khóa luận tốt nghiệp bồi dưỡng cho học sinh lớp 10 khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học thông qua dạy học các nội dung vectơ và tọa độ

Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu việc bồi dưỡng cho học sinh lớp 10 khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học thông qua dạy học giải bai tập các nội dung vectơ và tọa độ, từ đó góp phần hoàn thi

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Giả thuyết khoa học 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc luận văn 2

NỘI DUNG 4

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Ngôn ngữ toán học 4

1.2 Vectơ, tọa độ như là ngôn ngữ để nghiên cứu hình học 11

1.3 Nội dung chương trình hình học 10 13

Chương 2 BỒI DƯỠNG CHO HỌC SINH LỚP 10 KHẢ NĂNG SỬ DỤNG NGÔN NGỮ TOÁN HỌC THÔNG QUA DẠY HỌC CÁC NỘI DUNG VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ 17

2.1 Giúp học sinh nắm vững cú pháp và ngữ nghĩa của ngôn ngữ toán học về vectơ – tọa độ 17

2.2 Dạy học các nội dung vectơ và tọa độ cho học sinh lớp 10 theo hướng tiếp cận ngôn ngữ toán học 20

KẾT LUẬN 29

TÀI LIỆU THAM KHẢO 30

PHỤ LỤC 31

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong dạy học môn Toán sử dụng đồng thời hai loại ngôn ngữ: ngôn ngữ

tự nhiên và ngôn ngữ toán học Không có một ranh giới rõ ràng giữa ngôn ngữ

tự nhiên và ngôn ngữ toán học mà chúng có sự “hòa quyện” với nhau Do đó trong dạy học môn Toán, giáo viên không chỉ truyền đạt tri thức toán học mà còn giúp hình thành, phát triển ngôn ngữ toán học, đồng thời rèn luyện và phát triển ngôn ngữ tự nhiên cho học sinh Bên cạnh đó thì “Ngôn ngữ như đã được thừa nhận có vị trí cực kì quan trọng trong vốn văn hóa của con người Toán học nhà trường có điều kiện để góp phần phát triển ngôn ngữ thông qua phát triển ngôn ngữ toán”

Ngôn ngữ toán học là phương tiện giao tiếp giữa giáo viên và học sinh trong lớp học Toán Vì vậy, ngôn ngữ toán học có ảnh hưởng không nhỏ đến chất lượng dạy học môn Toán ở trường phổ thông Trong thực tiễn dạy học, nhiều giáo viên chưa thực sự quan tâm, tạo ra môi trường học tập mà ở đó học sinh được tập luyện sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học giáo viên chưa có những biện pháp giúp học sinh sử dụng hiệu quả ngôn ngữ toán học trong học tập môn Toán

Qua nghiên cứu chủ đề vectơ, tọa độ ở hình học 10 theo hướng tiếp cận ngôn ngữ toán học chúng tôi thấy vectơ, tọa độ đã tạo nên bước phát triển đáng

kể trong toán học Nhờ các công cụ này mà nhiều sự kiện toán học đặc biệt là hình học đã được trình bày và chứng minh gọn gàng hơn Hơn nữa học sinh còn

có thêm hai phương pháp giải toán quan trọng và chủ yếu là phương pháp vectơ

và phương pháp tọa độ Những bài toán hình học từng được diễn đạt bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp, sau khi “phiên dịch” sang ngôn ngữ vectơ, ngôn ngữ tọa

độ sẽ chuyển thành bài toán đại số thuần túy, tận dụng được những công cụ của đại số để giải toán Nghĩa là trong khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học của học sinh đã nâng lên một bước so với trước đó Điều này đòi hỏi trong dạy học hình học 10, giáo viên phải có những nguyên tắc và biện pháp sư phạm hợp lí để phát triển ngôn ngữ toán học cho học sinh

Xuất phát từ những lý do trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu “Bồi dưỡng cho học sinh lớp 10 khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học thông qua dạy học các nội dung vectơ và tọa độ”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu việc bồi dưỡng cho học sinh lớp 10 khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học thông qua dạy học giải bai tập các nội dung vectơ và tọa độ, từ đó góp phần hoàn thiện nội dung và phương pháp dạy học các chủ đề này ở hình học THPT

3 Giả thuyết khoa học

Trong dạy học chủ đề vectơ và tọa độ ở hình học 10 nếu có tăng cường hợp lí các hoạt động để phát triển ngôn ngữ toán học thì sẽ góp phần nâng cao kết quả học tập của học sinh

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số nội dung sau

- Ngôn ngữ toán học

- Vectơ, tọa độ như là ngôn ngữ để nghiên cứu hình học

- Nội dung chương trình hình học 10

- Bồi dưỡng cho học sinh lớp 10 khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học thông qua dạy học các nội dung vectơ và tọa độ

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận

- Điều tra – quan sát

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và tài liệu tham khảo nội dung chính của đề tài gồm có hai chương

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Bồi dưỡng cho học sinh lớp 10 khả năng sử dụng ngôn ngữ

toán học thông qua dạy học các nội dung vectơ và tọa độ

Trong quá trình nghiên cứu đề tài này, mặc dù bản thân đã hết sức cố gắng, tuy nhiên chắc khó tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế Mong nhận được

sự đóng góp ý kiến của các giáo viên, các bạn học sinh và sinh viên cũng như các bạn đọc để đề tài này ngày càng hoàn thiện và hữu ích hơn

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến giảng viên – Tiến sĩ Phan Anh đã hướng dẫn, giúp đỡ cho chúng tôi trong quá trình thực hiện đề tài này

Xin trân trọng cảm ơn!

