Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học ứng dụng đạo hàm trong chương trình toán lớp 12 (Ban nâng cao

Rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của giáo dục - Nghị quyết Hội nghị lần thứ tư Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam khoá VII về tiếp tục đổi

PT Phương trình

SGK Sách giáo khoa

NXB Nhà xuất bản

THPT Trung học phổ thông

DANH MỤC CÁC BẢNG

Biểu đồ 1.1 Mối quan hệ của ba dạng tư duy 9 Bảng 3.1: Kết quả bài kiểm tra thứ nhất 77 Bảng 3.2: Kết quả bài kiểm tra thứ hai 79

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn i

Danh mục viết tắt ii

Danh mục các bảng iii

Mục lục iv

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Tư duy sáng tạo 5

1.1.1 Tư duy 5

1.1.2 Tư duy sáng tạo 6

1.1.3 Quá trình sáng tạo toán học 9

1.1.4 Các yếu tố của tư duy sáng tạo 9

1.2 Dạy học giải bài tập toán học ở trường phổ thông 12

1.3 Dạy tư duy sáng tạo cho học sinh 13

Tiểu kết chương 1 16

Chương 2: THỰC TRẠNG DẠY HỌC PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH Ở MỘT SỐ TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 17

2.1 Một số ứng dụng của đạo hàm trong chương trình toán trung học phổ thông 17

2.1.1 Sử dụng hàm số để giải phương trình 17

2.1.2 Sử dụng hàm số để giải bất phương trình 25

2.1.3 Sử dụng hàm số để giải hệ phương trình 33

2.1.4 Sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, chứng minh bất đẳng thức 46

2.2 Thực trạng việc dạy ứng dụng đạo hàm ở một số trường trung học phổ thông 54

2.2.1 Mục đích điều tra 54

2.2.2 Mẫu điều tra 54

2.2.3 Phương pháp điều tra 54

2.2.4 Kết quả điều tra 55

Tiểu kết chương 2 60

Chương 3: MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH VÀ THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 61

3.1 Một số biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh 61

3.1.1 Tăng cường tổ chức cho học sinh tự học, tự nghiên cứu 61

3.1.2 Tổ chức các buổi xêmina cho các em học sinh trong một lớp 68

3.2 Thực nghiệm sư phạm 74

3.2.1 Mục đích của thực nghiệm sư phạm 74

3.2.2 Tổ chức thực nghiệm 74

3.2.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 74

Tiểu kết chương 3 80

KẾT LUẬN 81

TÀI LIỆU THAM KHẢO 82

PHỤ LỤC 84

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Chúng ta đang sống trong thế kỷ của trí tuệ sáng tạo Đất nước ta đang trong thời kỳ đổi mới, đó là thời kỳ công nghiệp hoá, hiện đại hoá Phát triển Giáo dục và Đào tạo là một động lực quan trọng thúc đẩy sự nghiệp công nghiệp hoá, hiện đại hoá, là điều kiện phát huy nguồn lực con người – yếu tố cơ bản

để phát triển xã hội, tăng trưởng nền kinh tế nhanh và bền vững Sự nghiệp giáo dục phải góp phần quyết định vào việc bồi dưỡng cho thế hệ trẻ tiềm năng trí tuệ, tư duy sáng tạo, năng lực tìm tòi chiếm lĩnh tri thức, năng lực giải quyết vấn đề thích ứng được với thực tiễn cuộc sống

1.1 Rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của giáo dục

- Nghị quyết Hội nghị lần thứ tư Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam khoá VII về tiếp tục đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo đã nhận định “Con người được đào tạo thường thiếu năng động, chậm thích nghi với nền kinh tế xã hội đang đổi mới”, từ đó nghị quyết đã nêu rõ quan điểm chỉ đạo để đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo là phải “ Phát triển giáo dục nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, đào tạo những người có kiến thức văn hoá, khoa học, có kỹ năng nghề nghiệp, lao động tự chủ, sáng tạo và có kỷ luật, giàu lòng nhân ái, yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội, sống lành mạnh, đáp ứng nhu cầu phát triển của đất nước trong những năm 90

và chuẩn bị cho tương lai”

