CHÍNH SÁCH PHÁT TRIỂN NGUỒN NHÂN LỰC TRẺ VÙNG TÂY BẮC

CEP critical end point điểm kết thúc tới hạnCFL color-flavor-locked các số lượng tử màu và vị bị khóaELSM extended linear sigma model mô hình sigma tuyến tính mở rộngEoS equation of stat

PHÙNG THỊ THU HÀ

NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC PHA

TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH VẬT LÝ KHÔNG PHỤC HỒI ĐỐI XỨNG CHIRAL

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán

Mã số: 62 44 01 01

LUẬN ÁN TIẾN SỸ VẬT LÝ

HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH TRẦN HỮU PHÁT

PGS.TS NGUYỄN TUẤN ANH

HÀ NỘI 2013

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của bản thân tôi dưới sựhướng dẫn khoa học của GS.TSKH Trần Hữu Phát và PGS.TS Nguyễn Tuấn Anh.Các kết quả nghiên cứu nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bốtrong bất kỳ công trình nào khác.

Hà Nội, tháng 12 năm 2013

Tác giả luận án

Phùng Thị Thu Hà

ii

Qua luận án này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy hướng dẫn khoahọc thứ nhất - GS.TSKH Trần Hữu Phát Thầy đã dành nhiều năm hướng dẫn tôinghiên cứu, đưa ra những ý tưởng khoa học và định hướng nghiên cứu cho tôi trongquá trình tôi làm nghiên cứu sinh.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy hướng dẫn khoa học thứ hai PGS.TS Nguyễn Tuấn Anh Thầy đã dành nhiều năm truyền thụ kiến thức khoahọc cho tôi, dạy tôi nghiên cứu

-Tôi xin trân trọng cảm ơn Viện Năng lượng Nguyên tử Việt Nam, Viện Khoahọc và Kỹ thuật Hạt nhân đã tạo mọi điều kiện cho tôi học tập, nghiên cứu, hoànthành và bảo vệ luận án tiến sỹ

Tác giả luận án

iii

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

Danh mục các chữ viết tắt vii

MỞ ĐẦU 1 1 Giới thiệu về Chuyển pha trong QCD 1

2 Giới thiệu về Chuyển pha trong chất hạt nhân 3

3 Lý do chọn đề tài và mục đích nghiên cứu 5

4 Đối tượng, nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu 7

5 Phương pháp nghiên cứu 7

6 Đóng góp của luận án 8

7 Cấu trúc của luận án 9

1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 10 1.1 Tác dụng hiệu dụng ở gần đúng một loop 10

1.1.1 Đối với trường vô hướng 11

1.1.2 Đối với trường fermion 13

iv

1.2.1 Cơ sở chính tắc lớn 16

1.2.2 Hàm Green nhiệt độ và phiếm hàm sinh 16

1.2.3 Các điều kiện đối với hàm Green nhiệt độ 18

1.2.4 Hình thức luận thời gian ảo 22

1.2.5 Quy tắc Feynman 24

1.2.6 Sự dịch chuyển pha 24

1.3 Lý thuyết trường trung bình 25

1.3.1 Mô hình Walecka 26

1.3.2 Lý thyết trường trung bình 28

1.3.3 Nhiệt động lực học của chất hạt nhân 29

1.3.4 Trong giới hạn nhiệt độ không 33

1.3.5 Vật chất bất đối xứng spin đồng vị 36

1.4 Cấu trúc pha QCD 38

1.4.1 Đối xứng chiral, sự không hồi phục đối xứng chiral 38

1.4.2 Phân biệt hai loại chuyển pha 39

1.4.3 Giản đồ pha QCD được phỏng đoán 40

2 CHUYỂN PHA LIFSHITZ TRONG MÔ HÌNH QCD HIỆU DỤNG KHÔNG PHỤC HỒI ĐỐI XỨNG CHIRAL 43 2.1 Thế nhiệt động học 44

2.2 Các đại lượng nhiệt động 46

2.3 Sự không phục hồi của đối xứng chiral 48

v

2.5 Kết luận 59

3 CHUYỂN PHA TRONG CHẤT HẠT NHÂN DỰA TRÊN MÔ HÌNH SIGMA TUYẾN TÍNH MỞ RỘNG KHÔNG PHỤC HỒI ĐỐI XỨNG CHIRAL 61 3.1 Thế nhiệt động học 63

3.2 Các đại lượng nhiệt động 64

3.3 Tính chất bão hòa 65

3.4 Sự không phục hồi của đối xứng chiral 66

3.5 Phương trình trạng thái và chuyển pha khí-lỏng 67

3.6 Chuyển pha Lifshitz 80

3.7 Kết luận 90

vi

CEP critical end point (điểm kết thúc tới hạn)

CFL color-flavor-locked (các số lượng tử màu và vị bị khóa)ELSM extended linear sigma model (mô hình sigma tuyến tính

mở rộng)EoS equation of state (phương trình trạng thái)

FS Fermi sphere (cầu Fermi)

LGT liquid-gas transition (chuyển pha khí-lỏng)

LHC large hadron collider (va chạm hadron được tạo ra

bởi máy gia tốc lớn)LPT Lifshitz phase transition (chuyển pha Lifshitz)

LSM linear sigma model (mô hình sigma tuyến tính )

MFT mean-field theory (lý thuyết trường trung bình)

NJLM Nambu-Jona-Lasinio model (mô hình Nambu-Jona-Lasinio)1PI 1- particle irreducible (bất khả quy một hạt)

QCD quantum chromodynamics (sắc động lực học lượng tử)QCP quantum critical point (điểm tới hạn lượng tử)

QED quantum electrodynamics (điện động lực học lượng tử)QGP quark-gluon plasma (plasma quark-gluon)

QHD quantum hadron dynamics (động lực học hadron lượng tử)QPT quantum phase transition (chuyển pha lượng tử)

RHIC relativistic heavy ion collider (va chạm ion nặng

tương đối tính)SNR symmetry non-restoration (sự không phục hồi đối xứng)TCP tri-critical point (điểm ba tới hạn)

vii

1 Giới thiệu về Chuyển pha trong QCD

Sắc động lực học lượng tử (QCD) thực sự được xem như là lý thuyết tương tácmạnh của các quark và các gluon Tại thế hóa baryon µBhữu hạn và nhiệt độ T hữuhạn, QCD có cấu trúc pha phong phú [25] Chẳng hạn như, phục hồi đối xứng chiraltại µB cao và (hoặc) T cao, chuyển pha từ pha Nambu-Goldstone đến pha plasmaquark-gluon (QGP) ở T cao, chuyển pha từ pha Nambu-Goldstone đến pha siêu dẫnmàu tại T thấp Hình 1 là một phác họa giản đồ pha của QCD Cho đến nay, người

ta vẫn chưa biết được chính xác các đường chuyển pha trong các giản đồ pha đãphác họa, đó là do các nghiên cứu về chuyển pha khi có mặt đồng thời của cả nhiệt

độ và mật độ là bài toán hóc búa Trong tương lai gần các hiện tượng chuyển pha

có cơ hội được kiểm chứng trong các phòng thí nghiệm va chạm ion nặng tương đốitính (RHIC) và va chạm hadron được tạo ra bởi máy gia tốc lớn (LHC) Đặc biệt,

sự chuyển pha lượng tử từ pha Nambu-Goldstone đến pha siêu dẫn màu ở T thấp

có liên quan đến phần bên trong của các ngôi sao neutron và các ngôi sao quark cóthể có, nó cũng liên quan đến các tiến hành của thực nghiệm va chạm ion nặng.Trên giản đồ pha, vùng mà ở đó T nhỏ và µB lớn có liên quan đến vật lý saoneutron Bởi vì ở T thấp, dự kiến có nhiều phổ sắp xếp một cách trật tự Đườngphân cách pha của các số lượng tử màu và vị bị khóa (CFL) được dự đoán trong [2]