Hà Tĩnh, tháng 5 năm 2014

Tác giả

Phan Thị Minh Thư

NỘI DUNG Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Ngôn ngữ toán học

1.1.1 Sơ lược về ngôn ngữ

a Quan niệm

Theo Từ điển Tiếng Việt “Ngôn ngữ là hệ thống những âm, những từ và những quy tắc kết hợp chúng, làm phương tiện để giao tiếp chung cho một cộng đồng” hoặc “Ngôn ngữ là hệ thống các kí hiệu dùng làm phương tiện để diễn đạt, thông báo” Có tài liệu thì ngôn ngữ còn được hiểu “là hệ thống hữu hạn của các kí hiệu tùy ý kết hợp theo quy tắc ngữ pháp để làm phương tiện giao tiếp” Các quan niệm trên cho phép hiểu ngôn ngữ là hệ thống các kí hiệu và các quy tắc kết hợp chúng làm phương tiện giao tiếp chung cho một cộng đồng

b Chức năng cơ bản của ngôn ngữ

Ngôn ngữ có hai chức năng cơ bản sau:

- Ngôn ngữ có chức năng là phương tiện của giao tiếp Giao tiếp được hiểu

là sự truyền đạt thông tin từ người này đến người khác nhằm thực hiện một mục đích nhất định Trong số các hình thức giao tiếp mà con người sử dụng thì hình thức giao tiếp bằng ngôn ngữ là phổ biến và quan trọng nhất Nói như Lênin

“Ngôn ngữ là phương tiện giao tiếp quan trọng nhất của con người”

- Ngôn ngữ có chức năng là công cụ của tư duy Chức năng tư duy của ngôn ngữ biểu hiện ở cả hai khía cạnh: Ngôn ngữ là hiện thực trực tiếp của tư tưởng Không có từ nào, câu nào mà lại không biểu hiện khái niệm hay tư tưởng Ngược lại, không có ý nghĩ, tư tưởng nào lại không tồn tại dưới dạng ngôn ngữ

Ngôn ngữ trực tiếp tham gia vào quá trình hình thành tư tưởng Mọi ý nghĩ, tư tưởng chỉ trở nên rõ ràng khi được biểu hiện bằng ngôn ngữ

c Thuật ngữ khoa học

Thuật ngữ khoa học bao gồm những từ và cụm từ cố định là tên gọi chính xác của những khái niệm và những đối tượng thuộc các lĩnh vực chuyên môn của con người

Thuật ngữ khoa học có các đặc điểm sau:

- Thuật ngữ khoa học có tính xác định về nghĩa

Thuật ngữ toán học lệ thuộc chặt chẽ vào các khái niệm toán học nên có tính xác định về nghĩa Chẳng hạn khi nói đến từ “cạnh” trong thuật ngữ toán học ta nghĩ ngay đến đoạn thẳng làm thành phần của một hình đa giác Nội dung của thuật ngữ chỉ thay đổi khi xuất hiện những quan niệm mới, chỉ thay đổi khi các khái niệm mà thuật ngữ đó biểu thị được xác lập lại Nội dung của thuật ngữ

là toàn bộ định nghĩa lôgic của khái niệm dành cho thuật ngữ đó

- Thuật ngữ khoa học có tính hệ thống

Chẳng hạn, từ “tích” trong toán học có nghĩa là “kết quả của phép nhân” nhưng khi tách nó ra khỏi hệ thống thuật ngữ toán học và sử dụng như một từ trong ngôn ngữ tự nhiên thì nó lại có nghĩa là “dồn, góp từng ít cho thành số lượng đáng kể” Một ví dụ khác, từ “thương” khi đặt vào trong hệ thống thuật ngữ toán học thì có nghĩa là “kết quả của phép chia” nhưng khi đưa ra khỏi hệ thống này và sử dụng trong ngôn ngữ tự nhiên thì lại có nghĩa “có tình cảm gắn

bó và thường tỏ ra quan tâm săn sóc một cách chu đáo”

- Thuật ngữ khoa học có xu hướng một nghĩa

Mỗi thuật ngữ có thể xuất hiện trong nhiều ngành khoa học khác nhau, nhưng trong cùng một hệ thống thì mỗi thuật ngữ khoa học thường chỉ có một nghĩa Chẳng hạn từ “độ”, khi nằm trong hệ thống thuật ngữ toán học có nghĩa

là “đơn vị đo cung, đo góc, bằng 1

360 của đường tròn, hoặc

1

180 của góc bẹt”, nhưng khi nằm trong hệ thống các thuật ngữ triết học có nghĩa là “phạm trù triết học chỉ sự thống nhất giữa hai mặt chất và lượng của sự vật, khi lượng thay đổi đến một giới hạn nào đó thì chất thay đổi”, hay trong các ngành khoa học khác thì có nghĩa là “đơn vị đo trong thang nhiệt độ, nồng độ” Đây là hiện tượng mà trong ngôn ngữ gọi là từ đồng âm

