “Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi trong dạy học giải phương trình lượng giác lớp 11ban nâng cao” để dạy và học chương trình lượng giác ở THPT nâng cao hiệu quả

2 Lịch sử nghiên cứu

Qua tìm hiểu chúng tôi thấy có rất nhiều tài liệu nghiên cứu về việc rèn tư duy sáng tạo cho học sinh qua trong dạy học các bộ môn, rồi các công trình khoa học nghiên cứu về giảng dạy chương trình lượng giác lớp 11 nhưng không có công trình nào nghiên cứu rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi trong dạy học giải phương trình lượng giác lớp 11 nâng cao

3 Mục tiêu nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy sáng tạo

- Nghiên cứu các phương pháp tư duy sáng tạo để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi trong dạy học giải phương trình lượng giác lớp 11 nâng cao

4 Phạm vi nghiên cứu

- Phạm vi về thời gian: từ 9/2011 đến 12/2011 cộng với 5 năm kinh nghiệm thực giảng tại trường THPT Lý Thái Tổ- Thị xã Từ Sơn- Tỉnh Bắc Ninh (2004- 2009)

- Phạm vi về nội dung: một số phương pháp tư duy sáng tạo để rèn tư duy sáng tạo cho học sinh

5 Mẫu khảo sát

Lớp 11A1, 11A2, 11A3 trường THPT Lý Thái Tổ- Từ Sơn- Bắc Ninh

6 Vấn đề nghiên cứu

Trong luận văn này, một số vấn đề sau đây được đưa ra để xem xét:

- Tư duy sáng tạo và vai trò của tư duy sáng tạo trong học toán là gì?

- Rèn tư duy sáng tạo cho học sinh bằng các phương pháp sáng tạo như thế nào?

7 Giả thuyết nghiên cứu

Nếu giáo viên vận dụng các phương pháp sáng tạo vào giảng dạy thì sẽ rèn cho học sinh tư duy sáng tạo nhằm nâng cao chất lượng dạy học

8 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn tác giả sử dụng chủ yếu 4 phương pháp nghiên cứu sau

8.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu lý luận dựa vào những tài liệu có sẵn, những văn kiện của Đảng và Nhà nước về các vấn đề liên quan đến giáo dục như: thực trạng giáo dục, chương trình đổi mới sách giáo khoa, cách thức vận dụng và đổi mới các phương pháp dạy học hiện nay…

Nghiên cứu các tài liệu có sẵn liên quan đến những thành tựu của nhân loại trên các lĩnh vực khác nhau: Giáo dục học, Tâm lí học, Toán học…

Nghiên cứu nội dung chương trình sách giáo khoa môn toán trung học phổ thông và các tài liệu tham khảo có liên quan

8.2 Phương pháp điều tra, quan sát

Dự giờ, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy với các đồng nghiệp trong trường

và các đồng nghiệp ở các trường khác

Tham khảo ý kiến của các giáo viên có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy toán ở bậc trung học phổ thông

Tiếp thu và nghiên cứu ý kiến của giảng viên hướng dẫn, các chuyên gia

về bộ môn

Điều tra thực trạng khả năng sáng tạo của học sinh trước và sau khi giảng thực nghiệm

8.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Dạy thực nghiệm ở các lớp 11A1, 11A2, 11A3 trường THPT Lý Thái Tổ- Thị xã Từ Sơn- tỉnh Bắc Ninh

8.4 Phương pháp thống kê toán học

Xử lý các số liệu thu được sau khi điều tra

10 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần Mở đầu, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận của đề tài

Chương 2: Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 11 trung học phổ

thông qua dạy học phương trình lượng giác

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 1.1 Tư duy

1.1.1 Khái niệm về tư duy

Tư duy là gì? Đây là một vấn đề thu hút sự quan tâm của nhiều nghành khoa học và nhiều nhà khoa học nghiên cứu Triết học nghiên cứu tư duy dưới góc độ lý luận nhận thức Logic học nghiên cứu tư duy ở các quy tắc tư duy đúng Xã hội học nghiên cứu tư duy ở sự phát triển của quá trình nhận thức trong các chế độ xã hội khác nhau Sinh lý học nghiên cứu cơ chế hoạt động thần kinh cao cấp với tư cách là nền tảng vật chất của các quá trình tư duy ở con người Điều khiển học nghiên cứu tư duy để có thể tạo ra “Trí tuệ nhân tạo” Tâm lý học nghiên cứu diễn biến của quá trình tư duy, mối quan hệ qua lại cụ thể của tư duy với các khía cạnh khác của nhận thức Ngày nay, người ta còn nói tới tư duy của người máy

Song, dù loại tư duy nào thì nó cũng có sự khác biệt căn bản với tư duy con người, ở chỗ: Tư duy của con người mang bản chất xã hội – lịch sử, có tính sáng tạo, có khả năng khái quát và sử dụng ngôn ngữ làm phương tiện Tư duy con người được quy định bởi các nguyên nhân, các yêu cầu của quá trình phát triển lịch sử - xã hội, chứ không dừng lại ở mức độ tư duy bằng các thao tác chân tay hay bằng một chương trình đã được lập sẵn Có thể nói một cách khái quát, các nhà tâm lý học Mác – xít, trên cơ sở của chủ nghĩa duy vật biện chứng, đã khẳng định: Tư duy là sản phẩm cao cấp của một dạng vật chất hữu cơ có tổ chức cao, đó là bộ não của con người Trong quá trình phản ánh hiện thực khách quan bằng những khái niệm, phán đoán… tư duy bao giờ cũng có mối liên hệ nhất định với một hình thức hoạt động của vật chất, sự hoạt động của não người

Theo Spieecskin lại cho rằng: “Tư duy của con người , phản ánh hiện thực, về bản chất là quá trình truyền đạt gồm hai tính chất: Một mặt, con người hướng về vật chất, phản ánh những nét đặc trưng và những mối liên hệ của vật

ấy với vật khác, và mặt khác con người hướng về xã hội để truyền đạt những kết quả của tư duy của mình”

Từ cách tiếp cận mô hình xử lý thông tin, tác giả Đặng Phương Kiệt quan niệm: “Tư duy là một quá trình tâm trí phức tạp, tạo ra một biểu tượng mới bằng cách làm biến đổi thông tin có sẵn”

Dựa trên cơ sở những mối liên hệ, quan hệ vốn có của các sự vật, hiện tượng trong thế giới khách quan và lý thuyết phản ánh, tác giả Mai Hữu Khuê cho rằng: “Tư duy là quá trình tâm lý phản ánh những mối liên hệ và quan hệ giữa các đối tượng hay các hiện tượng của hiện thực khách quan”

Với việc xem tư duy như là quá trình phân tích, tổng hợp… Nguyễn Đình Trãi cho rằng: “Tư duy là quá trình phân tích, tổng hợp, khái quát những tài liệu

đã thu được qua nhận thức cảm tính, nhận thức kinh nghiệm để rút ra cái chung, cái bản chất của sự vật”

Với tư cách là quá trình nhận thức, tập thể tác giả: Trần Minh Đức, Nguyễn Quang Uẩn, Ngô Công Hoàn, Hoàng Mộc Loan, coi “Tư duy là một quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính của bản chất, những mối liên hệ và quan hệ có tính quy luật của sự vật hiện tượng mà trước đó ta chưa biết”

Theo tâm lý học: “Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết.”