Từ nhiệt độ cao hơn, pha hỗn hợp QGP là dạng đơn giản nhất của cấu trúc pha

có thể có trong vùng này Trạng thái này cũng được quan tâm đặc biệt, bởi vì cáctính toán giải tích của lý thuyết có thể điều chỉnh được, do tính tự do tiệm cận củaQCD Các vùng trên giản đồ pha ứng với T khá lớn (T ∼ 100 MeV), mà có thể dễdàng được thăm dò bởi thí nghiệm va chạm ion nặng, ứng với thang đo động lực

1

Hình 1: Giản đồ pha của QCD trong mặt phẳng thế hóa µ và nhiệt độ T

học trong QCD và µB nhỏ hơn mức trung bình µB ∼ (0 ÷ 600) MeV Các nhà lýthuyết hy vọng rằng vùng này có những tính chất thú vị Các vùng trên giản đồpha ứng với T đủ lớn và (hoặc) µB đủ lớn đã được nghiên cứu bởi các tính toán lýthuyết chặt chẽ Tuy nhiên, các tính chất vật lý ở vùng này còn lâu mới có thể kiểmchứng được bằng thực nghiệm, ngay cả trong vật lý học thiên thể Trạng thái có Tcao và µB cao cũng đã trở nên rõ ràng hơn bởi những tiến bộ liên tục của các môphỏng mạng QCD Các mô phỏng gần đây nhất [28] tính đến các quark động lựcvới các khối lượng thực tiên đoán chuyển pha chiral không giam cầm kiểu crossovertại nhiệt độ xung quanh 170 MeV Vùng có T nhỏ và µB nhỏ, tức là các hệ vật lýnằm trong pha hadron chỉ được nghiên cứu tới một chừng mực nào đó Nhìn chungtrạng thái với mật độ hữu hạn và nhiệt độ hữu hạn vẫn còn nhiều điều chưa biết và

là đối tượng để xây dựng các mô hình nghiên cứu

Ngoài các kiểu chuyển pha đã nêu ở trên Dựa vào các công trình cơ bản củaWeinberg [69], Dolan và Jackiw [20], nhìn chung người ta tin tưởng rằng đối xứngchiral sẽ được phục hồi ở T cao từ pha bị phá vỡ tại T = 0 Tuy nhiên trong thực tếlại tồn tại các hệ vật lý thể hiện tính không phục hồi đối xứng (SNR) ở T cao, đượcquan sát thấy trong nhiều chất khác nhau [58] Tính toán lý thuyết trong [4, 23] đãchứng minh rằng SNR thực sự xảy ra trong một số mô hình Ý nghĩa vật lý của cáchiện tượng đó là SNR có thể có những hệ quả ngoại lệ đối với vũ trụ học Cụ thể là,trong kịch bản của SNR, vấn đề nan giải liên quan đến các khuyết tật topo trong mô

hình Big Bang chuẩn của vũ trụ học có thể được giải quyết [4, 23, 49, 57, 56] Liênquan đến đối xứng chiral của QCD, các tính toán trong [48] đã chỉ ra rằng đối xứngchiral là không hồi phục tại T không giam cầm trong trường hợp khi Re[trc(P )] < 0,

ở đây P là loop Polyakov, điều này phù hợp với nghiên cứu mô phỏng [13] Cho đếnnay, cấu trúc pha của QCD đã từng bước được thiết lập nhờ mô phỏng mạng QCD[37] hoặc mô hình QCD hiệu dụng cho kịch bản của phục hồi đối xứng chiral tại µcao và (hoặc) T cao Tuy nhiên, vẫn còn thiếu thông tin về cấu trúc pha của QCDtương ứng với kịch bản không phục hồi đối xứng chiral

2 Giới thiệu về Chuyển pha trong chất hạt nhân

Khảo sát các tính chất của các hệ hạt nhân khi chuyển pha tại µB hữu hạn và

T hữu hạn là một trong những chủ đề hấp dẫn nhất của vật lý hạt nhân hiện đại.Trong mười lăm năm qua chúng ta đã chứng kiến những nỗ lực tuyệt vời để tìm kiếmcác bằng chứng thực nghiệm của chuyển pha khí-lỏng (LGT) của các hạt nhân nóng

và chất hạt nhân, gần đây chúng ta đã có tiến bộ lớn trong việc tìm hiểu chuyển phatrong các hệ hạt nhân bởi tiến hành thực nghiệm các va chạm hạt nhân-hạt nhânvới các mức năng lượng từ vài MeV/nucleon đến GeV/nucleon [8, 10, 7, 16, 9, 11].Tuy nhiên, sự tiên đoán của lý thuyết đã được thực hiện trước đó [3] và ngày naycác tính toán dựa trên các mô hình hiệu dụng khác nhau đã cung cấp nhiều các kếtquả đáng tin cậy [53, 22, 64, 12, 61, 27, 14]

Các công trình nghiên cứu chuyển pha của chất hạt nhân đã được khảo sát trongnhiều bài báo lý thuyết dựa trên cơ sở các mô hình hiện tượng luận thiết lập trựctiếp từ các bậc tự do nucleon Các mô hình hạt nhân phi tương đối tính sử dụng cácdạng khác nhau của thế năng tương tác nucleon-nucleon đã thu được nhiều thànhcông trong nghiên cứu chất hạt nhân ở mật độ thấp và năng lượng thấp Tuy nhiên,

lý thuyết hạt nhân phi tương đối tính lại thất bại khi phản ánh các tính chất vật

lý của vật chất đông đặc Cụ thể, khi mật độ chất hạt nhân cao ρ > 3ρ0, với ρ0 làmật độ chất hạt nhân ở trạng thái bão hòa, thì lý thuyết hạt nhân phi tương đốitính vi phạm nguyên lý nhân quả, một trong những nguyên lý rất cơ bản của vật lý.Khi nghiên cứu chất hạt nhân ở mật độ cao và (hoặc) năng lượng cao thì hiệu ứng

tương đối tính trở nên quan trọng Vì vậy, chúng ta cần phải phát triển lý thuyếthạt nhân tương đối tính Có thể nói lý thuyết hạt nhân phi tương đối tính và lýthuyết hạt nhân tương đối tính là hai phần lý thuyết bổ sung cho nhau ở nhữngthang năng lượng và thang mật độ nhất định.

Lý thuyết hạt nhân tương đối tính nghiên cứu hạt nhân ở mật độ cao và (hoặc)năng lượng cao Khi nghiên cứu chất hạt nhân ở mật độ cao và (hoặc) năng lượngcao thì về cấu trúc, ta không thể coi nucleon đơn thuần là một hạt mà phải đi vàocấu trúc bên trong của nucleon, tức là phải nói tới các hạt quark Vì vậy, khi nghiêncứu chất hạt nhân ở mật độ cao và (hoặc) năng lượng cao thì phải tính đến các đốixứng của quark hay nói cách khác là phải tính đến các đối xứng của QCD Ngoàibất biến tương đối tính ứng với phép biến đổi Lorentz, phải kể đến một đối xứngrất quan trọng là đối xứng chiral, một trong những đối xứng cơ bản của vật chấttương tác mạnh và là một trong những nhân tố cơ bản của lý thuyết hạt nhân tươngđối tính Cho đến nay, chuyển pha chiral vẫn là một trong những phát hiện thựcnghiệm quan trọng nhất trong RHIC Chuyển pha chiral trong trạng thái vật chấtđông đặc đóng một vai trò quyết định trong nghiên cứu các tính chất vật lý của cáchạt nhân kích thích cũng như cấu trúc của các sao mật độ cao và tiến trình hìnhthành vũ trụ Lý thuyết hạt nhân phi tương đối tính không cần đến bất biến chiral

vì nó chỉ khảo sát hạt nhân ở năng lượng thấp hay ở mật độ không cao, nhưng lýthuyết hạt nhân tương đối tính thì phải có

