một số lớp vành và môđun và ứng dụng vào đào tạo ngành sư phạm toán tại trường đại học hà tĩnh

Tính cấp thiết của đề tài Đây là một đề tài về khoa học cơ bản nhằm góp phần phát triển những tri thức và hiểu biết về Đại số kết hợp; cụ thể là các lớp môđun môđun Baer, môđun Baer đố

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH

KHOA SƯ PHẠM TỰ NHIÊN

ĐỀ TÀI CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM

VỀ MỘT SỐ LỚP VÀNH VÀ MÔĐUN

VÀ ỨNG DỤNG VÀO ĐÀO TẠO NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN

TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH

Chủ nhiệm đề tài:

TS LÊ VĂN AN Khoa Sư phạm tự nhiên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH

KHOA SƯ PHẠM TỰ NHIÊN

ĐỀ TÀI CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM

VỀ MỘT SỐ LỚP VÀNH VÀ MÔĐUN

VÀ ỨNG DỤNG VÀO ĐÀO TẠO NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN

TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH

Chủ nhiệm đề tài:

TS LÊ VĂN AN

Khoa Sư phạm tự nhiên

Thư ký đề tài:

ThS NGUYỄN THỊ THANH TÂM

Khoa Sư phạm tự nhiên

Những thành viên tham gia nghiên cứu đề tài:

ThS Nguyễn Thị Hải Anh - Khoa Sư phạm tự nhiên

HÀ TĨNH - 2014

MỤC LỤC

Trang

TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI 1

1 Tính cấp thiết của đề tài 1

2 Tình hình nghiên cứu 1

3 Mục đích nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Phạm vi nghiên cứu 2

6 Kết cấu đề tài 2

PHẦN A MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐẠI SỐ KẾT HỢP 4

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 4

1.1 Cấu trúc nửa nhóm và nhóm 4

1.2 Cấu trúc vành và trường 4

1.3 Môđun và đại số 6

CHƯƠNG 2 MÔ ĐUN (1 - C 2 ) VÀ ỨNG DỤNG VÀO ĐẶC TRƯNG VÀNH 9

§1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ 9

I Môđun cốt yếu - Môđun đều - Chiều đều của môđun .9

1.1 Định nghĩa .9

1.2 Ví dụ .9

II Môđun nội xạ - Môđun tựa nội xạ .10

1.4 Tính chất .10

III Các điều kiện (Ci) .10

1.5 Định nghĩa .10

IV Đế của môđun - Độ dài của môđun - Vành các tự đồng cấu của môđun .11

V Vành nửa Artin và V - vành .11

§2 MÔĐUN (1 - C2) VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ ĐẶC TRƯNG MỘT SỐ LỚP VÀNH 12

I MÔĐUN (1 - C2) 12

II ĐẶC TRƯNG V-VÀNH BỞI ĐIỀU KIỆN (1 - C2) 16

CHƯƠNG 3 MÔ ĐUN TỰA CẤU XẠ, QF VÀNH VÀ ĐIỀU KIỆN BAER 19

§1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ 19

§2 CÁC KẾT QUẢ 22

I MÔ ĐUN TỰA CẤU XẠ 22 Trong mục này chúng tôi đưa ra định nghĩa lớp môđun tựa cấu xạ là lớp môđun mở

II QF VÀNH 23

III ĐIỀU KIỆN CẤU XẠ VÀ ĐIỀU KIỆN BAER 24

CHƯƠNG 4 MÔĐUN BAER VÀ CÁC SUY RỘNG CỦA NÓ 27

§1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ 27

§2 CÁC KẾT QUẢ 30

I VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU CỦA MÔĐUN BAER VÀ MÔĐUN BAER ĐỐI NGẪU 30

II MÔĐUN VỚI ĐỘ DÀI HỮU HẠN VÀ ĐIỀU KIỆN BAER SUY RỘNG 35

CHƯƠNG 5 MA TRẬN VUÔNG CẤP HAI TRÊN ĐẠI SỐ LEAVITT 40

PHẦN B MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀO THỰC TIỄN GIẢNG DẠY NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH 50

I Ứng dụng trong NCKH và nâng cao chất lượng đội ngũ 50

II Trong công tác giảng dạy ngành SP Toán 51

KẾT LUẬN KIẾN NGHỊ 53

CÁC CÔNG BỐ KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI 54

TÀI LIỆU THAM KHẢO 55

TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI

1 Tính cấp thiết của đề tài

Đây là một đề tài về khoa học cơ bản nhằm góp phần phát triển những tri thức và hiểu

biết về Đại số kết hợp; cụ thể là các lớp môđun (môđun Baer, môđun Baer đối ngẫu, môđun morphic, ), các lớp vành (vành Noether, vành Artin, vành QF ) và các lớp đại số (đại số Leavitt) Đề tài cũng góp phần ứng dụng vào thực tiễn giảng dạy của ngành Toán khoa SPTN theo hướng hình thành các seminar khoa học dành cho giảng viên và sinh viên ngành SP Toán Qua đó nâng cao năng lực NCKH của đội ngũ giảng viên và năng lực tự học của SV

Đề tài góp phần hình thành những hướng nghiên cứu để đội ngũ giảng viên bộ môn Toán định hướng trong quá trình học tập nâng cao trình độ Đề tài cũng hình thành những vấn đề khoa

học giúp SV các hướng làm khóa luận tốt nghiệp và các đề tài Sinh viên NCKH cấp Bộ

2 Tình hình nghiên cứu

Các tác giả đã nghiên cứu tính chất của các lớp môđun nội xạ suy rộng như các lớp môđun CS, liên tục, tựa liên tục Sử dụng các lớp môđun này để đặc trưng các lớp vành Noether, Artin, QF, Các tác giả đã đạt được nhiều kết quả sâu sắc trên lĩnh vực này nhưng vẫn còn nhiều hướng mở rộng của lớp môđun nội xạ và ứng dụng của chúng trong bài toán đặc trưng vành chưa được nghiên cứu và hoàn thiện Các chuyên gia trong lĩnh vực này là Đinh Văn Huỳnh, S K Jain, S T Rizvi,

Các tác giả đã đưa ra các lớp vành cấu xạ, tựa cấu xạ, môđun cấu xạ Nghiên cứu tính chất của các lớp vành và các lớp môđun này Sử dụng các lớp vành và môđun để nghiên cứu các lớp vành chính quy, vành nhóm Tuy nhiên lớp môđun tựa cấu xạ và sử dụng điều kiện cấu xạ nghiên cứu lớp vành QF chưa được quan tâm nghiên cứu Các chuyên gia trong lĩnh vực này là W K Nicholson, V Camillo,