- Thuật ngữ khoa học có tính quốc tế

Tính quốc tế của thuật ngữ khoa học thể hiện rõ nét ở mặt nội dung Thật vậy, thuật ngữ khoa học là vỏ ngôn ngữ của khái niệm Do đó nội dung khái niệm của một ngành khoa học của các nước trên thế giới là không lệch nhau Đó

là sự thống nhất khoa học trên con đường nhận thức chân lí

Về hình thức cấu tạo thì tính quốc tế của thuật ngữ khoa học chỉ mang tính tương đối, có những thuật ngữ thống nhất trên một phạm vi rộng nhưng có thuật ngữ chỉ thống nhất ở phạm vi hẹp

1.1.2 Ngôn ngữ toán học

a Quan niệm về ngôn ngữ toán học

Một số nhà nghiên cứu quan niệm về ngôn ngữ toán học như sau:

Theo Raymond Duval và cộng sự (2005), ngôn ngữ toán học bao gồm ngôn ngữ, các kí hiệu tượng trưng, hình ảnh trực quan Theo tác giả Hà Sĩ Hồ (1990), ngôn ngữ toán học là một hệ thống các thuật ngữ, kí hiệu toán học chủ yếu ở dạng ngôn ngữ viết Các kí hiệu này có tính chất quy ước để diễn đạt nội dung toán học đảm bảo tính lôgic, chính xác và ngắn gọn Hai quan điểm trên đều cho rằng trong ngôn ngữ toán học có hệ thống các kí hiệu

Bên cạnh hệ thống thuật ngữ, kí hiệu thì Toán học còn sử dụng các hình ảnh, hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, … làm phương tiện để biểu thị nội dung toán học Khi đó, hình ảnh, hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, … được coi là các “phương tiện trực quan tượng trưng” Theo tác giả Hoàng Chúng (1997) thì “mỗi phương tiện trực quan tượng trưng là một loại ngôn ngữ”

Ngôn ngữ toán học (theo nghĩa hẹp) là ngôn ngữ xây dựng trên hệ thống các kí hiệu toán học Ngôn ngữ toán học (theo nghĩa rộng) bao gồm ngôn ngữ toán học theo nghĩa hẹp và các thuật ngữ toán học, hình vẽ, mô hình, biểu đồ, đồ thị…có tính chất quy ước nhằm diễn đạt các nội dung toán học được chính xác, logic và ngắn gọn

b Chức năng của ngôn ngữ toán học

Ngôn ngữ được sử dụng làm phương tiện để giao tiếp, truyền đạt những suy nghĩ, ý tưởng của con người với nhau Haliday (1985) cho rằng ngôn ngữ giúp con người xây dựng hình ảnh tinh thần của thực tại, trao đổi kinh nghiệm của những gì đang diễn ra xung quanh và bên trong mỗi chúng ta Còn Mercer (2000) nhận xét, ngôn ngữ là phương tiện để con người cùng nhau suy nghĩ, cùng nhau tạo ra kiến thức và sự hiểu biết, làm cho mọi người trên thế giới hiểu nhau hơn Giao tiếp là một chức năng quan trọng trong học tập, giảng dạy và nghiên cứu toán học Ở lớp học toán có rất nhiều thông tin được trao đổi giữa giáo viên với tập thể học sinh, giữa giáo viên với cá nhân học sinh, giữa cá nhân

học sinh với tập thể học sinh, giữa cá nhân học sinh với cá nhân học sinh Các hình thức giao tiếp diễn ra trong lớp học toán đều nhằm mục đích giải quyết các vấn đề toán học đặt ra, giúp học sinh hiểu khái niệm toán học, nâng cao khả năng hiểu, sử dụng ngôn ngữ toán học

Sullivan, P.Clarke (1991) đã chứng tỏ rằng chất lượng học tập của học sinh có liên quan đến chất lượng giao tiếp với giáo viên Còn Dean (1982) kết luận, giao tiếp là một phương tiện để đạt tới sự hiểu biết về toán học Tương tự như vậy, Torble, M.Shuard (1992) cho rằng, không có ngôn ngữ thì không thể

có quá trình giao tiếp và không có giao tiếp, không có thông tin trao đổi trong lớp học toán thì toán học không thể diễn ra [dẫn theo 70] Một lần nữa Dean (1982) lại khẳng định, thật khó để diễn đạt các ý tưởng toán học hoàn toàn bằng ngôn ngữ tự nhiên, vì vậy học sinh thường xuyên phải giao tiếp bằng ngôn ngữ toán học Điều này khẳng định chức năng giao tiếp là vô cùng quan trọng trong học tập và nghiên cứu toán học

