Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

Một số phương pháp xác ñình công thức tông quát của đấy số LỜI MỞ ðÀU Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan ñên dãy sô là một phân quan trong của ñại số và giải tích l

Một số phương pháp xác ñịnh công thức tông quát của day số

SỞ GIÁO DỤC & ðÀO TẠO ðÔNG NAI

Truong THPT BC Lé Hong Phong

Giáo viên thực hiện

NGUYEN TAT THU

Chuyên đề hội giảng MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH -

CÔNG THỨC TÔNG QUÁT CUA DAY SO

học: 2008 — 2009

MỤC LỤC

LỎI MỜ Đ táng nền Gà G2801 0016100 488001000 :060800:80080020011004G 0.004300240030g10.000:8810001300 cá 3

I SỬ DỤNG CSC - CSN ðÊ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SÓ DẠNG

DAY SO CO CONG THỨC TRUY HỘI SAC BIET

II SU DUNG PHEP THE LUONG GIAC dE XAC dINH CTTQ CUA DAY SO 24

HI ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOAN VE DAY SO - TO HOP

BAI TAP AP DUNG essssssscsssssssssssccsssnssscsecsssssnsssscsplesscipiesesesseesnsedscesnnsnssecseceeddupgsceccessenssssesseeses 41

KET LUAN - KIEN NGHI

TAL LIEU THAM KHAO wessssssssssscssonacbeghegvnsssssscesssnnseesessesssnsetSoapsbnssnssinegigdenssessessscnssssssees 46

Một số phương pháp xác ñình công thức tông quát của đấy số

LỜI MỞ ðÀU

Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan ñên dãy sô là một phân quan trong của ñại số và giải tích lớp 11 , hoc sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên qua ñến dãy số và ñặc biệt là bài toán xác ñịnh công thức số hạng tổng quát của dãy số Hơn nữa ở một số lớp bài toán khi ñã xác ñịnh ñược công thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như ñược giải quyết Do ñó xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số chiếm một vị trí nhất ñịnh trong các bài toán dãy số

Chuyên ñề “Mộf số phương pháp xác ñịnh công thức tông quát của dấy số ”

nhằm chia sẻ với các bạn ñồng nghiệp một số kinh nghiệm giải bài toán xác ñịnh CTTQ

của dãy số mà bản thân ñúc rút ñược trong quá trình học tập và giang day:

Nội dung của chuyên ñê ñược chia làm ba mục :

1: Sử đụng CSC - CSN ñê xây dựng phữơng pháp tìm CTTQ €ùa một số dạng dãy số

có dạng công thức truy hồi ñặc biệt:

II: Sử dụng phương pháp thế lượng giác ñê xác Rịnh CTTQ cia day số

IH: Ứng đụng của bài toán xác ñịnh CTTO của đãy số vào giải một sô bài toán về dấy số - tô hợp :

Một số kết quả-trong chuyên ñề này ñã có ở một số sách tham khảo về dãy số, tuy nhiên trong chuyên ñè các kết quả ñó ñược xây dựng một cách tự nhiên hơn và ñược sắp

xếp từ ñơn-giản ñiến phức tạp giúp các em học sinh nắm bắt kiến thức dễ dàng hơn và

phát triển tư duy cho các em học sinh: ` ›

Trong quá trình viết chuyên ñê, chúng tôi nhận ñược sự ñộng viên, giúp ñỡ nhiệt

thành của BGH và quý thay cô tổ Toán Trường THPT BC Lê Hồng Phong Chúng tôi

xin ñược bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc

Vì năng lực và thời gian có nhiều hạn chế nên ở chuyên ñề sẽ có những thiếu sót Rất mong quý Thầy — Cô và các bạn ñồng nghiệp thông cảm và góp ý ñể chuyên ñê ñược tốt hơn

MỘT SÓ PHƯƠNG PHÁP XÁC ðJNH | CONG THUC TONG QUAT CUA DAY SO

I SU DUNG CSC - CSN dE XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CUA MỘT SỐ

DANG DAY SO CO CONG THUC TRUY HOI OAC BIET

Trong mục này chúng tôi xây dựng phương pháp xác ñịnh CTTQ của một số dạng dãy

số có công thức truy hồi dạng ñặc biệt Phương pháp này ñược xây dựng dựa trên

các két qua fia biét vé CSN — CSC , kết hợp với phương pháp chọn thích hợp: Trước hết chúng ta nhắc lại một số kết quả ñã biết về CSN.= CSC