Các tác giả đã phát triển các lớp vành Baer, vành tựa Baer để đưa ra định nghĩa các lớp môđun Baer, môđun tựa Baer, môđun Baer đối ngẫu, môđun tựa Baer đối ngẫu Sử dụng các lớp môđun và vành này để nghiên cứu các lớp vành và môđun khác Tuy nhiên các lớp môđun Baer chỉ mới đạt được các kết quả bước đầu vẫn còn nhiều vấn đề cần được quan tâm nghiên cứu Kết hợp các điều kiện cấu xạ suy rộng và Baer suy rộng hứa hẹn sẽ đạt được nhiều kết quả hấp dẫn Các chuyên gia trong lĩnh vực này là S T Rizvi, C S Roman, …

Các tác giả đã nghiên cứu tính chất của đại số Leavitt và sử dụng đại số Leavitt để nghiên cứu các graph có hướng Đây là vấn đề mới có tính thời sự nhưng mới được nghiên cứu trong khoảng 5 - 7 năm gần đây Các chuyên gia trong lĩnh vực này là G Abrams, G

Trong nước các nhà nghiên cứu Đại số kết hợp chịu ảnh hưởng trực tiếp của GS Đinh Văn Huỳnh đã quan tâm nghiên cứu các lớp môđun nội xạ suy rộng và ứng dụng các lớp môđun này để đặc trưng vành Hướng nghiên cứu này được quan tâm tại Đại học Vinh dưới

sự chủ trì của PGS TS Ngô Sỹ Tùng và tại Đại học Huế dưới sự chủ trì của GS TS Lê Văn Thuyết Lớp vành và môđun cấu xạ cũng đã được hai nhóm nghiên cứu này quan tâm và bước đầu đạt được một số kết quả Điều kiện Baer và Baer suy rộng mới bắt đầu được quan tâm nghiên cứu tại seminar lý thuyết vành và môđun tại Đại học Vinh Đại số Leavitt và đại số quỹ đạo Leavitt là vấn đề mới tiếp cận ở Việt Nam Tuy nhiên có một nhà Toán học Việt Nam

ở Hungary là GS Phạm Ngọc Ánh là chuyên gia trong lĩnh vực này

3 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu tính chất của các lớp môđun Baer, môđun Baer đối ngẫu, môđun morphic, môđun nội xạ và các mở rộng Từ đó sử dụng các lớp môđun này để đặc trưng các lớp vành Noether, vành Artin, vành QF

Nghiên cứu các tính chất của đại số ma trận trên đại số Leavitt

Hình thành một seminar về Đại số kết hợp quy tụ những giảng viên bộ môn Toán quan tâm về Đại số kết hợp và tập hợp những SV giỏi của ngành SP Toán

4 Phương pháp nghiên cứu

Đây là một đề tài thuộc lĩnh vực nghiên cứu khoa học cơ bản chuyên ngành Toán học Phương pháp nghiên cứu đặc thù là suy luận logic thông qua tính đúng đắn của các lập luận

Đề tài chỉ quan tâm đến vành ma trận và vành đa thức trên đại số Leavitt

6 Kết cấu đề tài

Ngoài phần tổng quan, kết luận và kiến nghị, tài liệu tham khảo, nội dung của đề tài được chia làm 3 chương như sau:

Chương 1 Tổng quan về các cấu trúc đại số

Trong chương này chúng tôi giới thiệu ngắn gọn về các cấu trúc đại số là những đối tượng mà đề tài quan tâm nghiên cứu

Chương 2 Môđun (1 - C 2 ) và ứng dụng vào đặc trưng vành

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu tính chất của các lớp môđun mở rộng của môđun nội xạ như các lớp môđun (1 – C2), CS, liên tục, tựa liên tục, 1- liên tục và ứng dụng vào đặc trưng các lớp vành Artin, vành Noether, vành QF Chương này thuộc chuyên đề I và được viết bởi TS Lê Văn An và ThS Nguyễn Thị Hải Anh

Chương 3 Môđun tựa cấu xạ, QF vành và điều kiện Baer

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu tính chất của môđun tựa cấu xạ là lớp môđun

mở rộng thực sự của môđun cấu xạ Chúng tôi sử dụng điều kiện cấu xạ suy rộng để đặc trưng

QF vành Chứng tôi cũng sử dụng điều kiện Baer suy rộng và điều kiện cấu xạ suy rộng để đưa ra các đặc trưng mới cho các lớp vành và môđun Chương này thuộc chuyên đề II và được viết bởi TS Lê Văn An và TS Trần Giang Nam Một số nội dung của chương này là luận văn tốt nghiệp của học viên cao học Đặng Thị Thùy Linh

Chương 4 Môđun Baer và các suy rộng của nó

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu tính chất của các lớp môđun Baer, môđun tựa Baer, môđun Baer đối ngẫu, môđun tựa Baer đối ngẫu, vành Baer, vành tựa Baer Chúng tôi đưa ra một số tính chất về vành các tự đồng cấu của môđun Baer và các suy rộng của nó Mối liên hệ giữa điều kiện Baer suy rộng và điều kiện độ dài hữu hạn của môđun Chương này thuộc chuyên đề III và được viết bởi TS Lê Văn An, ThS Nguyễn Thị Hải Anh, CN Nguyễn Đình Nam Một số nội dung của chương này là nội dung và khóa luận tốt nghiệp của SV Đặng Thị Oanh, SV Nguyễn Đình Nam, SV Nguyễn Thị Lệ Hằng của các lớp K1 - SP Toán, K2 - SP Toán, K3 - SP Toán

Chương 5 Ma trận vuông cấp hai của Đại số Leavitt

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu mối liên hệ giữa Đại số Leavitt với vành ma trận vuông cấp hai trên đại số đó Chúng tôi cũng nghiên cứu mối liên hệ giữa Đại số Leavitt

và đại số đa thức và các khái niệm tổng trực tiếp, tích trực tiếp Chương này thuộc chuyên đề

IV và được viết bởi TS Lê Văn An Một số nội dung của chương này là nội dung của đề tài NCKH cấp bộ của SV Nguyễn Thanh Huyền, K51 - SP Toán trường Đại học Vinh Khi tiếp cận các vấn đề liên quan đến chuyên đề này TS Lê Văn An đã hướng dẫn SV Nguyễn Thị Dung, K2 - SP Toán viết khóa luận tốt nghiệp về lớp vành hoán tử

Đề tài còn có phần trình bày về một số ứng dụng vào thực tiễn giảng dạy ngành SP Toán tại trường ĐH Hà Tĩnh trên hai nội dung NCKH và nâng cao chất lượng đội ngũ giảng viên và công tác giảng dạy ngành SP Toán

Các nội dung của đề tài được công bố trong 03 bài báo đăng ở tạp chí KH Đại học Hà Tĩnh, 01 bài đăng ở Tạp chí khoa học Đại học Vinh và 01 bài nhận đăng trong tạp chí quốc tế Các kết quả đề tài đã được báo cáo tại Đại hội Toán học toàn quốc tại Nha Trang

PHẦN A MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐẠI SỐ KẾT HỢP

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ

Trong chương này chúng tôi giới thiệu ngắn gọn về các cấu trúc đại số Các định nghĩa

và tính chất của chương này chúng tôi chủ yếu dựa vào quyển sách Đại số Đại cương của Nguyễn Hữu Việt Hưng

