GIÁO TRÌNH CƠ KỸ THUẬT

NHẬN ĐỊNH VỀ LỰC TÁC DỤNG LÊN VẬT RẮN Khi khảo sát vật rắn ta phải tách riêng vật rắn đó ra và đặt các lực đã cho cũng như phản lực liên kết lên vật rắn.. Hợp lực đặt tại điểm đồng quy v

PHẦN I: TĨNH HỌC CHƯƠNG I: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC NGUYÊN LÝ TĨNH HỌC

I NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1. Vật rắn tuyệt đối: Vật rắn tuyệt đối là vật có khoảng cách giữa 2 điểm bất kì

thuộc vật luôn luôn không đổi, hay nói đơn giản là vật có hình dạng hình học không đổi trong suốt quá trình chịu lực Trong thực tế các vật rắn khi chịu lực có biến dạng, nhưng trong hầu hết các trường hợp có biến dạng rất nhỏ, ta có thể bỏ qua để nghiên cứu các trường hợp đơn giản hơn Còn việc xét vật rắn biến dạng thuộc phạm vi nghiên cứu của các môn học khác như sức bền vật liệu, cơ học kết cấu,…

2 Lực

a Định nghĩa: Lực là tác dụng tương hỗ giữa các vật mà kết quả là gây nên sự thay

đổi trạng thái chuyển động của các vật đó Thí dụ: Hộp phấn đặt trên bàn sẽ tác dụng lên bàn 1 lực ép , ngược lại bàn cũng tác dụng lên hộp phấn 1 lực đẩy, kết quả hộp phấn không bị rơi, tức là thay đổi trạng thái của chuyển động

b Các yếu tố của lực Thực nghiệm chứng minh rằng lực được đặc trưng bởi 3 yếu tố

- Điểm đặt: Là phần tử vật chất của vật chịu tác dụng tương hỗ truyền đến vật ấy

- Phương chiều: phương, chiều của lực biểu thị khuynh hướng chuyển động của lực gây cho vật

- Trị số: Là độ lớn của lực (trị số hay còn gọi là cường độ hay độ lớn ) Đơn

vị chính để đo trị số của lực là Niutơn, kí hiệu là N, kN 1kN =1000N

c Biểu diễn lực: Lực là 1 đại lượng vectơ Véctơ lực có gốc trùng với điểm đặt của

lực, phương chiều trùng với phương chiều của lực, độ dài tỉ lệ với trị số của lực Véctơ lực được kí hiệu là F , P,….trị số của lực được kí hiệu là P F,… Còn đường thẳng chứa véctơ lực được gọi là đường tác dụng hay giá của lực

3. Trạng thái cân bằng Vật rắn ở trạng thái cân bằng nếu nó đứng yên hoặc chuyển

động tịnh tiến thẳng đều đối với hệ tọa độ được chọn làm chuẩn

4 Một số định nghĩa khác

a Hai lực trực đối Là hai lực cùng đường tác dụng, cùng trị số nhưng ngược chiều nhau

b Hệ lực Tập hợp nhiều lực cùng tác dụng lên 1 vật rắn đươc gọi là hệ lực Hệ lực gồm các lực F1 F2,……Fn được kí hiệu là (F1 F2,……Fn)

c Hệ lực tương đương Hai hệ lực được gọi là tương đương khi chúng có cùng tác dụng cơ học Hai hệ lực (F1 F2,……Fn) và (F' 1 F'2,……F ' n) tương đương được kí hiệu là (F1 F2,……Fn) ~(F' 1 F'2,……F ' n)

d Hệ lực cân bằng Là hệ lực nếu tác dụng lên 1 vật rắn không làm thay đổi trạng thái chuyển động mà vật thực hiện khi không chịu tác dụng của hệ (F1 F2,……Fn)~0

e Hợp lực duy nhất tương đương với tác dụng của cả hệ, nghĩa là nếu (F1 F2,……Fn)~R thì R là hợp lực của hệ lực (F1 F2,……Fn)

II CÁC NGUYÊN LÝ TĨNH HỌC

Nguyên lý là những mệnh đề có tính chất chân lí được rút ra từ kinh nghiệm thực tiễn, thực nghiệm, không cần chứng minh Chúng ta nghiên cứu Nguyên lý tĩnh học làm cơ sở cho phần này

1 Nguyên lý 1 (Nguyên lý về sự cân bằng):Điều kiện cần và đủ để hai lực tác dụng

lên vật rắn cân bằng là chúng phải trực đối nhau

2 Nguyên lý 2 (Nguyên lý về sự thêm, bớt 2 lực cân bằng):Tác dụng của 1 hệ lực lên

một vật rắn không thay đổi khi ta thêm vào (hay bớt đi) hai lực cân bằng nhau

Hệ quả: Tác dụng của lực lên vật rắn không thay đổi khi trượt lực trên đường tác

dụng của nó

Thật vậy: Giả sử tại điểm A của vật rắn có lực F tác dụng Tại điểm B bất kì trên đường tác dụng của lực Fta đặt thêm vào 2 lực cân bằng F1 và F2 cùng đường tác dụng và cùng trị số với lực F Theo nguyên lý 2 : F ~ (F, F1,F2) vì Fvà F1 là hai lực cân bằng nhau (Theo nguyên lý 1) nên có thể bỏ chúng đi được (theo nguyên lý 2 ) Vậy: F ~ (F, F1,F2)~F2 F2 chính là lực F trượt từ A tới B Qua đó ta thấy lực tác dụng lên vật rắn được biểu diễn bằng véctơ trượt

3 Nguyên lý 3 (Nguyên lý hình bình hành lực):

Hệ hai lực đặt tại điểm tương đương 1 hợp lực đặt tại điểm chung ấy Véc tơ biểu diễn hợp lực là véc tơ đường chéo hình bình hành có các cạnh là các véc tơ biểu diễn lực thành phần

)2,1(

4 Nguyên lý 4 (Nguyên lý về lực tác dụng và phản lực tác dụng):Lực tác dụng và

lực phản tác dụng bằng nhau về trị số, cùng phương và ngược chiều

Chú ý: Lực tác dụng và lực phản tác dụng không phải là hai lực cân bằng nhau vì

chúng luôn luôn đặt vào 2 vật khác nhau

III LIÊN KẾT VÀ LỰC LIÊN KẾT

1 Khái niệm

a. Vật tự do và vật tự liên kết Vật rắn tự do khi nó có thể thực hiện chuyển động tùy

