Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông trung học thông qua các bài tập về ứng dụng của đạo hàm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN THỊ MAI HOA RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH PHỔ THÔNG TRUNG HỌC THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP VỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM LUẬN VĂN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ MAI HOA

RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH PHỔ THÔNG TRUNG HỌC THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP

VỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học

(Bộ môn Toán học)

Mã số : 601410

HÀ NỘI - 2010

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ MAI HOA

RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH PHỔ THÔNG TRUNG HỌC THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP

VỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học

(Bộ môn Toán học)

Mã số : 601410

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THÀNH VĂN

HÀ NỘI - 2010

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài ……… 1

2 Lịch sử nghiên cứu ……… 1

3 Mục tiêu nghiên cứu ……… …… 2

4 Vấn đề nghiên cứu ……… …… 2

5 Giả thuyết khoa học ……… …… 2

6 Nhiệm vụ nghiên cứu ……… …… 2

7 Phương pháp nghiên cứu ……… 3

8 Những đóng góp của luận văn ……… …… 3

9 Cấu trúc luận văn ……… 4

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ……… …… 5

1.1 Tư duy ……… 5

1.1.1 Tư duy là gì ? ……… 5

1.1.2 Tầm quan trọng của việc phát triển tư duy ……… …… 5

1.1.3 Những đặc điểm của tư duy ……… … 6

1.1.4 Những phẩm chất của tư duy ……… 7

1.1.5 Các thao tác tư duy ……… …… 7

1.1.6 Vấn đề phát triển năng lực tư duy ……… …… 7

1.1.7 Dấu hiệu đánh giá tư duy phát triển ……… …… 8

1.2 Tư duy toán học ……… …… 8

1.2.1 Tư duy khoa học tự nhiên ……… 8

1.2.2 Tư duy toán học ……… 9

1.3 Tư duy sáng tạo ……… 10

1.3.1 Tư duy sáng tạo là gì?……… 10 1.3.2 Quan hệ giữa các bài tập ứng dụng của đạo hàm và việc rèn luyện

tư duy sáng tạo cho học sinh……… 10

Chương 2: RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH PHỔ THÔNG TRUNG HỌC THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP VỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM……… 13

2.1 Một số kiến thức cơ bản về đạo hàm ……… 13

2.1.1 Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm ……… 13

2.1.2 Định nghĩa đạo hàm của hàm số trên một khoảng ……… 13

2.1.3 Các quy tắc tính đạo hàm ……… ……… ……14

2.1.4 Bảng các đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản ……… 14

2.1.5 Đạo hàm cấp cao ……… ……… 15

2.2 Ứng dụng đạo hàm vào chứng minh đẳng thức ……… ……15

2.3 Ứng dụng đạo hàm vào chứng minh bất đẳng thức ………….…………20

2.4 Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số…….39

2.5 Ứng dụng đạo hàm vào giải phương trình, bất phương trình …………50

2.6 Ứng dụng đạo hàm vào giải hệ phương trình, hệ bất phương trình ……65

2.7 Định lí Lagrange và các ứng dụng ……… ……… 75

2.7.1 Định lí Lagrange ……… ……….………75

2.7.2 Ứng dụng định lí Lagrange vào chứng minh bất đẳng thức … ……75

2.7.3 Ứng dụng định lí Lagrange vào chứng minh phương trình có nghiệm……… 78

2.7.4 Ứng dụng định lí Lagrange vào giải phương trình ……… ……82

Chương 3: THỬ NGHIỆM SƯ PHẠM …… ……… 88

3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thử nghiệm ……… 88

3.2 Phương pháp thử nghiệm …… ……… ……… 88

3.3 Nội dung thử nghiệm sư phạm …… ……… ……… 88

3.3.1 Chọn nội dung thử nghiệm …… ……….……… 88

3.3.2 Tổ chức thử nghiệm …… ……… ………88

3.3.3 Nội dung bài tập và đề kiểm tra …… ………….………90

3.4 Kết quả của thử nghiệm sư phạm …… ……… ……… ……93

3.4.1 Nhận xét của giáo viên qua tiết dạy thử nghiệm …… ……… 93

3.4.2 Những đánh giá từ kết quả bài kiểm tra ……… 93

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ …… ……… 96

1 Kết luận …… ……… 96

2 Khuyến nghị …… ……….……… …….96

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO …… ……….98

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Nhân loại đang bước vào thế kỷ XXI, thế kỷ tri thức, kỹ năng của con người được xem là yếu tố quyết định sự phát triển của xã hội Trong xã hội tương lai, nền giáo dục phải đào tạo ra những con người có trí tuệ, thông minh và sáng tạo Muốn có được điều này, ngay từ bây giờ nhà trường phổ thông phải trang bị đầy đủ cho học sinh hệ thống kiến thức cơ bản, hiện đại, phù hợp với thực tiễn Việt Nam và rèn luyện cho họ năng lực tư duy sáng tạo Thế nhưng, các công trình nghiên cứu về thực trạng giáo dục hiện nay cho thấy chất lượng nắm vững kiến thức của học sinh không cao, đặc biệt việc phát huy tính tích cực của học sinh, năng lực giải quyết vấn đề và năng lực tư duy sáng tạo không được chú ý rèn luyện đúng mức Từ thực tế đó, nhiệm vụ cấp thiết đặt ra là phải đổi mới phương pháp dạy học, sử dụng các phương pháp dạy học tích cực để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề

Trong chương trình toán trung học phổ thông, đạo hàm là một trong các công cụ hiện đại mà sử dụng nó có thể giải nhiều dạng bài tập khác nhau trong khi việc sử dụng các phương pháp khác có thể gặp khó khăn

Vì vậy, cần phải nghiên cứu một cách có hệ thống các ứng dụng của đạo hàm vào việc giải các bài toán, trên cơ sở đó rèn luyện tư duy logic, tư

duy sáng tạo cho học sinh Do đó, việc nghiên cứu đề tài: “Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông trung học thông qua các bài tập về ứng dụng của đạo hàm” là rất cần thiết

2 Lịch sử nghiên cứu

Việc nghiên cứu về vấn đề ứng dụng của đạo hàm từ trước đến nay đã

có nhiều công trình nghiên cứu và lý thuyết đạo hàm đã hoàn thiện

Các tài liệu tham khảo về ứng dụng của đạo hàm ở Việt Nam cũng có rất nhiều, tuy nhiên chưa có nhiều cuốn sách đề cập đến ứng dụng của đạo hàm một cách có hệ thống

3 Mục tiêu nghiên cứu

- Nghiên cứu các ứng dụng của đạo hàm vào toán phổ thông

- Phân loại, xây dựng hệ thống các bài tập về ứng dụng của đạo hàm và đưa ra phương pháp chung cho mỗi loại đó

- Trên cơ sở đó rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông trung học thông qua các bài tập về ứng dụng của đạo hàm

4 Vấn đề nghiên cứu

- Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh là thế nào?

- Sử dụng các bài tập về ứng dụng của đạo hàm như thế nào để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông trung học?

5 Giả thuyết khoa học

Thông qua hệ thống các bài tập về ứng dụng của đạo hàm giúp cho học sinh xây dựng khả năng tự học, tự nghiên cứu và lòng say mê toán học, qua

đó rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

6 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu hoạt động tư duy của học sinh trong quá trình giải bài tập

về ứng dụng của đạo hàm, từ đó hướng dẫn học sinh xây dựng tiến trình luận giải, làm cơ sở cho việc tìm kiếm lời giải một cách có hiệu quả

- Phân loại và xây dựng hệ thống bài tập về ứng dụng của đạo hàm và đưa ra phương pháp chung cho mỗi loại đó

- Thực nghiệm sư phạm để đánh giá hiệu quả của hệ thống bài tập về ứng dụng của đạo hàm đã được phân loại và xây dựng để phát triển năng lực

tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua quá trình tìm kiếm lời giải Đối chiếu kết quả thực nghiệm với kết quả điều tra ban đầu, rút ra kết luận về khả năng

áp dụng hệ thống bài tập đã đề xuất

7 Phương pháp nghiên cứu

7.1 Nghiên cứu lí luận

- Nghiên cứu lí luận về tư duy, rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông

- Nghiên cứu tác dụng và cách sử dụng các bài tập về ứng dụng của đạo hàm trong dạy học toán học

7.2 Điều tra, quan sát

- Dự giờ, tổng kết kinh nghiệm việc dạy chủ đề này

- Điều tra thực trạng nhận thức và năng lực tư duy sáng tạo của học sinh phổ thông trung học trong quá trình giải các bài tập về ứng dụng của đạo hàm

- Tình hình sử dụng các bài tập về ứng dụng của đạo hàm trong dạy học toán học của giáo viên trung học phổ thông hiện nay

7.3 Thử nghiệm sư phạm

- Dạy thử nghiệm sư phạm để đánh giá hiệu quả của cách phân loại và xây dưng hệ thống bài tập về ứng dụng của đạo hàm và phương pháp chung của mỗi loại đó

- Dạy thử nghiệm sư phạm một số nội dung trong luận văn tại một số lớp ở trường THPT nhằm bước đầu đánh giá tính khả thi và tính hiệu quả của

đề tài

8 Những đóng góp của luận văn

- Xây dựng và phân loại hệ thống bài tập về ứng dụng của đạo hàm nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông

- Kết quả thực nghiệm sư phạm cho thấy đề tài có tính khả thi và hiệu quả

- Kết quả của đề tài có thể làm tài liệu tham khảo bổ ích thiết thực cho đồng nghiệp, sinh viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông trung học thông qua các bài tập về ứng dụng của đạo hàm

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Theo M.N Sacđacôp: "Tư duy là sự nhận thức khái quát gián tiếp các

sự vật và hiện tượng của hiện thực trong những dấu hiệu, những thuộc tính chung và bản chất của chúng Tư duy cũng là sự nhận thức sáng tạo những sự vật, hiện tượng mới, riêng rẽ của hiện thực trên cơ sở những kiến thức khái quát hóa đã thu nhận được