1 Tập hợp khác rỗng G cùng với phép toán hai ngôi “.” được gọi là một nhóm nếu thỏa

mãn ba điều kiện sau:

(i) ( ).a b c a b c= ( )∀a b c G, , ∈

(ii) Tồn tại phần tử θ∈ sao cho G aθ θ= a a a G= ∀ ∈ ;

(iii) Với mọi a G∈ tồn tại phần tử a− 1∈ sao cho G a a − 1=a a− 1 = θ

2 Nếu nhóm G thỏa mãn điều kiện a b b a a b G thì ta nói G là nhóm Abel = ,∀ , ∈

3 Cho nhóm G và S là một tập con khác rỗng của G Nếu S cùng nhóm với phép toán hai ngôi trong tập G lập thành một nhóm thì S được gọi là một nhóm con của G

(ii) Phép toán trong R có tính chất kết hợp tức là ( ) ab c a bc= ( )∀a b c R, , ∈ ;

(iii) Phép toán + và có tính chất phân phối tức là (a b c+ =) ab ac+ và (a b c ac bc a b c R+ ) = + ∀ , , ∈

2 Ví dụ (i) Tập hợp các nguyên Z , tập hợp các số hữu tỉ Q và tập hợp các số thực R

cùng với phép cộng và phép nhân thông thường là các vành

(ii) Cho vành R , tập hợp các ma trận vuông cấp n trên R được ký hiệu là Mn(R) cùng với các phép toán cộng và nhân các ma trận lập thành một vành và gọi là vành ma trận vuông

5 Cho R và S là hai vành Ánh xạ : f R→ được gọi là một đồng cấu vành nếu thỏa S

mãn các điều kiện sau:

Cho vành R và S là một vành con của R Nếu r x S r R x S ∈ ∀ ∈ , ∈ thì S được gọi là

iđêan trái của vành R Định nghĩa tương tự cho khái niệm iđêan phải

Cho vành R và S là iđêan trái và phải của vành R Khi đó S được gọi là iđêan của vành R

2 Nếu ( , ,.,1, 0)F + là một thể với phép toán “.” giao hoán thì ta nói F là một trường

3 Ví dụ (i) Gọi H là một không gian vectơ thực 4 chiều với cơ sở 1, , ,i j k Trang bị cho H một phép toán “.” xác định bởi các hệ thức sau i2 = j2 = k2 = −1,

,

ij= − =ji k ki = − = và jk ik j = − = Khi đó kj i (H, ,.+ ) lập thành một thể gọi là thể

(ii) Tập hợp các số hữu tỉ Q , tập hợp các số thực R và tập hợp các số phức C cùng với phép cộng và phép nhân thông thường là các trường

1.3 Môđun và đại số

1.3.1 Môđun

1 Cho R là một vành có đơn vị 1 Tập hợp M khác rỗng cùng với các phép toán cộng : M M M

+ × → và phép nhân với vô hướng : R M× →M được gọi là một R - môđun trái

nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

Định nghĩa tương tự cho phía phải

2 Ví dụ (i) Mọi nhóm Abel đều là Z - môđun trái và phải

(ii) Cho K là một trường và V là một không gian vectơ trên K Khi đó V là một K - môđun trái và phải

(iii) Cho R là một vành giao hoán Vành đa thức R x[ ] và Mn(R) là các R- môđun trái

3 Cho M là một R - môđun trái và N là một tập con khác rỗng của M Khi đó N

được gọi là môđun con của M nếu N là nhóm con của nhóm Abel M và N khép kín đối

với phép nhân với vô hướng, tức là rx N r R x N∈ ∀ ∈ , ∈

Giao của một họ bất kỳ các môđun con của một R - môđun trái M cũng là một môđun con của M Đặc biệt, nếu A là một tập con của R - môđun trái M , thì giao của tất cả các môđun con của M chứa A , là một môđun con của M , gọi là môđun con được sinh bởi A và

ký hiệu là S < > Nếu A sinh ra toàn bộ M , thì A được gọi là một tập sinh của M

Một R- môđun trái M là hữu hạn sinh nếu nó chứa một tập sinh hữu hạn

4 Cho vành R và M là một R - môđun trái Giả sử S là tập con khác rỗng của M

Khi đó một tổ hợp tuyến tính của các phần tử của S là một tổng ∑s S∈ a s s , trong đó a s∈ R

và hầu hết (trừ một số hữu hạn) hệ số a s = Một tổng như vậy gọi là có giá hữu hạn 0

a =

Tập con S của M được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập tuyến tính

Tập con S của M được gọi là một cơ sở của M nếu S được độc lập tuyến tính và

M =< > S

Môđun M được gọi là tự do nếu nó có một cơ sở hoặc nó là môđun 0

5 Cho M và N là các R- môđun trái trên vành R Khi đó xạ ảnh f M: →N, được gọi là R- đồng cấu (hoặc đồng cấu) nếu f bảo toàn phép cộng và phép nhân với vô hướng Đồng cấu f được gọi là đơn cấu, toàn cấu và đẳng cấu nếu f lần lượt là đơn ánh, toàn ánh và song ánh, một cách tương ứng

Nếu tồn tại một đẳng cấu giữa các R- môđun M và N , thì chúng ta nói M và N là đẳng cấu và ký hiệu M ≅N

Cho M là một R - môđun trái trên vành R Tập hợp ( ) End M các R - tự đồng cấu của

M với các phép toán như sau:

(+) (f +g x)( )= f x( )+g x( )∀f g End V x V, ∈ ( ), ∈ ;

(+) gf x( )=g f x( ( ))∀g x End V x V, ∈ ( ), ∈

Khi đó ( )End M là một vành và được gọi là vành các tự đồng cấu

6 Cho vành R và {M i I i ∈ là một họ những } R- môđun trái M Khi đó i ∏i I∈ M i cũng là một R - môđun trái với phép cộng và nhân từng thành phần, và được gọi là tích trực tiếp của các R - môđun M i

Tương tự ⊕i I∈ M i ={( )m i i I∈ m i = hầu hết trừ một số hữu hạn chỉ số 0 i}

là một môđun con của R- môđun trái ∏i I∈ M i và được gọi là tổng trực tiếp của các R- môđun M i

7 Cho vành R và M là một R - môđun trái Giả sử N là môđun con của M Xét tập hợp M N/ ={x N x M+ ∈ } và trên đó xác định các phép toán như sau:

(i) (x N+ ) (+ y N+ ) (= x y+ )+N ∀x y M, ∈ ;

(ii) r x N( + )=rx N r R x M+ ∀ ∈ , ∈ Khi đó M N/ là một R - môđun và gọi là môđun thương của môđun M theo môđun N

1.3.2 Đại số

1 Cho trường K và A là một tập hợp khác rỗng cùng với 3 phép toán, gồm phép cộng

:

+ A A× ⎯⎯→A, phép nhân :A A× ⎯⎯→A và nhân với vô hướng K A× ⎯⎯→A được gọi

là một K - đại số nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

(ii) Cho K là một trường và K x là vành đa thức trên K Khi đó [ ] K x là một K - đại số [ ]