- Khi đề ra những chủ trương chính sách và biện pháp lớn, Nghị quyết trên

đã chỉ rõ cần phải “Đổi mới phương pháp dạy học ở tất cả các bậc học,cấp học Áp dụng các phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề, chú ý những học sinh có năng khiếu ”

- Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam(khoá VIII, 1997) tiếp tục khẳng định “Phải đổi mới phương pháp

giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên đại học”

Trong giai đoạn hiện nay, trước những thời cơ và thử thách to lớn, để tránh nguy cơ tụt hậu, sánh vai với các nước trên thế giới, việc đổi mới giáo dục, đổi mới phương pháp dạy học để rèn luyện khả năng sáng tạo cho thế hệ trẻ càng cần thiết và cấp bách hơn bao giờ hết

1.2 Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ở trường phổ thông, môn Toán đóng vai trò rất quan trọng

Toán học có một vai trò to lớn trong sự phát triển của các ngành khoa học

và kỹ thuật; Toán học có liên qua chặt chẽ và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội hiện đại; Toán học còn là một công cụ để học tập và nghiên cứu các môn học khác

- Trong chương trình Giải tích 12, chuyên đề ứng dụng của đạo hàm là một trong những chuyên đề khó Để áp dụng các ứng dụng của đạo hàm trong giải toán học sinh cần có tư duy sáng tạo, linh hoạt vận dụng vào các dạng bài toán khác nhau

- Là một giáo viên Toán, với mong muốn được góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao chất lượng dạy học ở trường trung học phổ thông tôi đã chọn đề tài

“Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học ứng dụng đạo hàm trong chương trình Toán lớp 12 (Ban nâng cao)”

2 Mục đích nghiên cứu

Xác định các biện pháp rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh và đề xuất các biện pháp phát triển năng lực tư duy sáng tạo của học sinh thông qua dạy ứng dụng đạo hàm

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận về tư duy, tư duy sáng tạo

- Xác định thực trạng dạy ứng dụng đạo hàm trong chương trình Toán trung học phổ thông

- Đề xuất một số biện pháp nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

- Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài trong dạy học

7 Giả thuyết khoa học

Dạy học phần ứng dụng của đạo hàm trong chương trình Toán THPT nếu

xây dựng các biện pháp theo hướng phát huy tính độc lập sáng tạo của học sinh và có phương pháp giảng dạy thích hợp thì sẽ góp phần phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh

8 Phương pháp nghiên cứu

8.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học môn Toán, tâm lý học, lý luận dạy học môn Toán

- Các sách báo, các bài viết về khoa học phục vụ cho đề tài

- Nghiên cứu chương I SGK Giải tích 12 Nâng Cao

8.2 Phương pháp quan sát

- Dự giờ, quan sát phương pháp giảng dạy của giáo viên trong quá trình giảng dạy phần ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

- Quan sát quá trình học tập và lĩnh hội của học sinh trong quá trình học

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Thực trạng dạy học phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh ở một

số trường trung học phổ thông

Chương 3 Một số biện pháp nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

và thực nghiệm sư phạm

những bản chất và những quy luật tác động của chúng Quá trình nhận thức

đó gọi là tư duy

Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất, mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết (theo tâm lý học đại cương –

Từ đó chúng ta có thể rút ra những đặc điểm của tư duy:

- Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan

- Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiện qua ngôn ngữ

- Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tượng đuợc phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động của con người nhằm phản ánh đối tượng

- Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo

- Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều góc độ khác nhau từ thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người

1.1.2 Tư duy sáng tạo

Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết vấn đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có Nội dung của sáng tạo gồm hai ý chính có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (giá trị hơn cái cũ) Như vậy sự sáng tạo cần thiết cho bất kỳ hoạt động nào của xã hội loài người Sáng tạo thường được nghiên cứu trên nhiều phương diện như là một quá trình phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, như một kiểu tư duy, như

là một năng lực của con người

Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo Theo Nguyễn Bá Kim: “Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết cho tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo

ra kết quả mới Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cáo cũ”