Một số mô hình hạt nhân có đối xứng chiral đã được xây dựng và nghiên cứu[36, 51, 68, 52], đối xứng này bị phá vỡ một cách tự phát ở mật độ không và (hoặc)nhiệt độ không và người ta thường tin rằng nó sẽ được phục hồi ở mật độ cao và(hoặc) nhiệt độ cao Tuy nhiên, như đã nêu ở trên, đối xứng chiral có thể khôngphục hồi Ngoài ra, có thể xảy ra trong chất hạt nhân quá trình LGT tại mật độhạt nhân dưới mức bão hòa [63]

Một hướng khác nghiên cứu chuyển pha của vật chất tương tác mạnh và đôngđặc [67, 17, 31, 30, 32, 62] đó là chuyển pha topo ở nhiệt độ không, nó cũng cungcấp nhiều tính chất vật lý quan trọng Cho đến nay, tồn tại hai kiểu phân loại ápdụng cho các hệ vật lý Thứ nhất, là phân loại thông thường bởi đối xứng, nó phảnánh các hiện tượng phá vỡ một cách tự phát đối xứng khi năng lượng giảm Thứ

hai, là phân loại với các trạng thái chân không theo tính chất topo của không gianxung lượng [45], nó phản ánh xu hướng ngược lại, đối xứng dần dần xuất hiện ở khuvực năng lượng thấp.

Đối với tất cả các hệ Fermi trong không gian ba chiều và bất biến dưới phép biếnđổi tọa độ, có bốn lớp phổ biến cơ bản của chân không được quy định bởi tính chấttopo trong không gian xung lượng [45, 46, 15] Một là, chân không với các mức nănglượng Fermi của khe năng lượng, chẳng hạn như chất bán dẫn, chất siêu dẫn và cáchạt Dirac Hai là, chân không với các mức năng lượng Fermi được đặc trưng bởi cácđiểm Fermi trong không gian xung lượng ba chiều, được xác định bởi E(~p) = 0 Ba

là, chân không với các mức năng lượng Fermi được xác định bởi các mặt Fermi trongkhông gian xung lượng ba chiều Bốn là, chân không với các mức năng lượng Fermiđược đặc trưng bởi các đường trong không gian xung lượng ba chiều Các chuyểnpha ứng với các kiểu phân loại này là các chuyển pha lượng tử (QPT) Chuyển phaLifshitz (LPT) là một QPT, nó được sinh ra bởi thăng giáng lượng tử tại T = 0 khicấu trúc topo của hệ thay đổi từ trạng thái mật độ thấp với khe năng lượng hữuhạn mà ở đó mặt Fermi bị phá hủy sang trạng thái mật độ cao với mặt Fermi và nóchịu ảnh hưởng của T 6= 0 hữu hạn Trong [45], Lifshitz xét cấu trúc topo của mặtFermi thay đổi từ trạng thái này sang trạng thái khác khi áp suất tăng Chúng ta

có thể đồng nhất trạng thái với khe năng lượng hữu hạn tương ứng với trạng tháichất lỏng không Fermi, trạng thái với mặt Fermi tương ứng với trạng thái chất lỏngFermi Trong những năm gần đây, LPT là một trong những chủ đề nóng trong vật

lý chất rắn [19, 42, 70, 50, 29]

3 Lý do chọn đề tài và mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu chuyển pha của vật chất xuất hiện từ những năm lăm mươi của thế

kỷ trước, nó là một trong những vấn đề có tính thời sự cả về phương diện lý thuyếtlẫn thực nghiệm trong nhiều lĩnh vực khác nhau của vật lý, từ vật lý hạt cơ bản đếnvật lý thiên thể học Trong đó, chuyển pha trong chất hạt nhân đã thu hút đượcnhiều sự quan tâm của nhiều nhà vật lý hạt nhân Các công trình nghiên cứu vềchuyển pha trong các mô hình khác nhau hầu hết chỉ đề cập đến chuyển pha nhiệt,

đây là chuyển pha được sinh ra bởi các thăng giáng nhiệt của các đại lượng vật lýkhi nhiệt độ thay đổi và do đó tuân theo các nguyên lý của nhiệt động học Trongmấy thập kỷ gần đây, người ta đã phát triển việc nghiên cứu một loại chuyển phakhác, đó là chuyển pha lượng tử, loại chuyển pha này được sinh ra bởi các thănggiáng lượng tử của các đại lượng vật lý ở nhiêt độ rất thấp và tuân theo các quyluật của cơ học lượng tử Trong những năm gần đây, lý thuyết về chuyển pha lượng

tử đã trở thành một lĩnh vực phát triển rất mạnh

Vật chất tương tác mạnh và đông đặc đã được các nhà vật lý hạt nhân quan tâmnghiên cứu từ lâu, nó là đối tượng cần và thích hợp để nghiên cứu cả về phươngdiện lý thuyết và thực nghiệm Hiện nay, các thí nghiệm va chạm ion nặng ở nănglượng cao là công cụ tốt tạo ra vật chất tương tác mạnh và đông đặc, chúng cungcấp cơ hội để khám phá nhiều tính chất thú vị của vật chất ở điều kiện cực trị Tínhchất của vật chất tương tác mạnh và đông đặc, đặc biệt là các tính chất liên quanđến phục hồi đối xứng chiral và các kiểu chuyển pha của nó đang là tâm điểm củanhiều nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm Tuy nhiên, trong thực tế lại tồn tại các

hệ vật lý thể hiện tính SNR ở nhiệt độ cao, được quan sát thấy trong nhiều chấtkhác nhau Tính toán lý thuyết đã chứng minh được tính SNR thực sự xảy ra trongmột số mô hình

Các mô hình hạt nhân tương đối tính kiểu Walecka [59] đã tái hiện thành côngnhiều tính chất vật lý của các hạt nhân nặng và trung bình Các mô hình hạt nhântương đối tính khác đã và đang được phát triển và thu được nhiều kết quả quantrọng Tuy nhiên, tất cả các mô hình trên đều có một số thiếu sót nghiêm trọng, cụthể là chúng không phản ánh đối xứng chiral Một số các mô hình chiral đã đượcxây dựng và có khả năng được sử dụng để mô tả chất hạt nhân, trong số đó quenthuộc nhất là mô hình Nambu-Jona-Lasinio (NJLM) [54] và mô hình sigma tuyếntính (LSM) [24] Các mô hình này đã có thể giải thích sự phá vỡ đối xứng chiral tựphát trong chân không và sự phục hồi đối xứng chiral tại mật độ cao Tuy nhiên, lạithất bại trong việc tái hiện lại tính chất bão hòa của chất hạt nhân Cụ thể, LSMchỉ tiên đoán trạng thái dị thường của chất hạt nhân [43], tại đó đối xứng chiralđược phục hồi và khối lượng hiệu dụng của các nucleon bị triệt tiêu

Với các lý do trên, mục đích của luận án là nghiên cứu các kiểu chuyển pha có

thể có trong một số mô hình không phục hồi đối xứng chiral Cụ thể là nghiên cứuLPT trong mô hình QCD hiệu dụng với các bậc tự do quark và nghiên cứu các kiểuchuyển pha khác nhau trong chất hạt nhân tại T hữu hạn và µB hữu hạn trên cơ

sở mô hình sigma tuyến tính mở rộng (ELSM) với các bậc tự do nucleon

4 Đối tượng, nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án là hệ vật chất tương tác mạnh và đông đặc,

cụ thể là hệ vật chất thu được trong thí nghiệm va chạm ion nặng ở năng lượng cao,các hạt nhân và các sao neutron

Nhiệm vụ nghiên cứu của luận án là sử dụng các mô hình QCD hiệu dụng vàcác mô hình hạt nhân có đối xứng chiral không phục hồi để nghiên cứu các cấu trúcpha và các kiểu chuyển pha