Trong giảng dạy, giáo viên tạo ra các tình huống có vấn đề, tổ chức cho học sinh giải quyết vấn đề Khi đó học sinh phải tranh luận, thuyết phục chính mình và những người khác bằng cách đưa ra phương án giải quyết vấn đề một cách lôgic, chính xác Muốn thực hiện được điều này thì học sinh phải có kiến thức toán học tốt và sử dụng hiệu quả ngôn ngữ toán học để giải thích, chứng minh một vấn đề toán học Bên cạnh việc học sinh giao tiếp với nhau trong giờ học thì giáo viên cũng phải thực hiện giao tiếp với học sinh Quá trình giao tiếp của giáo viên với học sinh có sự đóng góp không nhỏ của hệ thống câu hỏi Một vấn đề toán học đặt ra, giáo viên phải xây dựng hệ thống câu hỏi giúp học sinh hiểu và giải quyết vấn đề giáo viên có thể đặt nhiều câu hỏi khác nhau vào cùng một vấn đề để giúp học sinh phát triển sự hiểu biết về khái niệm toán học thông qua các thuật ngữ, kí hiệu, ngữ nghĩa của ngôn ngữ toán học Trong cùng một vấn đề giáo viên có thể cho học sinh phát biểu theo nhiều cách khác nhau để từ

đó không những giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn khái niệm toán học mà còn làm phong phú vốn từ trong ngôn ngữ toán học cho học sinh Chẳng hạn, phát biểu

“tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau” có thể phát biểu theo cách khác

“tam giác đều là tam giác có ba góc bằng nhau”

Chức năng giao tiếp của ngôn ngữ toán học còn thể hiện rõ trong nghiên cứu toán học ngôn ngữ toán học là phương tiện để các nhà khoa học trên thế giới có thể giao tiếp được với nhau mà không có sự trở ngại về mặt không gian, thời gian và ngôn ngữ Ngày nay, phạm vi giao tiếp của ngôn ngữ nói chung và ngôn ngữ toán học nói riêng rất rộng, mang tính toàn cầu Không chỉ mở rộng về không gian mà hình thức giao tiếp cũng ngày càng phong phú, đa dạng hơn nhờ

sự phát triển của khoa học kĩ thuật Con người không chỉ giao tiếp bằng miệng, bằng chữ viết thông thường như trước đây mà còn có sự góp mặt của điện thoại, email, Sky, voice chat, …

Như vậy, chức năng giao tiếp của ngôn ngữ toán học đã giúp con người

có thêm hiểu biết về toán học, cùng nhau tạo ra và giải quyết các vấn đề toán học mà không có sự trở ngại nào về ngôn ngữ, không gian, hình thức giao tiếp

Giống như ngôn ngữ tự nhiên, ngôn ngữ toán học cũng có chức năng tư duy Trong ngôn ngữ toán học không có những kí hiệu, thuật ngữ toán học nào

mà lại không biểu hiện khái niệm hoặc tư tưởng toán học Ngược lại, không có ý nghĩ, tư tưởng nào lại không được thể hiện nhờ ngôn ngữ toán học Chẳng hạn, biểu thức 64 : 4 + 2 – 4 × 3 bao gồm các kí hiệu toán học liên kết lại với nhau theo một quy tắc nhất định và chứa đựng một vấn đề toán học cần được giải quyết Để tính được giá trị biểu thức này thì người học phải tư duy, phải tuân theo quy tắc tính giá trị biểu thức để thực hiện Quá trình tư duy để tìm kết quả của phép tính được thực hiện nhờ ngôn ngữ toán học và ngôn ngữ toán học còn

là phương tiện để biểu đạt kết quả của tư duy Do đó có thể khẳng định rằng tư duy là cái được biểu hiện còn ngôn ngữ toán học là cái để biểu hiện kết quả của

tư duy

Bên cạnh đó, ngôn ngữ toán học tham gia vào quá trình suy nghĩ giải quyết một vấn đề toán học hay nói cách khác, ngôn ngữ toán học tham gia vào quá trình hình thành tư tưởng toán học Mọi ý nghĩ, tư tưởng toán học chỉ trở nên rõ ràng, chính xác nhờ được biểu đạt bằng ngôn ngữ toán học Nếu một ý tưởng toán học chưa biểu hiện ra được bằng ngôn ngữ toán học thì ý tưởng toán học đó còn mù mờ, chưa sáng tỏ

Khi tiến hành các hoạt động tư duy giải quyết một vấn đề toán học thì người làm toán cần phải có một vốn tri thức, sự hiểu biết liên quan đến vấn đề

cần giải quyết Vốn tri thức đó có được là nhờ các hoạt động khám phá, tìm tòi, nghiên cứu và tích lũy trong quá trình làm toán Vốn tri thức này được lưu giữ, tàng trữ trong bộ não của con người chủ yếu là nhờ ngôn ngữ toán học Thông qua ngôn ngữ toán học loài người có thể truyền thụ những tri thức toán học từ người này sang người khác, từ thế hệ này sang thế hệ khác

