khóa luận tốt nghiệp một số bài toán về hàm số chuyển đổi giữa các cấp số

Thực tế cho thấy nhiều học sinh, sinh viên gặp rất nhiều khó khăn khigiải các bài toán liên quan đến hàm số và đặc biệt là các bài toán về hàm sốchuyển đổi giữa các cấp số do đó không th

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hàm số là một lĩnh vực khó và rất rộng, các bài toán về hàm số rấtphong phú và đa dạng, thường xuyên xuất hiện trong các kì thi Olimpic Toán

Để giải được các bài toán về hàm số đòi hỏi người làm toán phải có kiến thứctổng hợp về số học, đại số và giải tích

Thực tế cho thấy nhiều học sinh, sinh viên gặp rất nhiều khó khăn khigiải các bài toán liên quan đến hàm số và đặc biệt là các bài toán về hàm sốchuyển đổi giữa các cấp số do đó không thể tránh khỏi hiện tượng nhiều họcsinh, sinh viên còn lúng túng, xa lạ, khó hiểu khi gặp các bài toán dạng này

Được sự góp ý của giáo viên hướng dẫn Th.S Nguyễn Thị Minh Hưng

và muốn tìm hiểu sâu sắc hơn về một số lớp hàm chuyển đổi giữa các cấp số

mà chưa được khai thác nhiều nên tôi chọn đề tài: “Một số bài toán về hàm

số chuyển đổi giữa các cấp số” Với mục đích mong muốn đề tài này sẽ góp

phần giúp học sinh, sinh viên có thêm những kiến thức cần thiết, phân loại cácdạng bài toán một cách dễ hiểu về hàm chuyển đổi giữa các cấp số

Cấu trúc của khóa luận gồm hai chương:

Chương 1 Cơ sở lý thuyết.

Trong phần này trình bày khái quát một số vấn đề cơ bản về lý thuyếthàm số, dãy số, các khái niệm về cấp số cộng, cấp số nhân, cấp số điều hòa vàmột số vấn đề liên quan

Chương 2 Một số bài toán về hàm số chuyển đổi giữa các cấp số.

Trong phần này sẽ mô tả một số lớp hàm chuyển đổi giữa các cấp sốcộng, cấp số nhân và cấp số điều hòa

2.1 Hàm số chuyển đổi từ cấp số cộng

2.2 Hàm số chuyển đổi từ cấp số nhân

2.3 Hàm số chuyển đổi từ cấp số điều hòa

Mặc dù đã tham khảo một lượng rất lớn các tài liệu cùng nỗ lự c của bảnthân nhưng do năng lực hiểu biết có hạn nên chắc chắn không tránh khỏi thiếusót Vì vậy rất mong được sự góp ý của thầy cô giáo và các bạn đọc để đề tàiđược hoàn thiện hơn.

2 Mục đích nghiên cứu

Tôi nghiên cứu đề tài này nhằm mục đích hệ thống một số dạng toán cơbản phù hợp từ đó giúp học sinh, sinh viên hình thành định hướng, kĩ nănggiải toán và không lúng túng khi giải các bài toán về hàm số chuyển đổi giữacác cấp số

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là: “Một số bài toán về hàm số chuyểnđổi giữa các cấp số”

4 Giả thiết khoa học

Nếu hệ thống được những kiến thức và sắp xếp các bài toán hàm sốchuyển đổi giữa các cấp số theo dạng chủ yếu thì sẽ khắc phục được nhữngkhó khăn mà học sinh, sinh viên gặp phải và nâng cao kĩ năng giải toán

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các cơ sở lý luận, cơ sở khoa học nhằm có một cái nhìntổng quát nhất về hàm số chuyển đổi giữa các cấp số

Phân tích và tổng hợp các dạng bài tập nhằm xây dựng được một hệ thốngcác bài tập với đầy đủ các dạng toán về hàm chuyển đổi giữa các cấp số

NỘI DUNG Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Hàm số

1.1.1 Định nghĩa hàm số

Định nghĩa Cho X Y, ⊂ , hàm số f xác định trên X, nhận giá trị

trong Y là một qui tắc cho tương ứng mỗi số x thuộc X với một số y duy nhấtthuộc Y