Phạm vi nghiên cứu của luận án là nghiên cứu các hệ vật chất tương tác mạnh

và đông đặc ở nhiệt độ hữu hạn và mật độ hữu hạn trong mô hình chiral có tínhSNR, với vùng vật chất được tạo ra bởi các thí nghiệm va chạm ion nặng nằm trongpha hadron, xung quanh đường LGT Tại nhiệt độ không, nghiên cứu LPT

5 Phương pháp nghiên cứu

Thực nghiệm chỉ ra rằng, khi năng lượng kích thích tăng dần, biểu hiện của cáchạt nhân bị kích thích có thể được mô tả bởi nhiệt động học, vì vậy luận án sử dụngcác khái niệm của vật lý thống kê

Đối tượng nghiên cứu của luận án là hệ vật chất tương tác mạnh và đông đặc

ở nhiệt độ và mật độ mà các hiệu ứng tương đối tính trở nên quan trọng Vì vậy,luận án sử dụng lý thuyết hạt nhân tương đối tính và lý thuyết trường lượng tửtương đối tính ở nhiệt độ hữu hạn, phương pháp nghiên cứu sử dụng trong luận án

là phương pháp tác dụng hiệu dụng Trong luận án, chúng tôi sử dụng các mô hìnhhiện tượng luận có đối xứng chiral không phục hồi để nghiên cứu cấu trúc pha và

các kiểu chuyển pha có thể có của vật chất tương tác mạnh và đông đặc theo cácbậc tự do là các quark và các nucleon Các tham số của mô hình được xác định bởicác ràng buộc lấy từ thực nghiệm như khối lượng của quark và nucleon trong chânkhông, cơ chế bão hòa của chất hạt nhân, Trong quá trình tính toán, chúng tôi

sử dụng phương pháp tính gần đúng trường trung bình đối với các trường meson vàphương pháp tính gần đúng một loop đối với các trường quark và nucleon

Mô hình chúng tôi đặc biệt quan tâm là mô hình chiral trong [5, 6, 40] Mô hìnhnày thích hợp để lựa chọn làm điểm khởi đầu nghiên cứu, vì có đối xứng chiralkhông được hồi phục ở nhiệt độ cao, ngoài ra mô hình còn có một số tính chất vật

lý thú vị khác [43, 44, 55] Dựa trên mô hình đó, chúng tôi có được mô hình QCDhiệu dụng và ELSM Các mô hình này vừa bao gồm các lý thuyết đối xứng cần thiếtcủa lý thuyết tương tác mạnh trong lý thuyết trường lượng tử tương đối tính và lýthuyết hạt nhân tương đối tính, vừa thỏa mãn cơ chế bão hòa của chất hạt nhân và

có đối xứng chiral không hồi phục

6 Đóng góp của luận án

Từ mô hình QCD hiệu dụng và ELSM có đối xứng chiral không được phục hồi,

sử dụng phép tính gần đúng trường trung bình cho các trường meson và gần đúngmột loop cho các trường quark và nucleon, sử dụng phương pháp tác dụng hiệudụng, chúng tôi thu được biểu thức giải tích của một số các đại lượng nhiệt độngquan trọng Sử dụng phần mềm mathermatica để tính số, chúng tôi biểu diễn đượcmột số đại lượng nhiệt động theo T và µB Mô tả được một số quá trình chuyển pha

có thể có trong chất quark, chất hạt nhân và chất neutron Các kết quả mà chúngtôi thu được khác biệt so với những kết quả của các mô hình có đối xứng chiral đượcphục hồi [63, 62] Điều này chứng tỏ rằng, khảo sát tính SNR của đối xứng chiral

và các kiểu chuyển pha trong mô hình chiral có tính SNR, là một trong những vấn

đề cần thiết và không thể thiếu khi nghiên cứu các tính chất của vật chất tương tácmạnh và đông đặc Hy vọng rằng, có lớp mới hệ hạt nhân được đặc trưng bởi nhiềutính chất bất thường, trong đó có các tính chất bất thường được đề cập trong luận

án Có hay không thực sự tồn tại trong tự nhiên, là câu hỏi lớn mà chỉ có thể được

trả lời bởi các thí nghiệm trong tương lai.

7 Cấu trúc của luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Phụ lục, luận án gồm ba chương:

Chương 1: Một số vấn đề lý thuyết liên quan đến luận án

Trình bày các phương pháp nghiên cứu đã sử dụng trong luận án và một số vấn

đề lý thuyết liên quan đến luận án

Chương 2: Chuyển pha Lifshizt trong mô hình QCD hiệu dụng khôngphục hồi đối xứng chiral

Sử dụng mô hình QCD hiệu dụng, thiết lập biểu thức giải tích của thế nhiệt độnghọc và của các đại lượng nhiệt động liên quan Từ đó, khảo sát tính SNR của đốixứng chiral và nghiên cứu LPT của mô hình

Chương 3: Chuyển pha trong chất hạt nhân dựa trên mô hình sigmatuyến tính mở rộng không phục hồi đối xứng chiral

Sử dụng ELSM, thiết lập biểu thức giải tích của thế nhiệt động học và của cácđại lượng nhiệt động liên quan Từ đó, khảo sát tính SNR của đối xứng chiral vànghiên cứu các kiểu chuyển pha có thể có của chất hạt nhân và chất neutron của

mô hình

Phần Kết luận là phần tổng kết các kết quả thu được trong luận án Tiếp theo

là Các công trình liên quan đến luận án và cuối cùng là Tài liệu tham khảocủa luận án

MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

Luận án sử dụng lý thuyết hạt nhân tương đối tính và lý thuyết trường lượng

tử tương đối tính ở nhiệt độ hữu hạn, phương pháp nghiên cứu sử dụng trong luận

án là phương pháp tác dụng hiệu dụng Trong luận án, chúng tôi sử dụng các môhình hiện tượng luận có đối xứng chiral không phục hồi để nghiên cứu cấu trúc pha

và các kiểu chuyển pha có thể có của vật chất tương tác mạnh và đông đặc theo cácbậc tự do là các quark và các nucleon Trong quá trình tính toán, chúng tôi sử dụngphương pháp tính gần đúng trường trung bình đối với các trường meson và phươngpháp tính gần đúng một loop đối với các trường quark và nucleon

Trước tiên, chúng tôi trình bày phương pháp tác dụng hiệu dụng trong gần đúngmột loop

Trong lý thuyết trường lượng tử, phương pháp khai triển nhiễu loạn đã tỏ rahữu ích khi mô tả các quá trình tương tác, giải các phương trình động lực học, Phương pháp này đã rất thành công trong điện động lực học lượng tử (QED), trongQCD ở năng lượng cao và nhiều bài toán cụ thể khác Tuy nhiên, nhiều hiện tượngvật lý quan trọng khác lại không dễ dàng thấy được trong khai triển nhiễu loạn.Chẳng hạn như, sự phá vỡ đối xứng tự phát, sự chuyển pha, các hiệu ứng tập thể

và các trạng thái liên kết, Dẫn đến đòi hỏi phải có một phương pháp mới khôngdựa vào khai triển nhiễu loạn, nhưng bao gồm tất cả các bậc khai triển ứng với lý

10

thuyết nhiễu loạn và các đóng góp bậc cao hơn trong các quá trình vật lý, lại vừagiữ được những tính chất phi tuyến của lý thuyết trường lượng tử liên quan với cáchiệu ứng tập thể và liên kết.

