khóa luận tốt nghiệp vận dụng tư tưởng sư phạm của g.polya vào dạy học giải bài tập phương trình và hệ phương trình cho học sinh trung học phổ thông

Đối tượng nghiên cứu Khai thác tư tưởng sư phạm của G.Polya trong mối liên hệ với cácphương pháp dạy học tích cực để làm sáng tỏ một số phương thức sư phạmtích cực hóa hoạt động nhận thứ

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Những kết quả vàcác số liệu trong khóa luận chưa được ai công bố dưới bất cứ hình thức nào.Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trước nhà trường v ề sự cam đoan này

Hà Tĩnh, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Phạm Đình Vương

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 6

2 Mục đích nghiên cứu 8

3 Đối tượng nghiên cứu 8

4 Giả thuyết khoa học 8

5 Nhiệm vụ nghiên cứu 8

6 Phạm vi nghiên cứu 9

7 Phương pháp nghiên cứu 9

8 Đóng góp mới của khóa luận 9

9 Cấu trúc của khóa luận 9

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Một số định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường THPT hiện nay 5

1.2 Bài tập toán và chức năng của bài tập toán 10

1.3 Dạy học sinh phương pháp giải bài tập toán 13

1.4 Tư tưởng sư phạm của G.Polya trong dạy học giải bài tập toán 20

1.5 Nhìn nhận về tư tưởng sư phạm của G.Polya theo quan điểm hoạt động 31

1.6 Kỹ năng giải bài tập toán 36

1.7 Đặc điểm dạy học giải bài tập phương trình, hệ phương trình và định hướng khai thác tư tưởng sư phạm của G.Polya vào dạy học giải toán 39

1.8 Kết luận chương 1 42

Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG THỨC SƯ PHẠM GÓP PHẦN NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ H Ệ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH THPT 44

2.1 Phân tích nội dung chủ đề bài tập phương trình và hệ phương trình trong chương trình môn Toán ở trường THPT 44

2.2 Một số căn cứ đề xuất các phương thức sư phạm trong dạy học giải bài tập phương trình và hệ phương trình theo định hướng của G.Polya 46

2.3 Một số phương thức sư phạm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học giải bài tập phương trình và hệ phương trình trên cơ sở vận dụng tư tưởng sư phạm của

G.Polya 47

2.4 Kết luận chương 2 71

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 72

3.1 Mục đích thực nghiệm 72

3.2 Tổ chức và nội dung thực n ghiệm 72

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 76

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm 78

KẾT LUẬN 79

TÀI LIỆU THAM KHẢO 80

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong các môn học ở nhà trường phổ thông, môn Toán có một vị t rí rấtquan trọng vì Toán học là công cụ của nhiều môn học khác Môn Toán có khảnăng to lớn giúp học sinh phát triển năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyệncho học sinh óc tư duy trừu tượng, tư duy chính xác và tư duy lôgic Qua đó

có tác dụng to lớn trong việc rèn luyện cho học sinh tính tư duy sáng tạo.Trong những năm gần đây, đổi mới giáo dục là một đề tài được cả xã hộiquan tâm và theo dõi sự chuyển biến của nó Đảng và nhà nước đã đề ra nhiềuchủ trương và chính sách nhằm phát triển giáo dục với m ục tiêu là đào tạo conngười Việt Nam phát triển toàn diện, có tri thức, phẩm chất tốt, đáp ứng yêucầu của sự nghiệp xây dựng và bảo vệ tổ quốc trong thời kì mới

Luật giáo dục nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005

đã quy định: “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác,chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng cho người học nănglực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”(Chương I, điều 4)

Nghị quyết hội nghị Ban chấp hành Trung ương Đảng cộng sản ViệtNam khóa VII đã chỉ rõ nhiệm vụ quan trọng của ngành Giáo dục và đào tạolà: “Phải khuyến khích học sinh tự học, phải áp dụng những phương pháp dạyhọc hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh những năng lực tư duy sáng tạo, nănglực giải quyết vấn đề”

Những quy định trên phản ánh nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục

để giải quyết mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người mới với thực trạnglạc hậu nói chung của phương pháp giáo dục ở nước ta hiện nay Mâu thuẫnnày đã làm nảy sinh và thúc đẩy một cuộc vận động đổi mới PPDH là:

“PPDH cần hướng vào việc tổ chức cho người học học tập trong hoạt động vàbằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo Định hướng này có

thể gọi tắt là học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, hay ngắn gọn hơn làhoạt động hóa người học” [12].

Như chúng ta đã biết , việc học tập môn Toán được diễn ra trong nhàtrường phổ thông chủ yếu là hoạt động giải t oán Thông qua hoạt động nàyhọc sinh có cơ hội được bộc lộ và phát triển kỹ năng sáng tạo trong quá trìnhđem những tri thức đã được trang bị và o giải các bài toán cũng như giải quyếtcác vấn đề trong thực tiễn liên quan tới Toán học Từ đó đặt ra nhiệm vụ chongười GV là phải rèn kỹ năng giải toán cho học sinh, nếu học sinh không có

kỹ năng giải toán thì bản thân họ sẽ không có năng lực thực hành

Tuy nhiên, số lượng bài tập t oán ở trường phổ thông rất đa dạng vàphong phú, đặc biệt là các bài toán về phương trình và hệ phương trình -một chủ đề xuyên suốt trong quá trình giảng dạy và học tập bộ môn Toán ởnhà trường phổ thông Nó có mặt hầu hết trong các phân môn Toán: Từgiải tích đến đại số, từ hình học đến lượng giác, số học, Nói chung nó có

vị trí cực kì quan trọng và không thể thiếu trong các giáo trình về giảng dạyToán học hiện nay

Trong khi giải các bài tậ p về chủ đề này, học sinh không chỉ gặp nhữngbài toán đơn giản, đã có thuật giải cụ thể mà còn có những bài toán chưa cóthuật giải Đối với những bài t oán này, giáo viên phải định hướng như thếnào? Học sinh phải thực hiện những hoạt động gì để hiểu rõ b ài toán? Cáchhuy động kiến thức liên quan, lựa chọn phương pháp giải phù hợp, ngắn gọn

và rõ ràng là hết sức quan trọng và chứa đựng khá nhiều khó khăn Một vấn

đề đặt ra là: Làm thế nào để hiểu sâu sắc, tìm được mối liên hệ giữa bài toán

đã cho và các kiến thức, kỹ năng đã học để tìm ra phương p háp giải quyết vấn

đề đúng đắn Nghiên cứu kỹ tư tưởng của nhà sư phạm G.Polya sẽ giúp chúng

ta giải quyết cơ bản những vấn đề được nêu ở trên

Xuất phát từ những lý do nêu trên tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Vận

dụng tư tưởng sư phạm của G Polya vào dạy học giải bài tập phương trình

và hệ phương trình cho học sinh trung học phổ thông”.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu quan điểm sư phạm của G.Polya trong dạy học giải bài tậptoán và đề xuất hướng vận dụng quan điểm đó vào dạy học nội dung bài tậpphương trình và hệ phương trình , góp phần đổi mới phương pháp dạy học vànâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường THPT