(Nguyễn Bá Kim – Phương pháp dạy học bộ môn Toán)

Theo Vũ Dũng (Từ điển Tâm lý học, trung tâm KHXH và nhân văn quốc gia Viện tâm lý học NXB Khoa học và xã hội, Hà Nội 2000) Tư duy sáng tạo là một kiểu tư duy, đặc trưng bởi sự sản sinh ra sản phẩm mới và xác lập các thành phần mới của hoạt động nhận thức nhằm tạo ra nó Các thành phần mới này có lên quan đến miền động cơ, mục đích, đánh giá, các ý tưởng của

chủ thể sáng tạo Tư duy sáng tạo được phân biệt với áp dụng các tri thức và

kỹ năng sẵn có

Theo Tôn Thân quan niệm: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo

ra ý tưởng mới, độc đáo, và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao Ý tưởng mới được thể hiện ở chỗ phát hiện ra vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Tính độc đáo của ý tưởng mới thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất” Và theo tác giả “Tư duy sáng tạo là tư duy độc lập

và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm tìm giải pháp Mỗi sản phẩm của

tư duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi cá nhân tạo ra nó (Tôn Thân – “Xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằm bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi Toán ở trường THCS Việt

Nam”, luận án phó Tiến sỹ khoa học sư phạm – Tâm lý, Viện khoa học giáo dục Hà Nội)

Nhà Tâm lý học người Đức Mehlhowcho rằng “Tư duy sáng tạo là hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục” Theo ông, tư duy sáng tạo được đặc trưng bởi mức độ cao của chất lượng, hoạt động trí tuệ như tính mềm dẻo, tính nhạy cảm, tính kế hoạch, tính chính xác Trong khi đó, J.DanTon lại cho rằng “Tư duy sáng tạo đó là những năng lực tìm thấy những ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ, là một chức năng của kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá, là một quá trình, một cách dạy

và học bao gồm những chuỗi phiêu lưu, chứa đựng những điều như: sự khám phá, sự phát sinh, sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm” Trong cuốn: “Sáng tạo Toán học”, G.Polya cho rằng: “Một tư duy gọi là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó Có thể coi

là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này Các bài toán vận dụng những tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao, thí dụ: Lúc những cố gắng của người giải vạch ra được những phương

thức giải áp dụng cho những bài toán khác Việc làm của người giải có thể là sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài toán tuy không giải được nhưng tốt vì đã gợi ra cho người khác những suy nghĩ có hiệu quả” Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hoá sự sáng tạo với người học Toán:

“Đối với người học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đương đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng biết Như vậy, một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nó không bị những mệnh đề nào đó chi phối (từng phần hay hoàn toàn), tức là nếu người giải chưa biết trước thuật toán để giải

và phải tiến hành tìm hiểu những bước đi chưa biết trước Nhà trường phổ thông có thể chuẩn bị cho học sinh sẵn sàng hoạt động sáng tạo theo nội dung vừa trình bày”

Như vậy có thể có nhiều cách định nghĩa khác nhau về về tư duy sáng tạo, nhưng đều có một điểm chung cốt lõi đó là: Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy của cá nhân, nó phân biệt và khác với tư duy tái tạo về bản chất, tư duy sáng tạo là sự mới mẻ của tư duy (đồng thời đây cũng là điểm phân biệt giữa

tư duy sáng tạo với tư duy tái tạo) Sự khác biệt giữa tư duy sáng tạo với tư duy tái tạo là sự sản sinh ra cái mới

Thật vậy, tư duy sáng tạo dẫn đến tri thức mới về thế giới về các phương thức hoạt động Lecne đã chỉ ra các thuộc tính sau đây của tư duy sáng tạo:

- Có sự tự lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống mới

- Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết “ đúng quy cách”

- Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

- Nhìn thấy cấu trúc mới của đối tượng đang nghiên cứu

- Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm hiểu lời giải (khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau)

- Kỹ năng kết hợp những phương thức giải đã biết thành một phương thức mới

- Kỹ năng tạo ra một phương thức giải độc đáo tuy đã biết những phương thức khác (Lecne – dạy học nêu vấn đề - NXBGD – 1977)

Krutexki chỉ ra 3 vòng tròn đồng tâm phản ánh mối quan hệ của ba dạng tư duy, nói nên điều kiện cần của tư duy sáng tạo là tư suy độc lập và tư duy tích cực

1.1.3 Quá trình sáng tạo toán học

Quá trình sáng tạo toán học bao gồm 4 giai đoạn:

- Giai đoạn chuẩn bị: Thử giải quyết vấn đề bằng các cách khác nhau, huy động thông tin, dư luận

- Giai đoạn ấp ủ: Khi công việc giải quyết vấn đề bị ngừng lại, còn lại các hoạt động của tiềm thức

- Giai đoạn bừng sáng: Đó là bước nhảy vọt về chất trong tri thức, thường xuất hiện đột ngột

- Giai đoạn kiểm chứng: Kiểm tra trực giác, triển khai các luận chứng logic

1.1.4 Các yếu tố của tư duy sáng tạo

Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học, về cấu trúc của tư duy sáng tạo bao gồm các yếu tố cơ bản sau:

Tính mềm dẻo của tư duy có các đặc trưng nổi bật sau:

- Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá và các phương pháp suy luận như: quy nạp, suy diễn tương tự

Dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác Điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ nếu gặp trở ngại

- Suy nghĩ không dập khuôn, không máy móc áp dụng những kinh nghiệm, kiến thức, kỹ năng đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới đã có những yếu

tố thay đổi Có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng của những kinh nghiệm, những phương pháp, những cách nghĩ đã có từ trước

- Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

1.1.4.2 Tính nhuần nhuyễn

Là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của tình huống hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ý tưởng mới Là khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng sáng tạo ra một ý tưởng nhất định

Số ý tưởng càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo Trong trường hợp này có thể nói số lượng làm nảy sinh chất lượng

Tính nhuần nhuyễn có các đặc trưng sau:

- Tính đa dạng của các cách sử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứng trước một vấn đề cần

được giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất được nhiều phương án khác nhau và từ đó có thể tìm được phương án tối ưu

- Khả năng xem xét đối tượng trên nhiều khía cạnh khác nhau, có cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với các sự vật hiện tượng chứ không phải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc

Ví dụ: 2x3 2x1còn có thể hiểu là

1232

3

2

( x   x  Hay sinx có thể hiểu là – sin(-x); );

2 cos(   x

sin(3x – 2x);

2tan1

2tan2

2 x

x

 ;  sin( x   );

1.1.4.3 Tính độc đáo

Là khả năng tìm kiếm và giải quyết bằng phương thức lạ hoặc duy nhất

Người ta có thể phát hiện tính độc đáo trong tư duy sáng tạo của

học sinh thông qua lời giải của các em khi thực hiện bài tập

Các đặc trưng của tính độc đáo:

- Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới

- Khả năng tìm ra những mối quan hệ bên trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có mối liên hệ với nhau

- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác

(tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm nhiều giải pháp trên nhiều góc độ

và tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và nhờ đề xuất được nhều

phương án khác nhau mà có thể tìm được nhiều phương án lạ, đặc sắc (tính độc đáo) Các yếu tố cơ bản này lại có mối quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề, Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người

1.2 Dạy học giải bài tập toán học ở trường phổ thông

Bài tập Toán học có vai trò đặc biệt quan trọng trong môn toán ở trường

phổ thông Giải bài tập toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động như nhận dạng, thể hiện các khái niệm, định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ chung, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học

Vị trí của bài tập toán học: Giải toán là hình thức chủ yếu trong hoạt động toán học, giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo và ứng dụng toán học vào thực tiễn