(iii) Cho K là một trường và Mn(K) là vành các ma trận vuông cấp n trên K Khi đó

Mn(K) là một K - đại số

(iv) Cho V là một không gian vectơ trên trường K Tập hợp End V( ) các K- tự đồng

cấu của V với các phép toán sau:

(+) (f +g x)( )= f x( )+g x( ) ∀f g End V, ∈ ( ), x V∈ ;

(+) ( )( )kf x =k f x( ( )) ∀ ∈k K f, ∈End V( ), x V∈ ;

(+) gf x( )=g f x( ( )) ∀g f, ∈End V( ), x V∈

Khi đó ( )End V là K - đại số

(v) Xét không gian vectơ thực 4 chiều H R R= ⊕ i⊕Rj⊕R , với cơ sở k {1, , ,i j k} Ta định nghĩa phép nhân trên H bằng cách thác triển những đẳng thức sau đây i2= j2 =k2= − , 1

,

ij= − =ji k ki= −ik và jk= − =kj i Khi đó H là một - đại số và gọi là đại số qua quaternion

CHƯƠNG 2 MÔ ĐUN (1 - C 2 ) VÀ ỨNG DỤNG VÀO ĐẶC TRƯNG VÀNH

§1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ

Trong suốt đề tài này khái niệm vành được nhắc đến như là vành kết hợp có đơn vị và các môđun là R - môđun phải unitar nếu không có giải thích gì thêm

Trong chương này chúng tôi giới thiệu ngắn gọn về các khái niệm cơ bản cần dùng cho

đề tài Các định nghĩa và tính chất của chương này chúng tôi chủ yếu dựa vào các tài liệu

[14], [22], [25], [31], [32]…

I Môđun cốt yếu - Môđun đều - Chiều đều của môđun

1.1 Định nghĩa

a) Cho môđun M và N là môđun con của nó Môđun N được gọi là môđun con cốt yếu

(và ký hiệu là N ⊂e M ) nếu với mọi môđun con K khác không của M thì N∩ ≠K 0 Khi

đó ta nói M là mở rộng cốt yếu của N

b) Môđun con N được gọi là đóng trong M nếu N không có một mở rộng cốt yếu thực

sự trong M; nói cách khác N đóng trong M nếu với mọi môđun con K của M mà N ⊂e K

e) Môđun M được gọi là có chiều đều hữu hạn nếu M không chứa tổng trực tiếp gồm vô

hạn hạng tử khác không Nếu môđun M có chiều đều hữu hạn thì tồn tại n (n∈ , n 1)≥ môđun con đều U , , U của M sao cho 1 n ⊕n=1Ui⊂e M

i Hơn nữa nếu tồn tại m môđun con đều ' '

b) Nếu N là hạng tử trực tiếp của M thì N là môđun con đóng của M

Chú ý rằng bao đóng của môđun luôn tồn tại nhưng có thể không duy nhất

II Môđun nội xạ - Môđun tựa nội xạ

1.3 Định nghĩa

a) Cho các môđun M và N Môđun N được gọi là M - nội xạ nếu với mọi môđun con X

của M, mỗi đồng cấu : Xϕ → có thể mở rộng tới đồng cấu : MN ψ → N

b) Môđun N được gọi nội xạ nếu N là M - nội xạ với mọi môđun M

c) Môđun N được gọi là tựa nội xạ nếu N là N - nội xạ

d) Đối với môđun M, môđun nội xạ nhỏ nhất chứa M được gọi là bao nội xạ của M và

ký hiệu là E(M)

1.4 Tính chất

Bao nội xạ E(M) của môđun M là luôn luôn tồn tại và là mở rộng cốt yếu tối đại của M

III Các điều kiện (C i )

Đối với môđun M trên vành R, chúng ta xét các điều kiện:

a) Môđun M được gọi là CS - môđun nếu M thỏa mãn điều kiện ( ).1

b) Môđun M được gọi là ( )C2 −môđun nếu nó thỏa mãn điều kiện ( ).C2

c) Môđun M được gọi là (1−C1)−môđun nếu nó thỏa mãn điều kiện (1− C 1)

d) Môđun M được gọi là môđun liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện ( )C và 1 ( ).C2e) Môđun M được gọi là môđun tựa liên tục nếu nó thỏa mãn các điều kiện ( )C và 1 ( ).3

1.6 Định nghĩa

a) Vành R được gọi là vành CS phải (trái) nếu RR (tương ứng RR) là CS - môđun

b) Vành R được gọi là liên tục phải (trái) nếu RR (tương ứng RR) là môđun liên tục

c) Vành R được gọi là tựa liên tục phải (trái) nếu RR (tương ứng RR) là môđun tựa liên tục d) Vành R được gọi là ( )C phải (trái) nếu R2 R (tương ứng RR) là môđun ( ).C2

1.7 Tính chất. Đối với một môđun M phép kéo theo sau đây là đúng:

Nội xạ ⇒ tựa nội xạ ⇒ liên tục ⇒ tựa liên tục ⇒ CS ⇒ (1-C1), và (C2) ⇒ (C3)

IV Đế của môđun - Độ dài của môđun - Vành các tự đồng cấu của môđun

1.8 Định nghĩa. Cho môđun M, ta nói đế của môđun M và ký hiệu Soc(M) là tổng của tất cả các môđun con đơn của M

được gọi là một dãy hợp thành độ dài n của môđun M nếu M i−1/M là môđun đơn với i

mọi i=1, 2, ,n Khi đó độ dài của dãy hợp thành được gọi là độ dài của môđun M và ký hiệu

1.12 Định nghĩa Vành R được gọi là vành nửa Artin phải (trái) nếu với mọi R -

môđun phải (tương ứng trái) M thì Soc M( )≠0

1.13 Định nghĩa. Vành R được gọi là V - vành phải (trái) nếu mọi R - môđun phải

(tương ứng trái) đơn là nội xạ

§2 MÔĐUN (1 - C 2 ) VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ ĐẶC TRƯNG MỘT SỐ LỚP VÀNH

Các lớp môđun thỏa mãn điều kiện ( ),C 1 ( ),C2 ( )C và 3 (1− C được nhiều chuyên gia 1)

về Đại số kết hợp quan tâm nghiên cứu Các tác giả có nhiều kết quả về hướng nghiên cứu này là D V Huỳnh, D Q Hải, N V Dũng, P F Smith, S K Jain, S R Lopez - Permouth,

S T Rizvi, R Wisbauer… Các tác giả thường quan tâm theo hai nội dung; hướng thứ nhất nghiên cứu những tính chất về môđun đặc biệt là quan tâm những điều kiện để chiều ngược lại của dãy kéo theo sau đây là đúng:

Nội xạ ⇒ tựa nội xạ ⇒ liên tục ⇒ tựa liên tục ⇒ CS ⇒ (1-C1),

và (C2) ⇒ (C3)