1.1.3 Khái quát về lịch sử phát triển ngôn ngữ toán học liên quan đến Toán học phổ thông

a Khái quát

“Ngôn ngữ toán học chủ yếu là ngôn ngữ sử dụng kí hiệu” Do đó sự phát triển của ngôn ngữ toán học gắn liền với sự phát triển của kí hiệu toán học Những giai đoạn chính phát triển kí hiệu toán học là:

- Giai đoạn hình thành hệ thống số tự nhiên và phân số Đây là giai đoạn đưa vào hệ thống số đếm theo thứ tự và ý nghĩa đặc biệt của số 0 Người ta so sánh một cách tương đối việc ghi lại các số trong hệ thống số La Mã không có thứ tự và hệ thống số đếm có thứ tự

Việc thành lập hệ thống số đếm có thứ tự cho phép việc ghi chép những phép toán trong số học ngắn gọn hơn như +, – , ×, :

- Giai đoạn phát triển các hệ thống kí hiệu của đại số Việc phát triển của

hệ thống này cho phép thể hiện các biến đổi và các quy tắc giải phương trình một cách trực quan hơn

- Việc phát triển hệ thống kí hiệu trong Giải tích có liên quan đến sự xuất hiện của phép tính vi tích phân

- Giai đoạn phát triển kí hiệu trong Lý thuyết tập hợp và lôgic toán Đặc biệt, kí hiệu toán học có ảnh hưởng mạnh mẽ đến sự phát triển của máy tính điện

tử Trong hệ thống kí hiệu của máy tính điện tử, có những kí hiệu không sử dụng

kí hiệu gốc trong toán học mà sử dụng bằng cách mã hóa để phù hợp với ngôn ngữ lập trình Chẳng hạn, trong ngôn ngữ lập trình Pascal không có kí hiệu số

mũ hay kí hiệu căn nên x2 được viết là SQR(x), x viết là SQRT(x)

Sự phát triển của hệ thống kí hiệu làm phong phú ngôn ngữ toán học, giúp các ngành toán học thông suốt với nhau Chỉ sử dụng kí hiệu đại số và các phép toán chuyển qua giới hạn có thể hiểu được nhiều khái niệm trong Giải tích toán

học Mỗi một chuyên ngành toán học mới xuất hiện đều kèm theo hệ thống kí hiệu riêng của lĩnh vực đó

b Một số kí hiệu toán học thường dùng

* Kí hiệu các chữ số, chữ cái Latinh và Lamã

Các chữ số 0, 1, 2,…, các chữ cái Latinh a, b, c,…, x, y, z, và các chữ cái Lamã  , , , được sử dụng phổ biến và thống nhất trong toán học

Bằng 10 chữ số 0,1,…,9 chúng ta có thể viết được bất kì số tự nhiên nào Các chữ cái a, b, c,…, x, y, z dùng để viết các biểu thức đại số, biểu thức chứa biến, hàm số… Còn các chữ  , , , được dùng để gọi tên đường thẳng, mặt phẳng, kí hiệu góc,…

* Kí hiệu cho các phép toán và quan hệ

Bao gồm các kí hiệu phép toán cộng +, trừ – , nhân x hoặc và chia :, tích phân  ; các dấu quan hệ như      Khi kết hợp các kí hiệu này với nhau , , , ,

và với các chữ số, chữ cái theo một trật tự nhất định ta sẽ có những câu, mệnh đề mang ý nghĩa toán học

* Kí hiệu chỉ dấu ngắt câu, dấu ngoặc

Đó là các dấu “( )”, “[ ]”, “{ }”, “\”… Chúng dùng để diễn đạt một mệnh

đề toán học theo một cấu trúc chặt chẽ xác định

* Kí hiệu là hình vẽ, biểu tượng, mô hình

Loại kí hiệu này chủ yếu là các biểu tượng hình học, sơ đồ, bảng biểu, đồ thị (ví dụ sơ đồ đoạn thẳng, sơ đồ Ven, đồ thị hàm số…) Ở đây, các kí hiệu này thể hiện quan niệm ngôn ngữ toán học theo nghĩa rộng

1.1.4 Phương diện ngữ nghĩa và cú pháp của ngôn ngữ toán học

Như bất cứ ngôn ngữ nào, ngôn ngữ toán học cũng chứa đựng hai phương diện cần nghiên cứu là ngữ nghĩa và cú pháp: Trong toán học người ta phân biệt cái kí hiệu và cái được kí hiệu, cái biểu diễn và cái được biểu diễn Nếu xem xét phương diện những cái kí hiệu, những cái được biểu diễn, đi sâu vào cấu trúc hình thức và những quy tắc hình thức để xác định và biến đổi chúng, thì đó là phương diện cú pháp Nếu xem xét phương diện những cái được kí hiệu, những cái được biểu diễn tức là đi vào nội dung, vào nghĩa của những kí hiệu, nghĩa của những cái biểu diễn đó là phương diện ngữ nghĩa

+ Phương diện ngữ nghĩa của toán học là xem xét nội dung của các mệnh

đề toán học và nghĩa của những cách đặt vấn đề toán học

+ Phương diện cú pháp của toán học là xem xét cấu trúc hình thức và sự biến đổi hình thức những biểu thức toán học, sự làm việc theo những quy tắc xác định nói riêng là sự làm việc theo thuật giải