Từ những năm đầu thế kỷ XX, Feynman đã đưa ra hình thức luận tích phânđường, mở đầu cho sự phát triển phương pháp tích phân phiếm hàm của lý thuyếttrường lượng tử Sau đó, năm 1962, J Goldstone, A Salam và S Weinberge đưavào phương pháp tác dụng hiệu dụng dựa trên cơ sở tích phân phiếm hàm Phươngpháp này là một trong những phương pháp không nhiễu loạn đã chứng tỏ tính ưuviệt khi tiếp cận những vấn đề trên, đặc biệt là khi khảo sát những hiện tượng tậpthể mà các phương pháp lý thuyết nhiễu loạn thông thường không thể áp dụngđược Chẳng hạn, khi mô tả các dao động tập thể trong chất siêu dẫn, các dao độngplasma của electron tương tác qua lực Coulomb, các hadron có cấu trúc tập thể gồmquark và gluon, chuyển động tập thể trong hệ hạt nhân nhiều nucleon,

Trong phần này, chúng tôi trình bày tác dụng hiệu dụng ở nhiệt độ không vàkhai triển bất khả quy một loop (một hạt) của tác dụng hiệu dụng Từ đó cho phéptính toán thế hiệu dụng ở gần đúng một loop trong những trường hợp cụ thể

1.1.1 Đối với trường vô hướng

Xét trường vô hướng φ(x) được mô tả bởi Lagrangian L[φ(x)] và tác dụng

Z[j] ≡ hOout|Oini{j}=

Z

Dφ ei(S[φ]+φj), (1.2)trong đó, ký hiệu

1Z[j]

δnZ[j]

inδjn δj2δj1

Đạo phiếm hàm của Γ[ ¯φ] theo biến tự nhiên ¯φ cho hệ thức liên hợp Legendre loạiI

2 φ iG e −10 ( ¯ φ) e φ+Sint[e φ, ¯ φ]− e φδΓ1[ ¯φ]

δ ¯ φ o

Thực hiện phép đổi biến φ → eφ = φ − ¯φ dẫn đến S[φ] = S[ eφ + ¯φ] Khai triểnS[φ] quanh ¯φ

1.1.2 Đối với trường fermion

Mọi đặc trưng động lực học của trường đều được xác định từ biên độ chuyểndời chân không thành chân không với sự có mặt của các nguồn ngoài η, ¯η cặp vớicác trường ¯ψ, ψ mà được biểu diễn bằng tích phân đường

Z[¯η, η] ≡ hOout|Oini{¯ η,η} =

Z

D ¯ψDψ ei(I[ ¯ψ,ψ]+ ¯ψη+ψ ¯η), (1.17)trong đó, tác dụng

I[ ¯ψ, ψ] =

Z

d4x L[ ¯ψ(x), ψ(x)], (1.18)với L[ ¯ψ(x), ψ(x)] là mật độ Lagragian của trường fermion Ký hiệu

Phiếm hàm sinh W [¯η, η] cho các hàm Green liên kết

W [¯η, η] = −i ln Z[¯η, η] (1.20)

Bằng cách đưa vào các trường cổ điển

σ(x) = hψi ≡ δW [¯η, η]

δ ¯η ,

¯σ(x) = h ¯ψi ≡ δW [¯η, η]

thì tác dụng hiệu dụng Γ[¯σ, σ] nhận được qua phép biến đổi Legendre loại I

Γ[¯σ, σ] = W [¯η, η] − ¯ση − ¯ησ, (1.22)trong đó, ¯σ, σ là biến tự nhiên của phép biến đổi

Đạo phiếm hàm của Γ[¯σ, σ] theo biến tự nhiên cho hệ thức liên hợp Legendre

I[ ¯ψ, ψ] = − ¯ψ iS0−1ψ + Iint[ ¯ψ, ψ], (1.26)thì với ¯ψ = ψ = 0, phương trình (1.25) trở thành



(1.27)Khi đó, phiếm hàm Γ1[¯σ, σ] thỏa mãn (1.27) có thể viết dưới dạng

eiΓ1 [¯ σ,σ] =

ZDe¯ψD eψ ei

δσ (ψ−σ)o

.(1.31)

So sánh (1.31) với (1.25) ta được

Γ[¯σ, σ] = Γ1[¯σ, σ] + I[¯σ, σ], (1.32)trong đó Γ1[¯σ, σ] là tổng tất cả các giản đồ chân không bất khả quy 1PI ứng vớiđỉnh tương tác Iint[ ¯ψ, ψ, ¯σ, σ] và hàm truyền S0−1(¯σ, σ)

Tiếp theo là lý thuyết trường lượng tử ở nhiệt độ hữu hạn

Hình thức luận được sử dụng trong lý thuyết trường lượng tử truyền thống rấtthích hợp để mô tả các đại lượng quan sát được trong không-thời gian trống Tuynhiên, ở thời kỳ đầu tiên của vũ trụ, khi nhiệt độ rất cao, môi trường đã có mộtlượng vật chất và mật độ bức xạ đáng kể, dẫn đến các giả thuyết của lý thuyếttrường lượng tử truyền thống không thể sử dụng được Vì lý do đó, cần phải có một

lý thuyết trường lượng tử tổng quát hơn, gần với nhiệt động lực học, trong đó trạngthái nền là một bể nhiệt, đó là lý thuyết trường lượng tử ở nhiệt độ hữu hạn

Ý tưởng chủ đạo của lý thuyết trường lượng tử ở nhiệt độ hữu hạn là sử dụngphương pháp tích phân đường trong lý thuyết trường lượng tử truyền thống và mô

tả nhiệt độ xuất hiện trong thừa số Boltzmann e−βH

Lý thuyết trường ở nhiệt độ hữu hạn đã tỏ ra rất hữu ích khi nghiên cứu nhiềulĩnh vực khác nhau: vũ trụ học sử dụng để nghiên cứu những hiện tượng xảy ratrong thời kỳ đầu tiên của vũ trụ như các dịch chuyển pha , vật lý học thiên thể

sử dụng để nghiên cứu các hiện tượng liên quan đến hệ vật lý có mật độ vật chấtrất cao trong các sao mật độ cao , nghiên cứu các va chạm ion nặng và nghiên cứucác hiện tượng ngưng tụ

Trong phần này, chúng ta sẽ tìm hiểu một số khái niệm cơ bản của lý thuyết

trường lượng tử ở nhiệt độ hữu hạn thông qua hàm Green nhiệt độ, hình thức luậnthời gian ảo và quy tắc Feynman.

1.2.1 Cơ sở chính tắc lớn

Cở sở chính tắc lớn được sử dụng để mô tả một hệ vật lý có số hạt N và thể tích

V , được nối với bể nhiệt ở nhiệt độ T , mà giữa chúng có sự trao đổi năng lượng và

số hạt khi T , V và thế hóa µ là không đổi

Xét một hệ động lực được đặc trưng bởi Hamiltonian H và một hệ điện tích bảotoàn QAcó tính chất giao hoán Trạng thái cân bằng nhiệt động của hệ ở trạng tháinghỉ trong một thể tích lớn được mô tả bởi toán tử mật độ chính tắc lớn

ρ = exp(−Φ) exp

(X

A

αAQA− βH

)

Trong đó Φ = log {Tr [exp (−P

AαAQA− βH)]} là hàm Massieu (biến đổi Legendrecủa entropy), αA và β là các thừa số Lagrange, β = T−1, αA= −βµA

Từ biểu thức của toán tử mật độ, chúng ta định nghĩa trung bình chính tắc lớncủa một toán tử O bất kỳ

thỏa mãn tính chất h1i = 1

Trong các phần tiếp theo chúng ta coi thế hóa bằng không, nó sẽ được đưa trởlại khi cần thiết

1.2.2 Hàm Green nhiệt độ và phiếm hàm sinh

Để đơn giản, chúng ta khảo sát trường vô hướng thực φ(x), không mang điệntích, biến đổi theo quy luật

φ(x) = eiHtφ(0, ~x)e−iHt, (1.35)trong đó thời gian t = x0 giải tích liên tục trên mặt phẳng phức

