Phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học chương Phép nhân và phép chia các đa thức lớp 8 trung học cơ sở

Đặc biệt cần chú ý đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động, tư duy sáng tạo của người học nhằm đáp ứng nhu cầu về đào tạo nguồn nhân lực hiện nay.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

Chuyên ngành : LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số : 60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN VŨ LƯƠNG

HÀ NỘI – 2012

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Lịch sử nghiên cứu 2

3 Mục tiêu nghiên cứu 3

4 Phạm vi nghiên cứu 3

5 Mẫu khảo sát 3

6.Vấn đề nghiên cứu 4

7 Giả thuyết khoa học 4

8 Phương pháp nghiên cứu 4

9 Dự kiến luận cứ 5

10 Cấu trúc luận văn 5

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 6

1.1.Đại cương về tư duy 6

1.1.1.Tư duy là gì? 6

1.1.2 Đặc điểm của tư duy 6

1.2 Tư duy toán học 7

1.2.1 Các thao tác tư duy toán học 8

1.2.2 Một số loại hình tư duy toán học 11

1.3 Mục tiêu dạy học môn Toán trong nhà trường phổ thông 19

1.3.1 Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác 20

1.3.2 Phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng 20

1.3.3 Rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản 21

1.3.4 Hình thành những phẩm chất trí tuệ 21

Chương 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN VÀ ĐỀ XUẤT

NHỮNG BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HÀNH GIẢNG DẠY

CHƯƠNG “PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC” LỚP

8 TRUNG HỌC CƠ SỞ CÓ TÁC DỤNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY

CHO HỌC SINH 23

2.1 Những căn cứ để phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học chương “Phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 trung học cơ sở 23

2.1.1 Dạy tư duy 23

2.1.2 Nội dung chương “Phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 THCS với vấn đề phát triển tư duy cho học sinh 24

2.2 Rèn luyện các thao tác tư duy : phân tích- tổng hợp, so sánh- tương tự hóa, khái quát hóa- đặc biệt hóa 25

2.2.1 Phân tích Tổng hợp 25

2.2.2 So sánh - Tương tự hóa 29

2.3 Phát triển các dạng tư duy: Tư duy thuật toán,Tư duy sáng tạo 30

2.3.1 Tư duy thuật toán 39

2.3.2 Tư duy sáng tạo 32

2.4 Kết luận 40

2.5 Thiết kế một số giáo án và các chuyên đề có liên quan đến chương “Phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 THCS có tác dụng phát triển tư duy cho học sinh 42

Chương 3: THỰC NGHỆM SƯ PHẠM 89

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 89

3.1.1 Mục đích 89

3.1.2 Nhiệm vụ của thực nghiệm 89

3.2 Nội dung thực nghiệm 99

3.3.Tổ chức thực nghiệm 99

3.3.1 Kế hoạch và đối tượng thực nghiệm 99

3.3.2 Phương pháp và tiến trình thực nghiệm 100

3.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm 108

3.4.1 Cơ sở để đánh giá kết quả thực nghiệm 108

3.4.2 Phân tích kết quả thực nghiệm 108

3.4.3 Thực nghiệm chính thức 108

3.4.4 Xử lý số liệu 108

3.5 Kết quả thực nghiệm thu được 110

3.6 Kết luận chung về thực nghiệm 117

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 119

1 Kết luận 119

2 Khuyến nghị 120

TÀI LIỆU THAM KHẢO 122 PHỤ LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Năng lực tư duy là điều kiện cần và đủ để khám phá và lĩnh hội tri thức Ngày nay, khi nền kinh tế tri thức tác động mạnh mẽ đối với sự phát triển của lực lượng sản xuất thì việc rèn luyện tư duy của mỗi người lại càng hết sức cần thiết Trong nền kinh tế ấy, tri thức trở thành quyền lực, trở thành chìa khoá mở cửa tương lai Không có những năng lực, phẩm chất của tư duy, con người không có khả năng nắm bắt tri thức, lĩnh hội tri thức và cũng không có khả năng vận dụng tri thức Làm thế nào để phát triển tư duy cho người học một cách hiệu quả? Đó là câu hỏi đặt ra không chỉ cho ngành Giáo dục mà cho toàn xã hội.Trong thực tế, phát triển tư duy cho người học là mục tiêu quan trọng của các chương trình dạy học Để đạt được mục tiêu đó, chương trình dạy học và phương pháp dạy học cần có những thay đổi phù hợp SGK của chúng ta đã được thay đổi nhưng là tài liệu chung cho tất cả các đối tượng học sinh, tất cả các vùng miền trong cả nước Mỗi đối tượng học sinh khác nhau, mỗi vùng miền khác nhau phải có sự xây dựng bài dạy phù hợp để có thể phát triển được tư duy cho học sinh

Đại hội XI của Đảng (1-2011) xác định “Phát triển giáo dục là quốc sách hàng đầu Đổi mới căn bản, toàn diện nền giáo dục Việt Nam theo hướng chuẩn hóa, hiện đại hóa, xã hội hóa, dân chủ hóa và hội nhập quốc tế…”Thực

tế này đòi hỏi ngành Giáo dục phải đổi mới một cách toàn diện về mục tiêu, nội dung, phương pháp và hình thức tổ chức thực hiện Đặc biệt cần chú ý đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động, tư duy sáng tạo của người học nhằm đáp ứng nhu cầu về đào tạo nguồn nhân lực hiện nay.Định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được xác định trong Nghị quyết Trung ương 4 khoá VII (1-1993), Nghị quyết Trung ương 2 khoá VIII(12-1996) được thể chế hoá trong luật giáo dục (2005).Luật giáo dục, điều 24.2 có ghi: "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện

kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh".

Trong quá trình hình thành và phát triển tư duy của học sinh thì Toán học có vai trò đặc biệt quan trọng Toán học là cơ sở của nhiều ngành khoa học quan trọng, sự phát triển của Toán ho ̣c gắn bó chặt chẽ và có tác động qua lại, trực tiếp với sự tiến bộ của các nghành kho a ho ̣c khác Vì vậy , tư duy Toán học có giá trị lớn trong đời sống , trong nghiên cứu khoa ho ̣c , trong sản xuất, đặc biệt trong công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước

Như vậy trong quá trình dạy học với lượng kiến thức và thời gian được phân phối cho môn Toán bậc THCS, giáo viên phải xây dựng được các bài tập, bài giảng và phương pháp giảng dạy phù hợp để có thể phát triển được tư duy cho học sinh Trong chương trình Toán bậc THCS thì kiến thức chương “Phép nhân và phép chia các đa thức” là rất quan trọng có ứng dụng ở hầu hết các dạng toán nhưng những tài liệu có tính hệ thống cho nội dung này còn rất đơn giản, thiếu thách thức để có thể phát triển được tư duy cho học sinh Từ những

lí do trên, đề tài được chọn là: Phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học chương “Phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 trung học cơ sở

2 Lịch sử nghiên cứu

Gần đây cũng có nhiều công trình nghiên cứu về việc phát triển tư duy cho học sinh trong dạy học bộ môn Toán như:

- Nguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh, Tôn Thân [8] với Khuyến khích một

số hoạt động trí tuệ của học sinh qua môn Toán ở trường THCS ( 2006)

- Phan Thị Hương Thảo với Rèn luyện tư duy sáng tạo trong dạy hình học không gian Luận văn thạc sĩ , trường ĐHSP Thái Nguyên (2007)

- Phan Thị Luyến với Rèn luyện tư duy phê phán của học sinh trung học phổ thông qua dạy học chủ đề Phương trình và Bất phương trình Luận án Tiến sĩ

Giáo dục học( 2008)

- Nguyễn Thu Hương với Phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học chương “Tứ giác” lớp 8 trung học cơ sở , luận văn thạc sĩ, trường ĐH Giáo dục, ĐHQG Hà Nội ( 2010)

Có thể thấy rằng vấn đề phát triển tư duy trong dạy học bộ môn Toán đã thu hút được sự quan tâm chú ý của nhiều tác giả Tuy nhiên, qua tìm hiểu chúng tôi chưa thấy có công trình khoa học nào xây dựng các phương pháp

thực hành giảng dạy chương “Phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 trung học cơ sở nhằm phát triển tư duy cho học sinh

3 Mục tiêu nghiên cứu

- Xây dựng hệ thống bài toán có tiềm năng bồi dưỡng và phát triển tư duy cho học sinh, chỉ ra được một số phương thức khai thác các bài toán nhằm phát triển tư duy cho học sinh

- Đề xuất một số biện pháp tổ chức thực hành giảng dạy chương “Phép nhân và phép chia các đa thức” theo hướng phát triển tư duy cho học sinh

- Thiết kế một số bài giảng và chuyên đề liên quan đến nội dung chương “Phép nhân và phép chia các đa thức” vận dụng các biện pháp trên

6.Vấn đề nghiên cứu

-Cơ sở lí luận về tư duy là gi? Quá trình rèn luyện và phát triển tư duy

ở học sinh bậc trung học cơ sở như thế nào?