ý theo mọi phương trong không gian mà không bị cản trở Ví dụ quả bóng nhẹ bay

lơ lửng trên không là vật tự do

Vật chịu liên kết (Vật không tự do) khi nó có một vài phương chuyển động bị cản trở Ví dụ quyển sách đặt trên bàn là vật không tự do

b. Liên kết và lực liên kết Những điều kiện cản trở chuyển động của vật được gọi là

liên kết Vật gây ra sự cản chuyển động của vật khảo sát gọi là vật gây liên kết

c Tính chất của phản lực liên kết

- Phản lực liên kết bao giờ cũng đặt vào vật khảo sát ở chỗ tiếp xúc giữa 2 vật

- Phản lực liên kết cùng phương, ngược chiều với chuyển động bị cản trở của vật khảo sát

- Trị số của phản lực liên kết phụ thuộc vào lực tác dụng lên vật được khảo sát, nó là lực bị động, còn lực tác dụng lên vật khảo sát là lực chủ đông hay lực đã cho

2 Các liên kết thường gặp

Liên kết Cấu tạo và cách biểu diễn ðặc điểm phản lực

Ký hiệu: X , Y Tên gọi: Các phản lực bản lề

Tên gọi: Phản lực và ngẫu phản lực ngàm

IV NHẬN ĐỊNH VỀ LỰC TÁC DỤNG LÊN VẬT RẮN

Khi khảo sát vật rắn ta phải tách riêng vật rắn đó ra và đặt các lực đã cho cũng như phản lực liên kết lên vật rắn Việc đặt các phản lực đã cho thường không quá khó khăn, vấn đề quan trọng là đặt các lực liên kết cho đúng và đầy đủ Để đặt các phản lực liên kết lên vật khảo sát ta tách các vật đó ra khỏi các vật xung quanh, nghĩa là bỏ các liên kết đi và thay bằng các phản lực liên kết tương ứng, công việc đó được gọi là giải phóng liên kết Sau khi đặt các phản lực và cho các phản lực liên kết ta có thể xem vật khảo sát như vật tự do cân bằng dưới tác dụng của các lực ấy

Thí dụ1: Quả cầu đồng chất trọng lượng P treo vào mặt tường nhẵn thẳng đứng nhờ

dây OA Xác định hệ lực tác dụng lên quả cầu

Ta có thể xem quả cầu như vật rắn tự do cân bằng dưới tác dụng của hệ lực

(P,T,N) đồng quy ở O

Thí dụ 2: Thanh đồng chất AB cĩ trung điểm C trọng lượng P, thanh bắt bản lề cố định ở

A và tựa trên tường ở D, đầu B treo vật trọng lượng Q (hình 1.16a) Xác định hệ lực tác dụng lên thanh AB

R A

C P D

Q

(b)H1.16

CHƯƠNG II: HỆ LƯCÏ PHẲNG ĐỒNG QUY

I KHẢO SÁT HỆ LỰC PHẲNG ĐỒNG QUY BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC

1 Xác định hợp lực của hai lực đồng quy

a Quy tắc hình bình hành lực

Giả sử có hai lực F1 và F2 đồng quy ở A.theo nguyên lý hình bình hành lực ta có hợp lực R đặt tại A, còn phương chiều, trị số được biểu diễn bằng đường chéo hình bình hành tức là bằng véctơ AC

Xét tam giác ABC có:

) 180 cos(

2 2 2 1

1 F F F F

Các trường hợp đặc biệt:

- Hai lực F1 và F2 cùng phương chiều α =0;R=F1+F2

- Hai lực F1 và F2 cùng phương, ngược chiều 0

180

=

α Nếu F1>F2 thì R = F1-F2 Tổng quát R= F1 −F2

- Hai lực F1 và F2 có phương vuông góc với nhau 0

90

=

2 2

1 F F

R= + Phương của R được xác định bởi góc β và γ , xét tam giác ABC có:

) 180 sin(

sin

2 sin

1

0 αγ

R F

Nên

αγ

β sin sin

2 sin

Hay

αγ

αβ

sin

2 sin

sin

1 sin

R F R F

=

=

b Quy tắc tam giác lực

Từ cách hợp lực đồng quy như trên ta thấy để xác định hợp lực R có thể từ mút của F1 ta đăt nối tiếp F2' song song cùng chiều và cùng trị số với F2 Ta nói

Rđóng kín tam giác lực lập bởi F1,F2 R có gốc tại O và mút trùng với mút F2'

R =F1+F2

Trị số: R= F12 +F22 +F1F2cosα

2 Phân một lực thành hai lực đồng quy theo hai hướng đã cho

Trong thực tế đôi khi ta gặp các bài tóan ngược biết R ta phải phân tích thành 2 lực F1,F2 theo các phương I và II đã biết

Từ mút C của R kẻ hai đường song song với hai đường đã biết I và II, lần lượt cắt các phương đó ở D và E ODCE là hình bình hành và OD=F1,OE =F2

Thật vậy, vì nếu hợp F1,F2 ta được R

1

F ,F2 được định theo công thức

Nên

αγ

2 sin

Hay

αγ

αβ

sin

2 sin

sin

1 sin

R F R F

=

=

Ví dụ:Vật nặng có trọng lượng P = 960N được treo bởi hai dây AB và AC, các dây

này làm với góc thẳng đứng những góc lần lượt là 0 0

2 0

1

75 sin 30

sin 45

sin

P F

F

=

=

Vậy T AB =703N và T AC = 497N

3 Thu gọn hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp hình học

Giả sử hệ lực (F1,F2,F3) đồng quy ở O

Theo quy tắc tam giác lực, hợp hai lực F1và F2được R1, R1 =F1 +F2 nên

) ,

,

(F1 F2 F3 ~(R1,F3) Tiếp tục hợp R1 và F3 ta được R; R=R1+F3 =F1+F2 +F3và

) ,

F

N P

F

497 960 966 , 0

5 , 0 75

sin

30

sin

703 960 966 , 0

707 , 0 75

sin

45

sin

0 0 2

0 0 1

Vậy: “Hệ lực phẳng đồng quy có hợp lực Hợp lực đặt tại điểm đồng quy và được xác định bằng véctơ đóng kín của đa giác lực tập hợp bởi hệ lực đã cho.”