Từ điển tiếng Việt (1998) nêu rõ: “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những hình thức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán và suy lý” [10, tr.1437]

Trong tâm lý học, một trong những nghiên cứu tương đối đầy đủ nhất về

tư duy đã được trình bày trong các công trình của X L Rubinstein Theo Rubistein: “Tư duy – đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể” (dẫn theo Đavưđov) [19, tr.25]

Các tác giả Phạm Minh Hạc, Phạm Hoàng Gia, Trần Trọng Thuỷ, Nguyễn Quang Uẩn (1992), (trong Tâm lý học, Nxb Giáo dục, Hà Nội) đã định nghĩa:

“Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan”

Trong cuốn “rèn luyện tư duy trong dạy học toán”, PGS.TS Trần Thúc Trình có định nghĩa: “Tư duy là một quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng mà trước đó chủ thể chưa biết”[18, tr.1]

Trong cuốn “Tâm lý học ” Phạm Minh Hạc, Lê Khanh, Trần Trọng Thuỷ, Đại học sư phạm, 1988, có định nghĩa: “Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất những mối liên hệ và quan hệ bên trong, có tính chất quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết” [11, tr 129]

Phân tích một số quan niệm về tư duy như trên để có thể hiểu sâu thêm định nghĩa của tư duy: “Tư duy là quá trình tâm lý phản ánh hiện thực khách quan một cách gián tiếp là khái quát, là sự phản ánh những thuộc tính chung và bản chất, tìm ra những mối liên hệ, quan hệ có tính quy luật của sự vật, hiện tượng mà ta chưa từng biết.”

Có thể hiểu một cách thông thường: Tư duy là suy nghĩ để nhận thức và giải quyết vấn đề Trong học tập môn Toán thường có các loại hình tư duy là: tư duy biện chứng, tư duy logíc, tư duy thuật toán, tư duy hàm, tư duy trừu tượng,

tư duy sáng tạo

- Tư duy hàm là suy nghĩ để nhận thức, GQVĐ trong tương quan khi một đối tượng này thay đổi kéo theo đối tượng khác thay đổi

- Tư duy lôgíc là suy nghĩ để nhận thức, GQVĐ theo các quy tắc suy luận lôgíc

- Tư duy thuật toán là suy nghĩ để nhận thức, GQVĐ theo một trình tự nhất định

- Tư duy trừu tượng là suy nghĩ để nhận thức, GQVĐ theo những dấu hiệu bản chất

- Tư duy sáng tạo là suy nghĩ nhận thức theo một phương diện mới (cách nhìn mới), GQVĐ theo cách mới, vận dụng trong một hoàn cảnh mới

Nhà toán học A.Ia.Khinxin cho rằng những nét độc đáo của phong cách tư duy toán học là:

- Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm ưu thế

- Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất đến mục đích

- Phân chia rành mạch các bước suy luận

- Sử dụng chính xác các kí hiệu

- Lập luận có căn cứ đầy đủ

1.1.2.Đặc điểm của tư duy

Với tư cách là một mức độ của hoạt động nhận thức, tư duy có những đặc điểm sau:

Tính “có vấn đề” của tư duy: Tư duy là một quá trình mang tính chất có

mục đích rõ ràng Sự cần thiết phải tư duy được nẩy sinh, trước hết, khi trong quá trình đời sống và thực tiễn xuất hiện một mục đích mới, một vấn đề mới, những hoàn cảnh và điều kiện hoạt động mới

Nhưng không phải hoàn cảnh có vấn đề nào cũng kích thích được hoạt động tư duy Muốn kích thích được tư duy thì hoàn cảnh có vấn đề phải được nhận thức đầy đủ, được chuyển thành nhiệm vụ tư duy của cá nhân – nghĩa là cá nhân xác định được cái gì đã biết, đã cho và cái gì chưa biết, nếu những dữ kiện

đó nằm ngoài phạm vi hiểu biết của cá nhân, thì tư duy cũng không xuất hiện

Tính gián tiếp của tư duy: Tư duy của con người mang tính chất gián tiếp

Tư duy được biểu hiện trong ngôn ngữ Các quy luật, quy tắc, các sự kiện, các mối liên hệ và sự phụ thuộc, được khái quát và được diễn đạt trong các từ

Mỗi người đều sử dụng những phát minh, những kết quả tư duy của người khác để giải quyết những nhiệm vụ hằng ngày được đặt ra cho mình Khi sử dụng những phát minh đó vào hoạt động sản xuất và sinh hoạt hằng ngày, họ

thấy rõ được tính chất đúng đắn của chúng Những quy luật mà các nhà bác học, các nhà tư tưởng ở các nước khác nhau tìm ra, cũng như cả kinh nghiệm cá nhân của con người đều là công cụ để mỗi người hiểu thế giới xung quanh, để giải quyết những vấn đề mới đối với họ

Tính trừu tượng và khái quát của tư duy Tư duy có khả năng trừu xuất

khỏi sự vật, hiện tượng những thuộc tính, những dấu hiệu cụ thể, cá biệt, chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất nhất chung cho nhiều sự vật, hiện tượng, rồi trên

cơ sở đó mà khái quát các sự vật, hiện tượng riêng lẻ khác nhau, nhưng có chung những thuộc tính bản chất thành một nhóm, một loại, một phạm trù

Tư duy quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ

Quan điểm duy vật biện chứng quan niệm một cách đúng đắn rằng: Tư duy quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ, chúng thống nhất, nhưng không đồng nhất với nhau, cũng không tách rời nhau được: tư duy không thể tồn tại bên ngoài ngôn ngữ được, ngược lại ngôn ngữ cũng không thể có được nếu không dựa vào

tư duy Mối quan hệ giữa tư duy và ngôn ngữ là mối quan hệ giữa hình thức và nội dung

Tính chất lí tính của tư duy

Chỉ có tư duy mới giúp con người phản ánh được bản chất của sự vật, những mối quan hệ và liên hệ có tính chất của sự vật, những mối quan hệ và liên

hệ có tính quy luật của chúng, bởi vì tư duy mới có thể vượt qua được những giới hạn trực quan, cụ thể của nhận thức cảm tính Nói cách khác, tư duy là một mức độ cao của hoạt động nhận thức – mức độ lí tính

Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính Tuy là mức độ nhận thức cao hơn hẳn về chất so với nhận thức cảm tính, nhưng tư duy không tách rời khỏi nhận thức cảm tính Mặc dù là trong những điều kiện của khoa học hiện đại, việc nghiên cứu một hiện tượng hay quá trình nào đó được bắt đầu từ những sự trừu tượng hóa cao nhất, từ những giả thuyết toán học… nhưng cuối cùng nó vẫn phải được dựa trên những tài liệu cảm tính, trên kinh nghiệm, trên cơ sở trực quan sinh động

1.1.3.Các thao tác tư duy

Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác trí tuệ Các thao tác trí tuệ cơ bản là:

a Phân tích - tổng hợp

Theo Nguyễn Cảnh Toàn: Phân tích là chia một chỉnh thể ra thành nhiều

bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ Tổng hợp là nhìn bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, tìm các mối liên hệ giữa các bộ phận của chỉnh thể và của chính chỉnh thể đó với môi trường xung quanh [17, tr.122]

Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ cơ bản của quá trình tư duy Những hoạt động trí tuệ đều diễn ra trên nền tảng của phân tích và tổng hợp Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết không thể tách rời, chúng là hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất Phân tích tiến hành theo hướng tổng hợp, tổng hợp được thực hiện theo kết quả phân tích Trong học tập môn toán phân tích và tổng hợp có mặt ở mọi hoạt động trí tuệ, là thao tác tư duy quan trọng nhất để giải quyết vấn đề

b So sánh – tương tự

So sánh là thao tác tư duy nhằm xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật và hiện tượng Muốn so sánh hai sự vật, hiện tượng ta phải phân tích các dấu hiệu, các thuộc tính của chúng, đối chiếu các dấu hiệu, các thuộc tính đó với nhau rồi tổng hợp lại xem hai sự vật, hiện tượng có cái gì giống và khác nhau So sánh liên quan chặt chẽ với phân tích - tổng hợp và đối với các hình thức tư duy đó có thể ở mức độ đơn giản hơn nhưng vẫn có thể nhận thức được những yếu tố bản chất của sự vật, hiện tượng

Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu, rút ra kết luận hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác Do

đó, tương tự là sự giống nhau giữa hai hay nhiều đối tượng ở một mức độ nào

đó, trong một quan hệ nào đó

Theo G.Polya: “Hai hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong các mối quan hệ xác định rõ ràng giữa bộ phận tương ứng” [20, tr.29]

c Khái quát hoá, đặc biệt hoá, trừu tượng hoá

Khái quát hoá là thao tác tư duy nhằm hợp nhất nhiều đối tượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính, những liên hệ hay quan hệ chung nhất định Các thuộc tính chung đó gồm hai loại: những thuộc tính chung giống nhau và những thuộc tính chung bản chất

Theo GS Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [15, tr.46]

Theo Polya: “Khái quát hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu” [21, tr.21]

Như vậy có thể hiểu khái quát hoá là quá trình đi từ cái riêng, cái đặc biệt đến cái chung, cái tổng quát, hoặc từ một tổng quát đến một tổng quát hơn Trong toán học, người ta thường khái quát một yếu tố hoặc nhiều yếu tố của khái niệm, định lý, bài toán… thành những kết quả tổng quát

Đặc biệt hoá là thao tác tư duy ngược lại với khái quát hoá

Mối quan hệ giữa khái quát hoá và đặc biệt hoá thường được vận dụng trong tìm tòi, giải toán Từ một tính chất nào đó, ta muốn khái quát hoá ta thử đặc biệt hoá Nếu kết quả là của đặc biệt hoá là đúng thì ta mới tìm cách chứng minh dự đoán từ khái quát hoá Nhưng nếu sai thì dừng lại

Trừu tượng hoá: Trừu tượng hoá là thao tác tư duy nhằm gạt bỏ những mặt, những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ lại các yếu tố cần thiết cho tư duy Sự phân biệt bản chất hay không bản chất

ở đây chỉ mang nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động

Hoàng Chúng cho rằng: “Trừu tượng hoá và khái quát hoá liên hệ chặt chẽ với nhau Nhờ trừu tượng hoá ta có thể khái quát hoá rộng hơn và nhận thức sự vật sâu sắc hơn Và ngược lại khái quát hoá đến một mức nào đó giúp ta tách được những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất, tức là đã trừu tượng hoá Trừu tượng hoá là một “hoạt động tư duy”, hoạt động này của bộ

não con người có thể hướng tới bất kì vấn đề gì của khoa học nói chung và nói riêng của Toán học”

1.2.Tƣ duy sáng tạo

1.2.1.Khái niệm về sáng tạo

Các bài kiểm tra chuẩn thường không đo được tính sáng tạo một cách chính xác: trong thực tế chúng ta gặp khó khăn trong việc nhất trí về sáng tạo một cách tiềm tàng, ấy thế nhưng nhiều phụ huynh và giáo viên lại áp đặt nhiều giới hạn vào hành vi tự nhiên của chúng đến mức mà chúng thấy sáng tạo phiền hà cho chúng làm cho chúng không đồng ý Phụ huynh thường phản ứng tiêu cực đối với sự hiếu kỳ và sự bày bừa của con em mình Giáo viên và phụ huynh thường

áp đặt các quy tắc trật tự, sự tuân thủ và “trạng thái bình thường” để phù hợp với

Theo Carl Rogers, bản chất của tính sáng tạo là sự mới mẻ và do đó chúng

ta không có tiêu chí để đánh giá nó Trong thực tế, sản phẩm càng độc đáo bao nhiêu thì nó càng có xu hướng bị những người đương thời đánh giá là ngu ngốc bấy nhiêu

Erich Fromm định nghĩa quan điểm sáng tạo như là sự tự nguyện để bị làm bối rối (làm quen chính mình với một cái gì đó chưa được biết đến với sự khó chịu), khả năng tập trung, khả năng trải qua kinh nghiệm như là người tạo nguồn cho các hành động, sự tự nguyện chấp nhận mâu thuẫn và sự căng thẳng do sự thiếu kiên nhẫn gây ra cho các ý tưởng sáng tạo

Theo bách khoa toàn thư: “Sáng tạo là hoạt động của con người trên cơ sở các quy luật khách quan của thực tiễn, nhằm biến đổi thế giới tự nhiên, xã hội phù hợp với mục đích và nhu cầu của con người Sáng tạo là hoạt động có tính đặc trưng không lặp lại, tính độc đáo và duy nhất”

Theo từ điển tiếng việt: “Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có”[10, tr.1130]

Tác giả Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: “Sáng tạo là sự vận động của tư duy

từ những hiểu biết đã có đến những hiểu biết mới” [17, tr.7]