Hàm Green nhiệt độ được định nghĩa là trung bình chính tắc lớn của tích thứ tự

n toán tử trường

GC(x1, , xn) ≡ hTC(φ(x1), , φ(xn))i, (1.36)trong đó, toán tử TC là tích trật tự thời gian (sắp xếp các trường theo trật tự thờigian) dọc theo đường C trong mặt phẳng thời gian phức Ví dụ, tích của hai trường

TCφ(x)φ(y) = θC(x0 − y0) φ(x)φ(y) + θC(y0− x0) φ(y)φ(x), (1.37)

δ0TCφ(x)φ(y) = δC(x0− y0) [φ(x), φ(y)] + TCδ0φ(x)φ(y) (1.38)

Nếu chúng ta tham số hóa đường C dưới dạng t = z(τ ), ở đây τ là tham số thực

và tăng đơn điệu, thì trật tự dọc theo đường C tương ứng với trật tự dọc theo τ Khi đó các hàm bậc thang Heaviside và hàm delta được viết

Phiếm hàm sinh cho các hàm Green liên kết Wβ[j] được định nghĩa

trong đó

¯φ(x) = δW

j=0

Phương trình này nếu cho nghiệm ¯φ 6= 0 có nghĩa là đối xứng bị phá vỡ tự phát.Trong trường hợp bất biến tịnh tiến ¯φ(x) = φclà hằng số Khi đó, ta có thể biểudiễn tác dụng hiệu dụng Γβ[ ¯φ] qua thế hiệu dụng Ωβ

eff[ ¯φ] như sau

∂φc

Phương trình này, nếu tìm thấy nghiệm φc khác không, ta nói đối xứng bị phá vỡ

tự phát

1.2.3 Các điều kiện đối với hàm Green nhiệt độ

Đối với trường vô hướng

Từ biểu thức định nghĩa hàm Green nhiệt độ, ta có hàm Green hai điểm củatrường vô hướng

G(C)(x − y) = θC(x0− y0) G+(x − y) + θC(y0− x0) G−(x − y), (1.49)trong đó

G+(x − y) = hφ(x)φ(y)i, G−(x − y) = G+(y − x) (1.50)

Lấy một tập hợp đầy đủ các trạng thái |ni với các trị riêng En sao cho H|ni =E|ni Tại điểm ~x = ~y = 0 ta có

với định nghĩa hàm θC(t) sao cho θC(t) = 0 khi Im(t) > 0 Điều kiện này dẫn đếnyêu cầu một điểm chuyển động dọc theo C có một phần ảo giảm dần đều hoặckhông đổi

Một hệ thức quan trọng liên quan đến các hàm Green có thể dễ dàng đưa ra

từ các định nghĩa của G+(x) và G−(x) Sử dụng định nghĩa về trung bình chínhtắc lớn và tính chất hoán vị vòng của vết một tích các toán tử, ta có hệ thứcKubo-Martin-Schwinger

Hàm Green của trường thỏa mãn phương trình

∂µ∂µ+ m2 G(C)(x − y) = −iδC(x − y) ≡ −iδC(x0− y0)δ(3)(~x − ~y)

từ đó ta có hệ thức giao hoán cho các toán tử sinh và các toán tử hủy

ha†(~p)ẵk)i = nB(ωp)δ(3)(~p − ~k),hẵp)a†(~k)i = [1 + nB(ωp)] δ(3)(~p − ~k), (1.59)với nB(ω) là hàm phân bố Bose

nB(ω) = 1

Chúng ta sẽ chỉ ra việc tìm các trung bình nhiệt động Khảo sát một trạng thái

cơ lượng tử được lấp đầy boson ở cùng một năng lượng ω Có một lượng boson ởtrạng thái đó và không có tương tác giữa các hạt, chúng ta ký hiệu trạng thái đó là

|ni, tập hợp {|ni} là đầy đủ Các toán tử sinh và hủy tác dụng lên trạng thái |nicho a†|ni =√n + 1|n + 1i và a|ni =√

n|n − 1i, chúng thỏa mãn hệ thức giao hoán

a, a† = 1 Toán tử Hamiltonian và toán tử số hạt được định nghĩa là H = ωN và

N = a†a, với các trị riêng ωn và n tương ứng Sử dụng tính đầy đủ của {|ni} ta có

từ đó ta có ha†ai = nB(ω) và haa†i = 1 + nB(ω) là điều cần chứng minh

Như vậy chúng ta có thể viết lại hàm Green hai điểm như sau

G(C)(x − y) =

Z d4p(2π)4ρ(p)e−ip(x−y)θC(x0− y0) + nB(p0), (1.62)trong đó ρ(p) = 2πθ(p0) − θ(−p0)δ(p2− m2) Giá trị cụ thể của hàm Green phụthuộc vào việc chọn chu tuyến C

Đối với trường fermion

Từ biểu thức định nghĩa hàm Green nhiệt độ, ta có hàm Green hai điểm củatrường fermion

Sαβ(C)(x − y) ≡ hTCψα(x) ¯ψβ(y)i

= θC(x0− y0) Sαβ+ (x − y) − θC(y0− x0) Sαβ−(x − y),

(1.63)trong đó

Sαβ+ (x − y) = hψα(x) ¯ψβ(y)i, (1.64)thỏa mãn hệ thức Kubo-Martin-Schwinger

Sαβ+(t − iβ, ~x) = −Sαβ− (t, ~x) (1.65)

Hàm Green hai điểm đối với trường fermion tự do có thể được định nghĩa

Sαβ(C)(x − y) = (iγ.∂ + m)αβS(C)(x − y), (1.66)thỏa mãn phương trình

(iγ.∂ − m)ασSσβ(C)(x − y) = iδC(x − y)δαβ (1.67)

Biểu thức khai triển Fourrier của hàm trường Fermion có dạng

ψα(x) = 1

(2π)3/2

Z

d3~(2ωp)1/2

−ip(x−y)θC(x0− y0) − nF(p0), (1.69)với hàm phân bố Fermi

nF(ω) = 1

là số trung bình của các fermion đối với hơi fermi Nguyên lý loại trừ Pauli cấmnhiều hơn một hạt fermion lấp đầy trong một trạng thái đơn lẻ, sao cho chỉ có cáctrạng thái |0i và |1i tồn tại Chúng bị tác dụng bởi các toán tử sinh, hủy b†|0i = |1i,

b†|1i = 0, b|0i = 0, b|1i = 0 và thỏa mãn hệ thức giao hoán {b, b†} = 1 Toán tửHamiltonian và toán tử số hạt được định nghĩa là H = ωN và N = b†b, với các trịriêng ωn và n tương ứng.

Sử dụng tính đầy đủ của {|ni} ta có

1.2.4 Hình thức luận thời gian ảo

Hình thức luận thời gian ảo và hình thức luận thời gian thực cho cùng một kếtquả vật lý [35] Việc sử dụng hình thức luận nào phụ thuộc vào sở thích và nhữngvấn đề vật lý cần nghiên cứu Sự tiện lợi của hình thức luận thời gian ảo là việc tínhtoán các hàm Green dọc theo trục ảo Việc tính toán các hàm truyền phụ thuộcvào việc chọn chu tuyến C đi từ một thời điểm ban đầu t bất kỳ đến t − iβ, đượccho bởi tính chất tuần hoàn Kubo-Martin-Schwinger của các hàm Green Đườngđơn giản nhất là đường thẳng dọc theo trục ảo t = iτ Đường này gọi là chu tuyếnMatsubara, do Matsubara đưa ra đầu tiên trong lý thuyết nhiễu loạn đặt lên chutuyến này Trong trường hợp đó δC(t) = iδ(τ )

Một cách tổng quát hàm Green hai điểm cho trường vô hướng và fermion đượcviết như sau

G(τ, ~x) =

Z

d4p(2π)4)ρ(p)e

i~ p~ xe−τ p0θ(τ ) + ηn(p0), (1.72)trong đó, ký hiệu η có nghĩa ηB = 1 (ηF = −1) đối với boson (đối với fermion).Tương tự, n(p0) bằng nB(p0) đối với boson, hoặc bằng nF(p0) đối với fermion, hay

ta có thể định nghĩa hàm η như sau

n(ω) = 1

Hàm Green (1.72) có thể được tách ra như sau

G(τ, ~x) = G+(τ, ~x)θ(τ ) + G−(τ, ~x)θ(−.τ ) (1.74)

Sử dụng hệ thức Kubo-Martin-Schwinger, chúng ta có thể viết

G(τ + β) = ηG(τ ) khi − β ≤ τ ≤ 0,G(τ − β) = ηG(τ ) khi 0 ≤ τ ≤ β, (1.75)

có nghĩa là hàm truyền cho boson (fermion) là các hàm tuần hoàn (phản tuần hoàn)theo biến thời gian τ với chu kỳ β

Dẫn đến biến đổi Fourier của (1.72)

eG(ωn, ~p) =

Z α α−β

dτ

Z

d3~x eiωn τ −i~ p~ xG(τ, ~x) (1.76)Khi α độc lập với β sao cho 0 ≤ α ≤ β và các tần số rời rạc thỏa mãn hệ thức

ηeiω n β = 1, thì

ωn = (2n + 1)πβ−1 đối với fermion (1.78)

Từ đó, chúng ta nhận được hàm truyền trong không gian xung lượng

eG(ωn, ~p) = 1

trong đó, G(τ, ~x) là hàm truyền được xác định bởi (1.72) Sử dụng (1.79), chúng ta

có thể viết biến đổi Fourier nghịch đảo

Hàm đỉnh : −iβ(2π)3δXωiδ(3) X

i

~i (1.82)

Tích phân bốn chiều trong không gian xung lượng được biến đổi thành tích phân

ba chiều trong không gian xung lượng và một tổng theo các tần số Matsubara

Z

d4p(2π)4f (p) → i

βX

n

Z

d3~(2π)3f (iωn, ~p) (1.83)Tổng lấy theo tần số Matsubara được thực hiện theo công thức

±1β

n

ln(iωn− x1) + 1

βX

1.2.6 Sự dịch chuyển pha

Tất cả những ứng dụng của lý thuyết trường nhiệt độ ở nhiệt độ hữu hạn đềudẫn đến lý thuyết chuyển pha Chẳng hạn đối với trường vô hướng, ở nhiệt độ hữuhạn, giá trị cân bằng hφ(T )i của trường vô hướng φ không tương ứng với cực tiểu

của thế hiệu dụng ΩT =0eff (φ), mà tương ứng với cực tiểu của thế hiệu dụng Ωβeff(φ).Như vậy, thậm chí cực tiểu của ΩT =0

eff (φ) xuất hiện tại hφi = σ 6= 0, thì ở nhiệt độ

đủ cao, cực tiểu của Ωβeff(φ) xuất hiện tại hφ(T )i = 0, hiện tượng này là sự phụchồi đối xứng tại nhiệt độ cao và dẫn đến sự dịch chuyển pha từ hφ(T )i = 0 đếnhφi = σ 6= 0 Điều này đã được Kirzhnits [33] tìm ra trong khuôn khổ lý thuyết điện

từ - yếu, sự phá vỡ đối xứng giữa các tương tác yếu và điện từ xuất hiện khi vũ trụ

bị lạnh đi tới một nhiệt độ tới hạn Tc ∼ 102 GeV và đã được khẳng định bởi các tácgiả khác [34, 69, 20, 47]

Khung cảnh vũ trụ có thể được hình dung như sau: Trong lý thuyết vụ nổ lớn,

vũ trụ lúc đầu ở nhiệt độ rất cao, phụ thuộc vào hàm Ωβeff(φ) và có thể nằm trongpha đối xứng hφ(T )i = 0, tức là tại hφi = 0 có thể có cực tiểu bền tuyệt đối Tạinhiệt độ tới hạn Tc, cực tiểu tại hφi = 0 trở nên không bền và xảy ra sự dịch chuyểnpha

Sử dụng phương pháp tác dụng hiệu dụng trong lý thuyết trường lượng tử ở nhiệt

độ hữu hạn, cho phép chúng ta nghiên cứu sự dịch chuyển pha đối xứng và phá vỡđối xứng ở nhiệt độ tới hạn, khảo sát các quá trình chuyển pha trong các mô hình

ở nhiệt độ hữu hạn , nghiên cứu các hiện tượng xảy ra trong quá trình hình thành

vũ trụ và sự tiến triển của vũ trụ sau vụ nổ lớn , nghiên cứu các hiện tượng liênquan đến hệ vật lý có mật độ vật chất rất cao trong các sao mật độ cao , nghiêncứu các va chạm ion nặng và nghiên cứu các hiện tượng ngưng tụ

Tiếp theo nữa là phương pháp lý thuyết trường trung bình

Các khái niệm về lý thuyết trường trung bình (MFT) được sử dụng rộng rãi để

mô tả tương tác của hệ nhiều hạt trong vật lý Ý tưởng của nó là, để khảo sát hệnhiều hạt không bằng cách lấy tổng theo tất cả các tương tác qua lại giữa hai hạtcủa các hạt, mà để mô tả tương tác giữa một hạt với các hạt còn lại bởi thế năngtrung bình được tạo ra bởi các hạt khác Chúng ta hãy xem xét hạt i tại vị trí ~ri,

chịu tác dụng của thế năng U được tạo bởi các hạt j

Để tìm chính xác một hàm trong một nguyên tắc, nói chung là lời giải của bài toánkhó Một dấu hiệu cho các hệ hạt nhân đó là tồn tại định lý Hohenberg-Kohn [26],

nó đã được chứng minh đối với các hạt trong một trường ngoài, chẳng hạn nguyên

tử trong trường điện từ Định lý này được cho là tốt đối với các hệ tự ràng buộc,chẳng hạn như hạt nhân, nhưng mới chỉ là giả thiết chứ chưa được chứng minh mộtcách rõ ràng

Một số mô hình trường trung bình tương đối tính đã được thiết lập và mô tả rấtthành công đối với các hệ hạt nhân Trong số đó, mô hình Walecka là một mô hìnhhiệu dụng và dễ hiểu để mô tả chất hạt nhân, sao neutron và hạt nhân hữu hạn

1.3.1 Mô hình Walecka

Mô hình Walecka chứa các nucleon tương tác với nhau thông qua trao đổi cácmeson vô hướng σ và vector meson ω Nó là phiên bản đơn giản nhất của động lựchọc hadron lượng tử (QHD), tuy nhiên, đã ở mức mà tất cả các khía cạnh liên quanđến động lực học hạt nhân tương đối tính Lagrangian của mô hình có dạng

Các phương trình Euler-Lagrangian

∂µ ∂L

∂(∂µΦ) − ∂L

ở đây Φ được thay thế bởi ψ, ¯ψ, σ, ωµ, với ψ, σ, ωµ lần lượt tương ứng với các toán

tử trường nucleon, sigma meson, omega meson; gσ, gω là các hằng số tương tác

Từ (1.88) và (1.89) ta thu được các phương trình chuyển động Phương trìnhDirac có dạng

[γµ(i∂µ− gωωµ) − (m − gσσ)] ψ = 0 (1.90)Phương trình Klein-Gordon với số hạng nguồn

∂µ∂µ+ m2σ σ = gσψψ.¯ (1.91)Phương trình Maxwell với số hạng nguồn

Tµν = (E + P )vµvν − P gµν, (1.96)với vector vận tốc bốn chiều vµ = (γ, γ~v), vµ = (1, ~0) trong hệ quy chiếu đứng yêncục bộ, E là mật độ năng lượng, P là áp suất