Với một hệ lực phẳng đồng quy đã cho, để xác định hợp lực thường người ta xác định đa giác lực theo một tỉ lệ chọn trươc rồi đo độ dài của véctơ đóng kín của đa giác lực đó để xác định trị số của R

4 Điều kiện cân bằng hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp hình học

Để hệ lực phẳng đồng quy cân bằng thì hợp lực của nó phải bằng không, muốn vậy, đa giác lực phải tự đóng kín, nghĩa là là trên đa giác mút của véctơ lực cuối cùng phải trùng với gốc vec tơ lực đầu tiên

Vậy “Điều kiện cần và đủ để hệ lực đồng quy cân bằng là đa giác lực tự khép kín.”

Ví dụ1:Quả cầu đồng chất trọng lượng P = 50 N tựa trên mặt nghiêng nhẵn và

được giữ bởi dây AB song song với mặt nghiêng Xác định sưc căng của dây và phản lực của mặt nghiêng tác dụng lên quả cầu Biết 0

30

=

Bài giải:

Các lực tác dụng lên quả cầu gồm: trọng lực P, phản lực liên kết N ,T

Quả cầu cân bằng dưới tác dụng của hệ lực phẳng (P,N,T) đồng quy tại tâm O của nó Đa giác lực lập bởi các lực đó phải tự khép kín Ta dựng đa giác đó như sau: Từ 1 điểm bất kì vẽ véctơ P, từ gốc và mút của P vẽ vẽ các đường thẳng song song với phương của lực N ,T Chúng gặp nhau ở K, EIK chính là đa giác lực cần vẽ, trên

đa giác lực đi theo chiều của lực P ta vẽ được chiều của N ,T

Ở đa giác lực mỗi cạnh biểu thị một lực nên độ dài mỗi cạnh biểu thị một lực tương ứng, vì vậy trị số của đa giác lực có thể xác định bằng cách vẽ chính xác đa giác lực theo một tỉ lệ chọn trước rồi đo hoặc tính theo trị số của lực đã cho

Trong tam giác EIK: 0

I P

2

3 50 30 cos ˆ

tại chốt A của cơ

cấu gồm hai thanh

là hệ lực phẳng đồng quy trong mặt phẳng thẳng đứng, chốt A nằm yên nên hệ lực này cân bằng ða giác lực của hệ là đường gãy khúc gồm ba đoạn phảI tự đĩng kín, nghĩa là phải tạo thành tam giác

r r

P

(a) C

H2.5

Tam giác BCA cĩ gĩc B=90°, AC = 2AB nên BCA là nửa tam giác đều:

II KHẢO SÁT HỆ LỰC PHẲNG ĐỒNG QUY BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH

Khảo sát hệ lực đồng quy bằng phương pháp giải tích, phương pháp xét quay hình chiếu của véc tơ lực lên trục tọa độ.Vì vậy trước tiên ta phải nghiên cứu phép chiếu véc tơ lực

1 Chiếu 1 lực lên 2 trục tọa độ

Giả sử cho hệ tọa độ vuông góc xOy và lực F có đường tác dụng hợp với trục

x 1 góc nhọn α phải xác định hình chiếu F lên các trục Ox và Oy

Hình chiếu của véc tơ lực F lên 1 trục là đường thẳng giới hạn bởi hình chiếu của mút và gốc của véc tơ lực đó trên trục ấy.Hình chiếu của lực F lên trục Ox và Oy kí hiệu là X và Y

Trong công thức :

α là góc nhọn hợp bởi các đường tác dụng của lực với trục Ox

Dấu của hình chiếu là (+) khi chiếu từ điểm chiếu của gốc đến điểm chiếu của mút cùng với chiều dương của trục, dấu của hình chiếu là (-) trong trường hợp ngược lại

X, Y có đơn vị đo như đơn vị đo trị số của lực

Trường hợp lực song song với trục, thí dụ lực song song với trục x thì X= ±F, còn khi lực vuông góc với trục thì hình chiếu của lực lên trục bằng không

Ngược lại khi biết hình chiếu X và Y của lực F lên 2 trục x và y ta hòan tòan xác định được F

F Y

2 Xác định hơp lực của hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp giải tích

Giả sử phải xác định hợp lực phẳng của hệ lực phẳng đồng quy (F1 F2,……Fn) Đầu tiên bằng phương pháp hình học ta xác định được hợp lực R

Gọi hình chiếu của các lực F1 F2,……Fn lên trục x là X1,X2,… Xn lên trục y là Y1,Y2,… Yn Hình chiếu của hợp lực R lên các trục x và y là Rx, Ry

Theo định lí hình chiếu “ hình chiếu của véc tơ tổng bằng tổng đại số hình chiếu các véc lơ thành phần” ta có:

Rx= X1+ X2+… +Xn =∑X

R = Y + Y +… +Y =∑

Từ đó ta xác định được hợp lực R

Hợp lực R có trị số:

) ( )

) 1 138 ( ) 7 98

Và phương chiều

7 98

1 138

R nằm ở góc phần tư thứ 3 với α = 54033’

3 Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp giải tích

Hệ lực phẳng đồng quy tương đương với hợp lực R , muốn hệ cân bằng thì R phải bằng không Theo phương pháp giải tích R = ∑ 2 + ∑ 2

) ( )

Ví dụ1:

Lực P=25kN tác dụng lên piton A Thanh truyền B làm với đường thẳng đứng 1 góc 140 Xác định áp lực của thành piton lên thành xilanh và lực tác dụng dọc theo thanh truyền Bỏ qua trọng lượng của piston và thanh truyền

Giải

Piston cân bằng dưới tác dụng của lực P, phản lực của xi lanh lên thành piston N

và phản lực của thanh truyền S

Chọn hệ trục xOy trục x trùng với đường tác dụng N Từ phưong trình hệ cân bằng

ta có:

∑X = N-S *cos760=0 (1)

∑Y =Ssin760-P=0 (2)

Từ phương rtình (2) ta có:

S=

9703 0

25 76

sinP 0 = = 25.8kN

Thay S vào phương trình (1)

kN

N = 25 8 cos 760 = 25 8 * 0 2493 = 6 4

Áp lực piston lên thành xi lanh có trị số 6.4kN cùng phưong và ngược chiều với

N , còn lực dọc tác dụng lên thanh truyền có trị số 25.8kN cùng phương và ngược chiều với S

Ví dụ2:

Một giá đỡ gồm hai thanh AB và AC gắn với nhau và với tường bằng bản lề sao cho AB nằm ngang Tại chốt A của giá cĩ gắn rịng rọc cĩ kích thước khơng đáng kể Một sợi dây treo vật nặng P =

với P

r

là trọng lực của vật treo, T

r

lực căng trong dây AD, S AB S AC

rr

, là các phản lực liên kết thanh cĩ giá là các đường thẳng AB và AC (hình 2.8b)

Rịng rọc A khơng cĩ ma sát: P=T (1)

Lập điều kiện cân bằng và giải: (P,T,S AB,S AC)

rrrr

là hệ lực phẳng trong mặt phẳng thẳng đứng, rịng rọc A cĩ kích thước khơng đáng kể nên hệ lực này coi là hệ lực phẳng đồng quy cân bằng

Chọn hệ trục Axy như hình 2.8b:

)3(030cos.30

sin

)2(030sin30

cos0

0

0 0

0 0

=+

+

−

=+

i

S T

P

S S T

S S

KN P

P P S

AC AB

AC

8 , 5 3

3 30

cos 30 sin )

2

(

8 , 5 3

3 30

cos

30 sin

0 0

0 0

C

B D

300

(a)

A

300

Chú ý:

Nếu chọn vật khảo sát là rịng rọc A: hệ lực tác dụng gồm S AB S AC

rr

rịng rọc, cách tính này rắc rối hơn

III ĐỊNH LÍ BA LỰC PHẲNG KHÔNG SONG SONG CÂN BẰNG

Định lí: Nếu có ba lực phẳng không song song cân bằng thì đường tác dụng

của chúng đồng quy tại một điểm

Chứng minh Giả sử có ba lực (F1,F2,F3) cùng nằm trong một mặt phẳng, không song song và cân bằng nhau Hai lực F1và F2 không song song nên đồng quy, chẳng hạn tại B Trượt F1và F2 về B rồi thay thế chúng bằng R (R= F1+F2 ) Vì

) ,

Giải:

Chọn vật khảo sát: thanh AB

Xác định hệ lực tác dụng lên thanh AB: (P,S CD,R A)

rrr

1 sin

2

3 cos

2 2

=

=

= +

=

=

AI BI BI AB

AB AI

AB

αα

Lập ñiều kiện cân bằng và giải:

1 2

3 )

(

0 2

3 2

1 ) (

) ( 0 sin 60

sin 0

) ( 0 cos 60 cos 0

0 0

= +

+

−

⇒

= +

⇒

= +

⇒

=

∑ ∑

A CD

A CD

A CD

i

A CD

i

R S

P b

R S

a

b R

S P Y

a R

S X

αα

3 , 17

CHƯƠNG III HỆ LỰC PHẲNG SONG SONG NGẪU LỰC, MÔMEN CỦA MỘT LỰC ĐỐI VỚI MỘT ĐIỂM

I THU GỌN HAI LỰC PHẲNG SONG SONG

1 Trường hợp hai lực phẳng song song cùng chiều

Giả sử F1, F2 song song cùng chiều, cần thu gọn hai lực này Để đưa về hệ lực đồng quy, ta thêm vào A và B hai lực Q1 và Q2 trực đối nhau theo nguyên lý hai

),,,(

~),

(F1 F2 F1 F2 Q1 Q2

Hợp lực F1 và Q1ta được R1, F2 và Q2 ta được R2

),,,(

~),

OA

= (1) Tam giác OKM và tam giác OCB đồng dạng do đó

2

F

KM CO

CB = (2) Chia (1) cho (2) với chú ý là EN= KM

1

2

F

F CB

CA

=

Công thức (3-2) chứng tỏ điểm đặt của hợp lực chia đường nối điểm đặt của F1và 2

F thành hai đoạn tỷ lệ nghịch với các trị số của hai lực đó

Vậy: “hai lực song song cùng chiều có hợp lực Hợp lực song song cùng chiều với các lực, có trị số bằng tổng trị số các lực và đặt lại điểm chia trong đường nối điểm đặt hai lực thành hai đoạn tỉ lệ nghịch với trị số của hai lực ấy"

Theo tính chất của tỉ lệ thức, công thức (3-2) còn có thể viết như sau:

CB CA

+ +

Bài giải : Để thanh AB nằm ngang thì D phải trùng với điểm đặt của hợp lực R

của các lực F1và F2

Hợp lực có trị số xác định theo công thức (3-1):

Ở trên ta đã xét cách xác định hợp lực của hai lực song song cùng chiều Trong nhiều trường hợp cần phải phân một lực thành hai lực song song cùng chiều, theo công thức (3-3) ta dễ dàng xác định được hai yếu tố cần tìm, thí dụ định trước vị trí hai lực thì ta sẽ tìm được trị số hai lực đó hay định trước trị số và vị trí của một lực thì ta sẽ tìm được trị số và vị trí của lực thứ hai…

2 Trường hợp hai lực phẳng song song ngược chiều

Giả sử cho hai lực song song ngược chiều F1, F2 có trị số khác nhau(chẳng hạn 2

1 F

F > ) cần phải thu gọn hai lực này

Có thể thu gọn theo cách tương tự như cách thu gọn hai lực cùng chiều, nhưng ở đây sử dụng kết quả phân tích lực sẽ nhanh chóng hơn Phân lực có trị số lớn (lực 1

F )thành hai thành phần Rvà F'2 trong đó F'2 =F2 theo nguyên lý 2 ta có thể bớt lực 2

'

F và F2 Vậy:

R F R F F

F, )~( ' , , )~

Nghĩa là R là hợp lực của hệ (F1,F2)

Theo công thức F1 =R+F'2 mà F'2=F2 nên R= F1−F2

Theo công thức(3-2)

R

F R

F BC

AC '2 2

=

2 1

2

F R

F AC

AB

AC

+

=+Hay

1

2

F

F BC

AC

= (3-5) Từ công thức (3-5) theo tính chất tỉ lệ thức ta còn có:

2 1 1

AC BC F

BC F

AC F

BC = =

2 1

(3-6)

Công thức (3-5) chưng tỏ điểm đặt C của hợp lực chia cho đường nối điểm đặt thành hai đọan tỉ lệ nghịch với trị số của hai lực F1, F2

Vậy: “Hai lực song song ngược chiều không cùng trị số có hợp lực Hợp lực song song cùng chiều với lực có trị số lớn, có trị số bằng hiệu trị số hai lực và đặt ở điểm chia ngòai đường nối điểm giữa hai lực thành hai đọan tỉ lệ nghịch với trị số của hai lực ấy.”