1.2 Vectơ, tọa độ như là ngôn ngữ để nghiên cứu hình học

1.2.1 Vectơ như là ngôn ngữ để nghiên cứu hình học

Hiện nay trong chương trình toán học ở trường phổ thông của hầu hết các nước đều có những kiến thức về vectơ với những lí do như sau:

- Vectơ có nhiều ứng dụng không những trong toán mà còn trong vật lý,

kỹ thuật, do đó công cụ vectơ tạo điều kiện thực hiện tốt mối quan hệ liên môn ở trường phổ phông

- Vectơ cho phép diễn đạt những kiến thức toán học phổ thông một cách gọn gàng, sáng sủa (chẳng hạn cách chứng minh định lý Talet, định lý Pytago, định lý Côsin, hệ thức lượng trong tam giác, trong đường tròn….) Đồng thời phương pháp vectơ còn là phương pháp giải toán nhanh chóng, tổng quát, đôi khi không cần đến hình vẽ Nó có tác dụng tích cực trong việc phát triển tuy duy trừu tượng, năng lực phân tích, tổng hợp

- Từ phương pháp vectơ có thể xây dựng một cách chặt chẽ phương pháp toạn độ theo tinh thần toán học hiện đại, có thể xây dựng lý thuyết hình học cung cấp công cụ giải toán hiệu quả cho phép đại số hóa hình học và hình học hóa đại số

-Việc nghiên cứu vectơ góp phần mở rộng nhãn quan toán học cho học sinh chẳng hạn như tạo cho học sinh khả năng làm quen với những phép toán ở trên những đối tượng không phải là số, nhưng lại có tính chất tương tự Điều đó dẫn đến sự hiểu biết về tính thống nhất của toán học, về phép toán đại số, cấu trúc đại số, đặc biệt là nhóm không gian vectơ – khái niệm trong số những khái niệm quan trọng của toán học hiện đại

Trong chương trình hình học ở trường phổ thông nước ta, bắt đầu từ lớp

10 học sinh được học về vectơ, tọa độ, các phép toán về tọa độ và dùng vectơ làm phương tiện trung gian để chuyển những khái niệm hình học cùng những mối quan hệ giữa những đối tượng hình học sang những khái niệm đại số và

quan hệ đại số Chẳng hạn, hai đường thẳng AB, CD vuông góc với nhau

sẽ tạo điều kiện thuận lợi để học sinh tiết tục một cách không đột ngột chương trình toán ở các trường Cao đẳng, Đại học hoặc tiếp xúc không khó khăn với một số thông tin khoa học, kĩ thuật hiện đại

Như vậy, chúng ta có thể nói rằng, vectơ đã đem lại cho toán học một hình thức diễn đạt mới: ngôn ngữ vectơ, hơn nữa nhờ phương pháp vectơ, học sinh có thêm một công cụ mới để nghiên cứu hình học: công cụ vectơ

1.2.2 Tọa độ như là ngôn ngữ để nghiên cứu hình học

Ngay từ lớp 7, sau đó là lớp 9, học sinh đã có thể dùng phương pháp tọa

độ như một công cụ khi học đại số (hình học hóa bộ môn đại số) Ví dụ: qua khảo sát, vẽ đồ thị hàm số trong tọa độ Descartes vuông góc để minh họa trực quan thêm về chiều biến thiên, điểm uốn, tính đối xứng, tính chẵn lẻ của hàm số, hay giải phương trình (hệ phương trình) bằng phương pháp đồ thị,…

Nhờ có phương pháp tọa độ, chúng ta có thể chuyển một sự kiện hình học sang đại số theo những quy tắc nhất định Chẳng hạn: trên mặt phẳng, mỗi điểm được đặc trưng bởi một bộ hai số sắp thứ tự, còn trong không gian ba chiều mỗi điểm được đặc trưng bởi một bộ ba chữ số sắp thứ tự Ngược lại, mỗi bộ số sắp thứ tự ấy xác định duy nhất một điểm trong mặt phẳng hay trong không gian Còn đường và mặt biến thành tập hợp các bố số thứ tự kết hợp với nhau bởi những phương trình đại số mà mỗi đường hoặc mỗi mặt ứng với một phương trình hoặc một hệ phương trình Và chỉ có các điểm thuộc đường hoặc mặt đó mới có tọa độ thỏa mãn phương trình hoặc hệ phương trình đã cho, đồng thời ta

có thể rút ra được những tính chất của đường và mặt bằng cách xử lý các phương trình, hệ phương trình đó theo phương pháp đại số Bằng cách này ta đã

“biến” không gian thành những “chữ số” (hằng hoặc biến) và đặc biệt là mối

tương quan giữa những “chữ số” ấy để xử lý chúng một cách gọn gàng, hợp lý hơn

Như vậy, ngoài cách tiếp cận hình học bằng phương pháp hình học tổng hợp (tức học sinh xem xét các thực thể hình học chỉ dưới phương diện hình dạng

và độ đo, không quan tâm đến sự định hướng của nó trong không gian) và phương pháp vectơ còn có một cách thứ ba là phương pháp tọa độ Với phương pháp này, các đối tượng và các mối liên hệ đại số, thông qua trung gian là một

hệ tọa độ Nói cách khác, người ta dịch những tính chất hình học thành những biểu thức và phương trình đại số, chuyển bài toán hình học thành bài toán đại số

và làm việc thuần túy trong lĩnh vực đại số

Nhờ có những ứng dụng đó của tọa độ và phương pháp tọa độ, có thể nói rằng tọa độ như là một ngôn ngữ để nghiên cứu hình học