Các công trình nghiên cứu này chỉ rằng ít có sự nhất trí về định nghĩa tính sáng tạo trừ việc cho rằng nó là một phẩm chất của trí tuệ và có quan hệ với tính thông minh Sáng tạo là quá trình vừa hữu thức vừa vô thức và vừa có thể quan sát được vừa không thể quan sát được Bởi vì các quá trình vô thức và không thể quan sát được khó xử lý trong lớp học, cho nên thường có sự hiểu nhầm giữa giáo viên và những học sinh sáng tạo

Giáo viên thường yêu cầu học sinh có tư duy “phản ứng” (reactive thinking); nghĩa là họ chờ đợi học sinh phản ứng lại với câu hỏi, các bài tập, hay các mục trong bài kiểm tra và đưa ra câu trả lời ưa chuộng hơn Họ có xu hướng không khuyến khích tư duy “ngược” (proactive); nghĩa là tạo ra các câu hỏi và câu trả lời mới Đây là cách mà hầu hết giáo viên được đào tạo, và họ cảm thấy không thoải mái về việc không có câu trả lời đúng Một số giáo viên thực sự phát triển tư duy phê phán trong học sinh, nhưng họ cần phải vượt ra khỏi tư duy phản ứng và thậm chí ra khỏi tư duy phê phán và khuyến khích học sinh tạo ra các ý tưởng Xã hội cần các nhà tạo tư tưởng để lập kế hoạch, để ra các quyết định và để xử lý các vấn đề công nghệ và xã hội Giáo viên cần phải để cho học sinh biết rằng có câu hỏi đúng không phải lúc nào cũng quan trọng, rằng hiểu sâu

là điều quan trọng, rằng các hoạt động khác nhau yêu cầu các khả năng khác nhau Giáo viên cần phải hiểu rằng hầu hết mọi học sinh đều có tiềm năng của tư duy sáng tạo

Qua các khái niệm trên có thể nói: “Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới không bị gò bó phụ thuộc vào những cái đã có”

1.2.2 Quá trình sáng tạo

Quá trình sáng tạo gồm 4 giai đoạn:

- Giai đoạn chuẩn bị: Là giai đoạn chủ thể thử giải quyết vấn đề bằng các cách khác nhau, huy động thông tin, suy luận

- Giai đoạn ấp ủ: Giai đoạn này bắt đầu khi công việc giải quyết vấn đề bị ngừng lại, còn lại các hoạt động tiềm thức, các hoạt động bổ xung cho vấn đề được quan tâm

- Giai đoạn bừng sáng: Giai đoạn ấp ủ kéo dài cho đến khi sự “bừng sáng” trực giác, một bước nhảy vọt về chất trong tiến trình nhận thức, xuất hiện đột ngột và kéo theo là sự sáng tạo Đây là giai đoạn quyết định trong quá trình tìm kiếm lời giải

- Giai đoạn kiểm chứng: Là giai đoạn chủ thể kiểm tra trực giác, triển khai các luận chứng lôgíc để có thể chứng tỏ tính đúng đắn của cách thức giải quyết vấn đề, khi đó sự sáng tạo mới được khẳng định

1.2.3 Tư duy sáng tạo

Những năm gần đây, người ta thường đòi hỏi nền giáo dục phải trang bị cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo như là một phẩm chất quan trọng của con người hiện đại, đặc biệt là từ khi thế giới đã bắt đầu chuyển mạnh sang nền kinh

tế tri thức và xã hội tri thức ở nước ta, yêu cầu đó cũng đã được nhiều nhà giáo dục đề nghị đưa vào như là một nội dung quan trọng của một triết lý giáo dục cho nước ta trong thời kỳ công nghiệp hóa và hiện đại hóa đất nước

Theo nghĩa thông thường, sáng tạo là một tiến trình phát kiến ra các ý tưởng và quan niệm mới, hay một kết hợp mới giữa các ý tưởng và quan niệm đã

có Hay đơn giản hơn, sáng tạo là một hành động làm nên những cái mới Với cách hiểu đó thì cái quan trọng nhất đối với sáng tạo là phải có ý tưởng, như lời của nhà toán học vĩ đại Poincare: “Trong sáng tạo khoa học, ý tưởng chỉ là những ánh chớp, nhưng ánh chớp đó là tất cả”, hay lời của một nhà khoa học vĩ

đại khác, Linus Pauling, khi trả lời câu hỏi làm thế nào người ta sáng tạo ra được các lý thuyết khoa học: “Người ta phải nắm bắt được nhiều ý tưởng ” và “con đường để có được một ý tưởng tốt là có thật nhiều ý tưởng” Từ xa xưa, người ta

đã thường nói đến những ý tưởng sáng tạo trong các lĩnh vực thi ca, âm nhạc, hội họa, nghệ thuật Các ý tưởng không đến với con người bằng suy luận, bằng tư duy logic, mà thường đến ở những giây phút xuất thần nào đó sau những tưởng tượng, những suy tư, những phỏng đoán, những đối chiếu, những so sánh bóng gió… tưởng chừng không liên quan gì đến điều mà mình đang bận tâm suy nghĩ Trong tâm lý học định nghĩa: “Tư duy sáng tạo là tư duy vượt ra ngoài vi giới hạn của hiện thực, của vốn tri thức và kinh nghiệm đã có, giúp quá trình giải quyết nhiệm vụ của tư duy được linh hoạt và hiệu quả”

Một số tác giả cho rằng: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo

ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao Ý tưởng mới thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Tính độc đáo của ý tưởng thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất ” [9, tr.72]

Nhà tâm lý học người Đức Mehlhow cho rằng: “Tư duy sáng tạo là hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời mục tiêu cơ bản của giáo dục”

Theo Nguyễn Bá Kim: “Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ” (Nguyễn Bá Kim – Phương pháp dạy học bộ môn Toán)

Thời đại khoa học ra đời từ thế kỷ 17 đã gắn liền với chủ nghĩa cơ giới và chủ nghĩa duy lý Phương pháp sáng tạo ra các định lý mới, các kiến thức mới trong các lý thuyết khoa học của thời đại đó đã gắn chặt với các lập luận logic, với các phép quy nạp và diễn dịch hình thức Từ đầu thế kỷ 20 trở đi, khi khoa học mở rộng đối tượng của mình đến các hệ thống phức tạp trong tự nhiên và xã

hội, thì các phương pháp tư duy cơ giới và duy lý không còn chiếm được vị trí độc tôn nữa, và các phương pháp tư duy sáng tạo cùng với quan điểm hệ thống trở thành phổ biến hơn, do đó để hiểu được cuộc sống và thế giới trong tinh thần hiện đại, việc rèn luyện một năng lực tư duy sáng tạo lại càng có ý nghĩa quan trọng