1 Số hạng tổng quát của cấp số cộng và cá số nhân

1 2: Số hạng tổng quát của cáp số nhân

Định nghĩa: Dãy số (u¿) có tính chất u,

bội q ¡ 89 n Ñ* gọi là cấp số nhân công

Một số phương pháp xác ñình công thức tông quát của đấy số

2 Áp dụng CSC — CSN ñẻ xác ñịnh CTTQ của một số dạng dãy số ñặc biệt

Trong bài toán này chúng ta gặp khó khăn vì day (u, ) không phải lầ CSC hay CSNI Ta

thấy dãy (u, ) không phải là CSN vì xuất hiện hằng,số 1 ở VT: Ta tìm cách làm mất

1 ñi và chuyển dãy số về CSN

Tacó: 1 5 7 nên ta viết công thức tfuy hồi của day như sau:

[o¿ 5 ñê chuyên công thức

truy hồi của dãy về (1), từ ñó ta ñặt dãy phụ ñễ chuyên về dãy (v, ) là một CSN Tuy nhiên việc làm trên có vẻ không tự nhiên lắm! Làm thế nào ta biết phân tích

— —? Ta có thê làm như sau:

2 2

Ta phântích 1 k 3k>k :

*Nếua 1 thì dãy (u,) làCSC có côngsaid bnênu, tu, í(n Ip

*Néua 1, ta viétb a i is Khi ñó công thức truy hôi của dãy ñược việt như

a a Sau: u b a(u b ), tir ñây ta có ñược: u.- p (cy b jan!

nl 1 Hay u yu, ua"! b`———, dị al

Vậy ta có kết quả sau:

Giải: Để tìm CTTQ của dãy số†a tìm cách làm mắt 3n 1 ñẻ chuyển về dãy số là một

CSN Muon làm vậy ta việt :` `

Khi ñó công thức truỹ hồi của dãy ñược viết như sau:

ðặtv, u, 3n 5,tacé:v, 1 10 vav, 2v, nl n 2>w, v2" | 10.2" 1 Vậy CTTQ của dãy (u„):u, v, n 3n 5 52" 3n 5 n l243,

Chú ý : 1) ðŠ phân tích ñược ñằng thức (2), ta làm như sau:

Một số phương pháp xác ñình công thức tông quát của đấy số

3n 1 an b 2 am 1) bị Chon in 2 tacs: | bs

„ trong ñó f(n) 2) Trong trường hợp tổng quát dãy u: 41 f(a) 2

n n

(0a au, |

1a m6t fia thitc bac k theo n , ta x4c fiinh CTTQ nhu sau:

Phân tích f(n) gín) ag(n I) (3) với gín) cũng là một ña thức theo n Khi ñó ta có:u, gn) au, gín DỊ wan thu, gú)|

Vậy ta có: u„ “uy, ai) a"! gn)

Vấn fié còn lại là ta xác fiinh g(n) như thế nào ?

Ta thấy :

*Nêua lthìgín ag(n I) là một ña thức có bậc nhỏ hơn bậc của sín) một bậc va không phụ thuộc vào hệ số tự do của gín) , mầ f(n) 1a fia thức bậc K-nên ñễ có (3) ta chon g(n) 1a fia thre bac k 1, c6 hé s6.ttt.do bang khOng va khifid fié x4c fiinh g(n) thi trong fiang thức (3) ta cho k _ 1 giấttjcủa n bất kì ta ñược hệ k1 phương trình, giải hệ này ta tìm ñược các hệ sô của gín)

*Nếua I1 thì gm) agín 1) làmột ña thức cùng bậc với g(n) nên ta chọn gín) là

ña thức bậc k và trong ñẳng thức (3) tachok_ 1 giấtrị của.n thì ta sẽ xác ñịnh ñược

gn)

Vay ta cé két qua sans

tụ *g Dạng 2: ðẻ xác ñịnh CTTQ-của dãy (ú,.)ñược xác ñịnh bởi: \ au ; trong

tr u, ¡ f0)

ñó f(n)- Ìš một ña thức bậc k theo ; a' là Hằng số Ta làm như sau:

Ta phân tích: f(n) gín) 4g T) với gí(n) là một ña thức theo n Khi ñó, ta ñặt

Vy a gín) ta có ñược: u„ yy g@) a" 1 g(n)

Luu ¥ néwa _/1, ta €họn gín) là ña thức bậc k1 có hệ số tự do bằng không, còn nếu

Giải: Ta vẫn bắt chước cách làm trong các ví dụ trên, ta phân tích:

2" a2" 3a2" l Chọn 1, tacé:a 252OMS2' 2Ä '

Nêntacó:u, 22" 3u,, 22°') 3% hu, 4

Vayu, 5.37) al

Chú ý : Trong trường hợp tông quát dãy (u):u, am, n 1 b:”, ta phân tích

Khiñó:u, kb." au, , kbp"! „ a" lap bk

Suyrau, a" lu 1 bk) bÉ ", +

=>u, bn.” uy, ba 1 "dS a * Ta, bb)

Su, bad)" uy" Ì_ Vậy ta có Kết qúả sau

in aU, ị b n 2

sau:

Néua >u, ba I)” uy al

Néua ,taphântích " k." ak " 'Khiñốớu a" ', bk) bk "

Ta tìm ñược: k ‹

Một số phương pháp xác ñình công thức tông quát của đấy số

5.3" | Sir dung két qua dang 3, ta tim fiuge: u, 253" 6.2,

Chi ¥ : Tương tự với cách làm trên ta xác ñịnh CTTQ của dãy (u,.) ñược xác ñịnh bởi:

Khiñó:u, xXịu, ¡ X;(U, ¡ Xity“;) rs) (U, Xu)

Sử dụng kết quả của dạng 3, ta có.cấc trường hợp sau:

x, thi u, X7.Ug Uy xt uị Xiuo XP:

k,1 là nghiệm iy a nghigm cua của hệ he: bá ' Mo x,1 u, %

-10-Một số phương pháp xác ñình công thức tông quát của đấy số

Vi dy 1.12: Cho day (u_ ) 9 1 - iO day (u Ỹ bay 3 Xác HỊ Xác ñịnh

Chú ý : Öề xác ñịnh CTTQ của dãy số: (u„ ) : 9ˆ I ; (tu ¡ au,’ bu, , Af); n , 2 >

(trong fi6 f(n) là ña thức bậc k theon yaa” 4b _0)ta làm như sau:

Ta phân tích fn) g(n) agin l) bg 2) (6) rồi ta fiat XO, g(n)

Íy ow g();v, u, gŒ)

Ta có ñược dãy số (v, ): "A ` : Øðấy Tà dãy số mà ta ñã xét

" nÑYn 4 bv%”0 e2 trong dạng 5 Do ñó ta sẽ xác ñịnh ñược CTTQ củav, S Ws

Van ñê còn lại là ta xác ñịnh gín) như thê nào ñê có (6) ?

Vì f(n) là ña thức bậc k nên ta phải chọn g(n) saocho gín) ag(n 1) bgín 2) là một ña thức bậc k theo n Khi ñó tachỉcànthayk 1 giá trị bất kì của n vào (6) ta sẽ xác ñịnh ñược g(n) ar

mel

Gia str g(n) an” gf TAS +d S ayn ay @,, 0) là ña thức bậc m Khi ñó hệ

số của x" và x"' ! trong VP là: al ab) va [ (@ 2bma„ (1 a bya, fs

Do ñó :

i) Néu PT: x? ax`b 0 (1) c6 nghiém hai nghiém phan biét khac 1 thi

loa „ b_ 0 nên VP(6) là một ña thức bậc m

1) Nêu PT (1) có hai nghiệm phân biệt trong ñó có một nghiệmx l =1 a b 0

va @ 2bma, (1 a ba, , (a 2b)ma, 0 nên VP(6) là một ña thức bậc m1

11) Nếu PT (1) có nghiệm képx l >a 2;b lInên VP(6) là một ña thức bậc

Vậy ñê chọn gín) ta cân chú ý như sau:

siệc:

Một số phương pháp xác ñình công thức tông quát của đấy số

Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, thì gín) là một ña thức cùng bậc với f(n)

Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, trong ñó một nghiệm bằng 1 thi ta chọn

gí) nhín) trong ñó hín) là ña thức cùng bậc với f(n)

Nếu (1) có nghiệm kép x 1 thì ta chọn gín) nhí(n) trong ñó hín) là ña thức cùng bậc với f(n)

( trong ñó f(n) là ña thức theo n bậc k và bỲ 4ac 0) ta làm như sau:

Xét gín) là một ña thức bậc k: gí(n) a,n* w ak “a -

Nếu phương trình : x ax b 0 () có hai nghiệm phân biệt, ta phân tích

fn) gm) agín 1) bgíná 2) rồi ñặt v„ „ưu,“ gín)

Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt trong ñó một nghiệm x 1, ta phân tích

fn) ngín) aín lgn 1 ba 2jgn 2) rồi ñặt vạ suy ng(n)

Nếu (1) có nghiệm képx 1,taphântích =

ff) ng) am 1) gm YM) ba 2Ýgni 2)#ồiñặty, u n° gin)

Vì phương trình x? 3x'.2 0cóhai nghiệm x 1;x 2 nên ta phân tích

2a 1 n&n Ù; 3n Iykn YA 2M 2) kí 2) lỊ chọn Ún Ita

Uo 1u, 3

Ví dụ 1.14: Tìm CTTQ của dãy số (u„ ): enaley Oty du, , 30; 5.2" n 2

Giải: Ta phân tích2" a2" 4a2" | 342" 2,

Chon 2tacó:4 4a 8a 3a a 4

Oat Vv n us n 5.4.2" >v 0 19v 1 43vàv n 4v nl 3v n 2 0

Vì phương trìnhx? 4x 3 0cóhainghiệmx 1x 3 nên x e a

19 Voi, 34 125 7y, 123° &

>%Y, px; ax; (x, 5X, 1a hai nghiém cua (8))

>u, pep Dax, ok ”

Vay néu x là một nghiệm của (8),tứclà: 7 a b O thitasé xirlf thé nao?

Nhìn lại cách giải ở dạng 3, ta phân tích :

Lehi M6t sé phuong Rháp xác ñiình công thức tổng quát của day sé

«1á ‹

Cuối cùng ta xét trường hợp x 5 là nghiệm kép của (8) Với tư tưởng như trên,

ta sẽ phân tích: " kn” " akm ĐU "! bkm 2Ÿ "7 (10)

uy, px, sax; kc "vớik $`

Nếu phương trình (11) có ñghiệm ñơn x thì

u ENO PX sax, x; @x,Wếkcn @*Với@ề* ‘ \ Ta

Một số phương pháp xác ñình công thức tông quát của đấy số

Néu (12) c6-ba nghiém phan biét x},x,,X,°>> u, x} x

Up, Uy, ta tim ñược , , :

Nếu (12) có mộ£nghiệm ñơn, 1 nghiệm kép:

n n

xX; X

Dựa vào Up, Uy,u, ta tìm ñược ,,

Nếu (12) có nghiệm bội 3x, x

Dựa vào u u ,u._ ta tìm ñược

Giải : Xét phương trình fidc trung: x? 7x?Ợ 1x 5 0

Tacó:u 2u ¡ u,, 2v,; edu) tu, ; 2, h 2u, @)

=u, 4u,, 3u, ,vau, 5

Dang 9: Cho day (x, ), (yy): đê xác ựịnh CTTQ của hai dãy

(x, ),(y, ) ta lam nhw sau:

Ta biến ựồi fluge: x, (pi.s)x, , (ps df)x, ; 0 từựây taxác ự¡nh ựược XnỈ thay vào hệ ựã cho ta có ựược y,

Chú ý : Ta có thể tìm CTTQ của dãy số trên theo cách sau:

Một số phương pháp xác ñình công thức tông quát của đấy số

Giải: Bài toán này không còn ñơn giải như bài toán trên vì ở trên tử số còn hệ số tự do,

do ñó ta tìm cách làm mât hệ-số tự do ở trên tử sô Muôn vậy ta ñưa vào dãy phụ bắng cách ñặt u, < x, - t Thay vào công thức truy hồi, ta có:

-10 `

s10:

Một số phương pháp xác ñình công thức tông quát của đấy số

Bo day" 1 Qe vay" 1 Theo kêt quả bài toán trên, ta có:

Một số phương pháp xác ñình công thức tông quát của đấy số

, fu, uy av th vau, Am vau, lu

>{ 89% 9y 88 4 |y + Ta chứng minh:u, 10u,, u,, n 3

Từ công thức truy hồi của dãy ta có: (u„ 5u, a 24u2 ¡ 8

u? 10u,u, i ue ¡ 8 0 (15) thaạyn bởn 1, ta fiuge:

uy, l0u, „uy, uy, 8 0 (16)

Áp dụng ñịnh lí Viti, tacé:u, u„ 10u,

s3:

Một số phương pháp xác ñình công thức tông quát của đấy số

Dạng 12:

1) Day Bly 5a, , jor, 8 n “` dãy nguyên a 24

Thậtvậy:u, 5 va 8 5 tŒ va 8 N)Su, 5 ye? gt 5) 8

=u Z TŒ © 8Œ 5” 8 m” (m D `

Mà(? st 4” fŒ) @? St 14) kết hợp với fŒ) là Số ehãn ta suy ra

m t? 5t x voix 681012 Thử trực tiếptatHấyt:' 4=>a 24

Ix y z 3 [x 4

uy 41tacó hệ phương trình: 33x y z I1 y I>u, 40,7 Yo

llx 3y z 41 z 0 uy uy Í

Một số phương pháp xác ñình công thức tông quát của đấy số

I SỬ DỤNG PHÉP THÉ LƯỢNG GIÁC ðÊ XÁC ðJNH CTTQ CỦA DÃY SỐ Nhiều dãy số có công thức truy hồi phức tạp trở thành ñơn giản nhờ phép thế lượng giác

Khi trong bài toán xuât hiện những yêu tô gợi cho ta nhớ ñên những công thức lượng giác thì ta có thể thử với phương pháp thế lượng giác Ta xét các ví dụ sau

Từ công thức truy hồi của dãy, ta liên tưởng ñiến công thức nhân fii cua hàm số côsin

Ta có: u¡ ; 608 uy 2co?— 1 cost

>u, 2cos? 1 cosS— — cof

n1