1.3 Nội dung chương trình hình học 10

1.3.1 Nhiệm vụ của hình học 10

Môn toán THPT có nhiệm vụ cung cấp cho học sinh những kiến thức, kỹ năng, phương pháp toán học phổ thông cơ bản, thiết thực, góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của toán học, cần thiết cho cuộc sống, góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất, phong cách lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí và thói quen

tự học thường xuyên Môn toán tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học lên đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động theo định hướng của Ban khoa học tự nhiên

Chương trình hình học 10 đảm nhận các nhiệm vụ cơ bản sau:

1/ Bổ sung thêm một số kiến thức về hình học phẳng và đặc biệt bổ sung thêm hai phương pháp mới: đó là phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ

- Vectơ là một khái niệm quan trọng, học sinh cần nắm vững để có thể học tiếp toàn bộ chương trình hình học ở bậc THPT Nó cũng là cơ sở để trình bày phương pháp tọa độ trên mặt phẳng Ngoài ra các kiến thức về vectơ sẽ được áp dụng trong vật lí như: vấn đề tổng hợp lực, phân tích một lực theo hai thành phần, công sinh ra bởi một lực

- Phương pháp tọa độ trên mặt phẳng được trình bày dựa trên các kiến thức về vectơ và các phép toán vectơ Phương pháp này giúp cho học sinh “đại

số hóa” các kiến thức đã có về hình học, và từ đó có thể giải quyết các bài toán hình học bằng thuần túy tính toán

Phương pháp tọa độ còn được sử dụng để bước đầu tìm hiểu các tính chất của ba đường Côníc

2/ Tiếp tục rèn luyện và phát triển tư duy logíc, trí tưởng tượng không gian, và kĩ năng vận dụng kiến thức hình học vào việc giải toán, vào hoạt động thực tiễn, vào việc học tập các bộ môn khác

1.3.2 Những kiến thức cơ bản về vectơ, tọa độ trong chương trình hình học 10

a Vectơ và các phép toán vectơ

1 Vectơ và là một đoạn thẳng có hướng trong đó đã chỉ rõ điểm đầu và

điểm cuối

Vectơ AB

có điểm đầu là A, điểm cuối là B có hướng từ A đến B, có độ dài là độ dài đoạn thẳng AB, được kí hiệu là AB

, và có giá là đường thẳng AB

Người ta còn kí hiệu vectơ bằng các chữ thường như , , , a b x y   

2 Hai vectơ ,a b 

được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoăc ngược hướng Hai vectơ a

và b

được gọi là bằng nhau, kí hiệu là ab

nếu chúng cùng hướng và có độ dài bằng nhau

3 Với mỗi điểm A, ta gọi AA

là vectơ không Vectơ không được kí hiệu

là 0

Ta qui ước vectơ 0

cùng phương, cùng hướng với bất kì vectơ nào và

00

4 Cho hai vectơ a

và b Lấy một điểm A tùy ý, vẽ ABa BC , b

Khi

đó vectơ AC

được gọi là tổng của hai vectơ a

và b Phép toán tìm tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng hai vectơ

5 Cho hai vectơ a

và b

Ta gọi hiệu của hai vectơ a

và b

là vectơ ( )

a b

được kí hiệu là a b

Phép toán tìm hiệu của hai vectơ a

và b còn được gọi là phép trừ hai vectơ a

và b

7 Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

a) Định nghĩa: cho 2 vectơ a

và b không cùng phương Nếu vectơ c

được viết dưới dạng c ha kb  

với h, k là số thực nào đó thì ta nói rằng vectơ

c

phân tích được theo 2 vectơ a

và b không cùng phương

b) Định lí: Cho hai vectơ a

và bkhông cùng phương Khi đó mọi vectơ

b Tích vô hướng của hai vectơ

1 Định nghĩa: Cho hai vectơ a

và b đều khác vectơ 0

ta qui ước 0

a b  

Nếu a

và b đều khác vectơ 0

ta có a b    0 a b

D

CB

A

Cho hai vectơ OA OB ,

.Giả sử B’ là hình chiếu của B trên đường thẳng

OA Ta gọi vectơ OB'

là hình chiếu của vectơ OB

trên đường thẳng OA Khi

đó, ta có công thức hình chiếu sau đây: OA OB  OA OB  '

c Tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trên mặt phẳng

1 Tọa độ của vectơ và của điểm

Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ a

tùy ý

Nếu a xiy j

thì cặp số (x;y) được gọi là tọa độ của vectơ a

đối với hệ tọa độ Oxy, kí hiệu là a ( ; )x y

hay là a x y( ; )