- Để phát triển tư duy cho học sinh, giáo viên cần rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy nào và phẩm chất tư duy nào?

- Xây dựng các bài toán, tổ chức các hoạt động thực hành giảng dạy

chương “Phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 THCS như thế nào để phát triển tư duy cho học sinh?

7 Giả thuyết khoa học

Nếu giáo viên xây dựng được một hệ thống bài toán và đề xuất được những biện pháp tổ chức thực hành giảng dạy những nội dung liên quan đến chương “Phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 THCS sẽ có tác dụng phát triển tư duy cho học sinh

8 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn chúng tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:

8.1 Phương pháp nghiên cứu dựa trên tài liệu

- Nghiên cứu lý thuyết đã có về phát triển tư duy qua các tài liệu trong

và ngoài nước liên quan đến đề tài

- Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến nội dung chương “Phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 THCS, chương trình sách giáo khoa, sách tham khảo, mục tiêu dạy học, phương pháp dạy học phục vụ chuyên môn giảng dạy nội dung trên

8.2 Phương pháp điều tra, quan sát

- Dự giờ trao đổi với các đồng nghiệp cùng chuyên môn ở 4 trường thực nghiệm

- Quan sát những hoạt động của GV và HS trong một số giờ dạy để rút ra những nhận xét về phát triển tư duy thông qua dạy học chương “Phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 THCS

- Điều tra hoạt động dạy của GV, hoạt động học của HS bằng trao đổi, hỏi, phỏng vấn nhằm đánh giá hiệu quả việc vận dụng các biện pháp đã

nghiên cứu trong đề tài, tìm hướng khắc phục, kịp thời hỗ trợ cho việc đánh giá kết quả thực nghiệm

8.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Dạy thực nghiệm tại một số lớp khối 8 tại trường THCS Lương Chí - Tĩnh Gia- Thanh Hóa ,trường THCS Hải Nhân - Tĩnh Gia- Thanh Hóa trường THCS Hải Ninh - Tĩnh Gia- Thanh Hóa, trường THCS Hải Thượng - Tĩnh Gia- Thanh Hóa, trườ ng THCS Hải Hòa - Tĩnh Gia- Thanh Hóa

8.4 Phương pháp thống kê toán học

Xử lí các số liệu sau khi điều tra

9 Dự kiến luận cứ

9.1 Luận cứ lý thuyết

1) Khái niệm tư duy

2) Các thao tác tư duy cần thiết cho sự phát triển trí tuệ của học sinh

- Phân tích – Tổng hợp

- So sánh - Tương tự hóa

- Khái quát hóa - Đặc biệt hóa

3) Sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo liên quan đến chương “Phép nhân và phép chia đa thức” lớp 8 trung học cơ sở

9.2 Luận cứ thực tế

Đánh giá sự phát triển tư duy cho học sinh thông qua thực nghiệm sư phạm tại một số trường trung học cơ sở

10 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận

Chương 2: Xây dựng hệ thống bài toán và đề xuất những biện pháp tổ

chức thực hành giảng dạy chương “ Phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 THCS có tác dụng phát triển tư duy cho học sinh

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1 Đại cương về tư duy

1.1.1 Tư duy là gì?

Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính chất qui luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan [21 tr.1]

Theo từ điển Tiếng Việt [18], tư duy: “Giai đoạn cao của quá trình nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính qui luật của sự vật bằng những hình thức như biểu tượng, phán đoán, suy lý”

Ở mức độ nhận thức cảm tính, con người chỉ phản ánh các thuộc tính

cụ thể, trực quan, bề ngoài Nảy sinh trên cơ sở cảm tính và vượt xa giới hạn nhận thức cảm tính, tư duy là quá trình tâm lý nhờ đó con người phản ánh được các đối tượng, các hiện tượng của hiện thực qua những dấu hiệu căn bản của chúng, vạch ra được những mối liên hệ khác nhau trong mỗi đối tượng, hiện tượng và giữa các đối tượng, hiện tượng với nhau.[6]

1.1.2 Đặc điểm của tư duy

Nhiều nhà tâm lý học đã chỉ ra tư duy có một số đặc điểm chính sau: + Tư duy có quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ : “Tư duy chỉ tồn tại dưới cái vỏ ngôn ngữ” [6, tr.94] Hay nói cách khác ngôn ngữ được xem như là phương tiện của tư duy Tư duy mang tính gián tiếp, nó được phản ánh bằng ngôn ngữ

+ Tư duy mang tính khái quát: Phản ánh những thuộc tính chung, những mối quan hệ có tính qui luật của hàng loạt sự vật, hiện tượng Tư duy mang tính trừu tượng

+ Tư duy có quan hệ chặt chẽ với nhận thức cảm tính Tư duy thường được bắt đầu từ nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh tình huống có vấn đề Trong quá trình diễn biến của tư duy, nhất thiết phải sử dụng nguồn tài liệu phong phú do nhận thức cảm tính đem lại Dù cho

chứa đựng những thành phần cảm tính Và ngược lại, tư duy và những kết quả của nó chi phối khả năng phản ánh của cảm giác, tri giác, làm cho khả năng cảm giác của con người tinh vi, nhạy bén hơn, làm cho tri giác của con người mang tính lựa chọn, tính ý nghĩa

+ Tư duy luôn luôn hướng vào việc giải quyết một nhiệm vụ nào đó

Tư duy chỉ nảy sinh khi có vấn đề, có nhiệm vụ nhận thức, đặc điểm này được gọi là tính “có vấn đề” của tư duy Tính có vấn đề của tư duy được tính đến trong quá trình dạy học, thầy giáo đặt HS trước một nhiệm vụ nhận thức (câu hỏi, bài toán…) HS phải đi tìm cách giải quyết nhiệm vụ ấy, đi tìm cái giống

nhau, cái khác nhau, khái quát các sự kiện và tự mình rút ra các kết luận Vai trò của bài toán mà người thầy đưa ra đặc biệt được coi trọng, nó được xem như một lực thúc đẩy tư duy HS tích cực học tập, do đó để dạy tư duy cho HS, người thầy cần chọn lựa được hệ thống bài tập phù hợp

Theo [6, tr.103], trong quá trình giải toán, kiến thức và tư duy có mối quan hệ tương hỗ với nhau Những kiến thức tham gia vào quá trình tư duy có thể được chia làm hai loại: Thứ nhất là những kiến thức mà người giải toán thu nhận trực tiếp từ điều kiện của bài toán khi đọc kĩ đề bài; Thứ hai là những kiến thức về định nghĩa, định lí, định luật toán học mà người giải toán

đã thu thập được từ trước để thiết lập mối quan hệ lôgic giữa điều kiện và kết luận của bài toán Quá trình tư duy trong giải toán có tiến triển được hay không là tuỳ thuộc ở chỗ hai loại kiến thức trên có thiết lập được mối liên hệ qua lại hay không Những mối liên hệ qua lại này được thực hiện thông qua những hành động trí tuệ với những kiến thức loại thứ nhất Sự phát triển của các năng lực tư duy đòi hỏi phát triển cả mặt nội dung của tư duy (các kiến thức) lẫn mặt hành động của tư duy (các hành động trí tuệ)

1.2 Tư duy toán học

Tư duy toán học được nảy sinh trong quá trình học tập, nghiên cứu với

những đối tượng và quan hệ toán học

1.2.1 Các thao tác tư duy toán học

1.2.1.1 Phân tích- tổng hợp

Đứng trước một bài toán học sinh phải đặt ra cho mình câu hỏi : Giả thiết bài toán cho điều gì? kết luận của bài toán yêu cầu gì? muốn giải quyết yêu cầu của bài toán ta phải làm gì? vận dụng kiến thức như thế nào, muốn thế ta phải thực hiện thế nào? Đứng trước một lời giải của bài toán học sinh phải biết tự đặt câu hỏi: Bài toán tại sao lại được giải như vậy? dựa trên cơ sở nào? giải bài toán tổng quát như thế nào? liệu có cách giải nào khác không? nếu thay đổi một số giả thiết thì bài toán thay đổi thế nào? các trường hợp đặc biệt của bài toán ra sao?