Việc rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo hiện nay thường gắn liền với một phương pháp nhận thức mới là phương pháp giải quyết bài toán, với quan niệm mới xem rằng nhiệm vụ của khoa học không phải là tìm kiếm chân lý, mà là tìm kiếm lời giải cho những bài toán mà con người liên tục gặp phải trong cuộc sống Yếu tố cốt lõi của phương pháp giải quyết bài toán là tư duy sáng tạo, sáng tạo trong việc xác định bài toán, xác định mục tiêu của bài toán, tạo sinh các ý tưởng bằng các thao tác trí tuệ như tưởng tượng, phỏng đoán, so sánh với các ẩn dụ, đưa ra các giả thuyết, phê phán và đánh giá các giả thuyết, rồi lựa chọn các lời giải, thực thi từng phần hoặc toàn bộ một lời giải đã chọn, đánh giá các lời giải khả thi, sửa đổi để hoàn thiện lời giải, vân vân Từ nhiều năm gần đây, rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo và sử dụng rộng rãi phương pháp giải quyết bài toán đã được phổ biến rộng rãi trong nhiều lĩnh vực hoạt động như quản lý, lập kế hoạch kinh tế, giáo dục và hoạt động khoa học ở nhiều nước Trong lĩnh vực giáo dục, việc vận dụng phương pháp giải quyết bài toán trong tổ chức và quản lý giáo dục, trong việc cải thiện nội dung và phương pháp dạy học, thậm chí đến việc đổi mới chương trình học của một số bộ môn khoa học như toán, lý, hóa, sinh học cũng đã được thực hiện ở nhiều nước

1.2.4 Cấu trúc của tư duy sáng tạo

Các nghiên cứu của nhiều nhà tâm lý học, giáo dục học…đã đưa ra năm thành phần cơ bản của cấu trúc tư duy sáng tạo: Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề

a.Tính mềm dẻo (Flexibility)

Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ thống tri thức, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, có

khả năng định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những mối liên hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận

ra bản chất của sự vật và điều phán đoán Tính mềm dẻo của tư duy còn làm thay đổi một cách dễ dàng các thái độ đã cố hữu trong hoạt động trí tuệ của con người Có thể thấy rằng tính mềm dẻo của tư duy có các đặc trưng nổi bật sau đây:

- Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, cụ thể hóa và các phương pháp suy luận như quy nạp, suy diễn tương

tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ nếu gặp trở ngại…

- Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm, kiến thức, kỹ năng đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới trong

đó có những yếu tố đã thay đổi; có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những phương pháp, những cách nghĩ đã có từ trước

- Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

b Tính nhuần nhuyễn (Fluency)

Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các tình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất lượng của ý tưởng sinh ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo

Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo, trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh ra chất lượng Tính nhuần nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở hai đặc trưng sau:

- Sự đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứng trước một vấn đề

phải giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất được nhiều phương án khác nhau và từ đó tìm được phương án tối ưu

- Khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có một cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật, hiện tượng chứ không phải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc

c Tính độc đáo (Originality)

Tính độc đáo là khả năng tìm và quyết định phương thức mới

Tính độc đáo được đặc trưng bởi các khả năng sau:

- Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới

- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau

- Khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác

d Tính hoàn thiện (Elabolation)

Tính hoàn thiện: Là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng

e Tính nhạy cảm vấn đề (Problem’s Censibitity)

Tính nhạy cảm vấn đề: Là năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, sự mâu thuẫn, sai lầm, thiếu loogic, chưa tối ưu và từ đó đề xuất hướng giải quyết, tạo ra cái mới

Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trưng sau:

- Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề

- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu từ đó

có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới

Ngoài ra còn có các yếu tố quan trọng khác như: Tính chính xác (Precise), năng lực định giá (Ability to valued), phán đoán (Decide), năng lực định nghĩa lại (Redefinition)

Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho

việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và nhờ đó đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm được giải pháp lạ, đặc sắc (tính độc đáo) Các yếu tố này có quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn

đề Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người

1.3 Phương hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học môn Toán

Các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh, Tôn Thân trong tác phẩm “Khuyến khích một số các hoạt động trí tuệ của học sinh qua môn toán ở trường trung học cơ sở” đã đưa ra những biện pháp sau đây để bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh

1.3.1 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần kết hợp với các hoạt động trí tuệ khác

Để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh cần được tiến hành trong mối quan hệ hữu cơ với các hoạt động trí tuệ như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương

tự, trừu tượng hoá, đặc biệt hoá, khái quát hoá, hệ thống hoá, trong đó phân tích

và tổng hợp đóng vai trò nền tảng

Để bồi dưỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của tư duy, học sinh cần được luyện tập thường xuyên năng lực, tiến hành phân tích đồng thời với tổng hợp để nhìn thấy đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau trong những mối liên

hệ khác nhau Trên cơ sở so sánh các trường hợp riêng lẻ, dùng phép tương tự để chuyển từ trường hợp riêng này sang trường hợp riêng khác, khai thác mối liên

hệ mật thiết với trừu tượng hoá, làm rõ mối quan hệ chung riêng giữa mệnh đề xuất phát và mệnh đề tìm được bằng đặc biệt hoá và hệ thống hoá, ta có thể tập luyện cho học sinh khái quát hoá tài liệu toán học, tạo khả năng tìm nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau, khả năng tìm ra những mối liên

hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau, khả

năng tìm ra giải pháp lạ hoặc duy nhất Các hoạt động này góp phần bồi dưỡng tính nhuần nhuyễn cũng như tính độc đáo của tư duy

1.3.2 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý tưởng mới

Về giảng dạy lý thuyết, cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu, tạo ra các tình huống có vấn đề dẫn dắt học sinh tìm tòi, khám phá kiến thức mới Chú ý thường xuyên tập dượt cho học sinh suy luận có lý (thông qua quan sát, so sánh, đặc biệt hoá, khái quát hoá, quy nạp, tương tự,…) để có thể tự mình tìm tòi, dự đoán được những quy luật của thế giới khách quan, tự mình phát hiện

và phát biểu vấn đề, dự đoán được các kết quả, tìm được hướng giải của một bài toán, hướng chứng minh một định lý Nói cách khác tăng cường cả hai bước suy đoán và suy diễn trong quá trình dạy học toán

Về thực hành giải toán, cần coi trọng các bài tập trong đó chưa rõ điều phải chứng minh, học sinh phải tự xác lập, tự tìm tòi để phát hiện và giải quyết vấn đề