Tọa độ của điểm M là tọa độ của vectơ OM

Với 2 điểm M x( M;y M)và N x( N;y N)thì MN(x N x M;y N  y M)

2 Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:

Chương 2 BỒI DƯỠNG CHO HỌC SINH LỚP 10 KHẢ NĂNG SỬ DỤNG NGÔN NGỮ TOÁN HỌC THÔNG QUA DẠY HỌC CÁC NỘI

DUNG VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ 2.1 Giúp học sinh nắm vững cú pháp và ngữ nghĩa của ngôn ngữ toán học về vectơ – tọa độ

Trong dạy học toán ở trường phổ thông, cả hai cách tiếp cận để nghiên cứu ngôn ngữ toán học là theo phương diện ngữ nghĩa và phương diện cú pháp đều quan trọng và có ý nghĩa riêng

+ Nếu chỉ giới hạn ở phương diện ngữ nghĩa thì học sinh không học được những công cụ toán học hình thức và do đó không giải được bài toán bằng công

cụ toán học

+ Nếu chỉ giới hạn ở phương diện cú pháp thì học sinh sẽ không hiểu ý nghĩa của biểu thức của ngôn ngữ toán học và không thể phiên dịch được bài toán nảy sinh từ bên ngoài toán học thành bài toán trong toán học và do đó kiến thức của học sinh sẽ hình thức và không có ích

2.1.1 Những vấn đề còn mắc phải khi tiếp cận ngữ nghĩa và cú pháp của ngôn ngữ toán học của học sinh

- Học sinh khó khăn khi phiên dịch các bài toán trong ngôn ngữ tự nhiên hoặc khoa học khác sang ngôn ngữ toán học và ngược lại



100N

2F

- Học sinh chưa nắm chưa vững chắc phương diện cú pháp, phương diện ngữ nghĩa của ngôn ngữ toán học

Ví dụ:

Khi biến đổi, học sinh thường sử dụng các phép biến đổi  hoặc  một cách tùy tiện; dùng những kí hiệu toán học để viết tắt những câu trong ngôn ngữ thông thường…

Ngoài những nguyên nhân từ phía học sinh như: thiếu tập trung trong giờ học; không tích cực, tự giác, chủ động học tập để tích lũy tri thức, rèn luyện kĩ năng… Khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học của học sinh còn hạn chế vì một

số lí do sau:

- Do sự kết hợp không đúng đắn các cách tiếp cận theo phương diện ngữ nghĩa và theo phương diện cú pháp trong truyền thống dạy toán dẫn tới học sinh chỉ hiểu tri thức toán học một cách hình thức

- Chú ý không đầy đủ trong dạy học ngữ nghĩa của ngôn ngữ toán học nên đôi khi giáo viên đã tách rời hình thức với nội dung, hay tách rời công thức và kí hiệu của ngôn ngữ toán học với nội dung toán học nằm ngoài ngôn ngữ

- Nhiều giáo viên quá chú trọng khâu vận dụng kiến thức trong khi học sinh chưa hiểu đầy đủ bản chất kiến thức đó Do đó khi được đặt trong một tình huống cần sáng tạo, hoặc thêm một thuật toán, công thức, học sinh không biết làm thế nào để xây dựng lại thuật toán, công thức đó Chẳng hạn, công thức tính

độ dài đoạn thẳng, góc, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng,… ở hình học 10 có thể dễ dàng xây dựng nhờ kiến thức về vectơ, tọa độ kết hợp với các quy tắc đại số

2.1.2 Một số biện pháp bồi dưỡng khả năng phối hợp hai phương diện ngữ nghĩa và cú pháp cho học sinh

Để phần nào khắc phục những tồn tại trên, đòi hỏi người giáo viên trước hết phải dạy tốt ngôn ngữ toán học Khi cung cấp một tri thức mới cho học sinh,

kể cả khi xây dựng nội dung lí thuyết cũng như trong lúc giải bài tập, chúng ta cần chú ý:

- Giáo viên sử dụng ngôn ngữ, kể cả ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học chính xác và đúng lúc Khi diễn đạt nội dung toán học, dẫn dắt để

học sinh tiếp cận khái niệm hay trình bày bài, giáo viên không được sử dụng thuật ngữ, kí hiệu

Ví dụ

Khi mở đầu bài toán chứng minh ABCD ta có thể trình bày như sau:

“Yêu cầu bài toán trở thành chứng minh AB.CD 0

” theo phương diện ngữ nghĩa va cú pháp

Với phương diện cú pháp:

Ngay khi nhìn vào kí hiệu chúng ta đã thấy khác nhau

Với phương diện ngữ nghĩa:

- Giáo viên tổ chức cho học sinh dùng các hình thức ngôn ngữ khác nhau trong học tập toán

đoạn 5 O là tâm hình bình hanh AMBN

AB 6 MO là đường trung bình của  ACB M là trung điểm AC Ngược lại từ đẳng thức OA  OB

có thể liên tưởng tới các nội dung: O

là trung điểm đoạn AB; hai vectơ OA

và OB

đối nhau; A là ảnh qua B qua phép vị tự Vo1