Ca

= 2

suy ra :

m AB

3 Thu gọn hệ lực phẳng song song, tâm của hệ lực song song

a Thu gọn hệ lực phẳng song song

Giả sử có hệ lưc phẳng song song (F1,F2, ,F n) Thu các lực song song cùng chiều

ta được R1 , còn thu các lực song song ngựợc chiều với R1 ta được R2 Vì R1 và R2

song song và ngược chiều nhau có thể sảy ra các trường hợp sau

_ Nếu R1 ≠R2thì hệ có hợp lực

_ Nếu R1 =R2thì có thể

+ Hệ cân bằng nếu R1 và R2 tực đối

+ Thu về một ngẫu lực nếu R1 và R2 không trực đối

Trường hợp R1 =R2 ta xét ở các chương sau Ở đây chỉ xét trường hợp R1 ≠ R2 Tức là xác định hợp lực R của tòan hệ

Hợp lực song song cùng chiều với R1 khi R1 >R2 song song cùng chiều với R2 khi

b Tâm của hệ lực song song

Giả sử hệ lực song song (F1,F2) có hợp lực R đặt ở C không phụ thuộc vào

phương các lực F1, F2 quay 1 chiều quanh điểm đặt một góc α thì hợp lực R vẫn đặt tại C, C được gọi là tâm của hệ lực song song

II NGẪU LỰC

1 Định nghĩa:

Ngẫu lực là hệ gồm hai lực song song ngược chiều

cùng trị số nhưng khác giá

+ Mặt phẳng chứa hai giá của các lực của ngẫu lực gọi là mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực

+ Trị số m = F.a gọi là trị số momen của ngẫu lực, m có đơn vị là Niutơn mét, ký hiệu là N.m

+ Chiều mà ngẫu lực làm vật quay gọi là chiều quay của ngẫu lực

+ Ngẫu lực không có hợp lực nhưng không cân bằng mà làm vật quay

Thí dụ:

Clê siết đai ốc xoay khi chịu tác dụng của ngẫu lực

2 Tính chất của ngẫu lực:

a) Định lý: Một ngẫu lực trong mặt phẳng có thể thay bằng ngẫu lực khác cùng trong mặt phẳng đó cùng chiều quay và cùng trị số momen

Chứng minh:

Ngẫu lực (Fr1, Fr1′) có cánh tay đòn

a1, ta tìm ngẫu lực mới cánh tay

đòn a2 tương đương

Trong mặt phẳng tác dụng của

ngẫu lực (Fr1, Fr1′) kẻ hai đường

thẳng song song cánh nhau khoảng

a2 cắt giá của Fr1, Fr1′tại A,C,B,D

Từ định lý này ta có:

b) Tính chất 1: Tác dụng của ngẫu lực không thay đổi khi di chuyển ngẫu lực này trong mặt phẳng tác dụng của nó

c) Tính chất 2: Tác dụng ngẫu lực không thay đổi khi thay đổi lực và cánh tay đòn sao cho chúng cùng trong mặt phẳng cùng chiều quay và cùng trị số momen

d) Định lý: Tác dụng của ngẫu lực không thay đổi khi di chuyển ngẫu lực này đến bất kỳ mặt phẳng nào song song với mặt phẳng tác dụng của nó

Chứng minh:

Ngẫu lực (Fr1,Fr1′ )nằm trong mặt phẳng (π1) có F1

r

và Fr1′đặt tại A và B của vật

Trong mặt phẳng (π2) song song với mặt phẳng (π1), lấy đoạn CD của vật song song và dài bằng AB Tại C và D đặt hai cặp lực trực đối từng đôi một F2

r

và Fr3′, F3

rvà Fr2 ′đều song song với F1

r

và có trị số bằng F1

2 3 3 2 1 1 1

3 Các yếu tố xác định ngẫu lực:

Theo các tính chất trên, một ngẫu lực hoàn toàn xác định khi biết:

+ Mặt phẳng tác dụng hoặc mặt phẳng song song với mặt phẳng tác dụng

+ Chiều quay của ngẫu lực

+ Trị số momen ngẫu lực

Vậy trong mặt phẳng đã được định hướng, ngẫu lực được xác định khi biết đại số momen ngẫu lực, gọi tắt là momen ngẫu lực, ký hiệu là mr

Do đó:

mr = ± F.a (3.5)

mr >0 nếu mr làm vật quay ngược chiều kim đồng hồ

mr <0 nếu mr làm vật quay cùng chiều kim đồng hồ

4 Biểu diễn momen trong ngẫu lực bằng véctơ:

Trong mặt phẳng ta biểu diễn momen ngẫu lực bằng mũi tên cong có ghi trị số

momen của ngẫu lực

Để dễ dàng tổng hợp các ngẫu lực, momen ngẫu lực được biểu diễn bằng véctơ mr có:

+ Phương vuông góc với mặt phẳng tác dụng của

ngẫu lực có chiều theo ngón cái bàn tay phải, còn

bốn ngón kia chỉ chiều quay của ngẫu lực

+ Trị số là trị số momen ngẫu lực:

Ngẫu lực có thể đặt bất cứ vị trí nào trong mặt

phẳng song song với mặt phẳng tác dụng của ngẫu

lực nên mr có thể đặt bất kỳ vị trí nào hay mr là một véctơ tự do

5 Hợp hệ ngẫu lực phẳng:

Cho hệ ngẫu lực phẳng

(mr1,mr2, mrn), với mr1,mr2, mrncó cùng

mặt phẳng tác dụng Theo tính chất

c ở trên ta có thể biến đổi các ngẫu

lực này sao cho chúng có cùng cánh

tay đòn a, các lực cùng giá có gốc

A,B:

),(

),(

),(

2 2 2

1 1 1

n n

n F F

m

F F m

F F m

rrr

rrr

),(), ,,,, ,,(), ,

,

(mr1 mr2 mrn ≈ Fr1 Fr2 Frn Fr1′ Fr2′ Frn′ ≈ Rr Rr′

Hợp lực của (F1,F2, ,F n)

rrr

= +R.a = (F1 + F2 – F3).a = F1.a + F2.a + (-F3.a) = mr1 +mr2 +mr3

Tổng quát hơn: ∑

=

= n

i i m M

1

r r

1

r r

6 Điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực phẳng:

Điều kiện cần và đủ để hệ ngẫu lực phẳng cân bằng là tổng đại số momen các ngẫu lực thuộc hệ bằng 0

(mr1,mr2, mrn) phẳng

0

0 ) , , ,

(

1 2

1 2

=

n i i n

m m

Thí dụ:

Hai bánh răng ăn khớp O1 bán kính r1=5cm và O2 bán kính r2=3cm, một ngẫu lực có momen m1=20N.m tác dụng lên bánh răng O1 như hình 3.10a Hãy xác định ngẫu lực có momen m2 tác dụng vào bánh răng O2 để giữ cân bằng

Giải:

+ Chọn vật khảo sát: riêng từng bánh răng O1 và O2

+ Xác định hệ lực tác dụng lên từng bánh răng:

Bánh răng: O1: (m1, F,R1)

r r r

− Với F

Lập điều kiện cân bằng và giải:

Bánh răng O1: m1 – F.r1 = 0 (a)

+ Đối với bánh răng O1 đáng lẽ tại A và O1 còn các thành phần lực nằm trên AO1

nhưng những thành phần này triệt tiêu nhau Tương tự với bánh răng O2

III MÔ MEN CỦA MỘT LỰC ĐỐI VỚI MỘT ĐIỂM

Định nghĩa: Thực tế đã chứng tỏ rằng khi tác dụng một lực lên một vật nói chung

Vật vừa di chuyển và vừa quay Tác dụng của lực làm vật di chuyển đã được xét ở các chương trước, ở phần này ta xét tác dụng quay của lực

m1 O1

O2 A

R1

m2 F

(c) (b)

H 3.10

Xét vật rắn có thể quay quanh điểm O cố định Tác dụng quay mà lực F gây ra cho vật phụ thuộc vào lực F và khỏang cách từ điểm O đến đường tác dụng của lực Đại lượng đặc trưng cho tác dụng quay mà lực gây ra cho vật quanh điểm O được gọi là mômen của lực đối với điểm O, và ta có định nghĩa:

Mômen của một lực đối với một điểm là lượng đại số có trị số bằng tích giữ trị số của lực với khỏang cách từ điêm dến đường tác dụng của lực và có dấu dương hay âm tùy theo chiều quay của lực F quanh O là ngược hay thân chiều kim đồng hồ

Fa F

m0( ) = ±

Trong đó m0(F) là kí hiệu mômen của lực F đối với điểm O:

F là trị số của lực

A là cánh tay đòn (khỏang cách từ O đến đường tác dụng của lực)

Mômen của lực đối với điểm có dấu (+) khi lực F làm vật quay ngược chiều kim đồng hồ, có dấu (-) trong trường hợp nguợc lại

Nếu chỉ để ý đến tác dụng quay mà không quan tâm đến chiều quay thì ta co khái niệm về chỉ số mômen, kí hiệu là m0(F)

Fa F

Ví dụ:

Xác định hợp lực phẳng song song (F1,F2,F3)

rrr

với F1 = F2 =150n và F3 = 100N như hình 3.15

Giải:

Hệ lực (F1,F2,F3)

rr

0 R m F m F m F

m

rr

rrrr

r

++

=a.200 = 0 + 0,2.150 – 0,5.100

a = -0,1m

Vậy lực R

r

bên trái O và cách O là 0,1m (hình 3.15)

F 3 0.1 0.2m 0.3m

1

F 2

R giã

CHƯƠNG IV: HỆ LỰC PHẲNG BẤT KỲ

I THU GỌN HỆ LỰC PHẲNG BẤT KỲ

Hệ lực phẳng bất kỳ là trường hợp tổng quát của hệ lực phẳng Trong chương này

ta sẽ nghiên cứu cách thu gọn và điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kỳ và có thể sử dụng kết quả đó để suy ra kết quả thu gọn và điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy và hệ lực phảêng song song

1 Thu gọn hệ lực phảêng bất kỳ

Để thu hệ lực phẳng bất kỳ về một tâm cần phải dời song các lực đến một điểm

Vì vậy trước khi nghiên cứu cách thu gọn hệ lực ta nghiên cứu định lý dời lực song song

Định lý dời lực:

Định lý thuận: Có thể dời song song một lực tới một điểm tùy ý mà không làm

thay đổi tác dụng cơ học nếu ta thêm vào một ngẫu lực phụ có mômen bằng mômen của lực đối với điểm mới dời đến

Chứng minh: Giả sử có lực Ftác dụng lên vật tại điểm A, cần phải dời lực đó song song đến điểm B, đặt thêm vào B hai lực cân bằng F' và F '' có đường tác dụng song song với đường tác dụng của F, ngược chiều nhau và có F’=F’’=F Theo nguyên lý 2: F~(F,F,'F '') nhưng vì F'và F '' tạo thành ngẫu lực nên:

F~(F,F,'F '')~{F' và ngẫu lực (F,F '')} F' song song cùng chiều và có trị số bằng trị số của lực F nên coi Fvà F' được dời song song từ A đến B

Ngẫu lực (F,F '') có mômen m=−Fa, mặt khác m B(F)=−Fa vậy m=m B , định lí đã được chứng minh

Từ định lí trên ta suy ra:

Định lý đảo: Một lực và ngẫu lực cùng nằm trong một mặt phẳng tương đương

với một ngẫu lực duy nhất, song song cùng chiều, cùng trị số với lực đã cho và có điểm đặt sao cho mômen của lực này đối với điểm đặt của lực đã cho đúng bằng mômen của lực đã cho

Theo định lí trên ta thấy lực duy nhất phải đặt sao cho có mômen đối với điểm đặt của lực đã cho cù chiều với chiều với chiều của ngẫu lực và đặt cách đường tác dụng của lực đã cho một đọan bằng trị số mômen của lực chia cho trị số của lực ( )

2 Thu gọn hệ lực phẳng bất kì về một tâm cho trước

Giả sử hệ lực phẳng bất kì (F1,F2, ,F n), cần phải thu các lực về điểm O nằm trong mặt phẳng chứa các lực đó

Theo định lí thuận ta dời song song tất cả các lực về O

Trị số : = ∑ 2 + ∑ 2

) ( ) (

Hướng:

R Y R X

∑

∑

=

=α

αsin

, cos

(4-2)

Theo công thức (4-6) mômen chính được xác định như sau:

) ( 0

M =∑ nên mômen chính phụ thuộc vào tâm thu gọn, nghĩa là với tâm thu gọn khác nhau thì nói chung ta sẽ được mômen chính khác nhau

3 Các trường hợp tối giản khi thu gọn hệ lực phẳng bất kì

Thu gọn hệ lực phẳng về tâm A cĩ các trường hợp sau:

Q A

y 2m

D B

C

T 8m

= + +

=

′

′

KN T

Q P T Q P R

KN T

T Q P R R

y y y y

x x x x

7 , 8 30 cos

1 30 sin 0 0

0

0

r

m KN T

P T

m Q m P

m

MrA = rA(r) + rA(r) + rA(r) = − 2 + 0 + 8 sin 300 = 6

Vậy: (P,Q,T) (R,M A)

r r r r r

′

≈Sau khi giải phóng liên kết, cột ñèn hiệu cân bằng dưới tác dụng của R M A

r r

,

′ và phản lực liên kết ngàm (hình 4.4b)

) ( )

Như vậy: (F1,F2, ,F n)~R~R' và ngẫu lực có mômen m=m0(R)

Mặt khác khi thu gọn hệ lực (F1,F2, ,F n)về O1 ta được R' và ngẫu lực

) ( 0

II ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC BẤT KỲ

1 Điều kiện cân bằng tổng quát

Định lý: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kì cân bằng là véctơ chính

và mômen chính của hệ đối với một tâm bất kì bằng không

Chứng minh điều kiện cần:

Giả thiết là hệ lực đã cho cân bằng ta phải chứng minh có véctơ chính và mômen chính bằng không Thật vậy, vì nếu véctơ chính hoặc mômen chính khác không, hoặc cả véctơ chính và mômen chính khác không thì hệ phải thu về một lực hoặc một ngẫu lực, điều đó trái với giả thiết là hệ cân bằng, do đó cả véctơ chính và mômen chính đều phải bằng không

Chứng minh điều kiện đủ:

Hệ lực đẵ cho có véctơ chính và mômen chính bằng không thì phải cân bằng Nếu hệ đã cho không cân bằng thì hoặc là phải tương đương với một lực, hoặc là phải tương đương với một ngẫu lực khi đó hoặc mômen chính khác không, hoặc cả véctơ chính và mômen chính khác không, điều đó trái với giả thuyết Vậy hệ cân bằng

2 Các dạng phương trình cân bằng

a. Dạng 1.Theo điều kiện cân bằng tổng quát: Hệ lực phẳng bất kì cân bằng

0

' =

⇔R và M0 =0 Theo công thức (5-1) = ∑ 2 + ∑ 2

) ( ) (

Hệ cân bằng ⇔

0 ) ( 0 0

X

(4-7)

Vậy “Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kì cân bằng là tổng hình chiếu các lực lên hai trục tọa độ và tổng mômen của các lực đối với một điểm bất kì đều bằng không”

b. Dạng 2 Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kì cân bằng là tổng mômen của

các lực đối với hai điểm A và B bất kì và tổng hình chiếu các lực lên trục không vuông góc với phương AB đếu bằng không

Hệ cân bằng: ⇔

=

= 0

0 ) (

0 ) (

X

F m

F m B

A

x không vuông góc với AB (4-8)

c. Dạng 3 Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kì cân bằng là tổng mômen của

các lực đối với ba điểm khôngthẳng hàng đều bằng không

Hệ cân bằng ⇔

0 ) (

0 ) (

0 ) (

=

=

=

F m

F m

F m

C B

A

A, B, C không thẳng hàng (4-9)

Ví dụ 1:

Một thanh đồng chất AB cĩ trọng lượng P=40N, đầu A tựa trên mặt phẳng nằm ngang nhẵn

và gờ D, đầu B tựa trên mặt phẳng nhẵn nghiêng gĩc α=600 so với mặt phẳng ngang sao cho

AB nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với giao tuyến của mặt phẳng ngang và mặt nghiêng như hình 4.6a Xác định áp lực của thanh AB lên các mặt và gờ D biết AB nghiêng gĩc 300

(b) (a)

o Xác ñịnh hệ lực tác dụng lên AB: (P,N A,N B,N D)

r r r r

với N A N B N D

r r r

, , lần lượt là phản lực của mặt ngang, gờ D và mặt nghiêng, chúng ñều vuông góc với mặt tựa nên phương chiều của chúng như hình 4.6b

o Lập ñiều kiện cân bằng và giải: (P,N A,N B,N D)

r r r r

là hệ lực phẳng cân bằng gọi l là chiều dài thanh AB, chọn hệ trục Axy như hình 4.6b và áp dụng dạng 1:

N N

N

N N

P N

N P

N

l N l

P m

N N P Y

N N X

B D

B A

B

B A

B A

B D

3 , 17 sin

)

1

(

30 cos

)

2

(

20 ) ( 90 sin 2 cos )

3

(

) 3 ( ) ( 90 sin cos

2 / 0

) 2 ( 0 cos 0

) 1 ( 0 sin 0

−

⇒

=

= +

βαβ

βαβ

F

H4.7

D C

r

r

với X A i Y A j

r r

KN m

F q N

KN m

F q Y

KN F

X

m F

Q Y

m

m N F

Q m

F X

B A

A

5 4

30 sin 2 2

)

3

(

3 4

30 sin 2 ) 2 (

1

(

) 3 ( 0 30

sin 2 3 4 0

) 2 ( 0 4

30 sin 2 1 0

) 1 ( 0 30 cos 0

0

0 0

0 0 0

= + +

=

⇒

=

− +

sin.2340

)(04

30sin.20

)(030

sin.0

0 0

0

c m

F Q Y m

b m

N F

Q m

a N

F Q Y

Y

A B

B A

B A

Trong thí dụ trên nếu bắt áp dụng dạng 2 với ∑Y =0ta viết thêm ∑mrA=0 và ∑m B =0

với B là điểm nào đĩ nằm ngồi trục Ax

III ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC PHẲNG SONG SONG

Hệ lực phẳng song song là trường hợp đặc biệt của hệ lực phẳng bất kì, nên từ điều kiện của hệ lực phẳng bất kì ta có thể suy ra điều kiện của hệ lực phẳng song song

Giả sử có hệ lực phẳng song song (F1,F2, ,F n) Chọn hệ trục tọa độ xOy sao cho trục

y song song với đường tác dụng của các lực Khi đó hình chiếu của các lực lên trục x đều bằng không Tức là ∑X =0 Vì vậy từ điều kiện cân bằng dạng một và dạng hai của hệ lực phẳng bất kì, bớt đi phương trình ∑X =0 ta có điều kiện cân bằng dạng một và dạng hai của hệ lực phẳng song song

1 Dạng 1:

Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng song song cân bằng là tổng hình chiếu các lực lên các trục song song với đường tác dụng của các lực và tổng mômen của các lực đối với một điểm bất kì đều bằng không”

Hệ cân bằng ⇔

0 ) (

0 ) (

=

=

F m

F m B

A AB không song song với các phưong của lực (4-11)

Các phương trình cân bằng của hệ lực phẳng song song được dùng để giải các bài tóan vật rắn cân bằng dưới tác dụng của hệ lực phẳng song song Dù sử dụng dạng nào ta chỉ có hai phương trình, nên bài tóan chỉ giải được khi có không quá hai ẩn số, tức là không quá hai yếu tố chưa biết

Ví dụ: Dầm AB chịu tác dung của hệ tải trọng di động P1, P2có khỏang cách gữa các đường tác dụng là a=4m và luôn luôn không đổi có trị số P1=30kN, P2=70kN Xác định vị trí tải trọng (x) để phản lực các gối đỡ có trị số lớn nhất và tìm trị số lớn nhất đó Khi tính tóan ta xem như tải trọng di động theo một chiều

12

) 4 ( 30

≈

+

= , nếu x=12m thì chỉ có tải trọng P2 ở ngay trên gối B, như vậy NB=70kN

Vậy khi x =8m thì có NBmax=76,7kN

0 ) 4 12 ( ) 12 ( 12

)

x x

x

R A

3

25 90 12

) 8 ( 30 ) 12 ( 70

−

=

− +

IV BÀI TOÁN HỆ VẬT RẮN PHÂN BỐ TRONG MỘT MẶT PHẲNG

Trong thực tế ta còn thường gặp các bài tóan xét cân bằng của nhiều vật liên kết với nhau, đó là những bài tóan hệ vật Có hai phương pháp giải bài tóan hệ vật

1 Phương pháp tách vật.Tách riêng từng vật của hệ, muốn vậy phải thay các liên

kết (bao gồm cả liên lết với bên ngòai và liên kết giữa các vật trong hệ với nhau) bằng các phản lực tương ứng Phản lực liên kết của các vật ngòai hệ tác dụnglên vật tách ra được gọi là ngọai lực Còn phản lực liên kết của các vật khác thuộc hệ tác dụng lên vật tách ra được gọi là nội lực Khi tách riêng tất cả các vật rắn của hệ, ta thấy các nội lực ở hai vật liên kết với nhau, bao giờ cũng cùng phương, ngược chiều và có trị số bằng nhau (vì nếu quan niệm lực này là lực tác dụng thì lực kia là phản lực tác dụng) Sau khi tách vật ta viết các phương trình cân bằng cho các vật Như vậy nếu hệ có n vật thì có thể viết tối đa 3n phương trình cân bằng độc lập Giải các phương trình cân bằng ta được các yếu tố cần tìm

2 Phương pháp hỗn hợp.(Vừa hóa rắn, vừa tách vật) Phương pháp tách vật nhiều

khi quá phức tạp vì nó đụng chạm đến tòan bộ ẩn số của bài tóan mà trong đó có những ẩn số không cần tìm, khi đó ta áp dụng phương pháp hỗn hợp Nội dung của phương pháp này như sau: đầu tiên ta xem cả hệ hoặc một số vật nào đó như một vật rắn cân bằng(hóa rắn ) để viết các phương trình cân bằng Sau đó tách riêng thêm một số vật rắn và viết phương trình cân bằng cho thừng vật rắn đó Nếu hệ có n vật thì chỉ có thể viết tối đa 3n phương trình cân bằng độc lập Giải các phương trình cân bằng ta được các yếu tố cần tìm

A G

B

C

D 0,3

, , ,

− ) sau khi giải phóng liên kết tại A

và D (hình 4.10b)

Ròng rọc tại F cân bằng dưới hệ lực phẳng (X F.i,YF.j,S,P)

r r r r

(hình 4.10e) Thanh EBF cân bằng dưới hệ lực phẳng (T, X B.i,Y B.j, X F.i, Y F.j)

r r r

r r r

)2(00

)1(00

=

−+

⇒

=

=

−+

⇒

=

=+

m

P Y

Y

X X X

A D

D

D A

6 , 0

)

3

N P

Y

N X

X

D

A D

1680 )

2

(

720 )

)5(00

)4(00

P Y

Y

S X

Y X

N P

Y

N X

T

X

N

Y T

Y T

m

Y Y

m

X X T

X

F B

F B

F

F B

F B

E

F B

3080 6

, 0 / 1

)

7

(

1750 sin

6

,

0

5 , 0

)

9

(

) 9 ( 0 5 , 0 sin 6 , 0 0

) 8 ( 0 1 , 1 6 , 0 0

) 7 ( 0 cos

0

⇒

=

=

− +

• Trong phương pháp hỗn hợp, chọn cột ABCD (hình 4.10c) thay thanh EF vẫn ñược nhưng

hệ lực tác dụng lên cột này có nhiều lực hơn nên viết phương trình dễ sai

Trong phương pháp tách vật, cột ABCD thay cho hệ vật