Hướng nghiên cứu thứ hai là sử dụng các lớp môđun này để nghiên cứu các lớp vành, đặc biệt là các lớp vành Artin, vành Noether, vành QF và các lớp vành tổng quát của chúng Hai quyển sách đề cập rất nhiều về vấn đề này là: “Extending modules” (xem [22]) và

“Continuous and Discrete modules” (xem [37]) Một số bài báo gần đây đề cập đến nội dung này có thể xem trong [10], [11], [12], [21], [28],…

Trong định nghĩa điều kiện (1 - C1) ta nhận thấy thực chất đây là điều kiện (C1) nhưng được thu hẹp khi xét lớp môđun con đều Chúng tôi đặt ra vấn đề nếu ta xét điều kiện (C2) nhưng chỉ quan tâm lớp môđun con đều, khi đó điều kiện được xét sẽ yếu hơn điều kiện (C2) Trong tiết 1 chúng tôi sẽ đưa ra định nghĩa lớp môđun (1 - C2) là lớp môđun mở rộng của lớp môđun (C2) Chúng tôi sẽ sử dụng lớp môđun này để nghiên cứu tính chất của các lớp môđun đã biết Sau đó chúng tôi sử dụng các kết quả đã biết về môđun để tìm ra các đặc trưng mới của lớp V - vành Kết quả này mở rộng một kết quả của D Q Hải và P F Smith

a) Môđun M được gọi là (1 - C 2 ) nếu nó thỏa mãn điều kiện (1 - C 2)

b) Môđun M thỏa mãn (1 - C1) và (1 - C2) thì M được gọi là 1 - liên tục

c) Môđun M được gọi là 1 - liên tục mạnh nếu nó thỏa mãn (C 1) và (1 - C 2)

d) Vành R được gọi là 1 - liên tục phải (trái) nếu RR (tương ứng RR) là 1 - liên tục

Chúng tôi đặt vấn đề khi nào các điều kiện 1 - liên tục, 1 - liên tục mạnh và liên tục là tương đương Trong các kết quả chính là Định lý 2.1.5 và Định lý 2.1.6, chúng tôi chỉ quan tâm đến các môđun U có dạng U U= 1⊕ ⊕ U trong đó n U1,U2, ,U là các môđun đều n

2.1.2 Nhận xét

a) Đối với môđun M chúng ta có phép kéo theo sau đây:

liên tục ⇒ 1 - liên tục mạnh ⇒ 1 - liên tục,

2.1.4 Bổ đề Nếu M là R - môđun và N là một hạng tử trực tiếp của M Khi đó nếu M là

(1 - C 2) (tương ứng 1 - liên tục, 1- liên tục mạnh) thì N cũng là môđun (1 - C 2) - (tương ứng

1- liên tục, 1 - liên tục mạnh)

Chứng minh

(i) Nếu M là môđun (1 - C2) ta chứng minh N cũng là môđun (1 - C2) Thật vậy, xét U là môđun con đều của N và U đẳng cấu với hạng tử trực tiếp V của N, ta cần chứng minh U cũng là hạng tử trực tiếp của N Nhận xét rằng U cũng là môđun con đều của M và V là hạng

tử trực tiếp của M Từ tính chất của M, suy ra U là hạng tử trực tiếp của M Đặt M U= ⊕U 1.Theo luật Môđula ta có: N U= ⊕U với 2 U2 = ∩N U Do đó U là hạng tử trực tiếp của N 1

Điều này dẫn đến N là môđun (1 - C2)

(ii) Tương tự cho các trường hợp M là môđun 1- liên tục hoặc 1- liên tục mạnh †

(ii) ⇒(i) Giả sử U là môđun (1 - C2) và U thỏa mãn điều kiện (C3), chúng ta chứng minh U là môđun (C2) Xét X, Y là các môđun con của U với X ≅Y và Y là hạng tử trực

tiếp của U chúng ta sẽ chứng minh X cũng là hạng tử trực tiếp của U Chú ý rằng Y là môđun con đóng của U, do đó tồn tại tập con F của tập {1, , n sao cho } Y⊕ ⊕( i F∈ U là i)môđun cốt yếu của U (xem [43, Lemma 1]) Mặt khác ,Y ⊕i F∈ U là hạng tử trực tiếp của U i

và nó thỏa mãn điều kiện (C3), chúng ta suy ra Y⊕ ⊕( i F∈ U i)=U Nếu F ={1, ,n} thì

Nhận xét rằng X là môđun con đều của U và i X i ≅U với i U là hạng tử trực tiếp của i

môđun U, từ tính chất (1 - C2) của U điều này dẫn đến X là hạng tử trực tiếp của U với i

1, ,

=

i k Mặt khác U thỏa mãn điều kiện (C3) suy ra X= X1⊕ ⊕ X là hạng tử trực tiếp k

của U Do đó U là môđun (C2) Ta có (i) †

2.1.6 Định lý. Nếu = ⊕n=1

i i

U U trong đó U i là môđun con đều với i = 1, 2,…,n, thì các khẳng định sau là tương đương

(i) U là môđun liên tục;

(ii) U là môđun 1 - liên tục

Chứng minh

(i) ⇒ (ii) Điều này là hiển nhiên

(ii) ⇒ (i) Giả sử U là môđun 1 - liên tục, chúng ta chứng minh U là môđun liên tục Bước đầu tiên chúng ta chứng minh vành các tự đồng cấu Si = End (Ui) là vành địa phương với bất kỳ i = 1,…,n

Chúng ta sẽ chứng minh Ui không nhúng được trong một môđun con thực sự của Ui Xét : i→ i

f U U là một đơn cấu với ( ) f U là một môđun con thực sự của U i i Đặt ( )f U i =V suy ,

ra 0,V ≠ V U và ≠ i V U Từ giả thiết và Bổ đề 2.1.4, U≅ i i là môđun (1 - C2) chúng ta có V là

một hạng tử trực tiếp của Ui, điều này dẫn đến Ui không là môđun đều (mâu thuẫn giả thiết)

Do đó Ui không nhúng được trong môđun con thực sự của U i

Xét g S và giả sử rằng g không là đẳng cấu Chúng ta chứng minh rằng 1 - g là một ∈ iđẳng cấu Vì Ui không nhúng được trong một môđun con thực sự của Ui nên g không là đơn cấu, suy ra Ker(g) là môđun con khác không của Ui Điều này dẫn đến Ker(g) là môđun cốt yếu trong môđun đều Ui Chú ý rằng ( )Ker g ∩Ker(1−g) 0,= chúng ta suy ra Ker(1 - g) = 0,

tức là 1 - g là một đơn cấu Nhưng Ui không nhúng được trong một môđun con thực sự Ui suy

ra 1 - g phải là ánh xạ lên, và do đó 1 - g phải là đẳng cấu Điều này chứng minh được Si là vành địa phương với bất kỳ i = 1,…,n