Còn theo tác giả Nguyễn Xuân Trường (Đại học Sư Phạm Hà Nội) thì

"tư duy là hành động trí tuệ nhằm thu thập và xử lí thông tin về thế giới quanh

ta và thế giới trong ta Chúng ta tư duy để hiểu, làm chủ tự nhiên, xã hội và chính mình"

1.1.2 Tầm quan trọng của việc phát triển tư duy

Lý luận dạy học hiện đại đặc biệt chú trọng đến việc phát triển tư duy

cho học sinh thông qua việc điều khiển tối ưu quá trình dạy học, còn các thao

tác tư duy cơ bản là công cụ của nhận thức, đáng tiếc rằng điều này cho đến nay vẫn chưa được thực hiện rộng rãi và có hiệu quả Vẫn biết sự tích lũy kiến thức trong quá trình dạy học đóng vai trò không nhỏ, song không phải quyết định hoàn toàn Con người có thể quên đi nhiều sự việc cụ thể mà dựa vào đó những nét tính cách của anh ta được hoàn thiện Nhưng nếu những nét tính cách này đạt đến mức cao thì con người có thể giải quyết được mọi vấn đề phức tạp nhất, điều đó nghĩa là anh ta đã đạt đến một trình độ tư duy cao Quá trình hoạt động nhận thức của HS chia làm hai mức độ:

- Trình độ nhận thức cảm tính: Là quá trình phản ánh thực tiễn dưới dạng cảm giác, tri giác và biểu tượng

- Trình độ nhận thức lý tính: Còn gọi là trình độ lôgic hay đơn giản là

tư duy

1.1.3 Những đặc điểm của tư duy

- Quá trình tư duy nhất thiết phải sử dụng ngôn ngữ là phương tiện: Giữa

tư duy và ngôn ngữ có mối quan hệ không thể chia cắt, tư duy và ngôn ngữ phát triển trong sự thống nhất với nhau Tư duy dựa vào ngôn ngữ nói chung và khái niệm nói riêng Mỗi khái niệm lại được biểu thị bằng một hay một tập hợp từ Vì vậy, tư duy là sự phản ánh nhờ vào ngôn ngữ Các khái niệm là những yếu tố của

tư duy Sự kết hợp các khái niệm theo những phương thức khác nhau, cho phép con người đi từ ý nghĩ này sang ý nghĩ khác

+ Tư duy phản ánh khái quát:

Tư duy phản ánh hiện thực khách quan, những nguyên tắc hay nguyên

lý chung, những khái niệm hay vật tiêu biểu Phản ánh khái quát là phản ánh tính phổ biến của đối tượng Vì thế những đối tượng riêng lẻ đều được xem như một sự thể hiện cụ thể của quy luật chung nào đó Nhờ đặc điểm này, quá trình tư duy bổ sung cho nhận thức và giúp con người nhận thức hiện thực một cách toàn diện hơn

+ Tư duy phản ánh gián tiếp:

Tư duy giúp ta hiểu biết những gì không tác động trực tiếp, không cảm giác và quan sát được, mang lại những nhận thức thông qua các dấu hiệu gián tiếp Tư duy cho ta khả năng hiểu biết những đặc điểm bên trong, những đặc điểm bản chất mà các giác quan không phản ánh được

+ Tư duy không tách rời quá trình nhận thức cảm tính:

Quá trình tư duy bắt đầu từ nhận thức cảm tính, liên hệ chặt chẽ với nó trong quá trình đó nhất thiết phải sử dụng những tư liệu của nhận thức cảm tính

1.1.4 Những phẩm chất của tư duy

a) Khả năng định hướng: Ý thức nhanh chóng và chính xác đối tượng

cần lĩnh hội, mục đích phải đạt được và những con đường tối ưu đạt được mục đích đó

b) Bề rộng: Có khả năng vận dụng nghiên cứu các đối tượng khác c) Độ sâu: Nắm vững ngày càng sâu sắc hơn bản chất của sự vật, hiện

tượng

d) Tính linh hoạt: Nhạy bén trong việc vận dụng những tri thức và cách

thức hành động vào những tình huống khác nhau một cách sáng tạo

e) Tính mềm dẻo: Thể hiện ở hoạt động tư duy được tiến hành theo các

hướng xuôi ngược chiều

f) Tính độc lập: Thể hiện ở chỗ tự mình phát hiện ra vấn đề, đề xuất

cách giải quyết và tự giải quyết được vấn đề

g) Tính khái quát: Khi giải quyết một loại vấn đề nào đó sẽ đưa ra được

mô hình khái quát, trên cơ sở đó để có thể vận dụng để giải quyết các vấn đề tương tự, cùng loại

1.1.5 Các thao tác tư duy

Sự phát triển tư duy nói chung được đặc trưng bởi sự tích lũy các thao tác tư duy thành thạo và vững chắc của con người Việc hình thành và vận dụng các khái niệm, cũng như việc thiết lập các mối quan hệ giữa chúng được thực hiện trong quá trình sử dụng các thao tác tư duy như: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa, cụ thể hóa kết hợp với các phương pháp hình thành phán đoán mới là quy nạp, diễn dịch, suy diễn và loại suy