3 Đối tượng nghiên cứu

Khai thác tư tưởng sư phạm của G.Polya trong mối liên hệ với cácphương pháp dạy học tích cực để làm sáng tỏ một số phương thức sư phạmtích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh trong dạy học giải bài tậpphương trình và hệ phương trình cho học sinh THPT

4 Giả thuyết khoa học

Nếu vận dụng hợp lí những tư tưởng sư phạm của G.Polya vào việc dạyhọc giải bài tập phương trình và hệ phương trình thì học sinh sẽ học tập mộtcách chủ động, tích cực, sáng tạo hơn, qua đó phát triển trí tuệ và nâng caochất lượng dạy học ở trường phổ thông

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Phân tích làm sáng tỏ tư tưởng sư phạm của G.Polya trong dạy họcgiải bài tập p hương trình và hệ phương trì nh cho học sinh THPT

- Đề xuất các phương thức sư phạm nhằm tí ch cực hóa hoạt động nhậnthức trong dạy học giải bài tập phương trình và hệ phương trình theo địnhhướng tư tưởng sư phạm của G.Polya

- Thực nghiệm sư phạm đ ể kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của

đề tài

7 Phương pháp nghiên cứu

Trong khóa luận này tôi đã sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Điều tra, khảo sát thực tế

- Thực nghiệm sư phạm

- Phương pháp thống kê Toán học

8 Đóng góp mới của khóa luận

Đề xuất được một số phương thức sư phạm góp phần nâng cao chấtlượng dạy học giải bài tập phương trình và hệ phương trình cho học sinhTHPT trong mối liên hệ với tư tưởng sư phạm của G.Polya

9 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận baogồm các chương sau:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Một số phương thức sư phạm góp phần nâng cao chất lượng

dạy học giải bài tập phương trình và hệ phương trình cho học sinh THPT

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Chương 1.CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN1.1 Một số định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn T oán ở trường THPT hiện nay

Trong luật giáo dục Việt Nam năm 2005 đã quy định: “Phương pháp giáodục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của họcsinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, cần phải bồi dưỡngphương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn , cầnphải đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” (Chương I, điều 24)

Nghị quyết trung ương 2 (khoá 8) đã chỉ rõ: “Đổi mới mạnh mẽphương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyệnthành nếp tư duy sáng tạo của người học”

Như vậy, có thể nói phương hướng đổi mới PPDH nói chung và PPDHmôn Toán nói riêng là phải làm cho HS học tập một cách hứng thú, tích cực,chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động, làm thế nào đó để trong mỗitiết học HS được suy nghĩ nhiều hơn, thảo luận để trình bày sự hiểu biết củabản thân, có như thế mới tạo được niềm tin vững chắc cho HS

Tuy nhiên, trong tình hình hiện nay, phương pháp dạy học ở nước tacòn có những nhược điểm phổ biến:

- Thầy thuyết trình tràn lan

- Tri thức được truyền thụ dưới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi phát hiện

- Thầy áp đặt, trò thụ động

- Thiên về dạy, thiếu hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo củangười học

- Không kiểm soát được việc học

Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người xây dựng xã hội côngnghiệp hóa, hiện đại hóa với thực trạng lạc hậu của PPDH đòi hỏi phải cónhững sự đổi mới mạnh mẽ Đã có nhiều định hướng đổi mới được phát biểu

dưới nhiều hình thức khác nhau, như “Phát huy tính tích cực”, “Phương phápdạy học tích cực”, “Tích cực hóa hoạt động học tập”, “Hoạt động hóa ngườihọc”, Những ý tưởng này đều bao hàm nhữ ng yếu tố tích cực, có tác dụngthúc đẩy đổi mới PPDH nhằm nâng cao hiệu quả giáo dục và đào tạo.

Để việc đổi mới PPDH thực sự có hiệu quả thì cần phải có một sự đổimới toàn diện trên tất cả các mặt:

a Đổi mới về chương trình, nội dung sách giáo khoa

Hiện nay, nội dung và chương trình SGK còn có nhiều hạn chế như:lượng kiến thức quá nhiều, chưa phù hợp với mọi đối tượng học sinh, nặng về

lý thuyết và xem nhẹ yếu tố thực hành, Do đó, cần phải đổi mới nội dung,chương trình SGK sao cho phù hợp với định hướng đổi mới về phương phápdạy học trong giai đoạn hiện nay Việc đổi mới chương trìn h, SGK phải dựatrên những tiêu chí sau:

- Tăng cường các hoạt động của chính bản thân học sinh

- Chú trọng tiến trình xây dựng kiến thức phát huy tính tích cực củahọc sinh

- Giảm nhẹ lý thuyết, tăng cường thực hành Coi trọng vai trò của ghinhận trực giác Coi trọng rèn luyện khả năng quan sát, dự đoán

- Có tính đến quan điểm liên môn, coi trọng tính thực tiễn

- Tạo thuận lợi cho việc sử dụng các thiết bị dạy học và ứng dụng côngnghệ thông tin

Theo nhà tâm lý học Xô Viết Vưgôtxki thì nội dung dạy h ọc cần phải

ở mức độ phù hợp với trình độ của học sinh, phải tác động vào “Vùng pháttriển gần nhất” Một nội dung quá khó sẽ không gây được hứng thú học tậpcho học sinh

b Đổi mới cách dạy của giáo viên

Đối với học sinh phổ thông, nếu không có vai trò của người thầy thìngười học không thể đảm nhiệm vị trí chủ thể, không thể hoạt động tự giác,tích cực, chủ động và sáng tạo trong quá trình học tập Trong định hướng đổimới phương pháp dạy học đã xác định vai trò mới của người thầy với tư cách

là người “Thiết kế, ủy thác, điều khiển và thế chế hóa” Từ đó có thể thấyngười thầy có vai trò không nhỏ trong quá trình dạy học Để thực hiện vai tròmới của mình và đảm bảo yếu tố tính tích cực, chủ động, sáng tạo cho ngườihọc thì người thầy cần đạt được những yêu cầu sau:

* Cần tạo niềm vui và hứng thú trong học tập cho HS

Nhà toán học G.Polya đã khẳng định sự cần thiết của hoạt động của

người thầy rằng: “Nếu người thầy khêu gợi được tính tò mò của học sinh bằng

cách đưa ra cho học sinh những bài tập hợp trình độ, giúp họ giải các bài toánbằng cách đặt ra câu hỏi gợi ý, thì người thầy có thể mang lại cho họ các hứngthú của sự suy nghĩ độc lập và những phương tiện để đạt được kết quả” [2; 4]

* Cần dạy học thông qua tổ chức các hoạt động học tập

Khi nói về mối quan hệ giữa nội dung dạy học và hoạt động, tác giả

Nguyễn Bá Kim cho rằng: “Mỗi một nội dung dạy học đều liên hệ mật thiết với những hoạt động nhất định Đó là những hoạt động được tiến hành trong quá trình hình thành và vận dụng nội dung đó, phát hiện được những hoạt động tiềm tàng trong một nội dung là vạch ra được con đường để người học chiếm lĩnh nội dung đó và đạt được các mục đích khác và cũng đồng thời là cụ thể hoá được mục đích dạy học có đạt được hay không và đạt đến mức độ nào?” [12].