Đặt U ij =U i⊕U với j i j, ∈{1, ,n} và i≠ j Chúng ta sẽ chứng minh U ij thỏa mãn điều kiện (C3), tức là với hai hạng tử trực tiếp S1, S2 của Uij sao cho S1∩S2=0, chúng ta có

2) Hai hạng tử trực tiếp S1, S2 là môđun không

Chúng ta xét trường hợp không tầm thường S1, S2 là các môđun đều Chúng ta chứng minh rằng Ui không nhúng được trong môđun con thực sự của Uj Giả sử rằng :h U i→U là j

một đơn cấu và ( )h U là một môđun con thực sự của U i j Đặt h(Ui) = L Vì Uij là hạng tử trực tiếp của U nên theo Bổ đề 2.1.4, chúng ta suy ra Uij cũng là môđun (1 - C2) Chú ý rằng L là một môđun con đều của Uij và L U với ≅ i U là một hạng tử trực tiếp của U i ij, điều này dẫn đến L cũng là một hạng tử trực tiếp của Uij Đặt U ij= ⊕L L', theo luật Môđula chúng ta có

''

= ⊕

j

U L L với '' L =U j∩L Nhận xét rằng ''' L cũng là môđun thực sự của Uj và '' 0,L ≠

do đó Uj không là môđun đều (điều này mâu thuẫn với giả thiết) Từ đó chúng ta có Ui không nhúng được trong một môđun con thực sự của Uj Tương tự Uj không nhúng được trong một môđun thực sự của Ui Chú ý rằng Ui (và Uj) không nhúng được trong một môđun con thực sự của Ui (tương ứng Uj)

Từ giả thiết vành các tự đồng cấu Si = End (Ui) và Sj = End (Uj) là vành địa phương; sử dụng

Nếu U ij = ⊕S1 H = ⊕S1 U thì theo luật Môđula chúng ta có j, S1⊕S2= ⊕S1 W ' trong

đó W ' (= S1⊕S2)∩U Điều này dẫn đến j W'≅S nghĩa là U2, j chứa một copy của S2 ≅U j.Nhưng Uj không nhúng được trong một môđun con thực sự của Uj, chúng ta phải có W'=U j,

và do đó S1⊕S2 =U ij

Vậy Uij thỏa mãn điều kiện (C3) Nhận xét rằng Uij là một hạng tử trực tiếp của U và U

là một CS - môđun (vì U có chiều đều hữu hạn và U là môđun (1 - C1), suy ra U là CS -

môđun), chúng ta suy ra Uij cũng là CS - môđun, và do đó Uij là một môđun tựa liên tục Theo [26], U là môđun tựa liên tục Sử dụng Định lý 2.1.5, U là môđun (C2) Vậy U là môđun liên tục Ta có (i) †

2.1.7 Hệ quả Cho M có chiều đều hữu hạn thì các khẳng định sau tương đương:

(i) M là môđun liên tục;

(ii) M là môđun 1 - liên tục mạnh;

(iii) M là môđun 1 - liên tục

Chứng minh

(i) ⇒ (iii) Điều này là hiển nhiên

(iii) ⇒ (i) Giả sử M là môđun 1 - liên tục chúng ta chứng minh M là môđun liên tục

Vì M là môđun (1 - C1) và có chiều đều hữu hạn nên M U= 1⊕ ⊕ U trong đó n U U1, 2, ,U n

là môđun đều Theo Định lý 2.1.6 chúng ta có M là môđun liên tục

(ii)⇔(iii).Theo Mệnh đề 2.1.3 †

Trong mục này chúng tôi sẽ sử dụng lớp các môđun thỏa mãn điều kiện (1 - C2) để đặc trưng các lớp vành Cụ thể chúng tôi quan tâm đến điều kiện để một vành nửa Artin là V vành

phải Dĩ nhiên các kết quả mục này đều sử dụng lớp môđun thỏa mãn điều kiện (1 - C 2) để đặc trưng vành

Định lý 2.2.1 Đối với một vành nửa Artin R, các khẳng định sau là tương đương: (i) R là V vành phải;

(ii) Mọi R - môđun phải hữu hạn sinh CS là nội xạ;

(iii) Mọi R - môđun phải hữu hạn sinh CS là 1- liên tục mạnh

Chứng minh

(i) ⇒(ii) Theo [21, Theorem 1]

(ii) ⇒(iii) Vì môđun nội xạ là môđun 1 - liên tục mạnh nên chúng ta có (iii)

(iii) ⇒ (i) Gọi S là R - môđun phải đơn với bao nội xạ S*=E S Chúng ta sẽ chứng ( ).minh S = S* Giả sử ngược lại S*≠S Bởi vì R là vành nửa Artin phải cho nên tồn tại môđun .con X của S* với S⊆ X sao cho X S/ là môđun đơn Từ dãy hợp thành X ⊃ ⊃S 0 chúng ta suy ra l X( ) 2.= Chúng ta sẽ chứng minh X là môđun đều

Giả sử X là môđun phân tích được chúng ta đặt X = ⊕A Btrong đó A, B là các môđun đơn Xét S1= ∩A S và S2 = ∩B S chúng ta có S1, S2 hoặc bằng S hoặc bằng 0 vì S là môđun đơn Nếu S1=S2 =S thì A S= 1=S2=B suy ra A B∩ ≠0, đây là điều mâu thuẫn với tính chất của A và B Do đó ít nhất một trong hai môđun con S1, S2 phải bằng 0 Không mất tính tổng quát giả sử rằng S1 = 0 suy ra S∩ =A 0 Nhận xét rằng S là môđun cốt yếu của S* chúng

ta suy ra A S∩ ≠0, điều này mâu thuẫn với chứng minh trên Điều này dẫn đến X là môđun không phân tích được Giả sử X không là môđun đều khi đó tồn tại hai môđun khác không của X là C và D sao cho C∩ =D 0 Chúng ta có một dãy lồng nhau như sau

0

⊃ ⊕ ⊃ ⊃

X C D C và X ≠ ⊕ ≠ ≠C D C 0, suy ra l X( ) 2.> Điều này mâu thuẫn với tính chất của X do đó chúng ta có X là môđun đều

Đặt Y = ⊕S X suy ra u - dim (Y) = 2 chúng ta sẽ chứng minh Y là CS - môđun Xét W

là một môđun con đóng của Y, chúng ta sẽ chứng minh W là hạng tử trực tiếp của Y Nếu u - dim (W) = 2 thì W = Y (suy từ tính chất cốt yếu tối đại của môđun con đóng W) Xét trường hợp u - dim (W) = 1, suy ra W là môđun con đóng đều của Y Nếu W (0∩ ⊕X) 0,= xét tính chất về độ dài nhận thấy 3≤l(W⊕X)≤l Y( ) 3,= suy ra Y =W⊕X Xét trường hợp