1.3.3 Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo

Trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý bồi dưỡng từng yếu tố của tư duy sáng tạo: tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo Có thể khai thác nội dung các vấn đề giảng dạy, đề xuất các câu hỏi thông minh nhằm giúp học sinh lật đi lật lại vấn đề theo các khía cạnh khác nhau để học sinh nắm thật vững bản chất các khái niệm, các mệnh đề tránh được lỗi học thuộc lòng máy móc và lỗi vận dụng thiếu sáng tạo

Sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố của tư duy sáng tạo như: Những bài tập có cách riêng đơn giản hơn là áp dụng công thức tổng quát để khắc phục “tính ỳ”; những bài tập có nhiều lời giải khác nhau, đòi hỏi học sinh phải biết chuyển từ phương pháp này sang phương pháp khác; những bài tập trong đó có những vấn đề thuận nghịch đi liền với nhau, song song nhau, giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược xảy ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận; những bài toán “không theo mẫu”, không đưa

được về các loại toán giải bằng cách áp dụng các định lý, quy tắc trong chương trình

1.3.4 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học

Bồi dưỡng tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài, cần tiến hành thường xuyên hết tiết học này sang tiết học khác, năm này sang năm khác trong tất cả các khâu của quá trình dạy học trong nội khoá cũng như các hoạt động ngoại khoá Cần tạo điều kiện cho học sinh có dịp được rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo trong việc toán học hoá tình huống thực tế, trong việc viết báo toán với những đề toán tự sáng tác những cách giải mới, những kết quả mới khai thác từ các bài tập đã giải…

Một vấn đề rất đáng được quan tâm là vấn đề kiểm tra, đánh giá Các đề kiểm tra, các đề thi cần được soạn với yêu cầu kiểm tra được năng lực tư duy sáng tạo của học sinh Học sinh chỉ có thể làm được hoàn chỉnh các đề kiểm tra

đó trên cơ sở bộc lộ rõ rệt năng lực tư duy sáng tạo của bản thân chứ không phải chỉ là học tủ, vận dụng kiến thức thiếu sáng tạo

Kết luận chương 1

Trong chương này, luận văn đã trình bày các quan điểm của một số tác giả về khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo và phương hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học môn Toán

CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2.1 Nguồn gốc của lượng giác

Nguồn gốc của lượng giác được tìm thấy trong các nền văn minh của người Ai Cập, Babylon và nền văn minh lưu vực sông Ấn cổ đại từ 3000 năm trước Các nhà toán học Ấn Độ cổ đại là những người tiên phong trong việc sử dụng tính toán các ẩn số đại số để sử dụng trong các tính toán thiên văn bằng lượng

Nhà toán học Hy Lạp Hipparchus vào khoảng năm 150 TCN đã biên soạn bảng lượng giác để giải các tam giác

Một nhà toán học Hy Lạp khác, Ptolemy vào khoảng năm 100 đã phát triển các tính toán lượng giác xa hơn nữa

Nhà toán học người Silesia là Bartholemaeus Pitiscus đã xuất bản công trình có ảnh hưởng tới lượng giác năm 1595 cũng như giới thiệu thuật ngữ này sang tiếng Anh và tiếng Pháp

Một số nhà toán học cho rằng lượng giác nguyên thủy được nghĩ ra để tính toán các đồng hồ mặt trời, là một bài tập truyền thống trong các cuốn sách cổ về toán học Nó cũng rất quan trọng trong đo đạc

Ngày nay có nhiều ứng dụng của lượng giác Cụ thể có thể nói đến như là

kỹ thuật của phép đo đạc tam giác được sử dụng trong thiên văn để đo khoảng cách tới các ngôi sao gần, trong địa lý để đo khoảng cách giữa các mốc giới hay trong các hệ trống hoa tiêu vệ tinh Các lĩnh vực khác có sử dụng lượng giác còn

có lý thuyết âm nhạc, âm học, quang học, phân tích thị trường tài chính, điện tử học, lý thuyết xác suất, thống kê, sinh học, chiếu chụp y học, dược học, hóa học,

lý thuyết số, địa chấn học, khí tượng học, hải dương học và nhiều lĩnh vực của vật lý, đo đạc đất đai và địa hình, kiến trúc, ngữ âm học, kinh tế học, khoa công trình về điện, cơ khí, xây dựng, đồ họa máy tính, bản đồ học, tinh thể học…

2.2 Thực trạng dạy và học phương trình lượng giác ở trường THPT

2.2.1 Thực trạng học phương trình lượng giác ở trường THPT

Trong quá giảng dạy của mình với những kinh nghiệm và trao đổi với giáo viên và học sinh cho thấy lượng giác là một chủ đề khá khó trong chương trình toán học trung học phổ thông Mặc dù, SGK mới đã có nhiều giảm tải về nội dung và yêu cầu đối với học sinh nhưng để học tốt phần lượng giác không đơn giản do:

Học lý thuyết:

- Công thức lượng giác khá nhiều nên học sinh hay quên và bị nhầm lẫn

- Tuy công thức lượng giác học ở cuối lớp 10 nhưng sang đầu lớp 11 học giải phương trình lượng giác thì học sinh phải ôn lại nhiều Do đó đà học bị ngắt quãng

- Để vận dụng được công thức lượng giác đúng và linh hoạt thì phải dành khá nhiều thời gian cho việc làm bài tập

Khi làm bài tập:

- Việc tính toán, tư duy đối với phần lượng giác khác khá nhiều so với đại

số nên học sinh phần lớn là gặp khó khăn khi bắt đầu học dễ gây chán nản cho học sinh

- Do lượng giác là lĩnh vực khác nhiều so với đại số nên học sinh khó diễn đạt và trình bày nhất là đối với bài toán lượng giác có điều kiện

- Khi làm bài tập học sinh thường vận dụng một cách máy móc theo những dạng phương trình lượng giác cơ bản nên khi gặp những dạng bài toán không phải dạng đã gặp thì học sinh không giải quyết được

- Để nắm được phương pháp giải các phương trình cơ bản một cách vững chắc, nhuần nhuyễn phải mất một thời gian dài Trong khi đó thời lượng ở lớp 11 dành cho phần này chỉ 17 tiết nên học sinh có thể mở rộng, tư duy linh hoạt đối với các dạng bài tập khác là khó Do đó, để học sinh làm tốt các bài tập lượng giác khi đi thi đại học thì giáo viên cần có chiến lược giảng dạy tốt

- Tính bị động của học sinh khá lớn nên giáo viên vất vả trong quá trình giảng dạy nếu yêu cầu cao đối với học sinh

2.2.2 Thực trạng dạy phương trình lượng giác ở trường THPT

Để hiểu sâu sắc và thấy được cái hay của các bài toán lượng giác thì giáo viên và học sinh đều phải bỏ rất nhiều thời gian và công sức Giáo viên cần có vài năm giảng dạy để rút kinh nghiệm giảng dạy Học sinh phải dành nhiều thời gian, có sự nỗ lực thật sự mới học được tốt phần này