1.3.2 Lý thyết trường trung bình

Chúng ta tách các trường meson thành tổng các giá trị kỳ vọng cổ điển củachúng với các thăng giáng lượng tử

ˆ

σ → hˆσi + σ ≡ ¯σ + σ,ˆ

ωµ → hˆωµi + ωµ ≡ ¯ωµ+ ωµ (1.97)

Xét một thể tích V được lấp đầy bởi N nucleon Mật độ baryon ρB = N/V Khi

V → 0, thì mật độ baryon tăng tương ứng nếu giữ N không đổi Do đó, các số hạngnguồn trong (1.90) và (1.91) trở nên rất lớn so với các thăng giáng lượng tử Kếtquả là các trường meson và các số hạng nguồn tương ứng được thay thế bởi các giátrị kỳ vọng cổ điển Chúng ta cũng bỏ qua tất cả các số hạng phát sinh của cácmeson Trong trường hợp này, tương tác giữa các nucleon và các meson được đơngiản hóa thành các trường meson trung bình Như vậy, chỉ có các trường nucleon ¯ψ

và ψ được lượng tử hóa, còn các trường meson được coi là các trường cổ điển.Trong hệ quy chiếu đứng yên, các thành phần không gian của dòng baryon bịtriệt tiêu

h ¯ψψi = gσ

m2 σ

¯

ωµ ≡ ω0δµ0= gω

m2 ω

hψ+ψi = gω

m2 ω

Trong gần đúng trường trung bình, phương trình Dirac trong không gian xunglượng được viết

(~α.~p + β m∗) v(~p) = (E − gωω0)v(~p), (1.101)với α và β là các toán tử ecmit, giá trị riêng của năng lượng

dấu + đối với hạt, dấu − đối với phản hạt Năng lượng hiệu dụng của nucleon đượccho bởi

X

s=1,2

ẵp, s)u(~p, s)e−ipx+ b†(~p, s)v(~p, s)eipx ,

(1.105)trong đó, a và b là các toán tử hủy hạt và phản hạt, a† và b† là các toán tử sinh hạt

và phản hạt Các nucleon trong môi trường được giữ bởi tương tác với môi trường,chúng được coi như các nucleon trong chân không bởi sự thay thế m → m∗ và đượcgọi là các tựa hạt nucleon (quasi-nucleon)

Chúng ta đưa vào đạo hàm hiệu dụng biến đổi trong không gian xung lượng

iDµ= i∂µ− gωµωµ, (1.106)dẫn đến xung lượng hiệu dụng

p∗µ = pµ− gωµωµ= (E∗, ~p∗) (1.107)Khi đó, phương trình Dirac được viết lại dưới dạng hiệp biến như sau

(γµp∗µ− m∗)v(~p) = 0 (1.108)

Từ (1.108) và sử dụng các tính chất của ma trận Dirac, chúng ta có hệ thức

¯v(~p)v(~p) = m

∗

p~p2 + m∗2v†(~p)v(~p) (1.109)

1.3.3 Nhiệt động lực học của chất hạt nhân

Để tính toán thế nhiệt động lực học, chúng ta xuất phát từ hàm phân bố chínhtắc lớn Z Nó là một trong các đại lượng quan trọng nhất trong vật lý thống kê,

hầu hết tất cả các đại lượng quan sát được của nhiệt động lực học đều xuất phát

từ nó Trong hình thức luận toán tử

Z = Tre−β( ˆH−µ ˆN ), (1.110)với ˆH là toán tử Hamiltonian, ˆN là toán tử số hạt và µ là thế hóa Trong hình thứcluận tích phân phiếm hàm

U (φ, ω0) = m

2 σ

Z

d4x{ ¯ψ[γ0(p0+µ∗)+~γ.~p−m∗]ψ − U (φ, ω0)}

.(1.117)

Chuyển sang hình thức luận thời gian ảo, vector bốn chiều trong không gian tọa

độ được ký hiệu x ≡ (t, ~x) = (−iτ, ~x) Tích phân trong không thời gian

Z

d4x = −i

Z β 0

dτ

Z

d3x, β = 1

T.

Các khai triển Fourier của hàm trường theo ψ(p) có dạng

ψ(x) = √1

VX

p

¯ψ(x) = √1

VX

p

với xung lượng bốn chiều p ≡ (p0, ~p) = (−iωn, ~p), ở đây ωn là các tần số Matsubara

Từ tính chất phản tuần hoàn của toán tử trường ψ(0, ~x) = −ψ(β, ~x) ta có eiω n β =

−1, do đó các tần số Matsubara đối với các fermion thỏa mãn ωn = (2n + 1)πT , với

(1.120)với S−1(p; φ, ω0) là nghịch đảo của hàm truyền của các nucleon viết trong khônggian xung lượng

TS

−1

(iωn, ~p)

,định thức được lấy trong toàn bộ không gian Dirac và không gian vị

Đặt E±(~p) = E∗± µ∗ Sử dụng biểu thức nhờ lấy tổng theo tần số Matsubara

n

ln−(iωn)2+ λ2 = λ + 2T ln 1 + e−λ/T

và xét trong hệ tọa độ cầu R d3~p = 4πR0∞p2dp, ta thu được biểu thức của thế nhiệtđộng như sau

Ω = U (φ, ω0)−Nf

π2

Z ∞ 0

p2dpE∗

+T ln 1+e−E+ /T
+T ln 1+e−E − /T
,

(1.122)với số vị Nf = 2 đối với chất hạt nhân, Nf = 1 đối với chất neutron

Mật độ baryon được định nghĩa

là các hàm phân bố Fermi-Dirac của hạt đối với dấu

− và phản hạt đối với dấu +

Mật độ vô hướng được định nghĩa

∂Ω

∂φ = 0 ⇒ φ =

gσ

m2 σ

Trạng thái vật lý mà chúng ta quan sát phải là trạng thái ứng với cực tiểu củathế nhiệt động, vì vậy áp suất được định nghĩa

P = −Ωlấy tại cực tiểu (1.129)

Từ đó ta có biểu thức của áp suất

2m2 σ

Mật độ năng lượng toàn phần được xác định bởi phép biến đổi Legendre của P

2m2 ω

ρ2

B+ g

2 σ

2m2 σ

E = g

2 ω

2m2 ω

ρ2B+ g

2 σ

2m2 σ

F+m∗2 là năng lượng Fermi (năng lượng của một nucleon

ở tại mặt Fermi), với pF là xung lượng Fermi Khi đó các phương trình (1.124),(1.126), (1.130) và (1.134) trở thành

ρB = Nf p

3 F

ρS = Nf

π2

Z pF0

m∗

E∗ F

2m2 ω

ρ2

B − g

2 σ

2m2 σ

ρ2

S+Nf

π2

Z pF0

E∗

F p2dp,

= g

2 ω

2m2 ω

ρ2B − g

2 σ

2m2 σ

ρ2S + Nf8π2

 2p2 F

3 − m∗2



pFEF∗ + m∗4lnpF + E

∗ F

m∗

.(1.138)

1.3.3 Nhiệt động lực học chất hạt nhân

Để tính tốn nhiệt động lực học, xuất phát từ hàm phân bố chínhtắc lớn Z Nó đại lượng quan trọng vật lý thống kê,... tương đối tính thiết lập mô tả rấtthành công hệ hạt nhân Trong số đó, mơ hình Walecka mơ hìnhhiệu dụng dễ hiểu để mơ tả chất hạt nhân, neutron hạt nhân hữu hạn

1.3.1 Mơ hình Walecka

Mơ... cácmeson vơ hướng σ vector meson ω Nó phiên đơn giản động lựchọc hadron lượng tử (QHD), nhiên, mức mà tất khía cạnh liên quanđến động lực học hạt nhân tương đối tính Lagrangian mơ hình có dạng