1.1.6 Vấn đề phát triển năng lực tư duy

- Việc phát triển tư duy cho học sinh trước hết là giúp học sinh thông hiểu kiến thức một cách sâu sắc, không máy móc, biết cách vận dụng kiến thức vào bài tập, từ đó mà kiến thức học sinh thu nhận được trở nên vững chắc và sinh

động Chỉ thực sự lĩnh hội được tri thức khi tư duy tích cực của bản thân học sinh được phát triển và nhờ sự hướng dẫn của giáo viên các em biết phân tích, khái quát tài liệu có nội dung cụ thể và rút ra những kết luận cần thiết

- Sự phát triển tư duy diễn ra trong quá trình tiếp thu kiến thức và vận dụng tri thức, khi tư duy phát triển sẽ tạo ra một kĩ năng và thói quen làm việc

có suy nghĩ, có phương pháp, chuẩn bị tiềm lực lâu dài cho học sinh trong hoạt động sáng tạo sau này

- Muốn phát triển năng lực tư duy, phải xây dựng nội dung dạy học sao cho nó không phải "thích nghi" với trình độ phát triển có sẵn của học sinh mà đòi hỏi phải có trình độ phát triển cao hơn, có phương thức hoạt động trí tuệ phức tạp hơn Nếu học sinh thực sự nắm được nội dung đó, thì đây là chỉ tiêu

rõ nhất về trình độ phát triển năng lực tư duy của học sinh

1.1.7 Dấu hiệu đánh giá tư duy phát triển

a) Có khả năng tự lực chuyển tải tri thức và kĩ năng sang một tình huống mới Trong quá trình học tập, học sinh đều phải giải quyết những vấn

đề đòi hỏi phải liên tưởng đến những kiến thức đã học trước đó Nếu học sinh độc lập chuyển tải tri thức vào tình huống mới thì chứng tỏ đã có biểu hiện tư duy phát triển

b) Tái hiện kiến thức và thiết lập những mối quan hệ bản chất một cách nhanh chóng

c) Có khả năng phát hiện cái chung và cái đặc biệt giữa các bài toán d) Có năng lực áp dụng kiến thức để giải quyết tốt bài toán thực tế: Định hướng nhanh, biết phân tích suy đoán và vận dụng các thao tác tư duy

để tìm cách tối ưu và tổ chức thực hiện có hiệu quả

1.2 Tư duy toán học

1.2.1 Tư duy khoa học tự nhiên

Tư duy khoa học tự nhiên được đặc trưng bằng các phương pháp nhận thức khoa học tự nhiên, bao gồm:

- Hiểu vấn đề

- Xác định vấn đề một cách chính xác

- Xác định giới hạn giữa nó và các vấn đề khác

- Nghiên cứu tất cả các yếu tố liên quan đến vấn đề đã nêu

- Vạch kế hoạch tìm tòi cách giải quyết

- Chọn lựa những suy đoán chính xác nhất

- Tiến hành thực nghiệm kiểm tra giả thuyết

- Thực nghiệm đánh giá kết quả

- Rút ra kết luận và cơ sở khoa học của chúng

- Chọn lựa phương án giải quyết tối ưu

- Mở rộng kết quả sang trường hợp tương tự

1.2.2 Tư duy toán học

Với tư duy hóa học thì A + B là sự biến đổi nội tại của các chất để tạo

ra chất mới, theo những nguyên lý, quy luật của hóa học

Với tư duy toán học thì 1 + 2 = 3;

A + B = A  B

Lựa chọn những bài toán xoay quanh hình và những con số giúp học sinh nâng cao năng lực toán học, tổng hợp và phân tích các kiến thức toán học, tăng khả năng suy luận, có khả năng sáng tạo ra những bài toán mới

Bồi dưỡng phương pháp và năng lực tư duy toán học là bồi dưỡng cho học sinh biết vận dụng thành thạo các thao tác tư duy và phương pháp lôgic, nâng cao khả năng tính toán và suy luận, hình thành nên tư duy sáng tạo

Như vậy cũng giống như tư duy khoa học tự nhiên, hóa học và vật lý,

tư duy toán học cũng sử dụng các thao tác tư duy vào quá trình nhận thức thực tiễn và tuân theo quy luật chung của quá trình nhận thức

Trực quan sinh động

Tư duy

1.3 Tư duy sáng tạo

1.3.1 Tư duy sáng tạo là gì?

Tư duy sáng tạo là chủ đề của một lĩnh vực nghiên cứu còn mới Tư duy sáng tạo nhằm tìm ra các phương án, biện pháp thích hợp để kích hoạt khả năng sáng tạo, và để đào sâu khả năng tư duy của một cá nhân hay một tập thể cộng đồng làm việc chung về một vấn đề hay một lĩnh vực

Tư duy sáng tạo có liên quan đến các chức năng tâm lý sau:

- Nhận thức được đặc điểm bản chất của tình huống mới do người khác nêu ra hoặc tự mình đưa ra vấn đề cần giải quyết

- Sáng tạo ra công cụ mới, phương pháp mới, cách thức phù hợp với hoàn cảnh mới (trên cơ sở những tri thức và kinh nghiệm tiếp thu được trước đó)

1.3.2 Quan hệ giữa các bài tập ứng dụng của đạo hàm và việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

Theo thuyết hoạt động có đối tượng thì năng lực chỉ có thể hình thành

và phát triển trong hoạt động Để giúp học sinh phát triển năng lực tư duy, mà đỉnh cao là tư duy sáng tạo, thì cần phải rèn luyện cho học sinh hoạt động tư duy sáng tạo, mà đặc trưng cơ bản nhất là tạo ra những phẩm chất tư duy mang tính mới mẻ Trong học tập toán học, một trong những hoạt động chủ yếu để phát triển tư duy cho học sinh là hoạt động giải bài tập Vì vậy, giáo viên cần phải tạo điều kiện để thông qua hoạt động này các năng lực trí tuệ được phát triển, học sinh sẽ có những sản phẩm tư duy mới, thể hiện ở:

- Năng lực phát hiện vấn đề mới

- Tìm ra hướng đi mới

- Tạo ra kết quả mới

Để làm được điều đó, trước hết người giáo viên cần chú ý hoạt động giải các bài tập ứng dụng của đạo hàm để tìm ra kết quả không phải chỉ là

mục đích mà chính là phương tiện hiệu nghiệm để phát triển tư duy cho học

sinh Bài tập ứng dụng của đạo hàm phải đa dạng phong phú về thể loại và được sử dụng trong tất cả các khâu của quá trình dạy học như nghiên cứu tài liệu, ôn tập, luyện tập, kiểm tra … Thông qua hoạt động giải bài tập ứng dụng của đạo hàm, mà các thao tác tư duy như so sánh, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa, … thường xuyên được rèn luyện và phát triển, các năng lực: quan sát, trí nhớ, óc tưởng tượng, suy nghĩ độc lập, … không ngừng được nâng cao, biết phê phán nhận xét đúng, tạo hứng thú và lòng say mê học tập, … để rồi cuối cùng tư duy của học sinh được rèn luyện và phát triển thường xuyên, đúng hướng, thấy được giá trị lao động, nâng khả năng hiểu biết thế giới của học sinh lên một tầm cao mới, góp phần cho quá trình hình thành nhân cách của học sinh

Thực chất của việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh là trên cở sở

kiến thức cơ bản học sinh vận dụng một cách linh hoạt và sáng tạo để tìm ra đáp số của bài toán bằng con đường ngắn nhất Theo tác giả Nguyễn Xuân Trường (Đại học Sư Phạm Hà Nội) thì "kiến thức lâu ngày có thể quên cái còn lại là năng lực tư duy sáng tạo"

Theo tôi để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thì trong quá trình giảng dạy các bài tập ứng dụng của đạo hàm trước hết phải làm cho học sinh thông hiểu sâu sắc kiến thức cơ bản về đạo hàm, từ đó rèn các thao tác tư duy nhanh nhạy, linh hoạt, sáng tạo Muốn vậy, phải đa dạng hóa các dạng bài tập,

ưu tiên sử dụng bài tập có nhiều cách giải hay, bài tập có sự phát triển thêm kiến thức mới, … Với mỗi bài tập, không chỉ dừng lại ở mức độ tìm ra cách giải của bài toán mà phải tập cho học sinh suy nghĩ tìm ra cách giải khác, phát triển bài toán, rút ra những kiến thức mới cần lĩnh hội và nếu thay đổi các dữ kiện hoặc yêu cầu thì bài toán sẽ phải giải theo hướng nào

tƣ duy, vấn đề phát triển năng lực tƣ duy, dấu hiệu đánh giá tƣ duy phát triển

2 Tƣ duy khoa học tự nhiên và tƣ duy toán học

3 Tƣ duy sáng tạo là gì? Quan hệ giữa các bài tập ứng dụng của đạo hàm và việc rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh

Tất cả những vấn đề trên là cơ sở cho phép chúng tôi nêu lên một số vấn đề, cần đƣợc hiểu và làm theo quan điểm tiếp cận hệ thống, góp phần rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh phổ thông trung học

CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH

PHỔ THÔNG TRUNG HỌC THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP

VỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 2.1 Một số kiến thức cơ bản về đạo hàm

2.1.1 Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm

Cho hàm số y = f (x ) xác định trên khoảng (a, b) và điểm x0 (a, b)

Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số

0

0)()(

x x

x f x f

x f x f

0

)()(

lim

x x

x f x x

2.1.2 Định nghĩa đạo hàm của hàm số trên một khoảng

Cho hàm số f xác định trên tập J , trong đó J là một khoảng hoặc là hợp

của những khoảng nào đó

Hàm số f gọi là có đạo hàm trênJ nếu nó có đạo hàm f ' x ( ) tại mọi điểm x

thuộc J

Nếu hàm số f có đạo hàm trên J thì hàm số f xác định bởi ' f :' J R

gọi là đạo hàm của hàm số f

x  f ' x ( )