Từ kinh nghiệm và đóng góp ý kiến của nhiều giáo viên và học sinh cho thấy:

- Muốn giải được các bài tập lượng giác trước tiên học sinh phải học thuộc các công thức lượng giác đã Nhằm củng cố kiến thức và giúp học sinh tóm gọn các công thức lượng giác tốt hơn Mẹo gỡ bí khi học sinh hay quên và nhớ lầm các công thức lượng giác là hãy yêu cầu học sinh tự chứng minh các công thức lượng giác

- Đây là nội dung khó nên học sinh dễ nhầm lẫn và hoang mang khi tiếp nhận kiến thức mới ở từng giờ học

- Các dạng bài tập ở phần này khá đa dạng, phong phú nên giáo viên phải mất công chọn lọc, tổng hợp, khái quát hóa thành một hệ thống phù hợp với trình

độ nhận thức của từng học sinh

- Thời gian chữa bài tập trên lớp không nhiều nhưng giáo viên vẫn đưa ra

hệ thống bài tập khá phong phú để học sinh nắm được Đồng thời giáo viên yêu cầu học sinh về nhà tìm hiểu thêm, tự học để học tốt phần này

Theo tôi, một bài giảng của nhà giáo có trình độ và lương tâm, trong mỗi tiết học phải mang lại cho người học một khối lượng hiểu biết hoàn chỉnh (chính

vì vậy tránh được việc học quá dài, thu gọn được số giờ học) kèm theo những chỉ dẫn về phương pháp và tài liệu tra cứu mà tự học sinh có thể không có được, như vậy tiết kiệm thời gian cho học sinh rất nhiều và tạo điều kiện tối đa cho họ dùng

số thời gian còn lại để tụ trau dồi thêm kiến thức

2.3 Nội dung chương trình lượng giác ở trung học phổ thông

Trước đây, toàn bộ vấn đề lượng giác nằm trong chương trình Đại số và Giải tích 11 Trong chương trình mới, phần mở đầu về lượng giác đã được giới

thiệu ở chương cuối của Đại số 10, bao gồm các vấn đề xây dựng các khái niệm

cơ bản như góc và cung lượng giác, các giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác và một số công thức lượng giác Lượng giác lớp 11 là sự nối tiếp chương trình lượng giác lớp 10

Việc đưa lượng giác xuống lớp 10 từ lâu đã được nhiều nhà giáo và nhiều nhà khoa học đề xuất Ý kiến hợp lý này lẽ ra đã trở thành hiện thực trong SGK

2000 Nhưng vì nhiều lý do, đến 2006 mới được thực hiện Sự đổi mới này còn nhằm tạo điều kiện về thời gian để sớm đưa tổ hợp và đạo hàm vào chương trình Đại số và Giải tích 11, phục vụ cho hai môn Sinh học và Vật lí Điều đó thể hiện

rõ tính liên môn của toàn bộ hệ thống chương trình nói chung

SGK Đại số và Giải tích 11 nâng cao mở đầu bằng chương lượng giác, chương này chỉ còn hai nội dung chủ yếu là khảo sát các hàm số lượng giác và phương trình lượng giác; ngoài ra, các nội dung ấy cũng được trình bày hết sức gọn gàng, cơ bản

Trong nội dung phương trình lượng giác, không yêu cầu học sinh giải các phương trình đòi hỏi biến đổi phức tạp và không xét các phương trình lượng giác

có chứa tham số vì đa số các bài toán loại này thường dẫn đến phần biện luận khá phức tạp Các vấn đề phức tạp như thế, nếu cần, có thể đưa vào các chuyên

đề tự chọn

Nội dung bất phương trình lượng giác chỉ được trình bày trong bài học thêm Trong hệ thống bài tập cũng không có các bài tập về bất phương trình lượng giác Điều đó hoàn toàn phù hợp với xu thế hiện nay trên thế giới Trong chương trình của hầu hết các nước trên thế giới và trong khu vực cũng không hoặc chỉ đề cập hết sức đơn giản đến vấn đề bất phương trình lượng giác

Phân phối chương 1: “Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác” lớp

11 như sau:

Nội dung của chương gồm 3 bài (§), dự kiến thực hiện trong 17 tiết

Bài đọc thêm Dao động điều hòa

Luyện tập (1 tiết)

Em có biết ? Âm thanh

§2 Phương trình lượng giác cơ bản (3 tiết)

Bài đọc thêm Dùng máy tính bỏ túi để tìm một góc khi biết

một giá trị lượng giác của nó

§3 Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản (4 tiết)

Bài đọc thêm Bất phương trình lượng giác

Ôn tập và kiểm tra chương (2 tiết)

SGK yêu cầu về giải các phương trình lượng giác ở đây được giảm nhẹ rất nhiều so với trước đây Điều đó thể hiện ở hai điểm cơ bản:

- Chỉ nêu các dạng phương trình đơn giản, không đòi hỏi phải có những thủ thuật biến đổi lượng giác phức tạp, và nếu có các điều kiện kèm theo thì việc thử lại các điều kiện đó khá đơn giản

- Không yêu cầu giải và biện luận phương trình lượng giác chứa tham số Tuy nhiên, giáo viên cần chú ý rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải các phương trình lượng giác cơ bản thật thành thạo Đó là cơ sở để học sinh nâng cao

kĩ năng giải các phương trình phức tạp hơn

2.4 Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy giải phương trình lượng giác lớp 11

2.4.1 Rèn luyện theo các thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo

2.4.1.1 Rèn luyện theo tính mềm dẻo

VD1 Cho hai phương trình

2cosxcos2x = 1 + cos2x + cos3x (1)

4cos2x – cos3x = (a - 1)cosx - a 5(1 + cos2x) (2)

Tìm a để hai phương trình trên tương đương

Thông thường học sinh tìm cách giải hai phương trình ẩn cosx sau đó cho các tập nghiệm này bằng nhau, nhưng việc giải phương trình thứ hai như vậy

là khó Còn phần lớn học sinh mơ hồ khi tìm lời giải cho bài toán Vì bài toán

này dựa trên toán đại số về hai phương trình tương đương

Giải:

a) 2cosxcos2x = 1 + cos2x + cos3x

<=> cosx + cos3x = 1 + cos2x + cos3x

<=> cosx – 1 – cos2x = 0 <=> -2cos2x + cosx = 0

0 cos

x

x

b) 4cos2x – cos3x = (a - 1)cosx - a 5(1 + cos2x)