Rèn luyện năng lực phân tích và tổng hợp cho học sinh là yếu tố rất quan trọng trong dạy học, học sinh có năng lực này sẽ nhìn nhận các bài toán một cách hệ thống, biết phán đoán, biết cách suy luận để tìm lời giải không những cho bài toán cụ thể mà còn cả hệ thống bài toán, biết nêu bài toán tổng quát dẫn đến khả năng giải quyết vấn đề được phát huy cao độ nhất

Phân tích là thao tác tư duy để phân chia đối tượng nhận thức thành các

bộ phận, các mặt, các thành phần khác nhau Trong giải toán, phân tích là phương pháp suy luận đi từ cái chưa biết đến cái đã biết

Xuất phát từ góc độ phân tích các hoạt động tư duy đi sâu vào bản chất thuộc tính của bộ phận từ đó đi tới những giả thiết và những kết luận khoa học Trong học tập hoạt động này rất phổ biến Chẳng hạn, muốn giải một bài toán , phải phân tích tìm các mối lien hệ, các yếu tố, dữ kiện của bài toán từ

đó mới có thể giải được bài toán

Tổng hợp là hoạt động nhận thức phản ánh của tư duy biểu hiện trong

việc xác lập tính thống nhất của các phẩm chất, thuộc tính của các yếu tố trong một sự vật nguyên vẹn có thể có được trong việc xác định phương hướng thống nhất và xác định các mối liên hệ, các mối quan hệ giữa các yếu

tố của sự vật nguyên vẹn đó, trong việc liên kết và liên hệ giữa chúng và chính vì vậy đã thu được một sự vật và hiện tượng nguyên vẹn mới Tổng

hợp là các thao tác tư duy để hợp nhất các bộ phận, các mặt, các thành phần

đã tách rời nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể Trong giải toán, phép tổng

hợp là phương pháp suy luận đi từ cái đã biết đến cái chưa biết

Phép tổng hợp thường dùng khi trình bày lời giải sau quá trình phân tích Học sinh nắm vững phương pháp tổng hợp dẫn đến việc khái quát hóa một dạng toán đi từ các bài toán cụ thể, từ đó phát hiện được những lời giải cho bài toán tổng quát; khi gặp những bài toán thuộc dạng đó, học sinh dễ dàng nhận ra đường lối chung để giải nó

Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết không thể tách rời, chúng là

hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất Phân tích tiến hành theo hướng tổng hợp, tổng hợp được thực hiện theo kết quả phân tích Phân tích để tổng hợp có cơ sở và tổng hợp để phân tích đạt được chiều sâu bản chất hiện tượng

sự vật Trong học tập môn toán, phân tích-tổng hợp có mặt ở mọi hoạt động trí tuệ, là thao tác tư duy quan trọng nhất để giải quyết vấn đề Sự phát triển của phân tích và tổng hợp là đảm bảo hình thành của toàn bộ tư duy và các hình thức tư duy của học sinh

1.2.1.2 So sánh, tương tự hóa

So sánh là thao tác tư duy nhằm xác định sự giống nhau hay khác nhau,

sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đối tượng nhận thức Trong hoạt động tư duy của học sinh thì so sánh giữ vai trò tích cực Việc tìm ra những dấu hiệu giống nhau cũng như khác nhau giữa hai sự vật hiện tượng là nội dung chủ yếu của tư duy so sánh Việc nhận thức bản chất của sự vật hiện tuợng không thể có nếu không có sự tìm ra sự khác biệt sâu sắc, sự giống nhau của các sự vật, hiện tượng

Cũng như tư duy phân tích, tư duy tổng hợp thì tư duy so sánh có thể ở mức độ đơn giản (tìm tòi, thống kê, nhận xét) cũng có thể thực hiện trong quá trình biến đổi và phát triển Nhờ so sánh người ta có thể tìm thấy các dấu hiệu bản chất giống nhau và khác nhau của các sự vật Ngoài ra còn tìm thấy những dấu hiệu bản chất, không bản chất thứ yếu của chúng

So sánh liên quan chặt chẽ với phân tích-tổng hợp và đối với các hình thức tư duy đó có thể ở mức độ đơn giản hơn nhưng vẫn có thể nhận thức được những yếu tố bản chất của sự vật, hiện tượng

Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số

dấu hiệu, rút ra kết luận hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác Như vậy, tương tự là sự giống nhau giữa hai hay nhiều đối tượng ở một mức

độ nào đó, trong một quan hệ nào đó

Đứng trước nhiều bài toán, dạng toán khác nhau nhưng có một số điểm chung ở phần giả thiết, các yêu cầu của kết luận học sinh phải biết liên hệ lôgic với nhau qua phép so sánh và tương tự Từ đó tăng khả năng phân biệt, nhận biết các dạng toán và nhận biết nhanh đường lối giải các dạng bài toán đó

So sánh bao gồm hai thành phần chính đó là phát hiện đặc điểm chung và phát hiện đặc điểm khác nhau giữa các bài toán Nhờ đó có thể phát hiện hàng loạt bài toán có cách giải hoặc ý tưởng giải giống nhau Qua đó luyện tập cho học sinh phép tương tự Không những thế còn phát triển cho học sinh hàng loạt bài toán giống nhau để đi đến dạng tổng quát của nó hoặc từ một bài toán tổng quát có thể đi vào giải từng bài toán cụ thể Rèn luyện kỹ năng này giúp học sinh phân biệt các ý tưởng của các dạng bài toán mà cùng vận dụng một kiến thức những suy nghĩ theo nhưng hướng khác nhau hoặc so sánh lời giải các bài toán trong cùng một dạng giúp cho học sinh hiểu sâu hơn về dạng toán đó

1.2.1.3 Khái quát hóa, đặc biệt hóa

Khái quát hoá là hoạt động tư duy tách những thuộc tính chung và các mối liên hệ chung, bản chất của sự vật, hiện tượng tạo nên nhận thức mới dưới hình thức khái niệm, định luật, qui tắc

- Khái quát hoá cảm tính: diễn ra trong hoàn cảnh trực quan, thể hiện ở trình độ sơ đẳng

- Khái quát hoá hình tượng, khái niệm: là sự khái quát cả những tri thức

có tính chất khái niệm bản chất sự vật và hiện tượng hoặc các mối quan hệ không bản chất dưới dạng các hình tượng hoặc trực quan, các biểu tượng

Tư duy khái quát hoá là hoạt động tư duy có chất lượng cao, sau này khi học ở cấp học cao, tư duy này sẽ được huy động một cách mạnh mẽ vì tư duy khái quát hoá là tư duy lí luận khoa học

Khái quát hoá nhằm hợp nhất nhiều đối trượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính, những liên hệ hay quan hệ chung giống nhau và những thuộc tính chung bản chất

Theo G.S Nguyễn Bá Kim: "Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát" [8, tr.51]

Như vậy có thể hiểu khái quát hoá là quá trình đi từ cái riêng, cái đặc biệt đến cái chung, cái tổng quát, hoặc từ một tổng quát đến một tổng quát hơn Trong toán học, người ta thường khái quát một yếu tố hoặc nhiều yếu tố của khái niệm, định lý, bài toán thành những kết quả tổng quát

Đặc biệt hóa là quá trình ngược lại của quá trình khái quát hóa Đặc biệt hoá là yêu cầu đi từ cái chung đến cái riêng và làm rõ mối quan hệ chung riêng giữa cái tổng quát và cái cụ thể từ đó tìm được nhiều trường hợp riêng lẻ

từ một bài toán xuất phát

Các kỹ năng này giúp học sinh có cách nhìn tổng quát về các bài toán sau khi giải Trên cơ sở đó, học sinh có thể phát triển thành các bài toán mở rộng hơn, hoặc trong mỗi trường hợp có thể xét bài toán ở các trường hợp đặc biệt.Từ

đó việc suy luận đến lời giải sẽ nhanh chóng hơn đối với các dạng toán đó

1.2.2.4 Trừu tượng hóa

Trừu tượng hoá là thao tác tư duy nhằm gạt bỏ những mặt, những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ lại các yếu tố cần thiết cho tư duy Sự phân biệt bản chất hay không bản chất ở đây chỉ mang nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động

