khóa luận tốt nghiệp về các phép toán – tập lân cận mở trong không gian tôpô

Lí do chọn đề tài Trong những năm gần đây nhu cầu học hỏi của sinh viên khoa Toán, các thầy cô giáo dạy Toán và nhiều người khác quan tâm đến Toán học ngày càng gia tăng.. Để tìm hiểu s

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong những năm gần đây nhu cầu học hỏi của sinh viên khoa Toán, các thầy cô giáo dạy Toán và nhiều người khác quan tâm đến Toán học ngày càng gia tăng

Không gian tôpô là những cấu trúc cho phép người ta hình thức hóa các khái niệm như sự hội tụ, tính liên thông và tính liên tục Chúng xuất hiện hầu như trong tất cả mọi ngành của toán học hiện đại và là một khái niệm thống nhất

có tính trọng tâm

Trong không gian tôpô, các tập  - mở, p  - đóng, p  - bao đóng, lân cận p  - p

mở, lân cận  - đóng, không gian p  - chính quy, lân cận p  - đóng suy rộng, lân cận p

p

 - Ti không gian… mới chỉ biết đến qua một số giáo trình, bài báo, tạp chí khoa học

Để tìm hiểu sâu hơn về các tính chất và phép toán trên, tôi xin chọn đề tài:

“Về các phép toán – tập lân cận mở trong không gian tôpô” để nghiên cứu

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu chính của đề tài là lân cận  - mở, phép toán bao pđóng, lân cận  - đóng suy rộng, lân cận p  - Tp i không gian…

4 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các tính chất và phép toán trong không gian tôpô

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trong đề tài này, tôi tập trung tìm hiểu các định nghĩa, làm rõ các định lí, tính chất liên quan đến lân cận  - mở, phép toán bao đóng, lân cận p  - đóng psuy rộng, lân cận  - Tp i không gian…

6 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu

Tương tự hóa các ý tưởng và kĩ thuật của một số bài báo đã nghiên cứu trước đó như [2], [3], [4] Từ đó phân tích, tổng hợp, trao đổi thông tin với giáo viên hướng dẫn trong lĩnh vực nghiên cứu…

7 Đóng góp mới của đề tài

Đề tài cập nhật các kết quả liên quan trong thời gian gần đây để những người quan tâm có thể tham khảo, cho một vài kết quả mới

Đề tài có khả năng áp dụng trong lý thuyết độ đo, tích phân, xác suất

Đề tài còn là tài liệu cho sinh viên, học viên cao học, giảng viên trong dạy học và nghiên cứu giải tích toán học hiện đại

8 Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo thì nội dung chính của

đề tài được trình bày trong 2 chương

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Trong chương này, chúng tôi trình bày những kiến thức cơ sở liên quan đến đề tài gồm các tính chất cơ bản và một số loại tập suy rộng trong không gian tôpô

Chương 2: Về các phép toán – tập lân cận mở trong không gian tôpô

Trong chương này, chúng tôi tìm hiểu về các tính chất, các phép toán – tập lân cận mở trong không gian tôpô

NỘI DUNG Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chương kiến thức cơ sở được tổng hợp từ các tài liệu tham khảo [1], [2] Trong mục này, chúng tôi chỉ giới thiệu một số định nghĩa, tính chất, tập suy rộng trong không gian tôpô liên quan đến nội dung chính của đề tài

1.1 Không gian tôpô

Khi đó,  được gọi là một tôpô trên X

Các phần tử thuộc  được gọi là một tập mở của X đối với tôpô  hoặc là

 - mở

Cặp (X,  ) được gọi là một không gian tôpô

Định nghĩa 1.1.2

Cho (X,  ) là không gian tôpô, AX

Tập U được gọi là một lân cận của A nếu U chứa một tập mở chứa A Tập AX được gọi là tập đóng nếu X\A  ( tức X\A – mở)

Định nghĩa 1.1.3

Cho (X,  ) là không gian tôpô, AX

+) xX được gọi là điểm trong của A nếu U là lân cận của X sao cho

Định nghĩa 1.1.4

+) Không gian tôpô (X,  ) được gọi là T0 – không gian nếu x, y X,

xy tồn tại lân cận Ux của x sao cho yUx hoặc tồn tại lân cận Uy của y sao cho xUy