<=> 4cos2x – 4cos3x + 3cosx = (a - 1)cosx - a 5cos2x

<=> 4cos3x – 2(2 + a 5) cos2x + (a - 4)cosx = 0

) 5 2

( 2 cos 4

0 cos

2

a x a

x x

Cách 1: Để (1) <=> (2) thì phương trình (3) phải thỏa mãn

(3) có một nghiệm duy nhất cosx =

2 1

Hoặc (3) có hai nghiệm cosx = 0 và cosx =

2 1

Hoặc (3) có hai nghiệm cosx =

2

1

và cosx >1 Nhận xét: Cách này khá phức tạp

Cách 2: Tìm điều kiện cần để (1) <=> (2) là (3) có nghiệm cosx =

2 1Khi đó (3) trở thành 1 – 2 - a 5 + a – 4 = 0

<=> a 5 = a – 5 <=> a ≥ 5

Với a ≥ 5 => (3) <=> 4cos2x – 2(a – 3)cosx + a – 4 = 0

Có  \ = a2 – 6a + 9 – 4a + 16 = a2 – 10a + 25 = (a – 5)2 ≥ 0

5 3

cos

2

1 4

5 3

cos

a a

a x

a a

1 2 4

a a a a

đê (1) <=> (2) <=>

2 4

0  Đầu tiên học sinh rất mơ hồ khi làm bài Nếu GV hướng dẫn đưa phương

trình về hai phương trình cơ bản cosx =

2

1

và sinx = m thì HS sẽ tìm được mối

liên hệ giữa lượng giác và đại số để giải bài Đó là thể hiện tính mềm dẻo

0 1 cos 2

m x

x

sin

2

1 cos

3 ,

sinx = m hoặc có đúng một nghiệm duy

0 

hoặc có hai nghiệm phân biệt x1, x2  4 

3 ,

1 ( 2

1 ,

4) = 9(cosx -

x

cos

2) + 1

x

2 cos

1

t t

Nếu t = 1 = cosx -

x

cos

2  cos2x – cosx – 2 = 0

1 cos 2

cos

1 cos

2

7cosx – 2 = 0

Z k k x

x x

1 cos

2

1 cos

4 cos

k x

1 sinx + 3cosx + sinx 3 cosx  2

2 Xác định m để phương trình 2(sin4x + cos4x) + cos4x + 2sinx + m = 0 có ít

nhất một nghiệm thuộc 0,2 



3 Giải phương trình: sin2x + cos2x + 3sinx – cosx – 2 = 0

4 Giải phương trinh: 4sin2x + 2cosx.cos(x +

k x

k x

k x

2 2

2 6 2

6

5 3

2 6 3

, k Z

Bài 2

2(sin4x + cos4x) + cos4x + 2sinx + m = 0 (1)

2(1 – 2sin2xcos2x) + cos4x + 2sin2x + m = 0

3 3

sin2x + cos2x + 3sinx – cosx – 2 = 0 (1)

 - 2sin2x + (2cosx + 3)sinx – cosx – 1 = 0

 2sin2x - (2cosx + 3)sinx + cosx + 1 = 0 (2)

Ta coi đây là phương trình bậc hai theo sinx

 = (2cosx + 3)2 – 4 2.(cosx + 1) = (2cosx + 1)2

1 cos 2 3 cos 2 sin

2

1 4

1 cos 2 3 cos 2 sin

x x

x x

x x

k x

k x

k x

x

x

2 2 , 2

2 6

5 , 2 6 2

2 4

sin

2

1 sin

2

3sin2x = 0

k x x

x

6 3

1 tan

0 sin

, k Z

Bài 5

2sin2x + cos 2x 4 sin 2x = 1

 cos 2x 4 sin 2x = 1 – 2sin2x = cos2x

0 2 sin

0 2 cos

2 cos 2

sin 4 2 cos

2 cos 2

sin 4 2 cos

0 2 cos

x x

x x

x x

x

x x

x x

8

2 2

5 2

2.4.1.2 Rèn luyện theo tính nhuần nhuyễn

Khi thực hành giải toán, để thực hiện được điều này, ta cần phân tích cho học sinh thấy rõ các bước để giải một bài toán, tìm mối liên quan giữa bài toán đã biết với bài toán mới Qua đó thể hiện được tính nhuần nhuyễn của tư duy, khối kiến thức cơ bản vững chắc

VD1 Giải phương trình:

sin2x + cos2x + tanx = 2

Cách 1 Điều kiện: cosx ≠ 0 <=> x ≠

2



+ k , k  Z

Ta viết lại phương trình dưới dạng

(1 – sin2x) – cos2x + (1 - tanx) = 0

<=> (cosx - sinx)2 – (cos2x – sin2x) +

x

x x

cos

sin cos 

<=> (cosx - sinx)(

x

cos 1

- 2sinx ) = 0

<=> (cosx - sinx)

x

x x

cos

cos sin 2

Cách 2 Điều kiện cosx ≠ 0 <=> x ≠  k

2 , k  Z

Đặt t = tanx, khi đó ta có

t t

t t

1

1 1

2

= 2 <=> t3 – 3t2 + 3t – 1 = 0 <=> (t - 1)3 = 0

<=> tanx = 1 <=> x =  n

4 , n  Z , nghiệm này thích hợp Vậy nghiệm của phương trình là: x =  n

4 , n  Z Thông thường học sinh giải bài toán trên theo cách 1 Vì không nhớ được công thức nếu tanx = t thì sin2x = 2

cos4x + sin6x = cos2x

x x

x x

x x

2 cos 8

2 cos 2 cos 3 2 cos 3 1 4

2 cos 2 cos 2



 cos32x – 5cos22x + 7cos2x – 3 = 0

(cos2x – 1)(cos22x – 4cos2x + 3) = 0

VN x

1 2 cos

0

, k Z

Cách 2:

cos4x + sin6x = cos2x

 cos4x + sin6x = (cos2x – sin2x)(cos2x + sin2x)

 cos4x + sin6x = cos4x – sin4x

sin6x + sin4x = 0  sin4x(sin2x + 1) = 0

sinx = 0 xk, k Z

Vậy nghiệm của phương trình là: xk, k Z

Cách 2 đòi hỏi HS cần linh hoạt, có kiến thức nhuần nhuyễn

Bài tập Giải các phương trình sau:

1 cos3x +

x

cos

1 = 1 + 4cos(x +

cos3x +

x

cos

1 = 1 + 4cos(x +

x

x

cos

3 cos

2 3 1 cos

1 3 cos 1

cos 1

1 3 cos





x k

x

k x x

x x

cos9x + 2cos3x + 2sin(3x +

4



) = 3sinx

 cos9x + 3cos3x = 3sinx – sin3x

k x

k x x

k x x

4

2 8 2

2 3

2 2

x

cos 3 cos

4 sin

= 1 cos3x = sin4x = cos(

k x

k x x

k x x

2 2

7

2 14 2

4 2 3

2 4 2

x

3 sin sin

4 sin

2 2

3 4

2 3 4

k x k

x x

k x x