Theo Nguyễn Bá Kim quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy họcgồm các tư tưởng chủ đạo sau:

- Cho học sinh thực hiện và luyện tập những hoạt động và hoạt động thành phần tương thích với nội dung và mục tiêu dạy học.

- Gợi động cơ cho các hoạt động học tập.

- Dẫn dắt học sinh kiến tạo tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp như phương tiện và kết quả hoạt động.

- Phân bậc hoạt động làm căn cứ điều khiển quá trình dạy học

* Cần chú trọng phát triển trí tuệ, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn cho học sinh

Theo Nguyễn Bá Kim để phát triển trí tuệ cho học sinh, thầy giáo cầnchú ý:

- Rèn luyện tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác thông qua môn Toántheo các hướng sau:

1 Làm cho học sinh nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng những liên

kết lôgic: và, hoặc, nếu thì, phủ định, những lượng từ tồn tại và khái quát,…

2 Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với những định nghĩa.

3 Phát triển khả năng hiểu chứng minh, trình bày lại chứng minh và độc lập tiến hành chứng minh.

- Phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng: làm cho HS có ý thức

sử dụng các nguyên tắc suy đoán như tương tự hóa, khái quát hóa,… và trítưởng tượng

- Thường xuyên rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, so sánh, tổng quát hóa, trừu tượng hóa,…

- Hình thành ở HS những phẩm chất trí tuệ: tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo…

c Đổi mới cách học của học sinh

Chủ tịch Hồ Chí Minh là một tấm gương sáng về tự học Quan niệm về

tự học, Người cho rằng: “Tự học là học một cách tự động” và “Phải biết tựđộng học tập” Theo Người “Tự động học tập” tức là tự học một cách hoàntoàn tự giác, tự chủ, không bị ai ép buộc, không chờ giao nhiệm vụ, mà tự bảnthân vạch ra kế hoạch học tập cho mình, và tự mình triển khai, thực hiện kế

hoạch một cách tự giác, tự điều chỉnh thời gian học và cũng tự mình kiểm trađánh giá việc học tập của mình.

Chúng ta thấy rằng: tự học là tự bản thân người học lập kế hoạch mộtcách chi tiết cả về nội dung, chương trình và thời gian để học tập, tự mìnhđộng não, suy nghĩ, sử dụng các khả năng trí tuệ (quan sát, phân tích, so sánh,tổng hợp hay thực nghiệm,…) cùng các phẩm chất cá nhân như động cơ, tìnhcảm, niềm đam mê nghiên cứu khoa học, không ngại khó, vượt qua cả khônggian và thời gian để đạt được , hay chiếm lĩnh tri thức nhằm thỏa mãn nhu cầuhiểu biết của cá nhân và xã hội

d Đổi mới cách kiểm tra, đánh giá chất lượng học tập của học sinh

Trong việc dạy học, việc kiểm tra, đánh giá học sinh có vai trò hết sứcquan trọng:

Đối với học sinh việc kiểm tra đánh giá kích thích hoạt động học tập,cung cấp cho họ những thông tin phản hồi về quá trình học tập của bản thânmình để họ tự điều chỉnh quá trình học tập, khuyến khích họ phát triển nănglực tự đánh giá Nếu việc kiểm tra, đánh giá được tổ chức nghiêm túc sẽ giúphọc sinh nâng cao tinh thần trách nhiệm trong học tập, ý chí vươn lên đạtnhững kết quả học tập cao hơn, củng cố lòng tự tin và khả năng của bản thân,nâng cao ý thức tự giác và khắc phục tính chủ quan tự mãn

Đối với giáo viên, việc kiểm tra, đánh giá học sinh cung cấp nhữngthông tin cần thiết giúp người thầy xác định đúng điểm xuất phát hoặcđiểm kế tiếp của quá trình dạy học, phân nhóm học sinh và kịp thời điềuchỉnh hoạt động dạy học

Đối với cán bộ quản lý giáo dục, việc đánh giá học sinh cung cấpnhững thông tin cơ bản về thực trạng dạy học của các đơn vị giáo dục để cóthể chỉ đạo kịp thời, uốn nắn những lệch lạc, khuyến khích, hỗ trợ những sángkiến, bảo đảm thực hiện tốt mục tiêu giáo dục

Quá trình đánh giá được tiến hành trên 3 lĩnh vực: kiến thức, kỹ năng,thái độ; theo 6 mức độ: nhận biết - thông hiểu - vận dụng - phân tích - tổnghợp - đánh giá.

Việc đánh giá kết quả học tập của HS cần phải đảm bảo nhữngnguyên tắc sau:

1.2 Bài tập toán và chức năng của bài tập toán

1.2.1 Bài toán

Theo G.Polya, hiểu theo nghĩa rộng: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phảitìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đíchtrông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay Giải toán tức là tìm raphương tiện đó’’

Như vậy có thể hiểu bài toán là một công việc hoàn thành được nhờnhững phương pháp đã biế t trong những điều kiện cho trước

Đối với HS, có thể nói việc giải toán là hoạt động chủ yếu của hoạtđộng Toán học Do vậy, việc tổ chức, ứng dụng có hiệu quả việc dạy họcgiải bài tập t oán có vai trò đặc biệt và gần như quyết định chất lượng dạyhọc Toán học.

1.2.2 Chức năng của bài tập toán

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động Toán học cho HS, trong đógiải toán là hình thức chủ yếu Do vậy, dạy học giải bài tập toán có vai trò quantrọng đặc biệt, bởi nó là phương tiện rất có hi ệu quả trong việc giúp HS nắmvững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo và ứng dụng Toánhọc vào thực tiễn Bài tập toán có những chức năng cơ bản sau:

- Chức năng dạy học: Thông qua giải bài bài tập t oán, HS được rèn

luyện kỹ năng, kỹ xảo, củng cố những vấn đề lý thuyết đã học Có những bàitập toán mà bản thân nó chính là nội dung của một định lý hay mệnh đề nào

đó, mà nó không có điều kiện trình bày ở phần lý thuyết Những loại bài tậpnày, sau khi được HS tiếp cận, sẽ trở thành phương tiện đ ể giải một số hệthống bài tập t oán khác, giúp HS dễ dàng hơn trong việc liên hệ giữa kiếnthức cũ và khám phá, tìm tòi kiến thức mới, tạo điều kiện thuận lợi cho việc

tự học của HS Nói khác đi, bài tập toán có chức năng dạy học

- Chức năng giáo dục: Thông qua việc giải bài tập mà HS hình thành

được thế giới quan duy vật biện chứng, niềm tin và phẩm chất đạo đức củangười lao động tự chủ, sáng tạo Đặc biệt, thông qua những bài toán có tínhứng dụng thực tiễn, chẳng hạn như bài toán kinh tế, tổ hợp, học sinh sẽđược củng cố niềm tin vào tính ứng dụng của Toán học Đồng thời, thôngqua việc giải bài tập toán HS được giáo dục tính kiên trì, sự bền bỉ, tínhchính xác cao