+) Không gian tôpô (X,  ) được gọi là T1 – không gian nếux, yX,

xy tồn tại lân cận Ux của x sao cho yUx và tồn tại lân cận Uy của y sao cho xUy

+) Không gian tôpô (X, ) được gọi là T2 – không gian( không gian Hausdorff) nếu x, y X, x đều tồn tại lân cận Uy x , Uy của y sao cho:

U U  

T2 – không gian là T1 – không gian, điều ngược lại không đúng

1.2 Một số loại tập suy rộng trong không gian tôpô

( X,  ) – Không gian tôpô Giả sử A là tập con bất kì của không gian tôpô ( X,  ), AX

Khi đó, Cl(A) – bao đóng của A, Int(A) – phần trong của A

Cho   : P(X) xác định phép toán trên 

Tập con A của không gian tôpô X được gọi là tập  - mở nếu với mỗi

xA, tồn tại tập mở U chứa x sao cho U A

Tập hợp tất cả các tập  - mở trong không gian tôpô ( X,  ) được kí hiệu

là  

Cho p: PO(X, ) P(X) là phép toán đi từ PO(X,  ) lên P(X)

PO(X, ) là tập hợp tất cả các lân cận mở trong ( X,  )

Tập con A của không gian tôpô ( X,  ) được gọi là lân cận mở nếu

AInt(Cl(A))

Phần bù của lân cận mở được gọi là lân cận đóng

Giao của tất cả lân cận đóng của ( X,  ) chứa A được gọi là lân cận bao đóng của A Kí hiệu: pCl(A)

Hợp của tất cả lân cận mở chứa A được gọi là lân cận trong của A Kí hiệu: pInt(A)

Tập hợp A được gọi là tập p| - mở của ( X,  ) nếu x A, tồn tại tập

mở U chứa x sao cho p |

U  A Tập hợp A được gọi là tập p| - đóng trên ( X,  ) nếu X\A là tập p| -

Cho phép toán p: PO(X, ) P(X), AX

i) Điểm xX gọi là nằm trong  - bao đóng của tập A nếu p p

U A  với mọi tập con mở của U chứa x

U A Vậy A là tập p| - mở

U A Vậy A là tập  - mở pVậy: A là tập  - mở trong ( X,  ) khi và chỉ khi A là tập p p| - mở

Theo (i), A là tập  - mở trong ( X,  ) khi và chỉ khi A là tập p p| - mở Vậy: Hợp tùy ý các tập  - mở là tập p  - mở p

Chương 2 CÁC PHÉP TOÁN – TẬP LÂN CẬN MỞ TRONG

KHÔNG GIAN TÔPÔ

Tập hợp tất cả các lân cận  - mở trong (X,  ) được kí hiệu là: p

pPO(X, ) 

Phép toán này được gọi là phép toán đồng nhất thức trên PO(X, )

Tập con A là “id” – mở của (X,  ) khi và chỉ khi A – mở trong (X,  )

(ii-1) Ta mô tả lân cận “ Cl” – mở , trong đó:

“Cl”: PO(X, ) P(X) là phép toán định nghĩa bởi V “Cl” = Cl(V) với

VPO(X, )

Tập con A là lân cận “ Cl” – mở trong (X,  )

 Với mọi xA, tồn tại tập con U PO(X, ) sao cho xU và U"Cl"A

 Với mọi xX\A, tồn tại tập con V PO(X, ) sao cho xV và

Gọi A là lân cận “Cl” – mở trong (X,  )

Với mọi xA, tồn tại tập con U PO(X, ) sao cho xUCl(U)A Đặt O = Int(Cl(U))

Suy ra, xUO  và Cl(U)Cl(Int(Cl(U)))Cl(O)Cl(U)

Do đó, với mỗi xA, tồn tại O  sao cho xOCl(O)A

pCl B   V)B  với mọi lân cận mở V chứa y} ,

Tập con B được gọi là lân cận  - đóng trong (X,  ) nếu B = pCl (B) Tập con A được gọi là lân cận  - mở trong (X,  ) nếu X\A = pCl (X\A)

Rõ ràng, A ApCl (A), (A X)