Người ta thường kí hi ệu hàm số hợp là: f = f2°f1

1.1.3 Hàm tuần hoàn

Định nghĩa Hàm f A: →R được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại

một số dương T thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

Cho f A: → và x0∈A Ta nói rằng hàm f liên tục tại điểm x nếu0

với bất kì số  >0 cho trước có thể tìm được số  >0 sao cho ∀ ∈x A mà

0

x−x < ta có f x( )− f x( 0) <

Nếu hàm f không liên tục tại điểm x ta nói rằng f gián đoạn tại0 x 0

Ta có thể phát biểu sự liên tục của hàm f tại điểm x như sau:0

Định nghĩa 2 Giả sử f A: → và x0∈A khi đó hàm số f được gọi là

liên tục tại điểm x khi và chỉ khi:0

1.1.4.2 Hàm số liên tục một phía, liên tục trên một khoảng, một đoạn.

Định nghĩa 3 Cho hàm số f A: → và x0∈A Hàm số f liên tục phải

tại điểm x0∈A nếu ∀ > 0 cho trước, ∃ > 0 sao cho ∀ ∈x A mà

Định nghĩa 4 Cho hàm số f A: → và x0∈A Hàm số f liên tục trái

tại điểm x0∈A nếu ∀ > 0 cho trước, ∃ >  0 sao cho ∀ ∈x A mà

Các hàm số liên tục phải và liên tục trái được gọi là liên tục một phía

Định lý: Điều kiện cần và đủ để hàm f liên tục tại điểm x0∈A là nó liên tục theo cả hai phía tại x 0

Định nghĩa 5 (Hàm liên tục trong một khoảng, trong một đoạn).

- Cho hàm số f xác định trên khoảng ( )a b, Ta nói rằng hàm f liên

tục trên khoảng ( )a b nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.,

- Giả sử hàm số f xác định trên đoạn [a; b] Hàm số f được gọi là

liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và liên tục phải tạiđiểm a, liên tục trái tại b

1.2 Dãy số

1.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa Một hàm số x xác định trên tập hợp số tự nhiên được

gọi là dãy số Đối với dãy số người ta thường viết x thay cho kiểu viết thông n

thường của hàm số là x n , với mỗi n( ) ∈ Dãy số này được kí hiệu là{ }x n ∀ ∈n N hoặc viết gọi là x n

Vì dãy số là một trường hợp đặc biệt của hàm số nên nó c ũng có cáctính chất của một hàm số

1.2.2 Dãy số tuần hoàn

Định nghĩa 1 Dãy số { }u n được gọi là một dãy tuần hoàn (cộng tính)

nếu tồn tại số nguyên dương l sao cho

,

n l n

u + =u ∀ ∈n N (1)

Số nguyên dương l nhỏ nhất để dãy { }u n thỏa mãn (1) được gọi là chu

kì cơ sở của dãy

Nhận xét: Dãy tuần hoàn chu kì 1 khi và chỉ khi dãy đó là một dãy hằng.

Tương tự ta cũng có định nghĩa về dãy tuần hoàn nhân tính

Định nghĩa 2 Dãy số { }u n được gọi là một dãy tuần hoàn nhân tính

nếu tồn tại số nguyên s (s>1) sao cho:

,

sn n

u =u ∀ ∈n N (2)

Số nguyên dương s nhỏ nhất để dãy { }u n thỏa mãn (2) được gọi là chu

kì cơ sở của dãy

Định nghĩa 3 Dãy số { }u n được gọi là một dãy phản tuần hoàn (cộng

tính) nếu tồn tại số nguyên dương l sao cho

,

Số nguyên dương l nhỏ nhất để dãy { }u n thỏa mãn (3) được gọi là chu

kì cơ sở của dãy

Định nghĩa 4 Dãy số { }u n được gọi là một dãy phản tuần hoàn nhân

tính nếu tồn tại số nguyên s (s>1) sao cho:

,

Số nguyên dương l nhỏ nhất để dãy { }u n thỏa mãn (4) được gọi là chu

kì cơ sở của dãy

Nhận xét.

i) Dãy phản tuần hoàn với chu kì l là một dãy tuần hoàn chu kì 2l

ii) Dãy phản tuần hoàn với chu kì s là một dãy tuần hoàn chu kì 2s

1.3 Cấp số cộng, cấp số nhân và cấp số điều hòa

Trong chương trình toán bậc trung học, các bài toán về cấp số cộng cấp số nhân đã được đề cập khá đầy đủ Đặc biệt trong sách giáo khoa và sách bồi dưỡng, nâng cao có một số lượng rất lớn các bài toán tính tổng, xác

định số hạng tổng quát, điều kiện để một dãy lập thành một cấp số,… Vì vậy,

trong mục này chúng ta chủ yếu tập trung khảo sát một số đặc trưng có liên quan trực tiếp tới dãy số là cấp số cộng, cấp số nhân và một vài dạng cấp số

ii) Khi dãy số { }u n lập thành một cấp số cộng thì hiệu d = −u1 u0 được

gọi là công sai của cấp số đã cho.

Nhận xét rằng khi cho một dãy số hữu hạn {u u0, ,1,u s} thỏa mãnđiều kiện:

u − = −u u u = = − u u− =thì ta cũng nói rằng dãy hữu hạn đã cho lập thành một cấp số cộng với côngsai d = −u1 u0

được gọi là một cấp số nhân.

ii) Khi dãy số { }u n lập thành một cấp số nhân thì thương 1

0

u q u

gọi là công bội của cấp số đã cho

Nhận xét rằng khi cho một dãy số hữu hạn {u u0, ,1,u s} thỏa mãnđiều kiện:

ii) Ngược lại nếu dãy số { }u n là một cấp số nhân với các số hạngdương thì dãy số { }v n với v n =loga u n,∀ ∈n N, 0< ≠a 1 sẽ lập thành một cấp

Chương 2 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ CHUYỂN ĐỔI

GIỮA CÁC CẤP SỐ 2.1 Hàm số chuyển đổi từ cấp số cộng.

Bài toán 2 Cho cấp số cộng { }a n và hàm số f :R→R thỏa mãn+

Vậy hàm số f x( )=ax+ ∀b, a b, ∈R chuyển mọi cấp số cộng thành cấp

số cộng

Chú ý Nhiều bài toán phương trình hàm khi ta giải cần phải sử dụng

các kết quả của “phương trình Cauchy” Trong các bài toán đó thì giả thiết của bài toán đưa ra là hàm số cần tìm có tính liên tục trên một tập hợp nào

đó và thỏa mãn một đẳng thức mà chúng ta có thể biến đổi chúng và chứng minh được hàm cần tìm có tính chất là một hệ chuyển đổi giữa các cấp số.

Nhiều trường hợp ta phải dùng phép đặt hàm phụ để đưa phương trình hàm

về dạng phương trình hàm mới theo hàm phụ thỏa mãn “phương trình

*

f n =na ∀ ∈n N

Tiếp theo ta khảo sát hàm số f x trong tập hợp( ) Z

Thay y= −x vào công thức f x( +y)= f x( )+ f y( ),∀x y, ∈ ta có:

Với mọi số thực r luôn tồn tại dãy số hữu tỷ ( )p n sao cho:

- Nếu thêm thay điều kiện liên tục bằng điều kiện f (x) có đạo hàm trên

thì bài toán có thể làm đơn giản hơn

Bài toán 5 b) Tìm các hàm số f x xác định và có đạo hàm trê n( ) vàthỏa mãn tính chất f x( + y)= f x( )+ f y( ),∀x y, ∈ (1)

Thử lại vào (1 ) suy ra b = 0

Vậy hàm số f(x)=ax,∀ ∈x ,a∈ tùy ý

Nhận xét Nếu thay điều kiện hàm liên tục bằng điều kiện hàm đồng

biến (hoặc nghịch biến trên R) ta vẫn thu được kết quả tương tự

Bài toán 5 c) Tìm các hàm số f(x) xác định và đồng biến trên vàthỏa mãn tính chất f x( + y)= f x( )+ f y( ),∀x y, ∈

Nhận xét Nếu hàm số nghịch biến trên thì f x( )=ax,∀ ∈x ,a>0 tùy ý

Bài toán 6 Tìm hàm số f x( ) xác định trên Z thỏa mãn điều kiện :

( ) ( )

x y g x g y g

Theo kết quả của bài toán 3 ta có f x( )=ax,∀ ∈x Z

Vậy hàm số f x( )=ax,∀ ∈x Z chuyển mọi cấp số cộng thành cấp số cộng Bài toán 7 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để dãy số { }a n lậpthành cấp số cộng là dãy số đó phải thỏa mãn hệ thức:

0 0

Bài toán 8 Chứng minh điều kiện cần và đủ để một hàm số chuyển

mọi cấp số cộng nguyên dương thành cấp số cộng là hàm đó chuyển tập các

Điều kiện đủ:

Hàm f chuyển tập các số tự nhiên thành cấp số cộng, tức là dãy{f n( )} là cấp số cộng ∀ ∈n Dãy { }a n là cấp số cộng nguyên dương, với

công bội là d∈ , ta phải chứng minh dãy {f a( n)} là cấp số cộng

Vì dãy{f n( )} là cấp số cộng nên theo công thức (*) ta có:

hay f a( n+1)− f a( n)= f d( )− f (0) không đổi

Vậy dãy {f a( n)} là cấp số cộng với công sai là f d( )− f(0)

Bài toán 9 Xác định các hàm số f : → + chuyển mọi cấp số cộng{ }a n ,a n∈ thành cấp số cộng.

Thử lại hàm số f x( )=ax+ ∀ ∈b, x , thỏa mãn điều kiện bài toán

Bài toán 10 Xác định hàm số f xác định trên * và chuyển cấp sốcộng nguyên dương { }a n cho trước thành cấp số cộng { }b n cho trước

Trong đó c tùy ý trong n chuyển cấp số cộng nguyên dương { }a n cho trướcthành cấp số cộng { }b n cho trước.

2.1.2 Hàm số chuyển đổi cấp số cộng thành cấp số nhân.

Bài toán 1 Chứng minh rằng nếu dãy số { }u n là một cấp số cộng thìdãy số { }v n với u n, , 0

Vậy dãy{ }v n là cấp số nhân với công bội bằng a d

Bài toán 2 Cho cấp số cộng { }a n và hàm số f :R→R thỏa mãn+

Như vậy ta có hai lớp chuyển đổi cấp số cộng thành cấp số nhân Vấn

đề đặt ra là đi tìm tất cả các hàm số có tính chất chuyển đổi một cấp số cộngbất kì thành một cấp số nhân Trước hết ta xét bài toán sau

Bài toán 3 Tìm hàm số f(x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện

Theo kết quả bài toán 3(2.1.1) thì g x( )=ax+b

Thử lại hàm f x( )=eax+b, ,a b∈R thỏa mãn điều kiện :

Bài toán 4 Xác định các hàm f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều k iện sau:

f x+ y = f x f y ∀x y∈R (*) Giải.

Theo bài toán 5.a mục 2.1.1 thì g x( )=bx b; ∈R tùy ý.

Vậy f x( )=e bx =a x với a > 0 tùy ý chuyển đổi cấp số cộng thành cấp

số nhân

2.1.3 Hàm số chuyển đổi cấp số cộng thành cấp số điều hòa

Bài toán 1 Cho cấp số cộng { }u n ,u n ≠ ∀ ∈0, n Nvà hàm số:

f R→R thỏa mãn điều kiện :+

Theo định nghĩa ta có dãy {f u( n)} là một cấp số điều hòa.

Bài toán 2 Tìm hàm số f :R→R xác định và liên tục trên R thỏa+

mãn điều kiện sau:

Vậy f x( ) 1,b 0

b

= > tùy ý chuyển đổi một cấp số cộng bất kì thành cấp

số điều hòa

2.2 Hàm số chuyển đổi từ cấp số nhân.

Trên cơ sở các bài toán trên ta tìm các hàm số chuyển các cấp số khác

trên tập số nguyên và số thực Trước tiên ta tìm những dãy số thực hiện phép chuyển tiếp một đại lượng trung bình của cặp phần tử của hàm số Các bài toán này liên quan chặt chẽ đến việc chuyển tiếp các cấp số, đến sự phỏng

đoán các cấp số tổng quát.

Dưới đây ta xét một số bài toán chuyển tiếp các đại lượng trung bình

cơ bản trong chương trình phổ thông.

Bài toán 2.1 Xác định dãy số u n sao cho( )

Do đó nghiệm của phương trình là u n( )=an+b a b, , tùy ý.

Bài toán 2.2 Xác định dãy số u n sao cho( )

 là nghiệm của phương trình (2).

c) Xét trường hợp >0 và  >0 Giả sử ∃ >n0 3 sao cho u n( )0 =0

Chọn n0 =3thì u n( 0 − =1) ( )u 2 =0 hay  =0 mẫu thuẫn

Do đó, ta có thể giả thiết rằng u n( )> ∀ ∈0, n Khi đó

( )3

4

2

u u

( ) ( )

22

u m u n

m n u

2.2.1 Hàm số chuyển đổi cấp số nhân thành cấp số cộng

Bài toán 1 Chứng minh rằng nếu dãy số { }u n là một cấp số nhân vớicác số hạng dương thì dãy số { }v n với v n =loga u n,∀ ∈n N, 0< ≠a 1 sẽ lậpthành một cấp số cộng

Giải.

Giả sử { }u n là một cấp số nhân với công bội bằng q

Xét dãy số { }v n với v n =loga u n,∀ ∈n N, 0< ≠a 1

Bài toán 2 Cho cấp số nhân { }a n với a n > ∀ ∈0, n N và hàm số f x( )thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) ( )

Vậy ta có f x( )=alnx+b a b, , ∈R tùy ý thỏa mãn điều kiện

Theo bài toán 2 (mục 2.2.1), ta có hàm số f x( )=alnx+b a b, , ∈R

chuyển đổi mọi cấp số nhân thành cấp số cộng

Bài toán 4 Tìm f : (0;1)→R thỏa mãn

2.2.2 Hàm số chuyển đổi cấp số nhân thành cấp số nhân.

Bài toán 1 Cho cấp số nhân { }a n với a n > ∀ ∈0, n N và cho hàm số:

f R+ →R thỏa mãn điều kiện:+ f xy( )= f x f y( ) ( ),∀x y, ∈R Chứng minh+.dãy số {f a( )n } là một cấp số nhân

Xét f x( ) 1≠ thì từ (1’) ta có f x( )≡0 và nghiệm này thỏa mãn (1)Xét f x( ) 1= Khi đó:

Vậy hàm số f x( )≡ ∀ ∈0, x R hoặc ( )+ f x =x,∀ ∈x R chuyển đổi+.một cấp số nhân bất kì thành cấp số nhân trong R

Bài toán 3 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để các dãy số dương

{ }a n lập thành một cấp số nhân là dãy số đó phải thỏa mãn hệ thức:

Theo bài toán 7 (mục 2.1.1.) thì (2’) là điều kiện cần và đủ để dãy { }b n

lập thành một cấp số cộng với công sai d = −b1 b0

Từ đó theo bài toán 1 (mục 2.1.2) ta suy ra điều phải chứng minh

n m

m n

a a a

Ta có x1n =x x1 n Suy ra x1=1 Giả sử n = p là số nguyên tố

Khi đó bằng quy nạp ta chứng minh được k ( )

k p p

Từ đó ta có kết luận sau: x p có thể nhận giá trị tùy ý khi p là mộtnguyên tố và ( ) ( )1 2 ( )

Bài toán 5 Xác định hàm số f thỏa mãn tính chất f mn( )= f m f n( ) ( )trong đó m n, ∈ *

có thể nhận giá trị tùy ý khi p là một số nguyê n tố.

Từ đó ta có kết luận, f(p) có thể nhận giá trị tùy ý khi p là một số

Vậy f p có thể nhận giá trịn tùy ý khi p là một số nguyên tố.( )

Kết luận: f p có thể nhận giá trịn tùy ý khi p là một số nguyên tố và( )

Điều kiện cần

Nếu hàm số f chuyển đổi cấp số nhân có công bội nguyên tố thành cấp

số nhân Giả sử { }u n là cấp số nhân ta phải chứng minh {f x( n)} cũng là cấp

số nhân Với u n =u q0 n ta xét hai trường hợp sau:

Nếu q là số nguyên tố thì bài toán đã được chứng minh

Nếu q không là số nguyên tố thì 1 2

Vậy ta có điều phải chứng minh

2.2.3 Hàm số chuyển đổi cấp số nhân thành cấp số điều hòa.

Bài toán 1 Cho cấp số nhân { }a n với a n > ∀ ∈0, n N và cho hàm số:

f R→R thỏa mãn điều kiện :+

Từ đó ta có dãy{f a( )n } là một cấp số điều hòa.

Bây giờ ta đi tìm tất cả các hàm số có tính chất chuyển một cấp số nhânbất kì thành cấp số điều hòa thô ng qua việc tìm tất cả các hàm số có tính chấtsau

Bài toán 2 Tìm hàm số f x( ) xác định và liên tục trên R thỏa mãn+