- Chức năng phát triển: Giải bài tập toán chính là môi trường để phát

triển tư duy, rèn luyện những thao tác tư duy khoa học

- Chức năng kiểm tra: Bài tập toán chính là thước đo của chất lượng

dạy học, đánh giá năng lực Toán và trình độ phát triển, khả năng vận dụngkiến thức học được vào thực tiễn của học sinh Hệ thống bài tập t oán đượcsắp xếp hợp lý và có chọn lọc kỹ thì tác dụng về nhiều mặt của nó được pháthuy tối đa, đồng thời phát huy được chức năng dạy học, phát triển tư duy

1.2.3 Yêu cầu đối với lời giải bài tập t oán

Để phát huy tốt hiệu quả dạy học giải bài tập t oán, ngoài việc chú ýđến các chức năng của bài tập t oán, GV cần chú ý chỉnh sửa lời giải và cáchtrình bày của HS, lời giải phải đảm bảo những yếu tố:

- Kết quả đúng, kể cả ở các bước trung gian: Kết quả cuối cùng phải làmột đáp số đúng, thỏa mãn các yêu cầu của đề ra Kết quả các bước trunggian cũng phải đúng Như vậy, lời giải không thể chứa những sai lầm tínhtoán, biến đổi biểu thức,

- Lập luận chặt chẽ: Lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau: Luận đềphải nhất quán, luận cứ phải đúng và luận chứng phải hợp lôgic

- Lời giải đầy đủ: Yêu cầu này đòi hỏi lời giải không được bỏ sót mộttrường hợp nào Cụ thể là lời giải phương trình không được thiếu nghiệm,phân chia trường hợp không được thiếu một khả năng nào,

- Ngôn ngữ chính xác: Đây là một yêu cầu về giáo dục ti ếng mẹ đẻ đặt racho tất cả các bộ môn Việc dạy học môn Toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này

- Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật

- Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách ngắn gọn, hợp lí nhất: Cần khuyếnkhích học sinh tìm ra nhiều cách giải cho cùng một bà i toán, phân tích, sosánh những cách giải khác nhau để tìm ra lời giải ngắn gọn, hợp lí nhất trong

số các lời giải đã tìm được

- Nghiên cứu giải những bài t oán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

1.3 Dạy học sinh phương pháp giải bài tập toán

Quá trình học sinh học phương pháp giải bài tập toán là một quá trìnhbiến những tri thức tổng quát thành kinh nghiệm giải toán của bản thân mìnhthông qua việc giải hàng loạt bài toán cụ thể Từ phương pháp chung giảitoán đi tới cách giải một bài toán cụ thể là một quá trình đòi hỏi tính laođộng tích cực của người học sinh, trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo TheoG.Polya thì việc dạy toán ở nhà trường phổ thông là: “Dạy cho học sinh suy

nghĩ” Dạy suy nghĩ có nghĩa thầy giáo không chỉ chỉ là nguồn thông tin m à

còn có nhiệm vụ phát triển khả năng sử dụng thông tin của học sinh

Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là GV chỉ đơn thuần cungcấp cho học sinh lời giải bài toán mà cần hình thành cho HS một số kỹ năngnhất định, dạy cho học sinh đến một mức độ nào đó nắm vững được mônhọc Ở đây GV bắt đầu từ hệ thống câu hỏi thích hợp dẫn dắt HS từ khâu tìmhiểu bài toán cho đến khi xây dựng được một chương trình giải và thực hiệnlời giải đó Ngoài ra khi giải được rồi cũng không có nghĩa là mọi công việcđược dừng lại mà một khâu không kém phần quan trọng nữa của người giảitoán: Đó là nhìn lại lời giải, tìm lời giải khác (nếu có thể), xem xét mối liên

hệ với bài toán khác để xâu chuỗi được các bài toán có liên quan, hoặc cáchoạt động khác như khái quát hóa, tổng quát hóa,

Để giúp HS đỡ bối rối khi tiếp xúc một bài toán và đi tìm lời giải thì

GV cần phải quan tâm đúng mực đến việc giúp HS phân loại bài toán Một sự

phân loại tốt phải chia các bài toán thành những kiểu sao cho mỗi kiểu bài toán quy định trước một phương pháp giải.

1.3.1 Những bài toán mà quy tắc, phương pháp giải có tính chất thuật toán

Thuật toán là một tập hợp hữu hạn của các chỉ thị hay phương cách

được định nghĩa rõ ràng cho việc hoàn tất một số sự việc từ một trạng thái banđầu cho trước, khi các chỉ thị này được áp dụng triệt để thì sẽ dẫn đến kết quảsau cùng như đã dự đoán

Nói cách khác, thuật toán là một bộ các quy tắc hay quy trình cụ thểnhằm giải quyết một vấn đề trong một số bước hữu hạn, hoặc nhằm cung cấpmột kết quả từ một tập hợp của các dữ kiện đưa vào.

Theo Nguyễn Bá Kim thì “Thuật toán theo nghĩa trực giác được hiểunhư một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được một cách đơn trị, kết thúcsau một số hữu hạn bước và đem lại kết quả là biến đổi thông tin vào của mộtlớp bài toán thành thông tin ra mô tả lời giải của lớp bài toán đó” [12; 379]

Khi một thuật toán đã hình thành thì ta không xét đến vi ệc chứng minhthuật toán đó mà chỉ chú trọng đến việc áp dụng các bước theo sự hướng dẫn

sẽ có kết quả đúng Nói cách khác, thuật toán có thể chỉ là việc áp dụng cáccông thức hay quy tắc, quy trình đã được công nhận là đúng hay đã đượcchứng minh về mặt Toán học

Ví dụ 1: Xét bài toán: Giải phương trình:

7 6 5 4 3 2

x −2x +3x −x −x +3x −2x 1 0+ = (1)Đối với bài toán này, GV có thể hướng dẫn HS giải thông qua một sốhoạt động sau:

Hđ1: Em hãy nêu khái niệm phương trình đối xứng ?

Kết quả mong đợi:

Hđ2: Hãy nêu thuật toán giải phương trình có dạng trên?

Kết quả mong đợi:

* Nếu n = 2k, ta giải phương trình đối xứng bậc chẵn như sau:

- Chia cả 2 vế cho xk

- Đặt t x 1

x

= + , rồi quy phương trình đã cho về bậc k

* Nếu n = 2k + 1, ta giải phương trình đối xứng bậc lẻ như sau:

- Một phương trình đối xứng bậc lẻ nhận x = -1 làm nghiệm

- Chia f(x) cho x + 1, ta được phương trình g(x) = 0 là phương trình đốixứng bậc chẵn

Hđ3: Hãy áp dụng thuật toán trên vào bài toán?

Kết quả mong đợi: Đây là phương trình đối xứng bậc lẻ, vậy

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: x3 y 32xy 2

GV hướng dẫn HS giải thông qua một số hoạt động sau:

Hđ1: Em hãy nêu thuật toán giải hệ phương trình đối xứng loại 1 có

Khi đó x, y là nghiệm của phương trình: X2 – SX + P = 0

Nếu (x; y) là nghiệm của hệ thì (y; x) cũng là nghiệm

Hđ2: Hãy áp dụng thuật toán trên vào bài toán?