Chứng minh (*)

Tập con A là lân cận “ pCl” – mở trong (X,  )

 Với mọi xA, tồn tại tập con U PO(X, ) sao cho xU và U"p Cl"A

Trong không gian tôpô (X,  ):

PO(X,  ) = {  , {a}, {b}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, X}

Cl({a}) = X, pCl({a}) = {a}

 pCl({a})  Cl({a})

(iii) Phép toán “ Int o Cl”: PO(X, ) P(X) được định nghĩa là: V “Int o Cl” = Int(Cl(V)) với VPO(X, )

Phép toán này được gọi là phần trong – bao đóng trên PO(X, )

Trong phép toán này ta cần chú ý rằng:

(**) Tập con A là lân cận “ Int o Cl” – mở trong (X,  ) khi và chỉ khi A là

“ Int o Cl” – mở trong (X,  ) hay A là  - mở trong (X,  )

Chứng minh (**):

Giả sử tập con A là lân cận “ Int o Cl” – mở trong (X,  )

Với mọi xA, tồn tại tập con U PO(X, ) sao cho xU và Int(Cl(U))  A

Vì vậy, A là “ Int o Cl” – mở trong (X,  ) khi và chỉ khi A là  - mở trong (X,  )

     với PO(X, ) "IntoCl" là một tôpô của X

(iv) Trong nhiều ví dụ, phép toán từ PO(X,  ) đến P(X) định nghĩa như sau: Phép toán: “ Cl”, “Cl”, “pCl”, “ Cl”, “sCl”, “ -Cl”:

Cl  (B) của B được định nghĩa là:

  {y X | Int(Cl(U)

Cl B   )B  với mọi tập mở U chứa y} ,

(Cl B {yX | Cl(U)B  với mọi tập mở U chứa y}) ,

Trong tập con B của (X,  ),  - bao đóng

 Cl(B) của tập B là giao của tất cả tập  - đóng chứa B

Khi đó: “Cl”|  = “pCl”|  = “  Cl”|  :  P(X)

(vi)

Giả sử X = { a, b, c} và  = { , {a}, {a, b}, X}

Khi đó, PO(X,  ) = { , {a}, {a, b}, {a, c}, X}

Ta định nghĩa phép toán p: PO(X, ) P(X) sao cho:

Định lí 2.1.3

Cho p: PO(X, ) P(X) là phép toán trên PO(X,  )

(i) Mỗi lân cận  - mở của (X,  ) là một lân cận mở trong (X,  ), nghĩa plà:

pPO(X, )  PO(X, )

(ii) Mỗi tập  - mở của (X,  ) là một lân cận p  - mở trong (X,  ), nghĩa plà:

Suy ra, tồn tại lân cận mở U sao cho: p

U(x) AKhi đó:

(ii) Giả sử A là tập  - mở trong (X,  ) và xp A

Suy ra, tồn tại tập mở U sao cho: p

Theo giả thiết, Ai là lân cận  - mở trong (X,  ) thì tồn tại lân cận mở U p

U A  A | iJVậy, A | ii J là lân cận  - mở trong (X,  ) p

Nhận xét 2.1.4

(i) Cho X = { a, b, c, d} và  = { , {a},{b}, {a, b}}

Khi đó, PO(X,  ) = { , {a}, {b}, {a, b}, {a, b, c}, {a, b, d}}

Phép toán p: PO(X, ) P(X) cho bởi công thức:

{ a, b, d} là lân cận  - mở nhưng không là p  - mở p

(ii) Giao của hai lân cận  - mở chưa hẳn là lân cận p  - mở p

Cho X = { a, b, c} và  = { , {a},{a, b}, X}

Khi đó, PO(X,  ) = { , {a}, {a, b}, {a, c}, X}

Định nghĩa phép toán p: PO(X, ) P(X):

Cho không gian tôpô (X,  )và phép toán p: PO(X, ) P(X)

(X,  ) được gọi là không gian lân cận  - chính quy nếu với mỗi xp X

và với mỗi lân cận mở V của x, tồn tại lân cận mở U của x sao cho p

(2) (X,  ) là không gian lân cận  - chính quy p

(3) Với mỗi xX và với mỗi lân cận mở U của x, tồn tại lân cận mở  - p

mở W của (X,  ) sao cho x  W và WU

(ii) (X,  ) là không gian  - chính quy khi và chỉ khi (X,  ) là không pgian  |  - chính quy p