1.2.2 Một số loại hình tư duy toán học

Về cách phân loại những thành phần chủ yếu của tư duy, theo [28] có bàn đến những thành phần chủ yếu của tư duy, bao gồm:

1.2.2.1 Tư duy cụ thể

Là tư duy trong tác động chặt chẽ với một hình mẫu cụ thể của đối tượng Người ta phân biệt hai hình thái tư duy cụ thể, đó là: tư duy linh hoạt

và tư duy không linh hoạt

1.2.2.2 Tư duy trừu tượng

Là tư duy đặc trưng bởi kỉ năng và ý thức, tách khỏi nội dung cụ thể của đối tượng đang nghiên cứu để thuận tiện hơn khi xét những tính chất chung nhất cần nghiên cứu Tư duy trừu tượng có những dạng biểu hiện sau trong quá trình giảng dạy toán, đó là: trong dạng rõ rệt và trong dạng không rõ rệt Tư duy trừu tượng được Kôliagin và đồng tác giả phân chia thành ba hình

thái cụ thể và chi tiết hơn: Một là, tư duy phân tích Hai là, tư duy logic Ba là,

tư duy lược đồ không gian

1.2.2.3 Tư duy trực giác

Trong lĩnh vực Toán học, có những người có khả năng dự đoán những kết luận, với ý nghĩa đó người ta nói đến tư duy trực giác Các nhà triết học duy tâm hiểu trực giác là: "Năng lực đặc biệt của sự quan sát bên trong, là trạng thái của một tư tưởng đến đột ngột, nhờ đó mà con người dường như có thể nhận thức được tâm lí mà không cần có sự tham gia của hoạt động suy luận logic" Còn theo quan điểm của Koliagin và đồng tác giả, thì trực giác là phương pháp đặc biệt của nhận thức được đặc trưng bởi cách hiểu trực tiếp về

sự thật Người ta thường xếp vào lĩnh vực trực giác, các hiện tượng kiểu như: đột nhiên tìm ra lời giải của một bài toán đã suy ngẫm nhiều nhưng chưa giải được, đột nhiên tìm ra một biện pháp để thoát khỏi sự nguy hiểm…

1.2.2.4 Tư duy hàm

Kôliagin cho rằng: Tư duy hàm đặc trưng bởi sự hiểu biết những mối quan hệ chung và riêng, bởi các quan hệ giữa những đối tượng toán học hoặc giữa các tính chất của chúng và bởi kỉ năng sử dụng các quan hệ ấy Còn theo Nguyễn Bá Kim: Tư duy hàm đặc trưng bởi các hoạt động phát hiện các sự

tương ứng, thiết lập các sự tương ứng, nghiên cứu các sự tương ứng, lợi dụng các sự tương ứng [8 ]

Các hoạt động đặc trưng cho tư duy hàm đó là:

HĐ 1: Phát hiện hoặc thiết lập những sự tương ứng

HĐ 2: Nghiên cứu những sự tương ứng

HĐ 3: Lợi dụng những sự tương ứng

Tư duy hàm thể hiện ở sự nhận thức được tiến trình những tương ứng riêng và chung giữa các đội tượng toán học hay những tính chất của chúng rèn luyện tư duy hàm cho học sinh tạo điều kiện phát triển những hoạt động trí tuệ sau:

Tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng những tương ứng trong khi và nhằm vào truyền thụ kiến thức và rèn luyện kỹ năng toán học

Thực hiện gợi động cơ sao cho những hoạt động tư duy hàm trở thành những khả năng gợi động cơ nội tại toán học trong các giờ dạy học giải bài tập toán

Hình thành ở học sinh những biểu tượng, tiến tới những tri thức về tương ứng đơn trị và tập luyện cho họ những hoạt động ăn khớp với những tri thức phương pháp

1.2.2.5 Tư duy phê phán

Theo [12] thì tư duy phê phán nhằm trả lời hai câu hỏi sau:

+ Ta sẽ tin vào điều gì?

+ Ta sẽ lựa chọn cách nào?

Loại hình tư duy này đặc trưng bởi việc tạo lập tiêu chuẩn cho sự tin tưởng vào hành động; kiên định thái độ "tin tưởng", "hoài nghi" và chỉ đưa ra phán đoán, kết luận cuối cùng khi đã xem xét hết các tư liệu đã có

Chúng ta cần phải hiểu rằng cách phân loại trên đây chỉ là tương đối Rõ ràng khó mà kể hết các loại hình tư duy, bởi vì, mỗi tác giả lại có quan điểm

riêng và ngay bản thân từng tác giả thì các loại tư duy theo cách phân loại của họ cũng có sự giao thoa và cũng không thể kì vọng vào một sự đầy đủ tuyệt đối

1.2.2.6.Tư duy thuật toán

Theo [ 21] thuật toán là một trong những khái niệm rất quan trọng của Toán học và Tin học Trong lịch sử toán học, khái niệm thuật toán ra đời rất sớm và ban đầu được hiểu theo nghĩa trực giác Khái niệm thuật toán theo nghĩa trực tiếp là đủ dùng trong suốt đời một thời gian rất dài Mãi tới đầu thế

kỷ 20, xuất hiện những bài toán yêu cầu phải chứng minh là không tồn tại thuật giải để giải chúng Khái niệm trực giác về thuật giải là không đủ để giải quyết vấn đề này Từ đó, những định nghĩa toán học chính xác về thuật toán

đã ra đời (trong số đó có khái niệm máy Turing và hàm đệ quy) Ở đây, chúng

ta không trình bày những định nghĩa hình thức này mà chỉ nêu ra khái niệm thuật toán theo nghĩa trực giác

Theo nghĩa trực giác, thuật toán là một quy tắc chính xác và đơn trị quy định một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theo một trình tự nhất định trên những đối tượng sao cho sau một số hữu hạn bước thực hiện các thao tác đó

ta thu được kết quả mong muốn

Đây không phải là một định nghĩa toán học của khái niệm thuật toán

mà chỉ là một cách phát biểu giúp ta hình dung khái niệm này Cách phát biểu trên chứa đựng một số thuật ngữ chưa được chính xác hóa, chẳng hạn: quy tắc, thao tác sơ cấp Những thuật ngữ này được hiểu theo trực giác Thuật toán

có các tính chất cơ bản sau đây:

- Tính đơn trị: Tính đơn trị của thuật toán đòi hỏi rằng các thao tác trong thuật toán phải đơn trị Nghĩa là hai phần tử cùng một cơ cấu thực hiện cùng một thao tác trên cùng một đối tượng thì phải cho cùng một kết quả Tính chất này nói lên tính hình thức hoá của thuật toán nhờ đó ta có thể lập trình giao cho các thiết bị tự động thực hiện thuật toán thay thế con người

- Tính dừng: Tính dừng của thuật toán yêu cầu sau một số hữu hạn lần thực hiện các thao tác đã chỉ ra phải đi đến kết thúc, thu được kết quả như

mong muốn Tính dừng của thuật toán không quy định cụ thể mỗi thuật giải phải có bao nhiêu bước, điều đó phụ thuộc vào tính chất và độ phức tạp của bài toán nhưng phải đảm bảo không được lặp lại mãi

- Tính đúng đắn: Thuật toán phải đảm bảo tính đúng đắn tức là phải giải quyết đúng vấn đề đặt ra, làm đúng công việc mà ta mong muốn Thuật toán

không cho phép kết quả sai hoặc không đầy đủ, bỏ sót trường hợp

- Tính phổ dụng: Thuật toán phải áp dụng được cho một lớp các bài toán có cùng cấu trúc với những dữ liệu cụ thể khác nhau Nhờ tính chất này, người ta sáng tạo ra những thuật toán, rồi từ đó xây dựng những chương trình mẫu để giải từng lớp bài toán

- Tính hiệu quả: Yêu cầu hiệu quả của thuật toán là tính tối ưu Tiêu chuẩn tối ưu được hiểu là:

+ Thuật toán thực hiện nhanh, tốn ít thời gian

+ Thuật toán dùng ít giấy hoặc thiết bị lưu trữ các kết quả trung gian + Đáp ứng được nhu cầu của thực tiễn

Quan điểm khai thác hoạt động trong nội dung dạy học cho rằng mỗi nội dung dạy học đều chứa đựng nhiều hoạt động tương thích với nó, đó là những hoạt động được thực hiện trong quá trình hình thành và vận dụng nội dung này Tương thích với khái niệm thuật toán có những hoạt động đáng chú

- Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động;

- Phát hiện thuật toán tối ưu để giải quyết một công việc

Phương thức tư duy biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động trên được gọi là tư duy thuật toán Mỗi khả năng ấy là một thành tố của tư duy thuật toán Thành phần đầu tiên thể hiện năng lực thực hiện thuật toán, bốn thành phần sau thể hiện năng lực xây dựng thuật toán Các hoạt động trên được gọi là hoạt động tư duy thuật toán

1.2.2.7 Tư duy sáng tạo

i) Tư duy sáng tạo là gì?

"Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao Ý tưởng mới thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Tính độc đáo của

ý tưởng mới thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất" [10, tr.72]

Theo nhà tâm lý học G.Mehlhorn: "Tư duy sáng tạo là hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân đồng thời là hạt nhân cơ bản của giáo dục"

Khi xem xét tư duy sáng tạo trên bình diện như một năng lực của một con người thì J.Danton quan niệm: "Tư duy sáng tạo, đó là năng lực tìm thấy những ý nghĩa mới, tìm thấy những mối liên hệ mới, là một chức năng của kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá "

Tuỳ vào mức độ tư duy, người ta chia nó thành: tư duy tích cực, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo Mỗi mức độ tư duy đi trước là tiền đề tạo nên mức

độ tư duy đi sau Đối với chủ thể nhận thức, tư duy tích cực được đặc trưng bởi sự khát vọng, sự cố gắng trí tuệ và nghị lực Còn tư duy độc lập thể hiện ở khả năng tự phát hiện và giải quyết vấn đề, tự kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được Không thể có tư duy sáng tạo nếu không có tư duy tích cực và tư duy độc lập

Mặt khác, có ý kiến cho rằng: "Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo" [10, tr.33]

Mối quan hệ các loại hình tư duy có thể biểu thị mối liên hệ bởi sơ đồ sau:

Tư duy tích cực

Tư duy độc lập

Tư duy sáng tạo

Hình 1.1: Mối quan hệ các loại hình tư duy

Ví dụ về tư duy sáng tạo: Học sinh tự khám phá định lý, tự chứng minh định lý đó

Tư duy sáng tạo có tính chất tương đối vì cùng một chủ thể giải quyết vấn đề trong điều kiện này có thể mang tính sáng tạo trong điều kiện khác, hoặc cùng một vấn đề được giải quyết có thể mang tính sáng tạo đối với người này nhưng không mang tính sáng tạo đối với người khác

ii) Quá trình sáng tạo

Như J.Adama đã "Nghiên cứu về tâm lí học sáng tạo trong lĩnh vực toán học" đã chỉ ra quá trình lao động sáng tạo ấy trải qua bốn giai đoạn: + Giai đoạn chuẩn bị: Là giai đoạn đặt nhiệm vụ nghiên cứu, thu thập tài liệu liên quan

+ Giai đoạn ấp ủ: Quá trình tư duy ít bị sự kiểm soát hơn của ý thức, tiềm thức lại chiếm ưu thế, các hoạt động bổ sung cho vấn đề được quan tâm

+ Giai đoạn bừng sáng: Đột nhiên tìm được lời giải đáp, đó là các bước nhảy vọt về chất trong tri thức, xuất hiện đột ngột và kéo theo là sự sáng tạo

+ Giai đoạn kiểm chứng: Xem xét, khái quát kết quả Ý thức lại được tham gia tích cực Kiểm tra trực giác, triển khai các luận chứng lôgic để có thể chứng tỏ tính chất đúng đắn của cách thức giải quyết vấn đề, khi đó sáng tạo mới được khẳng định

Đặc điểm của quá trình sáng tạo:

+ Là tiền đề chuyển tri thức và kỹ năng vào hoàn cảnh mới

+ Nhận ra vấn đề mới trong những điều kiện quen thuộc

+ Nhìn ra các chức năng mới ở những đối tượng quen thuộc

+ Nhận ra cấu trúc của đối tượng đang nghiên cứu

+ Lựa chọn cách giải quyết tốt nhất trong từng hoàn cảnh nhờ khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và hoàn cảnh khác nhau

+ Năng lực tìm kiếm và quyết định phương pháp giải quyết độc đáo trong khi

đã biết được nhiều phương pháp giải quyết truyền thống

Trong quá trình sáng tạo toán học, thường xuất hiện những trạng thái hay tình huống một tư tưởng nào đó đột nhiên bừng sáng trong đầu óc con người hoặc đặt con người trong trạng thái "hứng khởi" cao độ, khi đó các tư tưởng hình như cứ theo nhau kéo đến một cách dồn dập, giúp họ đi đến những kết quả mới

iii) Thành phần của tư duy sáng tạo

Mang đặc thù của một quá trình sáng tạo, có thể nói tư duy sáng tạo là

sự kết hợp ở đỉnh cao của tư duy độc lập và tư duy tích cực, tư duy sáng tạo gồm các thành phần sau:

+ Tính mềm dẻo: Là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ

thống tri thức, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có sẵn và xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong mối quan hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất của sự vật và điều phán đoán Tính mềm dẻo gạt bỏ sự sơ cứng trong tư duy, mở rộng sự nhìn nhận vấn đề từ nhiều khía cạnh khác nhau của chủ thể nhận thức

+ Tính nhuần nhuyễn: Là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp

giữa các yếu tố riêng lẻ của tình huống hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ý tưởng mới Tính nhuần nhuyễn của tư duy sáng tạo được đặc trưng bởi khả năng tạo ra số các ý tưởng mới khi nhận thức vấn đề

+ Tính độc đáo: Là năng lực độc lập tư duy trong quá trình xác định mục đích

cũng như giải pháp, biểu hiện trong những giải pháp lạ, hiếm, tính hợp lý, tính tối ưu của giải pháp

+ Tính hoàn thiện: Là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành

động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng

+ Tính nhạy cảm vấn đề: Là năng lực nhanh chóng phát hiện vấn đề, sự mâu

thuẫn, sai lầm, thiếu lôgic, chưa tối ưu và từ đó đề xuất hướng giải quyết, tạo ra cái mới

1.3 Mục tiêu dạy học môn Toán trong nhà trường phổ thông

Như chúng ta đã biết: "Mục tiêu giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kĩ năng cơ bản nhằm hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc" [11, Chương 2, mục 2, điều 23]

Môn Toán, cũng như mọi môn học, xuất phát từ đặc điểm, vai trò, vị trí, ý nghĩa của nó, phối hợp cùng môn học khác và các hoạt động khác nhau trong nhà trường, góp phần thực hiện mục tiêu trên Như vậy, phát triển tư duy (phát triển trí tuệ) cho học sinh cũng chính là một mục tiêu quan trọng của giáo dục phổ thông Toán học có tính chất trừu tượng cao độ Do đó, môn Toán có khả năng to lớn góp phần phát triển tư duy cho học sinh Chính vì mục tiêu này, cần thiết phải được thực hiện một cách có ý thức, có hệ thống,

có kế hoạch chứ không phải là tự phát Muốn vậy, người thầy giáo cần phải

có ý thức về việc hiểu và nghiên cứu tư duy, cách phát triển tư duy, đặc biệt đối với người thầy giáo dạy môn Toán ở trường phổ thông cần phải có ý thức

đầy đủ về Tư duy toán học và phát triển tư duy toán học cho học sinh trong dạy học toán ở trường phổ thông

Tư duy toán học và phát triển tư duy toán học cho học sinh trong dạy học toán ở trường phổ thông là một trong những vấn đề lớn, vấn đề trọng tâm

Trong luận văn này tôi xin được trình bày một số vấn đề cơ bản thuộc về Tư duy toán học, cách rèn luyện và phát triển Tư duy toán học cho học sinh trong dạy học toán ở trường phổ thông thông qua một số cơ sở lí luận cơ bản về tư duy và một số ví dụ cụ thể Như vậy, phát triển năng lực trí tuệ là một trong các mục tiêu chính của quá trình dạy học môn Toán Môn Toán góp phần quan trọng vào việc hình thành và phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận Toán học đặc trưng cho cuộc sống Mục tiêu này cần được thực hiện một cách có hệ thống, có kế hoạch chứ không phải tự phát Muốn vậy người giáo viên cần có ý thức đầy đủ về các mặt sau đây:

1.3.1 Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác

Thật vậy, không những do đặc điểm của môn Toán mà còn do đặc điểm của tư duy có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ Tư duy không thể tách rời ngôn ngữ, nó phải diễn ra với hình thức ngôn ngữ, được hoàn thiện trong sự trao đổi bằng ngôn ngữ giữa con người với con người và ngược lại, ngôn ngữ được hình thành nhờ có tư duy Vì vậy việc phát triển tư duy lôgic gắn liền với việc rèn luyện ngôn ngữ chính xác

1.3.2 Phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng

Tác dụng phát triển tư duy toán học không phải chỉ hạn chế ở sự rèn luyện tư duy logic mà còn ở sự phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng (tức là, khả năng dự đoán và suy luận có lí) Muốn vậy, người thầy giáo phải làm cho học sinh quen và có ý thức sử dụng các quy tắc suy đoán, như: xét tương tự, khái quát hoá, quy lạ về quen, đặc biệt hóa, quy nạp (xuất phát từ cái riêng để suy đoán cái chung), tổng quát hoá… Chú ý rằng, những suy đoán (dự đoán) có thể rất táo bạo, rất đặc biệt, nhưng cũng cần phải có những căn cứ, dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm nhất định chứ không phải là đoán mò, càng không phải là nghĩ liều Có những trường hợp dự đoán là định hướng chính cho việc phát hiện và giải quyết vấn đề, có những trường hợp dự đoán hỗ trợ cho việc giải quyết vấn đề, nhưng có những trường hợp nếu chỉ nghĩ rằng chỉ có dự đoán được một điều gì đó liên quan đến vấn đề thì mới

giải quyết được thì có thể sẽ khiến chúng ta gặp khó khăn Nhà sư phạm Hoa

kỳ - J Pôlya phát biểu: "Toán học xem như một môn học về sự chứng minh, tuy nhiên đó chỉ mới là một khía cạnh của nó Muốn việc dạy học Toán phản ánh được quá trình hình thành của Toán học thì cần phải giành chỗ cho dự đoán và suy luận có lí".[28]

1.3.3 Rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản

Môn Toán đòi hỏi học sinh phải thường xuyên thực hiện những hoạt động trí tuệ cơ bản như: Phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tương tự hóa, do đó môn toán có tác dụng rèn luyện cho học sinh những hoạt động trí tuệ này

1.3.4 Hình thành những phẩm chất trí tuệ

Việc rèn luyện cho học sinh những phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa to lớn đối với việc học tập, công tác và trong cuộc sống Có thể nêu ra một sô phẩm chất trí tuệ quan trọng như:

1.3.4.1 Tính linh hoạt

Tính linh hoạt của tư duy thể hiện ở khả năng chuyển hướng quá trình

tư duy Trước hết cần rèn luyện cho học sinh khả năng đảo ngược quá trình tư duy, lất đích của quá trình đã biết làm diểm xuất phát cho một quá trình mới, còn điểm xuất phát của quá trình đã biết lại là đích của quá trình mới

1.3.4.2 Tính độc lập

Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện vấn đề,

tự mình xá định phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự mình hoàn thiện

và kiểm tra kết quả đạt được Tính độc lập liên hệ mật thiết với tính phê phán của tư duy Tính chất sau thể hiện ở khả năng đánh giá nghiêm túc những ý nghĩa và tư tưởng của người khác và của bản thân mình, có tinh thần hoài nghi trong khoa học, biết đạt những câu hỏi “tại sao?”, “thế nào?” đúng chỗ và đúng lúc

1.3.4.3 Tính sáng tạo

Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới

Tiểu kết chương 1

Chương này trình bày một số vấn đề thuộc về cơ sở lí luận của đề tài

Đó là quan niệm về tư duy, các loại hình tư duy và các thao tác tư duy trong Toán học

Mục tiêu dạy học môn Toán trong nhà trường phổ thông trong đó mục tiêu quan trọng nhất là phát triển năng lực trí tuệ, tư duy cho học sinh

Chương 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN VÀ ĐỀ XUẤT NHỮNG BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HÀNH GIẢNG DẠY CHƯƠNG “PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC” LỚP 8 TRUNG HỌC CƠ SỞ

CÓ TÁC DỤNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH

2.1 Những căn cứ để phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học chương “Phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 trung học cơ sở

2.1.1 Dạy tư duy

Dạy học truyền thống nặng về dạy kiến thức mà xem nhẹ dạy các kĩ năng tư duy Dạy học hiện đại đã quan tâm đến phát triển tư duy song song với trang bị kiến thức môn học, đã chú trọng đến dạy cách học trong quá trình dạy các môn khoa học cụ thể

Tại sao chúng ta phải rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh?

Thực tế nếu dạy học chỉ trang bị cho HS một vốn kiến thức thì kết quả

họ thu được chỉ là những sản phẩm “tĩnh tại”, khô cứng, không có khả năng tái sinh, không vận dụng linh hoạt vào các tình huống phức tạp trong nhận thức và đời sống Chỉ khi HS thu nhận kiến thức bằng chính hoạt động nhận thức, tìm tòi, gia công trí tuệ …thì kiến thức thu được mới là sở hữu trí tuệ của người học Kiến thức HS thu được bằng quá trình hoạt động đó sẽ vừa là sản phẩm, vừa là cơ sở của hoạt động tư duy

Trong phạm vi nghiên cứu của đề tài này, chúng tôi chỉ tập trung vào nghiên cứu cơ sở lí luận, nguyên tắc và biện pháp nhằm phát triển và rèn luyện tư duy cho học sinh gồm hai phương diện:

- Rèn luyện các hoạt động trí tuệ: phân tích- tổng hợp, so sánh- tương

tự hóa, khái quát hóa- đặc biệt hóa,

- Phát triển các dạng tư duy: Tư duy thuật toán, tư duy sáng tạo

Tâm lý lĩnh hội kiến thức trong nhà trường chỉ ra rằng tích cực hoá HS trong dạy học không phải chỉ ở lĩnh vực hoàn thiện lĩnh hội kiến thức mà phải đề cập đến việc tích cực hoá hoạt động nhận thức Bởi lẽ tư duy không thể tồn tại nếu thiếu tri thức và ngược lại Sẽ sai lầm nếu coi trọng tri thức hơn phát triển tư duy,

điều này sẽ chỉ làm cho người học phải học nhưng luôn luôn thiếu kiến thức Tích luỹ kiến thức và học các phương pháp để tích luỹ kiến thức cũng như vận dụng chúng là một quá trình hai mặt Bởi vậy đòi hỏi trong dạy học giáo viên phải rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy và phát triển các dạng tư duy

Theo lý luận dạy học, dạy học có mục tiêu làm cho HS có một vốn hiểu biết về khoa học tự nhiên, khoa học xã hội nhân văn và năng lực nhận thức Dạy học sẽ phát triển thực sự nếu nó đảm bảo phát triển trí tuệ HS Nhằm mục đích đó cần phải tổ chức hoạt động học tập sao cho trong đó cùng với việc lĩnh hội kiến thức là động cơ vận dụng các thao tác tư duy Tư duy sẽ không được phát triển nếu chúng ta không sử dụng các thao tác tư duy Chính

vì vậy HS cần được khuyến khích vận dụng các thao tác tư duy, được hướng dẫn để sử dụng chúng Rèn luyện các thao tác tư duy phải trở thành một bộ phận của chương trình học tập và một phần của cuộc sống hàng ngày

Trong nhà trường phổ thông, điều cốt yếu không phải là cung cấp tri thức mà là dạy HS phương pháp chiếm lĩnh tri thức, cụ thể trong học tập đó là phương pháp học, phương pháp nghiên cứu Người GV cần phải ý thức được

điều cốt yếu đó Nên chăng với mỗi thao tác tư duy phải vạch ra được hệ thống các phương pháp, cách thức cụ thể tạo điều kiện phát triển năng lực nhận thức ở HS Đó cũng là xuất phát điểm cho việc nghiên cứu các biện

pháp để phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học chương “Phép nhân

đa thức mà các em đã được học ở lớp 7 Nội dung chương gồm ba chủ đề: Chủ đề

3: Phân tích đa thức thành nhân tử Trong chương trình toán THCS thì: giải phương trình, giải hệ phương trình, giải bất phương trình, bất đẳng thức, cực trị là các dạng toán quan trọng mà các kiến thức trong chương “Phép nhân và phép chia các đa thức” đều được ứng dụng để giải các dạng toán này