Kết quả mong đợi: Đặt S = x + y, P = xy Khi đó hệ trở thành:

2

2

2 SP

6 3SS(S 3P) 8

Phát triển tư duy thuật toán trong nhà trường phổ thông là cầ n thiết vìnhững lí do sau đây:

Thứ nhất, tư duy thuật toán giúp HS hình dung được việc tự động hóa

trong những lĩnh vực khác nhau của con người, góp phần khắc phục sự ngăncách giữa nhà trường và xã hội tự động hóa Nó giúp cho HS thấy được nềntảng của tự động hóa, cụ thể là nhận thức rõ đặc tính hình thức, thuần túy máymóc của quá trình thực hiện thuật toán

Thứ hai, tư duy thuật toán giúp HS làm quen với cách làm việc khi giải

bài toán bằng máy tính điện tử

Thứ ba, tư duy thuật toán giúp HS học tập tốt những môn học ở nhà

trường phổ thông, rõ nét là môn Toán Nó tạo điều kiện thuận lợi cho HS lĩnhhội kiến thức và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo khi thực hiện giải toán có tính chấtđịnh lượng

Thứ tư, tư duy thuật toán cũng góp phần phát triển những năng lực trí tuệ

chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa,… và hình thành nhữngphẩm chất của người lao động như tính ngăn nắp, kỷ luật, tính phê phán và thóiquen tự kiểm tra,…

Trong một số trường hợp, các bài toán có thuật toán giải tổng quátnhưng chưa được khám phá Như vậy, ở thời điểm trước khi thuật toán nàyđược biết đến thì nó vẫn là một bài toán mới mà việc giải nó đòi hỏi phải tưduy một cách sáng tạo Lịch sử Toán học đã chứng tỏ rằng: Hoạt động khámphá những thuật toán mới hình thành nên một phần chủ yếu của Toán học

Do đó, ngay cả đối với những dạng toán đã có thuật giải trong chươngtrình Toán phổ thông cũng cho phép rèn luyện tư duy độc lập và sáng tạo cho

HS nếu GV không cung cấp sẵn các thuật toán này, mà tổ chức cho học sinh

tự tìm tòi ra thuật toán đó

Đối với những bài toán đã có thuật giải, vấn đề cơ bản là nhận dạngđược bài toán, nghĩa là phát hiện xem bài toán thu ộc dạng nào (đã có thuật

giải) Tất nhiên không phải lúc nào HS cũng có thể dễ dàng nhận ra dạng củabài toán Công việc này đòi hỏi những khả năng nhất định Do đó trong

trường hợp này, việc tìm hiểu bài toán đóng vai trò quan trọng hơn cả vì công

việc còn lại chỉ là áp dụng trực tiếp thuật toán đã biết mà thôi

1.3.2 Những bài toán mà quy tắc, phương pháp giải có tính chất tựa thuật toán

Trong quá trình dạy học, ta thường gặp một số quy tắc tuy chưa mang

đủ các đặc điểm đặc trưng cho thuật toán, nhưng có một số t rong các đặcđiểm đó và đã tỏ ra có hiệu lực trong việc chỉ dẫn hành động và giải toán Đó

là những quy tắc tựa thuật toán, được hiểu như là một dãy hữu hạn những chỉdẫn thực hiện được theo một trình tự xác định nhằm biến đổi thông tin vàocủa một lớp bài toán thành thông tin ra mô tả lời giải của lớp bài toán đó

Tựa thuật toán có các đặc điểm gần giống với thuật toán nhưng mỗi

bước có thể là một thao tác sơ cấp, có thể chỉ gợi ý định hướng suy nghĩ hoặc hướng dẫn thực hiện thao tác được lựa chọn trong một số ít trường hợp và có

hiệu quả trong nhiều trường hợp Cụ thể quy tắc tựa thuật toán phân biệt vớiquy tắc thuật toán như sau:

- Mỗi chỉ dẫn trong quy tắc có thể chưa mô tả hành động một cáchxác định

- Kết quả thực hiện được mỗi chỉ dẫn có thể không đơn trị

- Quy tắc không đảm bảo chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước thìđem lại kết quả là lời giải của lớp bài toán

Mặc dù có những hạn chế nói trên so với thuật toán, qu y tắc tựa thuậttoán cũng vẫn là những tri thức phương pháp có ích cho quá trình hoạtđộng và giải toán

Thực tế cho thấy, phương pháp tựa thuật toán chỉ là những gợi ý giảiquyết vấn đề chứ không phải là những thuật toán bảo đảm chắc chắn dẫntới thành công Vì vậy, khi sử dụng chúng GV cần rèn luyện cho HS tính

mềm dẻo, linh hoạt, biết điều chỉnh phương hướng, thay đổi phương phápkhi cần thiết.

1.3.3 Những bài toán mà quy tắc, phương pháp giải có tính chất phi thuật toán

Trong môn Toán ở trường phổ thông có rất nhiều bài toán chưa có ho ặckhông có thuật toán để giải Loại bài tập này chiếm số lượng khá lớn trongsách giáo khoa, các tài liệu tham khảo, đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi,

và gây cho HS không ít khó khăn khi tiếp xúc, dẫn đến tâm lí thiếu tự tin vàochính bản thân mình, sự trở ngại này thực sự thách thức đối với người giảitoán Do đó khi dạy học sinh giải bài tập toán, GV không chỉ đơn thuần cungcấp lời giải mà điều quan trọng là dạy cho HS biết suy nghĩ để tìm được lờigiải Điều này đồng nghĩa chúng ta đang trang bị cho HS một số tri thứcphương pháp, nhằm rèn luyện và phát triển ở các em năng lực tư duy khoahọc Không có một thuật toán tổng quát nào để giải mọi bài toán Chúng ta chỉ

có thể thông qua dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền cho

HS cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật trong việc suy nghĩ, tìm tòi lờigiải các bài toán Hoạt động giải các bài toán này cho phép người học có được

những sản phẩm tư duy thể hiện tính sáng tạo, tính mới mẻ Tính mới mẻ ở

đây thể hiện ở năng lực phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết

quả mới Theo G.Polya thì việc “Tìm được các h giải một bài toán là một phát minh”.