Chức năng của bài tập toán học là: Dạy học, giáo dục, phát triển và kiểm tra Vai trò của bài tập toán thể hiện ở cả ba bình diện: Mục đích, nội dung và phương pháp của quá trình dạy học Cụ thể:

- Về mặt mục đích dạy học: Bài tập toán thể hiện các chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện mục đích dạy học môn toán như:

+ Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kỹ năng ứng dụng toán ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

+ Phát triển năng lực trí tuệ chung: rèn luyện các thao tác tư duy, hình thành các phẩm chất trí tuệ

+ Hình thành, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng như những phẩm chất đạo đức của người lao động mới

- Về mặt nội dung dạy học: Bài tập toán học là một phương tiện để cài đặt nội dung dưới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức đã học ở phần lý thuyết

- Về mặt phương pháp dạy học: Bài tập toán là giá mang những hoạt động để học sinh kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục đích dạy học khác, khai thác tốt bài toán như vậy sẽ góp phần tổ chức tốt cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán được sử dụng với những dụng ý khác nhau Về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài tập toán là phương tiện không thể thay thế để đánh giá mức độ tiếp thu kiến thức, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển tư duy của học sinh, cũng như hiệu quả làm việc của giáo viên

Một bài tập cụ thể có thể nhằm vào những dụng ý trên nhưng cũng có thể bao hàm những ý đồ nhiều mặt

1.3 Dạy tƣ duy sáng tạo cho học sinh

Theo Eric Jensen, trường học muốn tạo nên những học sinh có tư duy sắc bén, cần phải tạo nên nhiều tương tác tư duy hơn nữa trong lớp học, từ hình thức thảo luận nhóm lớn về các vấn đề gây tranh cãi đến hình thức giải quyết vấn đề theo cặp hay theo nhóm nhỏ

Một cách trau dồi khả năng tư duy nhạy bén trong lớp học là khiến học sinh hiểu được những đặc điểm của nó, có thể là giảng giải cho họ hoặc giúp

họ tự tìm hiểu Cách thứ hai, giáo viên có thể cho học sinh nghiên cứu cuộc sống của những người có tư duy phê phán và sáng tạo hoặc phỏng vấn những người biết về trình độ tư duy của họ

Ngoài ra, giáo viên cũng có thể trau dồi tư dy sáng tạo cho học sinh bằng nhiều cách khác:

+ Chuẩn bị tài liệu bổ trợ trong quá trình dạy học Ví dụ như tài liệu về nghệ thuật ngôn ngữ, ngôn ngữ cơ thể Thay vì việc sử dụng ngôn ngữ trong bài, giáo viên nên sử dụng những từ vựng kích thích tư duy phê phán và sáng tạo như: “Các em có thể rút ra người này muốn nói gì không? Các em có kết luận

gì về bức tranh này?”

+ Điều khiển các cuộc thảo luận và tranh luận về những vấn đề gây tranh cãi Giáo viên có thể tổ chức những buổi tranh luận có hệ thống, trong đó cặp học sinh này tranh luận với cặp học sinh kia, sau đó đổi vị trí và bảo vệ quan điểm đối ngược với cặp học sinh đó

+ Cho học sinh diễn lại những sự kiện lịch sử mà nhân vật chính ở hai phía đối ngược

+ Cho học sinh tham dự những buổi gặp mặt tập thể hay xem các chương trình truyền hình thể hiện những tư tưởng đối lập

+ Cho học sinh viết thư cho một nhà biên tập để trình bày quan điểm của họ

về một vấn đề hiện tại ở địa phương

+ Cho học sinh phân tích các bài báo và các tài liệu khác để tìm ra ví dụ về các tư tưởng đối lập

+ Cho học sinh trả lời các câu hỏi với nhiều phương án

+ Cho học sinh đọc và thảo luận những tác phẩm văn học phản ánh những giá trị và truyền thống khác với văn hoá của họ