Các loại bài tập trong chương có những bài có thuật giải, cũng có những bài chưa có thuật giải Ngay cả với những bài toán đã có thuật giải thì cũng không đơn thuần chỉ cần áp dụng các thuật giải cơ bản là có thể giải quyết được Để giải quyết các bài toán đó đòi hỏi HS phải phân tích đặc điểm của từng bài tổng hợp kiến thức đã có để từ đó định hướng cách giải quyết Nhiều bài tập phải phân chia bài toán thành những trường hợp riêng, chia nhỏ bài toán thành những bài toán cơ bản đã biết cách giải, như vậy HS có nhiều

cơ hội để rèn luyện các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa Bên cạnh đó từ một số bài toán về đẳng thức thuộc chương này ta có thể khai thác, phát triển thành rất nhiều bài toán về bất đẳng thức có điều kiện hay có mặt trong nhiều cuộc thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế Đó là cơ hội tốt để HS phát triển được tư duy của mình

Những phân tích trên khẳng định ưu thế của chương “Phép nhân và phép chia các đa thức” trong việc phát triển tư duy cho HS Trong luận văn này tác giả đi sâu vào nội dung phân tích đa thức thành nhân tử và một số ứng dụng của nó

2.2 Rèn luyện các thao tác tư duy: phân tích- tổng hợp, so sánh- tương tự hóa, khái quát hóa- đặc biệt hóa

2.2.1 Phân tích Tổng hợp

Trong cuốn sách “Giải một bài toán như thế nào”[27], tác giả G.Polya đã chỉ ra: “ Muốn giải một bài toán, phải lần lượt:

1 Hiểu rõ bài toán

2 Xây dựng một chương trình (một dữ kiện)

- Tìm sự liên hệ giữa các dữ kiện đã biết và cái chưa biết (ẩn)

- Có thể phải xét đến các bài toán phụ nếu chưa tìm được trực tiếp sự

liên hệ đó

- Cuối cùng phải xây dựng được một chương trình, một dữ kiện và cách giải

3 Thực hiện chương trình (dự kiến)

4 Khảo sát lời giải đã tìm được.”

Hai bước đầu mà G.Polya đưa ra chính là bước tìm đường lối giải bài toán Trong bước này để rèn cho HS kĩ năng phân tích, tổng hợp, GV tổ chức các hoạt động, hướng dẫn HS thông qua trả lời các câu hỏi:

+ Đề bài cho gì, hỏi gì?

+ Từ những giả thiết đã cho suy được những điều gì?

+ Những kiến thức nào liên quan đến giả thiết? Giả thiết này có thể biến đổi tương đương thành những điều kiện nào?

+ Những kiến thức nào liên quan đến kết luận? Kết luận này có thể biến đổi tương đương thành kết quả nà?

+ Tìm quan hệ giữa cái chưa biết và cái đã biết? Có bài toán nào quen thuộc cũng chứa cái chưa biết hoặc có cùng kết luận tương tự không? Mối liên hệ của bài toán với những bài toán đã biết cách giải? Có thể xếp bài toán thuộc dạng toán nào đã biết không?…

GV tạo cho HS thói quen nhắc lại các câu hỏi này mỗi khi gặp chướng ngại khiến ta phải dừng lại

Để trả lời được các câu hỏi đó đòi hỏi HS phải phân tích đề bài, tổng hợp các kiến thức liên quan Trả lời các câu hỏi đó giúp HS xác định được dạng bài, định hướng tìm ra đường lối giải bài toán

Để rèn luyện kĩ năng phân tích cho HS,để tạo cơ hội rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh, từ những bài toán có trong sách giáo khoa, sách tham khảo, sách bài tập, giáo viên có thể sửa đề sao cho bài toán có thể phân tích theo nhiều hướng khác nhau, tìm được nhiều đặc điểm định hướng các cách giải khác nhau để kích thích tư duy cho học sinh

Bài toán trong sách tham khảo như sau

Bài toán 2.1 : Phân tích đa thức thành nhân tử:

a 3 + b 3 + c 3 - 3abc

Phân tích: Các hạng tử của đa thức đã cho không có chứa thừa số chung,

không có dạng của một hằng đẳng thức đáng nhớ nào, cũng không thể nhóm các số hạng Do vậy ta phải biến đổi đa thức bằng cách thêm, bớt cùng một số hạng tử để có thể vận dụng được các phương pháp phân tích đã biết Trong đa thức đã cho có lập phương của a, lập phương của b vậy chúng ta nghĩ đến việc thêm bớt để làm xuất hiện (a+b)3

như sau:

Bài giải: a3 + b3 + c3 - 3abc

= (a3 + 3a2b +3ab2+b3 )+ c3 – ( 3a2

b+3ab2 + 3abc) = (a+b)3 + c3- 3ab(a+b+c)

= [ (a+b)3 +c3] - 3ab( a+b+c)

= ( a+b+c) [(a+b)2-c(a+b)+c2] – 3ab(a+b+c)

= ( a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-bc+c2-3ab)

= ( a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)

Để phát triển tư duy cho học sinh ta có thể thay đổi bài toán như sau :

Bài toán 2.2: Chứng minh đẳng thức

a 3 + b 3 + c 3 – 3 abc = (a+b+c) (a 2 +b 2 +c 2 – ab – bc – ca)

Ngoài cách giải như bài 2.1 ta còn có cách làm nào nữa không?

Để chứng minh đẳng thức ta sử dụng phương pháp nào? Từ đó học sinh tìm ra cách giải khác là biến đổi vế phải bằng về trái

+ ( -a2b - a2c - b2c - b2a - c2a - c2b) – abc – abc – abc

=> P = a3 + b3 +c3 – 3 abc) (đpcm)

Bài toán 2.3: Cho a+b+c=0 Chứng minh rằng a 3

+ b 3 + c 3 = 3abc

Phân tích: Đây có phải là một bài toán có liên quan mà các em đã giải rồi không? Có thể sử dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không?

Bài giải: Áp dụng bài toán 2.2 ta có :

a3 + b3 + c3 - 3abc=( a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)

Mà a+b+c=0  a3 + b3 + c3 - 3abc=0 hay a3 + b3 + c3 = 3abc

? Bài toán 2 còn cách giải nào nữa không?

Phân tích: Từ a + b + c = 0 nên a + b = -c ta suy ra điều gì ?

Ta có a + b + c = 0 nên a + b = -c Do đó a3 +b3+c3 = a3 + b3-(a+b)3

= a3 + b3- a3 - b3 -3ab(a+b)=3abc

Theo bài toán đã chỉnh sửa học sinh có những phán đoán, phát hiện và từ đó khám phá ra những kết quả mới Quá trình tìm lời giải bài toán 2.3 sẽ dựa vào bài toán ban đầu 2.1 hoặc 2.2

Bài toán 2.4 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x-y) 3 +(y-z) 3 +(z-x) 3

Phân tích: Bài toán này có liên quan gì đến bài toán 2.3 không? Làm thế nào để có thể áp dụng được bài toán 2.3?

Đặt x-y=a, y-z=b, z-x=c thì a+b+c=? Từ đó tìm ra cách giải?

Bài giải: Đặt x-y=a, y-z=b, z-x=c thì a+b+c=0

Mà ta có: a3 + b3 + c3 - 3abc = ( a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-bc-ca)

Nên a3 + b3 + c3 - 3abc=0  a3 + b3 + c3 = 3abc

(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3= 3(x-y)(y-z)(z-x)

Quá trình phân tích và tổng hợp là hai quá trình gắn bó mật thiết với nhau Phân tích để tổng hợp có cơ sở và tổng hợp để phân tích có chiều sâu Việc phân tích để tìm ra đường lối giải bài toán là khâu có tính chất quyết định trong toàn bộ công việc giải toán Vì nếu chưa có phương hướng hoặc chưa có phương hướng tốt thì không thể có lời giải tốt, đồng thời việc định hướng tìm ra phương hướng giải là công việc mang nhiều tính sáng tạo hơn khâu thực hiện các thao tác giải khi đã có phương hướng Rèn luyện kĩ năng phân tích bài toán, tìm ra đường lối giải bài toán chính là cơ sở quan

trọng cho việc rèn luyện khả năng làm việc độc lập, sáng tạo, rèn luyện các kĩ năng tư duy bậc cao