Việc nắm được một số chỉ dẫn hay một số lời khuyên “có lí” có thể chophép HS tìm ra lời giải bài toán đặt ra, vì những chỉ dẫn và lời khuyên này cóthể gợi ra những ý tưởng hợp lí cho việc tìm kiếm lời giải Trong tr ường hợpnày ta nói rằng ta đã vận dụng phương pháp có tính chất tìm đoán (hay ngắngọn là phương pháp tìm đoán) Ngay cả trong trường hợp một dạng toán đã cóthuật giải nhưng chưa được khám phá thì việc tìm kiếm thuật toán này cũngphải vận dụng phương pháp tìm đoán

1.4 Tư tưởng sư phạm của G.Po lya trong dạy học giải bài tập t oán

Trong môn Toán ở trường phổ thông có nhiều bài tập toán chưa cóhoặc không có thuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát nào đểgiải tất cả các bài toán, chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học giải một sốbài toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệmtrong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán

Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên cung cấp cho họcsinh lời giải bài toán Biết lời giải bài toán không quan trọng bằng làm thế nào

để định hướng giải được bài toán Vì vậy cần trang bị những hướng dẫnchung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán là cần thiết

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết củaG.Polya về cách thức giải toán, phương pháp tìm tòi lời giải cho một bài toánđược thể hiện như sau:

1.4.1 Thực hiện giải bài tập toán theo tư tưởng của G.Polya

Theo G.Polya, quy trình chung để đi tới lời giải một bài toán p hải trảiqua 4 bước:

1) Hiểu rõ bài toán: Để giải được bài toán, trước hết phải hiểu bài

toán và hơn nữa phải có hứng thú với bài toán đó Do vậy, GV cần chú ý tớiviệc tạo tính tò mò, lòng ham muốn, sự say mê giải toán của HS, giúp HShiểu được bài toán Muốn vậy, cần phải phân tích giả thiết và kết luận của

bài toán: Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện? Có thể thỏa mãn được điều kiện hay không? Điều kiện có đủ để xác định được ẩn hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn? Với việc trả lời hay làm rõ

những câu hỏi đó chính là bước định hướng lời giải bài toán và đồng thời thểhiện hoạt động huy động kiến thức liên quan đến bài toán đó

2) Xây dựng chương trình giải

Ở bước này, thao tác tư duy thể hiện qua việc phân tích bài toán đãcho thành nhiều bài toán đơn giản hơn, biến đổi bài toán đã cho, mò mẫm và

dự đoán thông qua việc xét các trường hợp riêng lẻ, xét các bài toán tương tựhay khái quát hơn, bằng cách đặt hệ thống câu hỏi:

- Em đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toá n này ở một dạng hơi khác?

- Em có biết một bài toán nào liên quan không? Một định lý có thể dùng được không?

- Xét kĩ cái chưa biết (ẩn) và t hử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay có ẩn tương tự?

- Đây là một bài toán có liên quan mà em đã có l ần giải rồi Có thể sử dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được nó không ?

- Có thể phát biểu bài t oán một cách khác nữa không?

- Nếu bạn chưa giải được bài t oán đã đề ra, thì hãy thử giải một bài toán có liên quan Em có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng ? Một bài toán tương tự? Em có thể giải một phần của bài toán không?

- Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa ? Đã sử dụng toà n bộ điều kiện chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?

Hãy giữ lại một phần của điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn được xác định đến chừng mực nào và biến đổi như thế nào? Em có thể từ các dữ kiện rút ra một yếu tố có ích không? Em có thể nghĩ ra những yếu tố khác giúp xác định được ẩn không?

Để trở thành thói quen khi giải toán, GV cần luyện tập cho học sinh vềnhững gợi ý này trong từng tiết dạy trên lớp, đặc biệt là những giờ chữa bàitập toán Nếu được luyện tập cơ bản thì không những HS học được cách giảitoán mà còn có thể vận dụng vào thực tiễn đời sống khi gặp những tìnhhuống có vấn đề

3) Thực hiện chương trình giải

Khi thực hiện chương trình giải hãy kiểm tra lại từng bước Em đãthấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Em có thể chứng minh là nó đúngkhông?

4) Kiểm tra lại và nghiên cứu lời giải đã tìm ra

- Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán không?

- Có thể tìm được kết quả một cách khác không? Có thể thấy trực tiếp ngay kết quả không?

- Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho một bài toán nào khác không?

GV hướng dẫn học sinh giải bài toán theo bốn bước:

Bước 1: Tìm hiểu rõ bài toán

Để giúp học sinh hiểu bài toán giáo viên đặt các câu hỏi:

GV: Nếu thay x bởi y và y bởi x thì phương trình (1) và (2) sẽ như thế nào?Kết quả mong đợi: Phương trình (1) và (2) không thay đổi

GV: Phương trình (1) và (2) có tính chất gì?

Kết quả mong đợi: Đối xứng

GV: Hệ phương trình thuộc loại gì?

Kết quả mong đợi: Hệ phương trình đối xứng loại 1

Bước 2: Xây dựng chương trình giải

GV: Để giải hệ phương trình đối xứng loại 1 ta làm như thế nào?

Kết quả mong đợi: Để giải hệ phương trình đối xứng loại 1 ta đặt

S = x + y và P = xy để đưa về hệ phương trình đối với S và P.

Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Giải: Đặt S = x + y và P = xy, hệ đã cho tương đương với:

Kết quả mong đợi: Thay x = 1, y = 1 vào hệ ta thấy thỏa mãn

Vậy x = 1, y = 1 là nghiệm của hệ phương trình

GV: Em có thể sử dụng phương pháp đó cho một bài toán khác không?Kết quả mong đợi: Bằng phương pháp tương tự đối với hệ trên ta có thểgiải được các hệ phương trình khác:

Giải các hệ phương trình sau:

* Như vậy thông qua hoạt động trên GV đã rèn luyện cho học sinh phát triển bài toán thông qua hoạt động tươ ng tự hóa Giúp HS dễ dàng giải

những bài toán có dạng tương tự.

1.4.2 Tư tưởng của G.Polya được thể hiện qua các bước giải toán

1.4.2.1 Các quan điểm sư phạm của G.Polya qua bước tìm hiểu rõ bài toán

Khi tiếp xúc với bài toán và bắt đầu tìm tòi lời giải, diễn biến tâm lýcủa người giải toán diễn ra những câu hỏi độc thoại như người diễn viênphải đóng hai vai vậy, một bên là thầy giáo và bên kia là học trò, thầy giáo

đặt ra những câu hỏi như: Những cái gì chưa biết? Những cái gì là đã cho trước? Điều kiện của bài toán là gì? Còn HS phải xem xét những yếu tố

chính của bài toán một cách tập trung nhiều lần và nhiều khía cạnh khácnhau Cuộc đàm thoại này diễn ra cho đến khi đề bài toán được làm rõ và cóthể đề ra được một chương trình giải

* Như vậy tư tưởng sư phạm của G.Polya thể hiện trong bước này là:

“Dạy học toán là dạy cách suy nghĩ tìm tòi lời giải cho các bài toán” Theo

ông, cách thức cần dạy cho học sinh để tìm lời giải là tập dượt cho họ nhữnghoạt động biến đổi quy lạ về quen Tức là biến đổi bài toán về bài toán quenthuộc, bao gồm cấu trúc lại bài toán, diễn đạt lại hình thức bài toán Trongquá trình giải bài tập toán không phải khi nào cũng gặp những bài toán quenthuộc mà nhiều khi cần phải biến đổi bài toán đã cho về dạng quen thuộchơn, đã từng biết cách giải

Ví dụ 1: Giải phương trình: 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tan2x (1)

GV yêu cầu học sinh biến đổi bài toán về dạng quen thuộc bằng cách

sử dụng các công thức lượng giác đã học

2 2 2 2

2 2

sin x(1) 5sin x 2 3(1 sinx)

cos xsin x5sin x 2 3(1 sinx)

1 sin xsin x

5sin x 2 3 (5sin x 2)(1 sinx)=3sin x

1+sinx2sin x 3sin x 2 0

* Tư tưởng sư phạm thứ hai trong bước tìm tòi lời giải là: “ Chú trọng khảo sát toán, xem xét các trường hợp riêng, trường hợp đặc biệt để khái quát hóa để đi đến cách giải bài toán cần giải ”.