(iii) Các tính chất sau tương đương:

(1)

p



  

(2) (X,  ) là không gian  - chính quy p

(3) Với mỗi xX và với mỗi tập mở U của (X,  ) chứa x, tồn tại tập  - p

mở W của (X,  ) sao cho x  W và WU

Chứng minh:

(i) (1)  (2):

Giả sử xX và V là lân cận mở chứa x

Theo định lí 2.1.3 và giả thiết:

pPO(X, ) PO(X, ) 

 V là lân cận  - mở p

 Tồn tại lân cận mở U chứa x: p

U VVậy, (X,  ) là không gian lân cận  - chính quy p

(2)  (3):

Lấy x  X bất kì và U là lân cận mở chứa x

Khi đó, theo (2), tồn tại lân cận mở W chứa x sao cho: p

Từ (3) và định lí 2.1.3(iii), mỗi lân cận mở của (X,  ) là lân cận  - mở p

pPO(X, ) PO(X, )

Từ (1) và (2) suy ra:

pPO(X, )  PO(X, ) (ii) Theo chú ý 1.2.2: p p |

U U , U   Suy ra, (X,  ) là không gian  - chính quy khi và chỉ khi (X,  ) là không pgian  |  - chính quy p

Ta có (X,  ) là không gian  |  - chính quy p

Từ (ii) suy ra: (X,  ) là không gian  - chính quy p

Từ mệnh đề 1.2.6, mỗi tập  - mở là một tập mở p

p



    (1)

Ngược lại, giả sử U là tập mở ( U   )

Khi đó, với mỗi xU, từ (iii), tồn tại tập  - mở p

pW(x)  sao cho W(x) U

Phép toán p: PO(X, ) P(X) được gọi là lân cận chính quy nếu với mỗi

xX và mỗi cặp lân cận mở U, V của xX, tồn tại lân cận mở W chứa x sao

(iv) Nếu p: PO(X, ) P(X) là phép toán lân cận chính quy thì

p

PO(X, )  là một tôpô của X

Chứng minh:

(i) Cho xAB A và B là lân cận  - mở trong (X, p  )

 Tồn tại lân cận mở U, V sao cho xU, xV và p p

U A, V B p

 là phép toán lân cận chính quy nên tồn tại lân cận mở W chứa x sao cho

p p p

W U V AB

Suy ra, AB là lân cận  - mở trong (X,  ) p

(ii) Theo chú ý 1.2.2: p p |

U U , U   Suy ra,  là chính quy khi và chỉ khi p  |  là chính quy p

(iii) Cho xAB A và B là tập  - mở trong (X,  ) p

 Tồn tại tập mở U, V sao cho xU, xV và p p

U A, V B p

 là phép toán chính quy nên tồn tại tập mở W chứa x sao cho

+)

p, X PO(X, )

A | ii JPO(X, ) p A | ii JPO(X, ) p

Vậy,

pPO(X, )  là một tôpô của X

Định nghĩa 2.1.9

Cho p: PO(X, ) P(X) và AX

(i) Tập con A được gọi là  - đóng trong (X,  ) nếu X\A là p  - mở p

(ii) Tập con A được gọi là lân cận  - đóng trong (X,  ) nếu X\A là lân pcận  - mở p

Định nghĩa 2.1.10

Cho p: PO(X, ) P(X) và AX

Điểm xX gọi là lân cận  - bao đóng của tập A nếu p p

U A  với mọi lân cận mở U chứa x

Lân cận  - bao đóng của tập A được kí hiệu là p

ppCl (A) p

p

pCl (A) {x  X | U A  với mọi lân cận mở U chứa x}

Giả sử x Khi đó tồn tại lân cận E  - mở V chứa x sao cho Vp A  Suy ra, X\V là lân cận  - đóng và Ap X \ V

Mặt khác, theo định nghĩa 2.1.9:

pPO(X) Cl(A)  {F| F là lân cận  - đóng: A  F} p

pPO(X) Cl(A) X\ V

ppCl (B)(i) Tập

ppCl (A) là lân cận đóng của (X,  ) và

p

ApCl (A) (ii)

ppCl ( )    và

ppCl (A) A(iii) A là lân cận  - đóng ( X\A là lân cận p  -mở) trong (X,  ) khi và chỉ pkhi

p p

pCl (A) {x  X | U A  với mọi lân cận mở U chứa x}

(i) Giả sử

p

xX \ pCl (A) Theo định nghĩa, tồn tại lân cận mở U(x) chứa x sao cho p

U(x) A  Đặt VU(x) | xX \ pCl (A)p 

Khi đó, ta cần chứng minh

p

VX \ pCl (A) Thật vậy, y V, tồn tại tập con U(x)PO(X, ) sao cho

ppCl (A) là lân cận đóng trong (X,  ) vì VPO(X, ) Theo định nghĩa 2.1.10, ta có:

p

ApCl (A)(ii) Theo định nghĩa 2.1.10:

p p

pCl ( )  {xX | U     với mọi lân cận mở U chứa x}

ppCl ( )

p p

pCl (X) {xX | U XX với mọi lân cận mở U chứa x}

ppCl (X) X

(iii) Điều kiện cần:

Giả sử X\A là lân cận  -mở trong (X,  ) p

U X \ A nghĩa là p

Từ (1) và (2) suy ra:

p

ApCl (A)Điều kiện đủ:

U A  nghĩa là p

U X \ ASuy ra, X\A là lân cận  -mở trong (X,  ) hay A là lân cận p  - đóng p

(iv) Theo định nghĩa 2.1.10:

p p

pCl (A) {x  X | U A  với mọi lân cận mở U chứa x}

p p

pCl (B) {xX | U B  với mọi lân cận mở U chứa x}

ppCl (B) {x  X | U B  với mọi lân cận mở U chứa x}

(U A)(U B)U (AB)  Suy ra,

pCl (A) pCl (B) pCl (A B)(vi) Giả sử

Phép toán  là lân cận chính quy nên theo định nghĩa 2.1.7, tồn tại lân cận p

mở W chứa x sao cho p p p

W U V Khi đó, ta có:

p p

pCl (B) {xX | U B  với mọi lân cận mở U chứa x}

(U A)(U B)U (AB)  Suy ra,

pCl (A) pCl (B) pCl (A B)

pPO(X) Cl(A) là lân cận  - đóng của (X,  ) và p

p

APO(X) Cl(A)

(ii)

pPO(X) Cl( )   và

pPO(X) Cl(X)X(iii) Tập con A là lân cận  - đóng ( X\A là lân cận p  -mở) trong (X,  ) pkhi và chỉ khi

pPO(X) Cl(A)A(iv) Nếu AB thì

PO(X) Cl(A)PO(X) Cl(B)

(v) PO(X)p Cl(A)  PO(X)p Cl(B)PO(X)p Cl(AB)

(vi) Nếu p: PO(X, ) P(X) là lân cận chính quy thì

PO(X)p Cl(A)  PO(X)p Cl(B)PO(X)p Cl(AB)

(vii) PO(X)p Cl(AB)PO(X)p Cl(A)  PO(X)p Cl(B) (viii)

p

Cl (A) là tập đóng trong (X,  ) và

p

ACl (A) (ii)

p

Cl ( )    và

p

Cl (A) A(iii) Tập con A là  - đóng ( X\A là tập p  -mở) trong (X,  ) khi và chỉ khi p

p

Cl (A) là  - đóng trong (X,  ) (p

p

Cl (A) A) (iv) Nếu AB thì

Cl (A) Cl (B) (v)

Cho p: PO(X, ) P(X) là phép toán trên PO(X, ) và A là tập con bất

kì trong không gian tôpô (X,  ) thì:

Cho p: PO(X, ) P(X) là phép toán trên PO(X, ) và A là tập con bất

kì trong không gian tôpô (X,  )

(i) Các mệnh đề sau đây là tương đương:

(1) Tập con A là lân cận  - mở trong (X,  ) p

(2)

ppCl (X\ A) X\ A

(3)

pPO(X) Cl(X\ A)X\ A