Đạo hàm của hàm số y = f (x ) cũng được kí hiệu bởiy'

2.1.4 Bảng các đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản

Đạo hàm của các hàm số sơ

.)(x  x (3)

2

'

11

x x

2

''1

u

u u

(sinu)' u cos' u (10) (cosu)'–u 'sinu (12)

(14)

(log

a x

x

ln

1)' (23)

(cot u)'

u

u

2sin

'



 (16)

(eu)' u'eu (18) (au)'  u'.au.lna (20)

u u

ln

')' (24)

2.2 Ứng dụng đạo hàm vào chứng minh đẳng thức

Ta biết rằng hàm số hằng yccó đạo hàm trên R và y '  0 Đảo lại, ta có định lí sau:

Định lí 1 Nếu hàm số y f (x)có đạo hàm trong khoảng (a, b) và f ' x ( ) = 0

 x( b a, ) thì hàm số y f (x)không đổi trong khoảng (a, b)

Từ đó, sử dụng đạo hàm để chứng minh đẳng thức ta làm như sau:

Giả sử cần chứng minh hàm sốy f (x)là hàm hằng trên tập D, D có thể là một đoạn, khoảng, nửa đoạn hay nửa khoảng

Bước 1: Tính f ' x( ), rồi chứng minh f ' x( ) = 0, xD

Bước 2: Chọn x0D, suy ra f(x) f(x0)c (c là hằng số)

Xét các ví dụ sau:

Ví dụ 1 Chứng minh rằng với mọix ta đều có:

cos2(xa) + sin2(xb) – 2cos(xa)sin(xb)sin(ab) = cos2(ab)

Lời giải

Xét hàm số y = cos2(xa) + sin2(xb) – 2cos(xa)sin(xb)sin(ab)

Ta có y'= sin(xa)cos(xa) + 2sin(xb)cos(xb) +

+ 2sin(ab) [ sin(xa)sin(xb)–cos(xa)cos(xb)]

= –2sin2(xa) + sin2(xb) – 2sin(ab)cos(2xab) = 2cos(2xab)sin(ab) – 2sin(ab)cos(2xab) = 0 Hàm số không đổi

Ngoài ra ta có y= y(b) = cos2(ab)

Vậyy= cos2(ab)

Nhận xét: Rõ ràng trong ví dụ này, sử dụng đạo hàm làm cho lời giải của bài

toán ngắn gọn hơn, việc tính đạo hàm và chứng minh y '  0 rất dễ dàng Ví

dụ trên có thể phát biểu dưới dạng:

“Chứng minh rằng biểu thức:

A = cos2(xa) + sin2(xb) – 2cos(xa)sin(xb)sin(ab)

không phụ thuộc vàox ”

Ví dụ 2 Tìm m để biểu thức:

A = cos2 x– msin2x + 3cos2x + 1

không phụ thuộcx

Lời giải

Ta có: A không phụ thuộc x  A’ = 0 x

–2sin2 x– 2 m cosxsinx – 6sinxcosx = 0 x

 –( m +5)sin2x = 0  x  m = –5

Vậy với m = –5 thì A không phụ thuộcx

Ví dụ 3 Tìm a , bđể phương trình sau nghiệm đúng với mọix

;1)0(

)

1(

;0)('

f

x x

;,sin)sin(

0

2

x x b

 b = 0 (do hàm y= cosx–x–1 nghịch biến trên R, y(0)=0)

Với b = 0 thay vào (3) ta có: sin ax = sin x  x  a = 1

Vậy với a = b = 0 hoặc a = 1; b = 0 thì phương trình nghiệm đúng với mọix

Chú ý: Ta cũng có thể giải bài toán này nếu áp dụng điều kiện cần và đủ

nhưng lời giải dài và phức tạp hơn Cụ thể lời giải như sau:

1.Điều kiện cần Giả sử (*) đúng với mọix Nói riêng cũng đúng khix = 0, tức là có:

Vậy ta chỉ cần xét khi a 0 Do (4) đúng với mọi x nên (4) đúng khix = 2, khi ấy có: cos2a = 1  2a 2k

Từ (5) và (6), với k, m nguyên nên ta có a = 1 hoặc a = –1

Vậy b = 0 và ( a = 0 hoặc a = 1) là điều kiện cần để (*) đúngx

1 Điều kiện đủ Xét 3 trường hợp sau:

- Nếu a = b= 0 thì (*) hiển nhiên đúngx

- Nếu a = 1; b= 0 thì (*) thành

cosx– 1 = cosx– 1 Vậy (*) thỏa mãnx

- Nếu a = –1; b= 0 thì (*) thành

–cosx = cosx  cosx = 0 (7)