Ví dụ 3: Biện luận số nghiệm của phương trình: x3−m(x+ + =2) 8 0 (1)theo m

Giải:

Ta biến đổi phương trình đã cho về dạng phương tr ình tích:

2 2

(x 2)(x 2x 4) m(x 2) 0(x 2)(x 2x 4 m) 0

Trường hợp 2: ∆ = − = ⇔ =′ m 3 0 m 3, phương trình (2) có nghiệm kép

x = 1, nên phương trình đã cho có hai nghiệm x = -2, x = 1

 thì phương trình (2) có hai nghiệm, nên phương trình đã

cho có ba nghiệm Nếu m = 12 thì phương trình đã cho có hai nghiệm

1.4.2.2 Quan điểm sư phạm của G.Polya qua bước thực hiện lời giải bài toán

Khi thực hiện lời giải bài toán thì GV cần phải c hú trọng luyện tậpcho HS các bước lập luận thông qua việc vạch ra quy trình giải một bài toán

và khai thác quy trình giải toán

Ví dụ: Quy trình giải phương trình: (x+a)(x+b)(x+c)(x+ =d) e với

a+ = +d b c

Bước 1: Đặt t = x2+ (a + d)x = x2 + (b + c)x

Bước 2: Biến đổi đưa về phương trình bậc hai

Bước 3: Giải phương trình bậc hai trên

Bước 4: So sánh với điều kiện hoặc thử lại và kết luận nghiệm

* Trước khi đề ra quy trình trên, GV có thể hướng dẫn cho học sinh thực hiện hoạt động giải bài toán, sau đó khái quát vấn đề:

Giải phương trình: (x+a)(x+b)(x+c)(x+ =d) e (1) với a+ = +d b c

- Nếu y= − ⇒16 x2+5x= − ⇔16 x2+5x 16+ =0 vô nghiệm

Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 1, x = -6

1.4.2.3 Quan điểm sư phạm của G.Polya thể hiện qua bước kiểm tra lời giải bài toán

Sự nổi bật tư tưởng sư phạm của G.Polya ở bước này là: “Chú trọng luyện tập cho HS đánh giá, tự đánh giá lại các bước lập luận của quá trình giải” Đó là cách đánh giá tốt nhất cần dạy cho HS, bởi nó không chỉ đánh giá tính hợp lý của bài toán mà còn đánh giá hoạt động tư duy của chính HS

Thông thường sau khi giải chúng ta phải xem lại kết quả bằng những phépthử nào đó, tuy nhiên đa số học sinh khi giải xong thì thỏa mãn với lời giải,

ít đi sâu nghiên cứu lại lời giải, xem có sai sót hoặc nhầm lẫn ở bước nàokhông và tìm xem có cách giải khác không, có phát triển bài toán tổng quáthơn không, có tương tự hóa bài toán được không Vì thế, trong dạy học giảibài tập toán, GV cần nhấn mạnh thêm bước bốn trong giải bài tập và nếu cóthể nên lấy ví dụ và phản ví dụ để minh họa, điều này sẽ làm cho HS khắcsâu hơn, nắm vững kiến thức hơn

1.4.2.4 Quan điểm sư phạm của G.Polya thể hiện qua việc phát triển bài toán sau khi đã giải được bài toán

Bước sau cùng trong dạy học giải bài tập toán theo quan điểm sư phạm

của G.Polya là: “Luyện tập cho học sinh phát triển bài toán thông qua hoạt động khái quát hóa, tương tự hóa” Không phải bài toán nào cũng thực hiện

được các hoạt động tương tự hóa, khái quát hóa Tuy nhiên, theo G.Polya

“ không có bài toán nào là kết thúc Bao giờ cũng còn lại một cái gì để suy nghĩ” [3] Sự suy nghĩ sau khi thực hiện hoàn chỉnh lời giải của bài toán để

thực hiện các hoạt động tương tự hoá, khái quát hoá là cấp độ khó trong khâugiải toán Tuy nhiên, đây là khâu quan trọng để thầy giáo chú ý phát triển cho

HS tư duy: tư duy tích cực→tư duy độc lập →tư duy sáng tạo

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) 4x3−10x2 +6x 1 0− =

b) x4+12x3+32x2−8x− =4 0

* Từ bài toán trên GV khái quát hóa bằng cách:

GV: Nếu cho phương trình bậc cao ( n≥3) thì sẽ giải như thế nào ?Kết quả mong đợi: Cho phương trình bậc cao f(x) = 0

Để quy phương trình bậc cao về phương trình bậc nhất, bậc hai tathường sử dụng các hằng đẳng thức, phân tích thành nhân tử:

1 2 n

f (x)=f (x)f (x) f (x), trong đó mỗi fi(x) có bậc không quá 2 Khi đó:

f(x) = 0

1 2

n

f (x) 0 (1)

f (x) 0 (2)

Giải các phương trình (1), (2), (n) và chọn nghiệm thuộc tập xác địnhcủa phương trình f(x) = 0.

2cos x 0

* Từ bài toán trên GV khái quát hóa bằng cách:

GV: Với m, n nguyên lớn hơn 2, hãy giải phương trình:

Con người sống trong hoạt động, học tập diễn ra trong hoạt động Vận

dụng điều đó trong dạy học môn Toán gọi là học tập trong hoạt động và bằng hoạt động Theo Nguyễn Bá Kim, quan điểm hoạt động trong PPDH có thể

được thể hiện ở các tư tưởng chủ đạo sau đây:

1.5.1 Luyện tập cho học sinh những hoạt động và hoạt động thành phần tương thích với nội dung và mục đích d ạy học

a Phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung

Một hoạt động là tương thích với một nội dung nếu nó góp phần đemlại kết quả giúp chủ thể chiếm lĩnh hoặc vận dụng nội dung đó Từ “kết quả”

ở đây được hiểu là sự biến đổi, phát triển bên trong chủ thể, phân biệt với kếtquả tạo ra ở môi trường bên ngoài Việc phát hiện những hoạt động tươngthích với nội dung căn cứ một phần quan trọng vào sự hiểu biết về những hoạtđộng nhằm lĩnh hội những nội dung khác nhau (như khái niệm, định lý hayphương pháp), về những con đường khác nhau để lĩnh hội từng dạng nộidung, chẳng hạn con đường quy nạp hay suy diễn để xây dựng khái niệm, conđường thuần tuý suy diễn hay có pha suy đoán để học tập định lý

Trong việc phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung, ta cầnphải chú ý xem xét những dạng hoạt động khác nhau trên những bình diệnkhác nhau Đặc biệt chú ý đến những dạng hoạt động sau:

- Hoạt động nhận dạng và thể hiện

- Những hoạt động Toán học phức hợp

- Những hoạt động ngôn ngữ

- Những hoạt động trí tuệ chung

- Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học

Sau đây ta sẽ đi vào các hoạt động cụ thể đó:

* Hoạt động nhận dạng và thể hiện

Nhận dạng và thể hiện là hai dạng hoạt động theo chiều hướng trái

ngược nhau liên hệ với một khái niệm, một định lí hay một phương pháp

- Nhận dạng một khái niệm là phát hiện xem một đối tượng cho trước

có thỏa mãn định nghĩa đó hay không, còn thể hiện một khái niệm là tạo một

đối tượng thỏa mãn định nghĩa đó (có thể còn đòi hỏi thỏ a mãn một số yêucầu khác nữa)

Ví dụ 1: Hệ phương trình

2

2

32x yx

32y xy

có phải là hệ phương trình đối

xứng loại 2 không? (Nhận dạng khái niệm hệ phương trình đối xứng loại 2)

Ví dụ 2: Hãy cho một ví dụ hệ phương trình đối xứng loại hai ? (Thể

hiện khái niệm hệ phương trì nh đối xứng loại 2)

- Nhận dạng một định lí là xét xem một tình huống cho trước có ăn khớp với một định lí đó hay không, còn thể hiện một định lí là xây dựng một

tình huống ăn khớp với định lí cho trước

- Nhận dạng một phương pháp là phát hiện xem một dãy tình huống có phù hợp với các bước thực hiện phương pháp đó hay không, còn thể hiện một phương pháp là tạo một dãy tình huống phù hợp với các bước của phương

pháp đã biết

Ví dụ 3: Hãy giải phương trình: sin x+ 3 cos x=1 dựa vào phươngpháp giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx ? (Thể hiện phương phápgiải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx)

Ví dụ 4: Hãy kiểm tra việc thực hiện từng bước theo phương pháp giải

phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx áp dụng vào phương trình

sin x+ 3 cos x=1 (Nhận dạng phương pháp giải phương trình bậc nhất đốivới sinx và cosx)

Thông thường, những hoạt động vừa nêu trên liên quan mật thiết với

nhau, thường hay đan kết vào nhau Cùng với việc thể hiện một khái niệm, một định lí hay một phương pháp, thường diễn ra sự nhận dạng với tư cách là

những hoạt động kiểm tra

* Những hoạt động toán học phức hợp

Đó là các hoạt động như chứng minh, định nghĩa, giải toán bằng cáchlập phương trình,… thường xuất hiện lặp đi lặp lại nhiều lần trong SGK toánphổ thông Cho HS tập luyện những hoạt động này sẽ làm cho họ nắm vữngnhững nội dung Toán học và phát triển những kỹ năng và năng lực Toán họctương ứng

* Những hoạt động trí tuệ chung

Những hoạt động trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, xéttương tự, trừu tượng hoá, khái quát hoá, cũng được tiến hành thường xuyênkhi HS học tập môn Toán Chúng được gọi là hoạt động trí tuệ chung bởi vìchúng cũng được thự c hiện ở các môn học khác bình đẳng như môn Toán

* Những hoạt động trí tuệ phổ biến

Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học rất quan trọng trongmôn Toán, nhưng cũng diễn ra ở cả những môn học khác nữa, đó là: lật ngượcvấn đề, xét tính giải được (có nghiệm, có nghiệm duy nhất, nhiều nghiệm),phân chia trường hợp,

Ví dụ 5: Với mọi số thực và mọi số nguyên dương n đều tồn tại duy nhất

một số thực y sao cho y = xn Bây giờ giả sử cho trước một số thực y và một sốnguyên dương n, ta đặt vấn đề tìm một số thực x sao cho xn = y Đó là lậtngược vấn đề Việc giải quyết vấn đề này đòi hỏi phải xét các trường hợp nchẵn, n lẻ Trong trường hợp n chẵn lại phải xét 3 khả năng: y > 0, y = 0, y < 0

Ở đây ta đã phân chia các trường hợp Cuối cùng ta đi đến kết quả:

Nếu n lẻ thì có một đáp số duy nhất; nếu n chẵn thì sẽ có hai giá trị khi

y > 0, một giá trị x duy nhất khi y = 0, không có đáp số khi y < 0 Như vậy là

ta đã xét tính giải được

b Phân tách hoạt động thành những thành phần

Trong quá trình hoạt động, nhiều khi một hoạt động này có thể xuấthiện như một thành p hần của hoạt động khác Phân tách được một hoạt độngthành những hoạt động thành phần là biết được cách tiến hành hoạt động toàn

bộ, nhờ đó có thể vừa quan tâm rèn luyện cho HS hoạt động toàn bộ, vừa chú

ý cho họ tập luyện tách riêng những hoạt động thành phần khó hoặc quantrọng khi cần thiết

c Lựa chọn hoạt động dựa vào mục đích

Mỗi nội dung thường tiềm tàng nhiều hoạt động Tuy nhiên, nếukhuyến khích tất cả các hoạt động như thế thì có thể làm cho HS thêm rối ren

Để khắc phục tình trạng này, cần sàng lọc những hoạt động đã phát hiện được

để tập trung vào những mục đích nào đó căn cứ vào tầm quan trọng của cácmục đích này đối với việc thực hiện những mục đích còn lại

d Tập trung vào những hoạt động Toán họ c

Trong khi lựa chọn hoạt động, để đảm bảo sự tương thích của hoạtđộng đối với mục đích dạy học, ta cần nắm được chức năng phương tiện vàchức năng mục đích của hoạt động và mối liên hệ giữa hai chức năng nà y.Trong môn Toán, nhiều hoạt động xuất hiện trước hết như phương tiện để đạtđược những yêu cầu Toán học: kiến tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng Toán học.Đối với những hoạt động này ta cần phối hợp chức năng mục đích và chức

năng phương tiện theo phương thức: “Thực hiện chức năng mục đích của hoạt động trong quá trình thực hiện chức năng phương tiện”.

1.5.2 Gợi động cơ cho các hoạt động học tập

Việc học tập tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo đòi hỏi HS phải có

ý thức về những mục đích đặt ra và tạo được động lực bên trong thúc đẩ y bảnthân họ hoạt động để đạt các mục đích đó Điều này được thực hiện trong dạy

học không chỉ đơn giản bằng việc nêu rõ mục đích mà quan trọng hơn còn do gợi động cơ

Gợi động cơ “là làm cho học sinh có ý thức về ý nghĩa của những hoạt

động và của đối tượng hoạt động Gợi động cơ nhằm làm cho những mục tiêu

sư phạm biến thành những mục t iêu của cá nhân học sinh, chứ không phải chỉ

là sự vào bài, đặt vấn đề một cách hình thức” [12; 131]

Gợi động cơ không phải chỉ là việc làm ngắn ngủi lúc bắt đầu dạy một

tri thức nào đó, mà phải xuyên suốt quá trình dạy học Vì vậy có thể phân biệtnhững cách gợi động cơ sau: