khóa luận tốt nghiệp các bài toán hình học không gian giải bằng phương pháp tọa độ

Ở trường THPT các bài toán hình học không gian từ xưa tới nay là phầnkhó đối với học sinh bởi hình học không gian có tính chất trừu tượng cao.Đứng trước một bài toán hình học không gian

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Từ trước đến nay kết quả học tập đạt được không chỉ phụ thuộc vàonhững nỗ lực của bản thân mỗi chúng ta mà còn phụ thuộc vào phương pháptruyền đạt của mỗi giáo viên Xã hội ngày càng phát triển, tri thức ngày mộttăng lên vì thế để đạt được hiệu quả cao trong học tập và lĩnh hội tốt tri thứccủa nhân loại thì không chỉ đòi hỏi ý thức tự học của mỗi cá nhân phát triểncao hơn mà mỗi giáo viên cần phải đổi mới phương pháp dạy học phù hợp.Với phân phối chương trình ở nhà trường phổ thông thì không thể thâutóm hết kho tàng nội dung kiến thức phong phú của nhân loại, không thể lĩnhhội hết mọi kiến thức mà mình mong muốn Vì thế chúng ta phải đặt raphương pháp dạy học phù hợp, phát huy được ý thức của người học Do vậyđòi hỏi người giáo viên phải biết cách tự tìm tòi, nghiên cứu các phương phápdạy học phù hợp, đó là kim chỉ nam, là nền tảng quan trọng xây dựng nên bềdày tri thức cho học sinh, giúp các em dễ dàng tiếp thu tri thức của nhân loại

Ở trường THPT các bài toán hình học không gian từ xưa tới nay là phầnkhó đối với học sinh bởi hình học không gian có tính chất trừu tượng cao.Đứng trước một bài toán hình học không gian ta có thể đưa ra được nhiềucách giải khác nhau trong đó có thể sử dụng phương pháp tọa độ Sử dụngphương pháp tọa độ trong không gian giúp các em giải toán một cách dễ dànghơn vì thế mỗi giáo viên cần có một phương pháp cụ thể để tạo cho các emhứng thú với chủ đề này, có kiến thức vững chắc học lên cao hơn

Tọa độ là một khái niệm mới của toán học được đưa vào chương trìnhToán THPT Bằng cách đưa vào một hệ trục tọa độ, mỗi vectơ, mỗi điểm đềuđược xác định bởi tọa độ của nó Việc nắm vững các nội dung toạ độ giúp họcsinh có thể chuyển nhiều bài toán hình học sang bài toán đại số và ngược lại.Nếu chúng ta sử dụng công cụ toạ độ để giải thì bài toán trở nên đơn giản hơnlời giải ngắn gọn hơn và cho ta một cái nhìn tổng quát hơn về bài toán Dạyhọc nội dung “toạ độ trong không gian” giúp cho học sinh có thêm một công

cụ mới để làm toán và để suy nghĩ về toán theo một phương pháp khác vớicác phương pháp quen thuộc từ trước đến nay.

Xuất phát từ những lí do trên, là một giáo viên tương lai với mong muốngóp một phần công sức nhỏ bé của mình trong việc tìm tòi, vận dụng, nângcao chất lượng dạy học bằng phương pháp mới, rèn luyện kĩ năng mà ngườihọc trong thời đại mới cần có, tạo tiền đề cho sự phát triển năng lực ở các bậchọc cao hơn và có thể vận dụng vào quá trình giảng dạy sau này, tôi quyết

định dành tâm huyết của mình với đề tài: “Các bài toán hình học không gian giải bằng phương pháp tọa độ ”

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài nay nhằm mục đích hệ thống phương pháp, thủ thuật và phân dạngbài tập chủ đề “ phương pháp tọa độ ” trong không gian ở chương trình môntoán trường THPT Thông qua đó đưa ra phương pháp giải phù hợp từ đó giúphọc sinh hình thành định hướng, kĩ năng giải toán Từ đó góp phần nâng caochất lượng học của học sinh nói riêng, nâng cao chất lượng giáo dục Toán họcnói chung

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là : “Các bài toán hình học không gian giải bằng phương pháp tọa độ ”

4 Giả thuyết khoa học

Nếu đưa ra các phương pháp, thủ thuật và phân dạng bài tập phù hợp sẽgiải quyết được một số khó khăn mà học sinh thường mắc phải và giúp các

em đạt kết quả cao trong học tập

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Phương pháp phân tích và tổng hợp lí thuyết

Phân tích lí thuyết là thao tác phân tài liệu lí thuyết thành các đơn vị kiến

đề ta nghiên cứu Con đường phân tích – tổng hợp cho phép ta nhận thứcđược nội dung, xu hướng phát triển khách quan của lí thuyết và từ đây tiếnhành suy diễn hình thành khái niệm, tạo ra hệ thống các phạm trù, lí thuyếtkhoa học mới.

5.2 Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục

Sự nghiệp giáo dục của chúng ta phát triển hết sức mạnh mẽ và đem lạinhững thành tựu to lớn Các nhà giáo dục trong công tác của mình đã tích lũyđược nhiều kinh nghiệm… Những kinh nghiệm này cần phải được nghiêncứu, tổng kết và đây chính là một phương pháp cho ta những thông tin thựctiễn có giá trị

5.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Đây là phương pháp thu nhận thông tin thông qua môi trường sư phạmnhằm kiểm tra khả năng thực thi và tính hiệu quả của các vấn đề nghiên cứu

6 Dự kiến đóng góp của khóa luận

- Xây dựng được một số phương pháp giải toán, giúp học sinh nắm bắtđược yêu cầu, vai trò và tầm quan trọng trong việc sử phương pháp tọa độ

- Phân tích và tổng hợp được một số dạng toán và các phương pháp thủthuật giải toán bằng phương pháp tọa độ

7 Cấu trúc của khóa luận tốt nghiệp

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, kí hiệu viết tắt, đề tàigồm 3 chương

Chương 1: Cơ sở lí thuyết.

Chương 2: Các bài toán hình học không gian giải bằng phương pháp tọa độ Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

Chương 1 CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.1 Sơ lược về sự học tập của học sinh THPT

1.1.1 Điểm học tập và sự phát triển trí tuệ của học sinh THPT

Nội dung và tính chất của hoạt động học tập của thanh niên học sinh đòihỏi tính năng động và tính độc lập ở mức độ cao hơn nhiều, đồng thời muốnnắm được chương trình một cách sâu sắc thì cần phát triển tư duy lý luận

* Hoạt động học tập của học sinh THPT có tính chất độc đáo về mụcđích và kết quả hoạt động Học sinh học tập để tiếp thu các tri thức khoa học,cung cấp và trang bị kiến thức hình thành thế giới quan và nhân sinh quan

* Hoạt động học tập diễn ra trong điều kiện có kế hoạch vì nó phụ thuộcvào nội dung, chương trình, mục tiêu, phương thức và thời gian học tập

Ở tuổi thanh niên mới lớn những đặc điểm chung của con người về mặttrí tuệ thông thường đã được hình thành và chúng vẫn còn tiếp tục hoàn thiện.Hoạt động tư duy của học sinh THPT phát triển mạnh, khả năng tư duy trừutượng, tư duy lí luận độc lập, sáng tạo cao Năng lực phân tích tổng hợp pháttriển, học sinh thích khái quát, tìm hiểu quy luật, các vấn đề triết lý…

1.1.2 Tác động của phương pháp dạy học đối với sự phát triển trí tuệ 1.1.2.1 Khái niệm phương pháp dạy học

Phương pháp thường được hiểu là con đường, là cách thức để đạt đượcnhững mục tiêu nhất định Phương pháp dạy học liên hệ với quá trình dạyhọc, trong đó việc dạy điều khiển việc học

1.1.2.2 Mối quan hệ giữa dạy học và sự phát triển trí tuệ

Trong điều kiện hiện nay, sự tiến bộ của kĩ thuật và nhịp độ phát triểncủa khoa học đề ra những yêu cầu ngày càng cao đối với trình độ văn hóachung của thế hệ trẻ Nếu như thời văn minh nông nghiệp, mục đích của học

để biết thì ngày nay, thời văn minh tin học, người ta học để sống

Dạy học và phát triển trí tuệ có quan hệ chặt chẽ với nhau Trong quátrình dạy học có sự biến đổi thường xuyên vốn kinh nghiệm của học sinh,biến đổi cả về số lượng và chất lượng của hệ thống tri thức Cùng với sự biếnđổi đó, quá trình dạy học và những năng lực trí tuệ của học sinh cũng đượcphát triển Có thể nói, dạy học là một trong những con đường cơ bản để pháttriển trí tuệ một cách toàn diện Dạy học không chỉ ảnh hưởng đến sự pháttriển năng lực trí tuệ, mà còn ảnh hưởng đến các mặt khác của nhân cách nhưnhu cầu nhận thức, hứng thú học tập, động cơ học tập, lòng ham hiểu biết, …

1.2 Một số khái niệm

1.2.1 Khái niệm hoạt động học

Trước hết theo Tâm lý học thì hoạt động là sự tác động của con ngườivào thế giới khách quan tạo ra sự thay đổi cả về con người và thế giới kháchquan, trong đó con người là chủ thể còn thế giới khách quan là khách thể, haynói cách khác là đối tượng của hoạt động Theo Triết học hoạt động là quátrình diễn ra giữa con người với giới tự nhiên, một quá trình trong đó bằnghoạt động của mình con người làm trung gian điều tiết kiểm tra sự trao đổichất giữa họ và tự nhiên Như vậy, hoạt động học là hoạt động đặc thù củacon người được điều khiển bởi mục đích tự giác là lĩnh hội tri thức, kỹ năng,

kỹ xảo mới, những giá trị, những hình thức hành vi và những dạng hoạt độngnhất định đây là một hoạt động đặc thù của con người

1.2.1 Bản chất của hoạt động học

Hoạt động học chính là sự lĩnh hội, biến đổi nền văn hoá của loàingười nhờ đó mà hình thành và phát triển các năng lực cũng như nhu cầutrong mỗi người

Hoạt động học tập là hoạt động chuyển hướng vào sự tái tạo lại tri thức

ở người học, sự tái tạo ở đây hiểu theo nghĩa là phát hiện lại Để tái tạo lại,người học không có cách gì khác đó là phải huy động nội lực của bản thân

1.3 Cơ sở thực tiễn

Hiện nay học sinh THPT càng ngày càng trưởng thành, kinh nghiệmsống ngày càng phong phú, các em càng ý thức được rằng mình đang đứngtrước ngưỡng cửa cuộc đời Đại đa số học sinh đã hình thành những hứng thúhọc tập gắn liền với khuynh hướng nghề nghiệp, các em có thái độ học tậpđược thúc đẩy bởi động cơ học tập, đó có thể là động cơ xuất phát từ giađình, bạn bè …

Bên cạnh đó, thái độ học tập ở một số bộ phận học sinh còn mang cácnhược điểm như: Chưa xác định đúng định hướng nên các em chỉ tập trunghọc một số môn, một số phần mà các em cho là quan trọng

Hiện nay đại đa số các em đều tập trung vào việc học môn đại số vàdường như không quan tâm đến việc học môn hình học, nhất là hình trừutượng đòi hỏi người học có sự tư duy và logic cao

1.4 Tiểu kết chương 1

Ở chương 1, chúng ta có thể đánh giá và nhìn nhận một cách khái quát vềtình hình học tập của học sinh THPT Chúng ta nắm được một phần vềphương pháp dạy học: "Phương pháp dạy học là cách thức hoạt động và giaolưu của thầy gây nên những hoạt động và giao lưu cần thiết của trò nhằm đạtđược mục tiêu dạy học" Từ đó rút ra mối quan hệ chặt chẽ giữa dạy học và sựphát triển trí tuệ Bởi vậy trong quá trình dạy học, việc nắm vững tri thức vàviệc phát triển trí tuệ tác động qua lại hết sức chặt chẽ với nhau Sự phát triểntrí tuệ vừa là kết quả, vừa là điều kiện của việc nắm vững tri thức, của hoạtđộng học tập

Như vậy, qua chương này chúng ta có thể có một cơ sở lí luận vững chắc

để từ đó xây dựng được cách nhìn thực tiễn phù hợp cho yêu cầu tìm hiểu củabản thân

Chương 2 CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GIẢI

BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 2.1 Phân phối chương trình chủ đề "phương pháp tọa độ" trong chương trình SGK

* Chương trình SGK trình bày chủ đề " Phương pháp tọa độ ” ở ChươngIII, SGK lớp 12 Phương pháp tọa độ trong không gian:

Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

Bài 2: Phương trình mặt phẳng

Bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian

2.2 Dạy học phân loại chủ đề “ Phương pháp tọa độ ”

2.2.1 Một số khái niệm

* Định nghĩa hệ tọa độ

Trong không gian cho ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc với nhau từngđôi một Gọi , ,  i j k

lần lượt là các vector đơn vị trên các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz

Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyztrong không gian, hay đơn giản được gọi là hệ tọa độ Oxyz

* Định nghĩa tọa độ của một điểm

Trong không gian Oxyz , cho một điểm M tùy ý Vì ba vector , ,i j k

  

không đồng phẳng nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho:

OM= +xi y j zk+  Ta gọi bộ ba số (x; y; z) đó là tọa độ của điểm M đối với

hệ trục tọa độ Oxyz đã cho và viết M = (x; y; z) hoặc M(x; y; z)

* Định nghĩa tọa độ của một vector

Trong không gian vector Oxyz cho vector A

, khi đó luôn tồn tại duy nhất

bộ ba số (a1; a2; a3) sao cho OA a i a j a k= +1 2+ 3 Ta gọi bộ ba số (a1; a2; a3) đó

là tọa độ của vector A

đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước và a

(a1; a2; a3)

Chú ý: Ta có u =kv và dấu của k phụ thuộc vào sự cùng hướng hay

ngược hướng giữa hai vectơ u

và v

- w( )  u v =0

* Định lí về quan hệ vuông góc: Cho u

có phương vuông góc với phương

hai đường chéo tứ giác đáy).

+) Các công thức liên quan đến tọa độ

+) Các công thức liên quan đến điểm.

* Tọa độ vectơ theo tọa độ điểm mút AB x( A−x B;y A− y B;z A−z B)

* Tọa độ các loại trọng tâm

- Trung điểm của đoạn thẳng AB là: ; ;

2.3 Phương pháp giải chung

2.3.1 Phương pháp giải toán

Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ tacần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quandựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình Bài toán đơn giản haykhông một phần phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ vuông góc và đơn vịtrên các trục Dưới đây là nguyên tắc căn bản để lập hệ tọa độ giải toán

2.3.2 Nguyên tắc lập hệ tọa độ

- Vẽ hình theo yêu cầu bài toán, sau đó tìm một quan hệ vuông góc ở mặtđáy điều này có nghĩa là xác đ ịnh hai đường thẳng cố định ở mặt đáy vuônggóc với nhau Nơi giao nhau và vuông góc đó chính là gốc tọa độ cần chọn vàđồng thời hai trục kia chính là hai trục hoành và trục tung

- Từ gốc (đã xác định) ta dựng trục vuông góc vói mặt đáy để hoàn thànhviệc thiết lập hệ trục, trục vuông góc với đáy chính là trục cao.

- Nhìn vào hình vẽ khai tọa độ các điểm liên can đến yêu cầu bài toán, để

ý rằng với một số điểm không sẵn khai tọa độ ta cần kiểm soát các quan hệcùng phương, đồng phẳng…để khai bằng được tọa độ các điểm liên can tớiyêu cầu bài toán

- Xử lý các yêu cầu của bài toán

2.4 Các bài toán hình học không gian giải bằng phương pháp tọa độ

2.4.1 Hình chóp tam giác.

2.4.1.1 Phương pháp lập hệ tọa độ.

* Đối với tam diện vuông

- Chọn gốc của hệ trục trùng với đỉnh của

góc tam diện vuông

- Ba trục chứa ba cạnh xuất phát từ đỉnh

góc tam diện vuông đó

* Đối với hình chóp đều

Ta chọn hệ trục tọa độ như sau

* Đối với hình chóp SABC có SAvuông góc với đáy và ∆ABC vuôngtại A

* Đối với hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy và tam giác ABCvuông tại B, thì hệ trục tọa độ vuông góc được thiết lập theo hai dạng

* Đối với hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy và tam giác ABCcân tại A, thì hệ trục tọa độ vuông góc được thiết lập theo hai dạng

* Một số bài tập.

Bài toán 1: (Khối D – 2002) Cho hình chóp ABCD có AB, AC, AD đôi

một vuông góc với nhau, AB = 3, AC = AD = 4 Tính khoảng cách từ điểm atới mặt phẳng (BCD)

*) Giáo viên hướng dẫn.

*) Lời giải đầy đủ:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho: Aº O D, Î Ox C, Î Oy B, Î Oz

Bài toán 2: Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi một

vuông góc Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đếncác mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3 Tính a, b, c để thể tích O.ABCnhỏ nhất

*) Giáo viên hướng dẫn:

Giáo viên: Hãy chọn hệ trục tọa độ cho

bài toán và suy ra các tọa độ cần thiết

Trả lời phương trình mặt phẳng (ABC): x y z 1

= Û = = = Û íïï ==

ïïî

*) Lời giải đầy đủ:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0),C(0; 0; c)

16

Bài toán 3: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng

(ABC) Tam giác ABC vuông tại B, AB = a, BC = b Đường thẳng SC tạo vớimặt phẳng (ABC) góc 600 Tính thể tích hình chóp và bán kính mặt cầu ngoạitiếp hình chóp

*) Giáo viên hướng dẫn:

Giáo viên nhận xét: Theo giả thiết ta có

dữ kiện SA vuông góc với mặt (ABC) nhưng

ta không chọn A làm gốc tọa độ vì khi đó việc

suy ra các tọa độ sẽ rất khó khăn Ta để ý thấy

có tam giác ABC vuông tại B với AB = a, BC

= b ta có thể chọn đỉnh vuông B của tam giác

ABC làm gốc tọa độ, khi đó ta có hai trục Ox

và Oy chứa 2 cạnh xuất phát từ B Trục còn lại được dựng vuông góc với mặt(ABC) qua B

Giáo viên: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, chỉ ra tọa độ các điểm

Trả lời: B(0;0;0), A(a;0;0), C(0;b;0)

Giáo viên: Giả sử SA = h,

Trả lời: Nếu SA= h thì S(a;b;h) ⇒SC= −( a b, ,−h)

Giáo viên: Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

Trả lời: Mặt phẳng (ABC) có phương trình: z = 0 với n=( , , )a b h là

Giáo viên: Do SC tạo với (ABC) góc 600 nên sin 600 n SC.

Giáo viên: Gọi I x y z là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.( ,0 0, 0)

Ta có: IA2 =IB2 =IC2 =IS2 (1) Thay tọa độ vào (1) tìm tọa độ

*) Lời giải đầy đủ:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ

Giả sử SA = h, khi đó B(0;0;0), A(a;0;0), C(0;b;0), S(a;b;h)

Bài tập 1: Tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy và D ABC

vuông tại C Độ dài của các cạnh là SA = 4, AC = 3, BC = 1 Gọi M là trungđiểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M

Tính cosin góc phẳng nhị diện [H, SB, C]?

Bài tập 2: ( ĐHSP I Khối A- 2000) Trong không gian cho các điểm A,

B, C theo thứ tự thuộc các tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi mộtsao cho OA = a, OB = a 2 , OC = c( a, c > 0) Gọi D là đỉnh đối diện với Ocủa hình chữ nhật AOBD và M là trung điểm của đoạn BC (P) là mặt phẳng

đi qua A, M và cắt mặt phẳng (OCD) theo một đường thẳng vuông góc vớiAM

a) Gọi E là giao điểm của (P) với OC, tính độ dài đoạn OE.

b) Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khốichóp C.AOBD bởi mặt phẳng (P)

Bài tập 3: Cho hình chóp tam giác đều SABC có độ dài cạnh đáy là a,

đường cao SH = h Mặt phẳng ( )a đi qua AB và vuông góc với SC.

a) Tìm điều kiện của h theo a để ( )a cắt SC tại K.

b) Tính diện tích D ABK

2.4.1.3 Dạng bài toán định tính

* Phương pháp giải chung

Ta thực hiện theo các bước sau

Bước 1 : Thiết lập hệ trục tọa độ thích hợp của tam diện, từ đó suy ra tọa

độ của các điểm cần thiết

Bước 2 : Thiết lập biểu thức giải tích cho điều kiện, từ đó suy ra kết quảcần chứng minh Cụ thể :

Để chứng minh một biểu thức vector, ta cần xác định tọa độ của cácvector trong biểu thức đó, từ đó thay vào biểu thức để đưa ra kết luận

Chứng minh mối liên hệ đại số

Mối liên hệ giữa vector chỉ phương với vị trí tương đối giữa hai đườngthẳng và giữa đường thẳng với mặt phẳng

* Một số bài tập

Bài toán 1: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC)

và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c Tính diện tích S củatam giác BCD theo a, b, c Chứng minh rằng: 2S≥ abc a( + +b c)

*) Giáo viên hướng dẫn:

Giáo viên: Chọn hệ trục tọa độ, tìm tọa độ các điểm cần thiết

Trả lời: A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a)

Trả lời: 2S ≥ abc a( + +b c)

*) Lời giải đầy đủ:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có tọa độ các điểm là:

Bài toán 2 : Cho tứ diện vuông OABC vuông tại O, biết rằng OA, OB,

OC lần lượt hợp với mặt phẳng (ABC) các góc   , , Chứng minh rằng:

c +c +c  =

*) Giáo viên hướng dẫn học sinh.

Giáo viên gởi mở hướng dẫn học sinh Chọn hệ trục tọa độ thích hợpHọc sinh: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc O trùng với gốc O củahình tam diện Các tia Ox, Oy, Oz lần lượt trùng với các tia OA, OB, OC

- Xác định tọa độ các điểm cần thiết

Học sinh : Giả sử các cạnh OA, OB, OC lần lượt có độ dài a, b, c, khi đó:A(a; 0 0 ), B(0; b; 0), C (0; 0; c)

Giáo viên : Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm vector chỉphương của nó

Trả lời : Phương trình mặt phẳng (ABC) là

Bài toán 3: Cho tứ diện đều SABC có cạnh là a Dựng đường cao SO

Chứng minh rằng SA^ BC Tính thể tích và diện tích toàn phần củahình chóp SABC

Gọi I là trung điểm của SO Chứng minh rằng IA, IB, IC đôi một vuônggóc với nhau

*) Giáo viên hướng dẫn:

Giáo viên: Gọi M là trung điểm BC

Gọi SO là đường cao của tứ diện đều nên

SH là trục đường tròn (ABC) Tính AH?

Trả lời: Gọi M là trung điểm

Þ uur uuur^ Vậy SA^ BC

Giáo viên: Tính thể tích và diện tích toàn phân của hình chóp SABC?Trả lời: Thể tích hình chóp:

Tương tự ta có IB^ IC IC; ^ IA Vậy IA, IB,IC đôi một vuông gócVậy IA, IB, IC đôi một vuông góc với nhau

*) Lời giải đầy đủ:

2

a

Gọi SO là đường cao của tứ diện đều nên SH là trục đường tròn (ABC)

Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Cho tứ diện OABC có các góc phẳng ở đỉnh O là vuông, ngoài

ra OC = OA + OB Chứng minh rằng tổng các góc phẳng ở đỉnh C = 900

Bài tập 2: (ĐHGT- 2001) Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a,

M là trung điểm của cạnh BC Trên các nửa đường thẳng AA1, MM1 vuônggóc với mặt phẳng (ABC) về cùng một phía, lấy tương ứng các điểm N,I saocho 2MI = NA = a Gọi H là chân đương cao vuông góc hạ từ A xuống NB.Chứng minh rằng AH ⊥ NI

2.4.1.4 Giải bài toán cực trị

* Phương pháp chung

Bước 1 : Thiết lập hệ trục tọa độ thích hợp, từ đó suy ra tọa độ các điểmcần thiết

Bước 2: Thiết lập biểu thức điều kiện(nếu có )

Bước 3: Lựa chọn phương pháp tìm cực trị (Phương pháp tam thức bậchai, sử dụng bất đẳng thức, sử dụng đạo hàm)

* Một số bài tập.

Bài toán 1: Cho điểm M nằm trong tam diện vuông Oxyz Mặt phẳng

( )a thay đổi đi qua M và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm phân

biệt A, B, C Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích tứ diện OABC

*) Giáo viên gợi ý:

Giáo viên: Hãy chọn hệ tọa độ thích hợp

Trả lời : OAÎ x OB, Î y OC, Î z

Giáo viên: Giả sử M = (x y z0, 0, 0) và mặt

phẳng ( )a cắt Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B,

C Tìm tọa độ A, B, C

Trả lời: A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)

Giáo viên: Viết phương trình ( )a

33

0 0 0

0 0 0

2727

33

= = = Û íïï ==

ïïî

Bài toán 2: Cho tam giác ABC vuông tại A và đường thẳng ∆ vuônggóc với mặt phẳng (ABC) tại điểm A Các điểm M, N thay đổi trên đườngthẳng ∆ sao cho (MBC)⊥(NBC)

Chứng minh rằng AM, AN không đổi

Xác định vị trí của M, N để tứ diện có thể tích nhỏ nhất

*) Giáo viên hướng dẫn:

Giáo viên: Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O trùng với điểm A , các tia

Ox, Oy, Oz lần lượt trùng với các đường thẳng AB, AC, AM Đặt AB = a, AC

= b, AM = m (b, c không đổi) Chỉ ra tọa độ

các đỉnh?

Trả lời: A(0; 0; 0), B(b; 0; 0), C(0 ;c ;

0), M(0 ;0; m)

Giáo viên: Giả sử N(0; 0; n)

Giáo viên:Yêu cầu viết phương trình

Giáo viên: Ta có AM = m, AN = n để AM, AN không đổi ta cần tìm m, n

là hằng số Theo giải thiết :(MBC) (⊥ NBC)⇔n n   =0 Từ đây rút m, n = ?

b c V

=

+ Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Trả lời: Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

*) Lời giải đầy đủ:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O trùng với điểm A ta có:

AB∈Ox AC∈Oy AM ∈Oz

Đặt AB = a, AC = b, AM = m (b, c không đổi)

Bài tập 1 (ĐHHH 95): Cho góc tam diện vuông Oxyz Điểm N cố định

nằm trong góc tam diện, mặt phẳng (P) qua N cắt Ox, Oy, Oz tại A, B, C gọikhoảng cách từ N đến các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OAC) là a, b, c

a) Tính OA, OB, OC để thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất.b) Tính OA, OB, OC để OA + OB + OC đạt giá trị nhỏ nhất

Bài tập 2: Cho góc tam diện vuông Oxyz trên Ox, Oy, Oz lấy các điểm

A, B, C sao cho OA = a, OB = b, OC = c với a < b < c Một đường thẳng (d)

đi qua O Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất có thể nhận được của tổng khoảngcách từ các điểm A, B, C đến (d)

2.4.2 Hình chóp tứ giác

2.4.2.1 Phương pháp lập hệ tọa độ

* Đối với hình chóp đều SABCD thì hệ tọa độ được thiết lập dựa trêngốc O trùng với tâm của đáy và trục Oz trùng với đường cao của đáy, cụ thể:

* Đối với hình chóp SABCD có SA vuông góc với đáy

- Đáy là hình chữ nhật - Đáy là hình thang tại A, B (hoặc B, C)

- Đáy là nửa lục giác đều - Đáy là hình thoi

Bài toán 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông c ạnh a,

SA ⊥(ABCD), SA = a Mặt phẳng( ) qua A vuông góc với SC cắt SB,

SC, SD lần lượt tại M, N, P Chứng minh

rằng tứ giác AMNP có hai đường chéo

vuông góc và tính diện tích của tứ giác đó

*) Giáo viên hướng dẫn

Giáo viên đặt câu hỏi gợi mở hướng

dẫn học sinh Chọn hệ tọa độ thích hợp

Học sinh: Chọn hệ trục Oxyz sao cho

gốc O trùng với điểm A, các tia Ox, Oy, Oz lần lượt trùng với các tia AB,

AD, AS.Khi đó A(0; 0; 0), B(a; 0; 0),

Giáo viên: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A và vuông góc với SC

Học sinh: Ta có phương trình mặt phẳng( ) đi qua A(0; 0; 0) có vectorpháp tuyến u 1=n là :x+y− 2z=0

Giáo viên: Hãy xác định tọa độ điểm N qua mf ( ) và đường thẳng SCHọc sinh: Phương trình đường thẳng SC đi qua C(a; a; 0) có vector chỉ

t a y

t a x SC

2

:)( Ta có N∈SC⇒N(a+t;a+t;− 2t)

20

22)

Giáo viên: Tương tự hãy xác định tọa độ điểm M, P.

Học sinh: Phương trình đường thẳng SB đi qua B (a; 0; 0) có vector chỉ

y

t a x SB

2

0:)( Ta có M∈ ⇒SB M a t( + ;0;− 2t)

30

220)

;3

2a a M

Phương trình đường thẳng SD đi qua D (a; a; 0) có VTCP u3

t a y

x

SD

2

0:

220)

Giáo viên : Tính diện tích tứ diện AMNP theo AN và MP

*) Lời giải đầy đủ

Dựng hệ trục Oxyz sao cho gốc O trùng với điểm A, các tia Ox, Oy, OZlần lượt trùng với các tia AB, AD, AS

Khi đó: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0), S(0; 0; a )

t a y

t a x

22)

;2

a a a N

;3

Bài tập 2: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

SA⊥ ABCD Mặt phẳng( ) qua BC hợp với

AC góc 300 cắt SA, SD lần lượt tại M, N tính

diện tích thiết diện BCMN

*) Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng

minh.

Giáo viên đặt câu hỏi gởi mở hướng dẫn

học sinh Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp

Học sinh: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao

cho gốc O trùng với điểm A, các tia Ox, Oy, Oz lần lượt trùng các tia AB,

AD, AS

Giáo viên: Xác định tọa độ các điểm cần thiết

Học sinh: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(0; a; 0), S(0; 0; 2a)

Giáo viên: Xác định vector chỉ phương của đường thẳng AC

Học sinh: Đường thẳng AC có vector chỉ phương AC=( ; ;0)a a =au

Giáo viên: Dựa vào giả thiết đã cho mặt phẳng ( ) qua BC hợp với ACgóc 300 Hãy xác định h

Học sinh: Ta có ( ) qua BC hợp với AC góc 300

⇒M là trung điểm của SA.

Giáo viên: MN có song song với AD không ?

AC BC

SAD MN

//

//

//

)()(

Giáo viên: Khi đó thiết diện BMNC là hình gì ?

Học sinh: BMNC là hình thang vuông tại B, M

Giáo viên: Tính độ dài đoạn thẳng MN, BM

Học sinh : Xét tam giác ABM vuông cân tại đỉnh A ⇒BM =a 2

Giáo viên: Tính thể tích của thiết diện vừa tìm được

Hoc sinh : Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAD

*) Lời giải đầy đủ.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc O trùng với điểm A, các tia Ox,

Oy, Oz lần lượt trùng các tia AB, AD, AS

Khi đó: A(0; 0;0), B(a; 0; 0), C (0; a; 0), S(0; 0; 2a);

SAD MN

//

//

//

)()(

BC ( ) BMNC là hình thang vuông tại B, M

Tam giác ABM vuông cân tại đỉnh A ⇒BM =a 2

MN là đường trung bình của tam giác SAD

Bài toán 3: Cho hình chóp SABCD, đáy có cạnh bằng a Gọi M, N lần

lượt là trung điểm của SA, SC Biết rằng MB vuông góc với DN Tính thểtích khối chóp SABCD

*) Giáo viên hướng dẫn học sinh

Giáo viên đặt câu hỏi gợi mở hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ thích hợp

và xác định tọa độ các điểm cần thiết

Học sinh: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ trùng với tâm củahình vuông ABCD.

Các tia Ox, Oy, Oz lần lượt trùng với các

tia OA, OB, OS

*) Lời giải đầy đủ.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ trùng với tâm của hìnhvuông ABCD Các tia Ox, Oy, Oz lần lượt trùng với các tia OA, OB, OS