Rõ ràng (7) không thể đúng  x , vậy a = –1; b = 0 không thỏa mãn

Tóm lại với a = b = 0 hoặc a = 1; b = 0 thì phương trình nghiệm đúng với mọi x

Nhận xét: Như vậy bên cạnh phương pháp điều kiện cần và đủ, ta có thể sử

dụng đạo hàm tìm điều kiện của tham số để phương trình nhậnxD làm

nghiệm Mặt khác sử dụng đạo hàm giúp cho giải bài toán trở nên ngắn gọn

)

1(

;,0)('



f

x x

f

Giải (1) ta được:

mcosx sinm 1 x – msinx cosm 1 x = 0, x

 msinxcosx(sinm 2 x – cosm 2 x) = 0, x

x

m

m m

,0cos

Vậy với m = 2 phương trình nghiệm đúng với mọi x

Bài tập 3 Tìm a , b để phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:

2

3)]

3

2(cos)3

2([cos

x x

b x

a

b) 2 a sin x – a sin3x+ b sin5x= sin5x

c)

a bx

a c)a1,b0

2.3 Ứng dụng đạo hàm vào chứng minh bất đẳng thức

Để chứng minh bất đẳng thức, ngoài các bất đẳng thức kinh điển như bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki…,thì sử dụng đạo hàm cũng

là một công cụ hữu ích Trong nhiều trường hợp, sử dụng đạo hàm thì lời giải bài toán sẽ ngắn gọn và đơn giản hơn rất nhiều

Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức

A  B,

trên D, với D là một đoạn, khoảng, nửa đoạn hay nửa khoảng

Sử dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức ta thường dùng hai cách sau:

Cách 1:

Xét f là một hàm số của một đối số nào đó, f xác định trên D và thỏa mãn f ()= A, f()= B, với ,D và f đơn điệu trên D

Nếu , chứng minh f (x ) nghịch biến trên D

Nếu , chứng minh f (x ) đồng biến trên D

Lời giải

Xét hàm số f (x )=x– sinx , với 0x

Ta phải chứng minh với 0<xthì f (x )> 0

Thật vậy, ta có f ' x( )= 1–cosx, với 0 x

Vì cosx< 1 với 0 x và cos0 = 1 nên f ' x( )= 1–cosx > 0 với 0x, và )

Nhận xét: Rõ ràng sử dụng đạo hàm trong ví dụ trên làm cho lời giải rất

ngắn gọn, dễ hiểu Trong trường hợp này, nhìn đầu bài ta nhận ra ngay hàm )

2

x

 < cosx < 1–

242

4 2

4 2

Từ đó suy rag (x)là hàm đồng biến trên (0; +)

Do0x  g(0) <g (x)  0 < x cosx

21

!4

!21

6 4 2

x x x

(=A)

sin > x   3! 5!  7!

7 5 3

x x x

!2

4 2

x x

(=C)

sin < x  3!  5!

5 3

x x

x (=D)

Thật vậy nếu đặt f (x )=cosx–A;g (x)=sinx–B;h (x)=C–cosx;l (x)=D–sin , x

dễ dàng nhận thấyl ' x( )=h (x);h ' x( )= g (x);g ' x( )= f (x )và từ đó suy ra điều phải chứng minh

!7

!5

!3

3 4 7

5 3

x

Lời giải

Chứng minh bằng quy nạp

Với n=1, bất đẳng thức cần chứng minh thành: sin <x x, vớix  ( 0 ;  )

Bất đẳng thức này đúng (dựa vào kết quả của ví dụ 4)

Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh đúng với n= k > 1, tức là:

sin <x x–

)!

34(

!7

!5

!3

3 4 7

5 3

x

Cần chứng minh nó đúng với n= k +1, hay

sinx<x–

)!

14(

!7

!5

!3

1 4 7

5 3

x

sin)!

14(

!7

!5

!3

1 4 7

5 3

!6

!4

!2

4 6

4 2

x k

x x

sin)!

14(

!5

!3

1 4 5

!4

!2

2 4 4

2

x k

x x

x

sin)!

34(

!7

!5

!3

3 4 7

5 3

!7

!5

!3

3 4 7

5 3

x

Nhận xét: Với ví dụ này ta đã áp dụng nguyên lí quy nạp và đạo hàm cấp

cao để chứng minh bất đẳng thức Thông qua việc chứng minh bất đẳng thức (*), ta cũng đã xây dựng và chứng minh các bất đẳng thức sau:

Với 0x và với mọi n  * ta có:

)!

14(

!7

!5

!3

1 4 7

5 3

!6

!4

!2

2 4 6

4 2

!6

!4

!2

4 6

4 2

n

x x

!9

!7

!5

!3

3 4 9

7 5 3

x x x x

!7

!5

!3

1 4 7

5 3

x x x

!6

!4

!2

2 4 6

4 2

!6

!4

!2

4 6

4 2

n

x x

Lời giải

Ta có ln(1+ 1 x 2 ) <

x

1+lnx  ln(1+ 1 x 2 ) –

x

1–lnx< 0

f ' x( )= 2

2 2

11)11(12

2

x x x x

)11(1)11(1

2 2

2

2 2

2 2

3

x x

x

x x

x x

x x

)11(11

2 2

2

2 2

3 2

3

x x

x

x x

x x x x x

)1

)(

11(

2 2

2

2 2

x x

x

x x x

1

x x

x x

x

x x

từ đó đánh giá dấu của f ' x( )

Ở các ví dụ trên ta đều nhìn ra ngay hàm f (x ), tuy nhiên trong nhiều trường hợp, ta cần biến đổi để lựa chọn hàm số f (x )thích hợp để xét tính đơn điệu

Ví dụ sau đây sẽ cho ta thấy việc lựa chọn hàm f (x )thích hợp để xét tính đơn điệu

Ví dụ 8 Cho a ;b> 0 và ab= 1 Chứng minh rằng:

2

251

1

11

f ' x( )=  

3 3

2 3 3

)1(

1)

1()12(2

x x

x x x x x

1(

2

25

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra f (x ) 

Nhận xét: Trong ví dụ trên bất đẳng thức cần chứng minh có hai biến, do

vậy ta cần dựa vào các điều kiện từ giả thiết để biến đổi rồi từ đó lựa chọn hàm số thích hợp để xét tính đơn điệu

Đối với mỗi bài toán khác nhau, chúng ta cần lựa chọn và biến đổi theo các cách khác nhau

Ví dụ 9 Cho các số thực dương a ;b;c;d thỏa mãn:

a c



lnln



b d

b d



lnln



a a

c

a c

, với x(1; +)

Ta có: f ' x( )= 2

)1(

ln1

x x

x x x







Xét hàm số: g (x)=x1xlnx

Mà 0 < a  b nên ta suy ra:

a a c a c

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a =b;c=d

Ví dụ 10 Cho a ;b;clà 3 số dương thỏa mãn điều kiện a2 b2 c2 1

Chứng minh rằng:

2 2

c b

a

a c

b

b a

c

33

a

a c

b

b a

c

33



2

331

b a

2 2

2 2

b

b a

a

a

Xét hàm số: f (x )=x ( 1  x2) =xx3với x(0; 1)

x 0

3

1

1 )

(

' x

f + 0 –

0 0

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

0  a(1a2) 

3 3

2

0 b(1b2)

3 3

2

0 c(1c2) 

3 3

2 2

2

c c

c b

b

b a

c b



2

33)1()1()1

2 2

2 2

b

b a

a

a

Từ đó suy ra:

2 2

c b

a

a c

b

b a

c

33

Dấu bằng xảy ra khi a =b=c=

Ví dụ 11 Cho x  y  z > 0; m  n> 0

Chứng minh rằng:

n

n m

z

y x

n m

x

z y

n m

y

x

z y

z

y x

n m

x

z y

n m

y

x

z y

x  

 n

n m

z

bz

az) ( )(

n m

az

z bz

)(

)(

n m

bz

az z

)(

)(–( )m( )m m 0

z bz az

    m  m10

n

n n

m n m

b a b

a a

b b a

Xét hàm số:

f (a)=    m  m 1

n

n n

m n m

b a b

a a

b b

Ta có: f ' a( )= . 1 . 1

1 1

m

a

b n a

m b

a n b a m

=

1

2 2

n n

n m n

n m n

n n m

b a

b n b a m a n b a m

n m

= 2( mn1 m1) ( mn1 mn1) 2 mn1

b n b

b mn b

b b b b b

z

y x

n m

x

z y

n m

y

x

z y

b a b

b a b

a

,nếu 0 <  < 1

b a b

a

2

1)

b a

b b

Ta có f ' t( )= .t1(1t)1

)1(.   

b a b

a

Với 0 < < 1, ta có bảng biến thiên của f (t):

Từ bảng biến thiên suy ra f (t) 1

b a b

a

Dấu "  " xẩy ra khi a =b

Vậy các bất đẳng thức đã cho đƣợc chứng minh

Nhận xét: Dựa vào bất đẳng thức vừa đƣợc chứng minh ở ví dụ 12 ta có

thể xây dựng những bất đẳng thức mới nhƣ sau:

c b a c

b a

c b a c

b a

e > 1+ x  x Bất đẳng thức đƣợc chứng minh

Kết quả trên còn có thể mở rộng hơn nữa:

Với mọi x0, với mọi n  *, ta có bất đẳng thức sau:

e > 1+ x x+

!

!5

!4

!3

!2

5 4 3 2

n

x x

x x

Bài tập 2 Cho 0 <x<1; 0 <y< 1 và x  y

Chứng minh rằng: yx y yln1x x

1ln1

> 4

Hướng dẫn

Không giảm tổng quát ta có thể giả sử y>x

Vì nếu x>y thì ta có thể viết bất đẳng thức tương tự:

xy x xln1y y

1ln

)12

t t

Do y>x  f ( y )> f (x ) (1) đúngTa có điều phải chứng minh

Bài tập 3 Cho a ; b > 0; a  b Chứng minh rằng:

b a

b a

x b

+ln

x b

x a

x a





+

x a

a b





=g (x)