+ Mời những người có tư tưởng tranh luận đến nói truyện với lớp

Tư duy sáng tạo cũng có thể được giảng dạy với sự hỗ trợ của các phương pháp và tài liệu được soạn ra vì mục đích đó Một vài chương trình xuất sắc

đã được mô tả trong ấn bản của ASCD Phát triển trí tuệ (sosta 1985) Ví dụ

như chương trình Triết lý cho trẻ dùng những câu chuyện về trẻ em và ý nghĩ của chúng để khuấy động thảo luận của lớp học về những vấn đề triết học điển hình ( Lpman, Sharp và Oscanyan, 1980) Điều khiển những cuộc thảo luận đó sẽ là rất khó cho giáo viên nếu không có những tài liệu và chương trình đào tạo đặc biệt phát triển bởi Học viện Triết học cao cấp cho trẻ

Những kỹ xảo và phương pháp dạy học cụ thể rất bổ ích, nhưng ảnh hưởng quan trọng không kém đến cách nghĩ của học sinh là môi trường học tập ở trường và tấm gương của người giáo viên Giáo viên muốn học sinh tư duy sáng tạo thì giáo viên cần phải thể hiện điều đó ở chính bản thân mình

- Tạo cơ hội cho học sinh tiếp cận với nhiều trường phái quan điểm khác nhau trong một môi trường tích cực

- Tìm kiếm và cung cấp lý do cho thứ mà họ đang làm

- Cố gắng không xa rời điểm chính của cuộc hội thảo

- Cởi mở, khuyến khích suy nghĩ cá nhân của học sinh chứ không đơn giản

là lặp lại những gì giáo viên đã nói

- Thay đổi vị trí của họ khi bằng chứng được đưa ra, sẵn sàng chấp nhận khuyết điểm

- Nắm được cảm giác, trình độ hiểu biết, độ tinh tế của người khác

- Thể hiện ước muốn sâu sắc và sự chuẩn bị để đạt được mục tiêu

- Tìm kiếm những giải pháp giàu tưởng tượng và phù hợp

Liên quan mật thiết đến hành vi của giáo viên là việc phát triển môi trường

lớp học có lợi cho tư duy Trong Để trở thành người, Rogers (1961) đã viết

rằng sự an toàn và tự do tâm lý chính là những yếu tố cần thiết để tạo nên môi trường đó Theo Rogers, học sinh không thể tư duy tốt trong hoàn cảnh đe doạ

và căng thẳng, hay thậm chí trong môi trường khắc nghiệt mà áp lực nhóm kìm hãm tư duy độc lập Mặc dù những quy định hiện hành chính quy như có mặt bắt buộc, nề nếp, kiểm tra và điểm số khiến cho các trường học gần như không thể đảm bảo hoàn toàn những điều kiện đó, giáo viên cũng có thể tự tạo môi trường tư duy cho lớp học của mình bằng việc sắm vai doanh nhân một cách ấm áp, thân thiện và bằng cách thể hiện là mình ủng hộ những ý tưởng độc đáo và khác biệt

Tư duy sáng tạo là trọng tâm của nhấn mạnh hiện tại về các kỹ năng tư duy Các trường học sẽ phải thực hiện nhiều cải cách để trau dồi những lối tư duy

này một cách đầy đủ hơn, nhưng những phần thưởng nhận được sẽ rất xứng đáng với những nỗ lực đó

Tiểu kết chương 1 Trong chương này luận văn đã làm rõ các khái niệm tư duy, tư duy sáng

tạo, nêu được các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo, đồng thời cũng đã chỉ

ra được sự quan trọng của việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua quá trình dạy học giải bài tập toán Qua đó chúng ta giúp học sinh học tập tích cực hơn và kích thích được tính sáng tạo cho học sinh trong học tập cũng như trong cuộc sống

Vậy công việc của mỗi giáo viên trong quá trình dạy học là tìm ra được các phương pháp nhằm phát triển và rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

CHƯƠNG 2 THỰC TRẠNG DẠY HỌC PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO

CHO HỌC SINH Ở MỘT SỐ TRƯỜNG

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2.1 Một số ứng dụng của đạo hàm trong chương trình toán trung học phổ thông

2.1.1 Sử dụng hàm số để giải phương trình

Để giải phương trình ta có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau, đối

với phương pháp hàm số ta dựa vào cơ sở lý thuyết sau đây:

+ Giao điểm của hai đồ thị

Cho hàm số y f x( ) có đồ thị là (C1), hàm số y  g x ( ) có đồ thị là (C2) Khi đó:

- Hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là nghiệm của phương trình

a f b f c f





 ( ) ( ))

Với x  ( ; 1 ), ta có f x'( ) 2012. x20112014.x20135 (1x)3

0)1(52014

20120

)

(

' x   x2011  x2013  x 3 

f (*) Hàm số g(x)2012x2011 2014x2013 5 (1 x)3 liên tục trên tập xác định

của nó là nửa khoảng ;1 và có đạo hàm

)1(2

152013

.20142011

.2012

Suy ra hàm số g (x) đồng biến trên  ;1 phương trình (*) nếu có

nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất

Lại có g(0).g(1)0 và g (x) liên tục trên đoạn [0;1] nên (0;1) để

x f

)1

;(

0)(

Đáp số: Phương trình có hai nghiệm x  0 và x  1

Như vậy: Với ví dụ 1 đòi hỏi học sinh phải linh hoạt trong việc lựa chọn

phương pháp phù hợp để giải phương trình Là một phương trình chứa căn

thức xong cùng với bậc của x quá cao nên không thể sử dụng phương pháp

biến đổi đại số thông thường hay phương pháp đặt ẩn phụ như các phương

trình thường gặp Trong quá trình giải phương trình trên, đòi hỏi học sinh thể

hiện được tính mềm dẻo trong việc sử dụng phương pháp hàm số Tính mềm dẻo được thể hiện thông qua việc tiếp tục phải sử dụng đạo hàm để xác định nghiệm của phương trình f x '( ) 0đồng thời phải sử dụng thêm tính chất liên tục của hàm số để khẳng định nghiệm của phương trình f x '( ) 0 thuộc khoảng (0;1)

Ví dụ 2 Giải phương trình 3 xsin x0

Lời giải:

Tập xác định là D = 

Nhận xét: Nếu x0là nghiệm của phương trình (*) thì  cũng là nghiệm của x0

phương trình (*) Vậy nếu biết nghiệm của (*) trên nửa khoảng 0; ta sẽ suy ra nghiệm của phương trình (*) trên 

f x 0

f(x)

0 0

2 1

f( )

Từ bảng biến thiên ta có phương trình f x ( ) 0có nghiệm x= 0; x =

sin 2 2

2

x m

Ví dụ 4 Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm

2(

1

x

x   ; v(x) = x  6x

12

quan đến sự tồn tại nghiệm, số nghiệm của phương trình Với yêu cầu như trên, học sinh cần giải bài toán theo các bước như sau :

+ Biến đổi phương trình về dạng f(x) = m

+ Lập bảng biến thiên của hàm số f(x)

+ Căn cứ vào tập giá trị hoặc bảng biến thiên của hàm số f(x) để xác định điều kiện của tham số

Ngoài ra, trong qúa trình thực hiện các bước nêu trên, học sinh cần linh

hoạt trong việc xác định nghiệm, xác định dấu của f’(x) hoặc có thể phải thông qua một phép đặt ẩn phụ như ví dụ 3

Ví dụ 5 Giải phương trình 3cosx  2cosx  cos x

Lời giải:

Phương trình tương đương với 3cosx 3cosx2cosx 2cosx

Giả sử phương trình có nghiệm là  , khi đó:

3cos   3 cos   2cos   2 cos  (1)

)2()3()

0cos0

cos]

1[ cos

 thoả mãn phương trình đã cho

Vậy phương trình có hai họ nghiệm x    k 

2 và x  k 2 

Ví dụ 6 : Giải phương trình: 7x1  6log (67 x   5) 1

x ĐS:

4

x

2 2

x





 điều kiện t  [0;1)

e x a

ax sin( 7 5 ) sin( 5 )

6 1

) 5 4 cos(

2

3 cos

lập thành cấp số cộng với công sai d

HD: Lấy lôgarrit Nê – pe hai vế

Biến đổi phương trình về dạng

Xét hàm số f trên tập D sao cho:

+, Hàm số f đơn điệu trên tập hợp D

(D là một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng)

- Đối với bất phương trình f x ( )  g m ( ) xét trên tập D bất kỳ

Trong trường hợp hàm số y f x( ) có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên D Bất phương trình có nghiệm trên D  min ( ) ( )

t t

f

2

12

Bất phương trình (1) có dạng : f x (   1) f (3  x )     x 1 3 x   x 2

Kết hợp với điều kiện xác định ta được :

Tập nghiệm của bất phưong trình là : T = (2 ; 3]

Ví dụ 2: Giải bất phương trình

2 4

3 9

x x

Vậy tập nghiệm của BPT là T = [1 ; )

Nhận xét : Thông qua ví dụ 1 và ví dụ 2 ta thấy: Học sinh phải linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp để giải các bất phương trình Đối với ví dụ

1, học sinh có thể sử dụng phương pháp biến đổi đại số đó là nhân các biểu thức liên hợp nhưng với ví dụ 2 đòi hỏi học sinh phải lựa chọn phương pháp

hàm số Để sử dụng tốt phương pháp này học sinh cần có kỹ năng phát hiện hàm số cũng như kỹ năng nhận dạng bất phương trình

11

433

x x

Nhận xét : Sau khi biến đổi bất phương trình về BPT (*) học sinh có thể xét trực tiếp hàm số theo ẩn x, tuy nhiên việc tính đạo hàm rất phức tạp Tác giả cho học sinh nhận xét liên hệ của x3; 1 để sử dụng phương pháp x lượng giác hóa

Nhận xét: BPT trở thành một BPT biểu thức chỉ có sin  và cos tác giả tiếp tục cho học sinh chọn một ẩn chung cho sin ;cos 

7165

9127

t t

Xét hàm số

2 2

(

60852

t t t

9 7

Từ bảng biến thiên ta có : BPT có nghiệm khi và chỉ khi

Tuy nhiên qua ví dụ 4, ví dụ 5 ta thấy học sinh cần linh hoạt trong việc sử lý biến số Nếu việc lập bảng biến thiên hay tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số khó khăn có thể phải sử dụng phép đổi biến số

Lưu ý: khi đổi biến số ta cần phải tìm điều kiện của ẩn phụ tương đương với điều kiện ẩn x

Bài tập rèn luyện

1 Giải bất phương trình:

1

152

124

)1(6

)1(

HD : Chia hai vế của phương trình cho 42x2x

sau đó đặt

2

32

- Một phương trình trong hệ có dạng ( hoặc đưa được về dạng )

f(x) = 0 trong đó f là hàm số đơn điệu

+, Ngoài cách giải theo hệ phương trình đối xứng, phương pháp hàm số được nhận dạng theo dấu hiệu ở phương trình 1 có thể tách x, y ở riêng từng vế và biến đổi theo hằng đẳng thức

+, Ngoài việc đưa một phương trình trong hệ có dạng f(u(x))=f(v(y)), ta còn phải giới hạn u( x), v(y) thuộc tập D từ phương trình thứ hai (với D là một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng) để trên để trên tập D hàm f đơn điệu Đối với ví dụ 1, việc đánh giá u(x), v(y) có thể dễ dàng Trong ví dụ 2 học sinh cần nhận dạng được phương trình (2) trong hệ là phương trình của một đường tròn

+, Để áp dụng hàm số để giải hệ phương trình học sinh cần nắm vững cơ sở

lý thuyết cũng như kỹ năng biến đổi, kỹ năng nhận dạng tương tự như đối với phương trình