W (0∩ ⊕X) 0,≠ chúng ta quan tâm độ dài l(W) của môđun W Từ tính chất

3=l Y( )>l(W), suy ra (W) 1l = hoặc (W) 2.l =

Nếu l(W) 1= thì W =Soc(0⊕X), suy ra W là môđun con thực sự 0⊕ X và W cốt yếu

trong 0⊕ X Điều này mâu thuẫn với tính chất W là môđun con đóng trong Y Do đó

(W) 2.=

l Vì S là môđun đơn nên W∩(S⊕ = ⊕0) S 0 hoặc W∩(S⊕ =0) 0 Nếu

( 0) 0

∩ ⊕ = ⊕

W S S thì (S⊕ ⊂0) W Từ tính chất W là môđun đều, suy ra

0 (≠ S⊕ ∩ ⊕0) (0 X)⊆(S⊕ ∩ ⊕0) (0 X) 0,= đây là điều mâu thuẫn Từ đó chúng ta có

( 0) 0,

∩ ⊕ =

W S suy ra l S( ⊕W)=l Y( ) 3= và được S⊕W=Y Tất cả những điều trên chứng minh W là hạng tử trực tiếp của Y, suy ra Y là CS - môđun Chú ý rằng Y là môđun sinh bởi 3 phần tử, do đó Y là môđun 1 - liên tục mạnh theo giả thiết (iii)

Nhận xét rằng, 0⊕ S là môđun con đều của Y, 0⊕ ≅ ⊕S S 0 và S⊕0là một hạng tử trực tiếp của Y, chúng ta có 0 ⊕ S cũng là hạng tử trực tiếp của Y Đặt (0Y = ⊕S)⊕L Sử .dụng luật Môđula suy ra

0⊕X = ⊕(0 S) (0⊕ ⊕K)

trong đó 0⊕ = ⊕K (0 X)∩L, tức là X = ⊕S K

Chú ý rằng 0≠K ≠ X, suy ra X không là môđun đều, điều này mâu thuẫn với tính chất của X Chúng ta phải có S = S * , suy ra R là V vành phải †

CHƯƠNG 3 MÔ ĐUN TỰA CẤU XẠ, QF VÀNH VÀ ĐIỀU KIỆN BAER

Lý thuyết vành là một trong những trọng tâm của Đại số kết hợp và vấn đề đặc trưng các lớp vành là bài toán quan trọng đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Có hai hướng chính để đặc trưng cho các lớp vành Hướng thứ nhất là đặc trưng vành thông qua tính chất nội tại của nó như tính chất của các phần tử hoặc các iđêan Hướng thứ hai là đặc trưng vành thông qua tính chất của các lớp môđun trên vành đó Hướng thứ nhất ra đời sớm hơn và hiện tại vẫn được một số nhà toán học quan tâm nghiên cứu Chúng ta biết rằng đối với vành

R bất kỳ theo định lý đồng cấu R / l(a) Ra, a R≅ ∀ ∈ trong đó l(a) là linh hóa tử trái của phần

tử a Tuy nhiên tính chất R / Ra l(a)≅ không phải bao giờ cũng đúng chẳng hạn / 2không đẳng cấu với l(2) 0.= Năm 1976 G Erlich đã đưa ra lớp vành cấu xạ là lớp vành thỏa mãn điều kiện R / Ra l(a)≅ , tuy nhiên việc nghiên cứu vành cấu xạ qua điều kiện này tỏ ra không thật sự hiệu quả Năm 2004, W K Nicholson và E Sanchez - Campos đã đưa ra điều kiện tương đương của vành cấu xạ với tính chất về linh hóa tử của các phần tử Nhờ sử dụng điều kiện mới này việc nghiên cứu lớp vành cấu xạ tỏ ra có hiệu quả hơn và đạt được nhiều kết quả thú vị Đặc biệt năm 2007, V Camillo và W K Nicholson đã mở rộng điều kiện trên

và đưa ra lớp vành tựa cấu xạ và đã đạt được một số kết quả Trước đó năm 2005, W K Nicholson và E Sanchez - Campos mở rộng khái niệm cấu xạ sang cấu trúc môđun và đưa ra lớp môđun cấu xạ Trong chương này, dựa vào ý tưởng của V Camillo và W K Nicholson chúng tôi mở rộng lớp môđun cấu xạ và đưa ra lớp môđun tựa cấu xạ Chúng tôi cũng sử dụng điều kiện cấu xạ để đặc trưng QF vành Phần cuối chương là các kết quả về lớp vành thỏa mãn điều kiện cấu xạ và điều kiện Baer

§1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ 3.1.1 Định nghĩa

a) Phần tử e của vành R được gọi là lũy đẳng (idempotent) nếu e2 = e

b) Cho vành R và e là một phần tử lũy đẳng của nó, khi đó l I R( )= ∈{r R rI: =0} được gọi là linh hóa tử trái (left annihilator) của I trong R

c) Vành R được gọi là vành Baer (Baer ring) nếu với mỗi tập con I của R, tồn tại lũy

đẳng e của R sao cho lR(I) = Re

3.1.2 Định nghĩa Cho vành R và a là một phần tử của R

a) Phần tử a được gọi là phần tử cấu xạ trái (left morphic element) trong R nếu

b) Định nghĩa tương tự cho khái niệm phần tử cấu xạ phải

c) Vành R được gọi là vành cấu xạ trái (left morphic ring) nếu mọi phần tử của nó đều

là phần tử cấu xạ trái

d) Định nghĩa tương tự cho khái niệm vành cấu xạ phải

e) Vành R được gọi là vành cấu xạ (morphic ring) nếu nó là vành cấu xạ trái và phải

3.1.3 Định nghĩa. Cho vành R và a là một phần tử của R

a) Phần tử a được gọi là phần tử tựa cấu xạ trái (left quasi - morphic element) trong R

nếu tồn tại các phần tử b, c của R sao cho Ra l(b);Rc l(a).= =

b) Định nghĩa tương tự cho khái niệm phần tử tựa cấu xạ phải

c) Vành R được gọi là vành tựa cấu xạ trái (left quasi - morphic ring) nếu mọi phần tử

của nó đều là phần tử tựa cấu xạ trái

d) Định nghĩa tương tự cho khái niệm vành tựa cấu xạ phải

e) Vành R được gọi là vành tựa cấu xạ (quasi - morphic ring) nếu nó là vành tựa cấu xạ

trái và phải

3.1.4 Định nghĩa Cho vành R và a là một phần tử của R

a) Phần tử a được gọi là cấu xạ tổng quát trái (left generalized morphic element) trong R

nếu tồn tại các phần tử b của R sao cho R/Rb ≅ l(a)

b) Định nghĩa tương tự cho khái niệm phần tử cấu xạ tổng quát phải

c) Vành R được gọi là vành cấu xạ tổng quát trái (left generalized morphic ring) nếu

mọi phần tử của nó đều là phần tử cấu xạ tổng quát trái

d) Định nghĩa tương tự cho khái niệm vành cấu xạ tổng quát phải

e) Vành R được gọi là vành cấu xạ tổng quát (generalized morphic ring) nếu nó là vành

cấu xạ tổng quát trái và phải

3.1.5 Định nghĩa. Cho vành R và a là một phần tử của R

a) Phần tử a của vành R được gọi là phần tử π - cấu xạ trái (left π - morphic element)

nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho R/Ran ≅ l(an)

b) Định nghĩa tương tự cho khái niệm phần tử π - cấu xạ phải

c) Vành R được gọi là vành π - cấu xạ trái (left π - morphic ring) nếu mọi phần tử của

nó là π - cấu xạ trái

d) Định nghĩa tương tự cho khái niệm vành π - cấu xạ phải

e) Vành R được gọi là vành π - cấu xạ (π - morphic ring) nếu nó là vành π - cấu xạ trái

và phải

3.1.6 Định nghĩa. Cho R - môđun trái M Môđun M được gọi là cấu xạ (morphic module) nếu M / Im( )α ≅Ker( )α với mọi đồng cấu α∈End(M).