Để trở thành kĩ năng, HS cần thường xuyên có cơ hội được thực hành

tư duy phân tích, tổng hợp Trong thiết kế bài giảng, GV phải chú ý đến chọn lựa bài tập đặc trưng với nội dung kiến thức, có nhiều hướng phân tích, khai thác Các phương pháp sử dụng giảng dạy cho từng bài giảng cũng cần được vận dụng, kết hợp linh hoạt nhiều hình thức Với bài toán cơ bản, GV nên sử dụng mô hình dạy học tích cực (thầy gợi ý các bước, HS tự hoạt động, trao đổi xây dựng bài giảng) Tuỳ vào nội dung kiến thức và trình độ HS, GV có thể tổ chức triển khai bài giảng ở mức độ thấp hoặc cao Ở mức độ thấp: sau khi hướng dẫn HS phân tích một bài toán cụ thể, tổng hợp đưa ra lời giải, phương pháp chung, GV cho bài toán tương tự yêu cầu HS thực hành phân tích, tổng hợp theo các bước tương tự bài toán trước Ở mức độ cao hơn, GV đưa ra bài toán thuộc dạng toán mới, yêu cầu HS thực hành phân tích, tổng hợp Các phương pháp gợi mở vấn đáp, giải quyết vấn đề, hướng dẫn làm việc theo nhóm, hướng dẫn HS tự học, tự nghiên cứu cũng cần sử dụng phối hợp

2.2.2 So sánh - Tương tự hóa

Sau khi tìm được lời giải bài toán, GV cần tạo cho HS cơ hội, ý thức nhìn lại cách giải tìm ra Yêu cầu HS phân tích kết quả và con đường họ đã

đi Hình thành cho HS thói quen trả lời các câu hỏi:

+ Để giải bài này cần thực hiện những bước nào?

+ Các bước biến đổi đó dựa trên cơ sở nào?

+ Đâu là điểm mấu chốt của lời giải?

+ Cơ sở, dấu hiệu để thực hiện cách giải đó là gì?

Qua phân tích lời giải để HS so sánh tìm ra những dấu hiệu giống nhau cũng như khác nhau giữa các bài tập đã giải Từ đó có thể đưa ra định hướng

mở rộng cách giải cho những bài tập có những đặc trưng tương tự

Bài 2.5 : a, b, c  R, chứng minh rằng:

(a + b) ( b +c) (c + a) + abc = (a +b + c) (ab + bc + ca)

? Bài toán này giống bài toán nào mà các em đã làm? Để giải bài này cần thực hiện những bước nào? Các bước biến đổi đó dựa trên cơ sở nào? Đâu là điểm mấu chốt của lời giải? Cơ sở, dấu hiệu để thực hiện cách giải đó là gì?

Dưới sự hướng dẫn của GV học sinh phát hiện ra bài 2.5 giống bài 2.2.Để giải bài này cần biến đổi một vế của đẳng thức bằng vế còn lại hoặc biến đổi đồng thời hai vế của đẳng thức Điểm mấu chốt là học sinh phải thành thạo nhân đa thức, mà đặc biệt ở hai bài toán này là thuật toán nhân hai đa thức đối xứng

Bài giải

Ta có (a + b) ( b +c) (c + a) khi khai triển có 2 x 2 x2 = 8 hạng tử gốm các dạng:

a2 b + a2 c + b2c + b2a + c2a + c2b và abc + abc (1)

Ta có (a +b + c) (ab + bc + ca) khi triển gồm 3 x 3 = 9 hạng tử

a2 b + a2 c + b2c + b2a + c2a + c2b và abc + abc + abc (2)

Từ (1) (2) ta suy ra điều phải chứng minh

Như vậy đứng trước nhiều bài toán, dạng toán khác nhau nhưng có một

số điểm chung ở phần giả thiết, các yêu cầu của kết luận, học sinh phải biết liên hệ lôgic với nhau qua phép so sánh và tương tự Từ đó tăng khả năng phân biệt, nhận biết các dạng toán và nhận biết nhanh đường lối giải các dạng bài toán đó

2.3 Phát triển các dạng tư duy: Tư duy thuật toán,Tư duy sáng tạo

2.3.1 Tư duy thuật toán

Thuật toán được hiểu như một quy trình mô tả những chỉ dẫn rõ ràng và chính xác để người (hay máy) thực hiện một loạt thao tác nhằm đạt được mục đích đặt ra hay giải một lớp bài toán nhất định

Ta có thể phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy các quy tắc.Khi dạy học chủ đề : Nhân chia các đa thức ta có các quy tắc sau:

Quy tắc nhân một đơn thức với một đa thức: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau: A( B + C) = A.B + A.C

Quy tắc nhân đa thức với đa thức: Muốn nhân một đa thức với một đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau: (A+B)(C+D)=A.C+A.D+B.C+B.D

Quy tắc chia đa thức cho đơn thức: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B(trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau

Ngoài ra ta cũng có thể phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Chẳng hạn khi dạy

Phân tích tam thức bậc hai ax 2

+ bx + c thành nhân tử ta tách hạng tử bx thành b 1 x + b 2 x sao cho b 1 b 2 = ac Trong thực hành ta làm như sau:

Khi đó ta có lời giải: 3x2

+ 8x +4 = 3x2 + 6x+2x+4=3x(x+2)+2(x+2) = (x+2)(3x +2)

Ta còn có thuật giải khác để phân tích đa thức trên thành nhân tử như sau:

3

2 3

4 )(

3

2 3

4 ( 3 ) 3

2 ( ) 3

4 ( 3 ) 3

4 3

8 (

4 (

3

2 ( 3 ) 3

4 (

3 x  )

3

2 ( 3

+Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta cần:

-Chứng minh A > m với m là một hằng số

-Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra

-Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A là m ( kí hiệu minA )

+Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần:

-Chứng minh A < t với t là một hằng số

-Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra

-Kết luận: Giá trị lớn nhất của A là t ( kí hiệu maxA )

2.3.2 Tư duy sáng tạo

Rèn luyện tính độc lập sáng tạo là yêu cầu rất quan trọng trong quá trình dạy học bộ môn Toán Vì thế luôn cần tạo cho học sinh những tình huống, những đề toán có thể đánh thức năng lực sáng tạo của học sinh

Từ bài toán 2.2: Chứng minh đẳng thức

Sử dụng đẳng thức trong bài toán 2.2 chúng ta chứng minh đƣợc một bài toán khá hay sau:

Bài 2.7: Cho x,y,zR, chứng minh rằng

2 2 2

(x y z x)( y z xyyzzx) 1

3 3

ab

c ac

b bc

a2  2  2 Ta có bài toán sau :

Bài toán 2.9: Cho a, b, c là ba số khác 0 thoả mãn a+b+c = 0

Tính giá trị của biểu thức:

`

ab

c ac

b bc

a P

2 2 2

*Thay c bởi c+d vào a3 + b3 + c3 = 3abc ta đƣợc:

a3 + b3 + (c+d)3= 3ab(c+d)

 a3 + b3 + c3 +d3= 3ab(c+d) - 3cd(c+d)

 a3 + b3 + c3 +d3= 3(c+d)(ab-cd)

Ta có bài toán sau:

Bài toán 2.10: Chứng minh rằng nếu a+b+c+d = 0 thì:

Bài giải :

Đặt c+d=m Khi đó a+b+m=0 Ta có : a3

+b3+m3= 3abm Hay a3+b3+(c+d)3=3ab(c+d)  a3+b3+c3+d3+3c2d+3cd2=3ab(c+d)

 a3+b3+c3+d3=3ab(c+d) – (3c2b+3cb2)

 a3+b3+c3+d3= 3(c+d)(ab-cd)

Bài toán 2.11: Cho a, b, c là các số khác 0 thoả mãn : a 3 + b 3 +c 3 =3 abc

Tính giá trị của biểu thức

b b

a

Bài giải :

Ta có a3+ b3+c3=3 abc  a3+ b3+c3-3 abc =0(1) Theo bài toán 2.2 :

a3 + b3 + c3 - 3abc = ( a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)

(1)( a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)=0

2(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]=0

a+b+c=0 hoặc (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0

+) Nếu a+b+c=0 thì a+b=-c; b+c=-a ; a+c=-b Khi đó:

M=  .  .      1

abc

abc a

c a c

c b

b

b

a

( vì a,b,c0) +) Nếu (a-b)2

+(b-c)2+(c-a)2=0 a=b=c Khi đó M= (1+1)(1+1)(1+1)=8

Vậy M= -1 hoặc M=8

Bài toán 2.12: Cho a, b, c là ba số khác 0 và khác nhau từng đôi một thoả

mãn a+b+c=0 Tính giá trị của biểu thức:

a c

b c b

a b a

c b

a c a

c b c

b a

1 1 1



 )=3+

z

y x y

x z x

z

(1)