3.1.7 Định nghĩa. Cho môđun M, ký hiệu (A)

b) M được gọi là môđun ∑− tựa nội xạ (tương ứng đếm được ∑− tựa nội xạ) nếu

M(A) (tương ứng M( )) là môđun tựa nội xạ

3.1.8 Định nghĩa. Vành R được gọi là QF vành nếu nó là vành Artin hai phía và tựa

nội xạ hai phía

3.1.9 Bổ đề (xem [25]) Vành R là QF khi và chỉ khi R R là môđun ∑− tựa nội xạ (đếm được ∑− tựa nội xạ) khi và chỉ khi R R là môđun ∑− tựa nội xạ (đếm được ∑− tựa nội xạ)

§2 CÁC KẾT QUẢ

I MÔ ĐUN TỰA CẤU XẠ

Trong mục này chúng tôi đưa ra định nghĩa lớp môđun tựa cấu xạ là lớp môđun mở rộng thực sự của lớp môđun cấu xạ

3.2.1 Định nghĩa

a) Đồng cấu α∈End(M) gọi là tựa cấu xạ (quasi - morphic) nếu tồn tại các đồng cấu

End(M)

β, γ ∈ sao cho Im( )β =K erα và Ker( )γ =Im( )α

b) Mô đun M được gọi là tựa cấu xạ nếu mọi đồng cấu của End(M) là tựa cấu xạ

3.2.2 Định lý Cho R - mô đun trái M, các khẳng định sau là tương đương:

(a) M là mô đun tựa cấu xạ

(b) Nếu M / K N ≅ , trong đó K, N là các mô đun con của M thì tồn tại các đồng cấu

Im β = =K Ker , Kerα γ = =N Imα Do đó α là tự đồng cấu tựa cấu xạ

Vậy M là mô đun tựa cấu xạ

3.2.3 Ví dụ Sử dụng định lý 3.2.2 ta có 2⊕ 4 là môđun tựa cấu xạ Nhưng 2⊕ 4

không là mô đun cấu xạ (xem [40, trang 2631]) Do đó môđun tựa cấu xạ là mở rộng thực sự

của môđun cấu xạ

c) Mô đun M gọi là sinh ra hạt nhân (generates its kernels) nếu M sinh ra Ker( )β với mọi β∈End M( )

3.2.5 Bổ đề Cho M là R - mô đun trái và E End M = ( )

a) Nếu M là mô đun tựa cấu xạ là ảnh - xạ ảnh thì E là vành cấu xạ trái

b) Nếu M là mô đun tựa cấu xạ thì M sinh ra hạt nhân

c) Nếu M là vành tựa cấu xạ trái và M sinh ra hạt nhân thì M là mô đun tựa cấu xạ Chứng minh Xem [13]

3.2.6 Định lý Cho R là một vành, các khẳng định sau là tương đương:

a) n

RR là mô đun tựa cấu xạ;

b) M Rn( ) là vành tựa cấu xạ trái

Chứng minh Sử dụng Bổ đề 3.2.5 và tính chất ( ) ( n)

M R ≅End R ta suy ra Định lý 3.2.6

3.2.7 Định lý: Cho R là một vành và e là một lũy đẳng của nó, các khẳng định sau là tương đương:

a) eRe là vành tựa cấu xạ trái và Re là R - mô đun trái sinh ra hạt nhân

b) Re là mô đun tựa cấu xạ

Chứng minh Chúng ta có e Re End Re≅ ( ) và Re là R - mô đun trái xạ ảnh Sử dụng Bổ

đề 3.2.5 ta có điều phải chứng minh

Chứng minh Xem [43, Lemma 1]

i I

∈

= ⊕ với Ri là các iđêan phải đều

3.2.10 Định lý Cho R là vành tựa cấu xạ trái và QF - 2 phải, các khẳng định sau là tương đương:

= ⊕ với Ri là các iđêan phải đều

Từ RR là mô đun đếm được ∑− −(1 C1)thỏa mãn điều kiện (C2), sử dụng Bổ đề 3.2.8 và dùng kỹ thuật chứng minh tương tự như trong các bài báo [11], [43] suy ra RR là mô đun ∑−

III ĐIỀU KIỆN CẤU XẠ VÀ ĐIỀU KIỆN BAER

Như chúng ta đã biết, lớp vành Baer và lớp vành cấu xạ đã dành được rất nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các tác giả, và cũng có rất nhiều tài liệu nghiên cứu về hai lớp vành này Tuy nhiên câu hỏi đặt ra là liệu hai lớp vành này có mối liên hệ nào với nhau hay không? Trong mục này chúng tôi sẽ trả lời một phần cho câu hỏi này Kết quả chính của mục này là Định lý 3.2.16 và Định lý 3.2.17

3.2.14 Bổ đề. Đối với một phần tử a trong vành R thì các điều kiện sau đây là tương đương:

(a) a là cấu xạ trái, tức là R/Ra ≅ l(a)

(b) Tồn tại b ∈R sao cho Ra = l(b) và l(a) = Rb

(c) Tồn tại b ∈R sao cho Ra = l(b) và l(a) ≅ Rb

Chứng minh

(a) ⇒ (b) Giả sử a là phần tử cấu xạ trái Khi đó tồn tại đẳng cấu α: R/Ra →l(a) Đặt b = α(1+Ra) Chúng ta sẽ chứng minh Rb = l(a) = Imaα và Ra = l(b)

Thật vậy, với x ∈Rb thì x = x1b = x1α(1+Ra) = α(x1 +Ra) ∈Imaα Ngược lại, nếu x ∈ Imα thì tồn tại x1∈ R sao cho x = α(x1 +Ra) = x1α(x1 +Ra) = x1b ∈Rb Do đó Rb = l(a) Với x

∈Ra thì xb = xα(1+Ra) =α(x+Ra) = 0 nên x ∈l(b), ngược lại nếu x ∈l(b) thì 0 = xb = xα(1+Ra) = α(x+Ra) Suy ra x∈Ra Do đó Ra = l(b)

(b) ⇒ (c) Hiển nhiên

(c) ⇒ (a) Xét đồng cấu f: R → Rb xác định bởi f(x) = xb Chúng ta có f là toàn cấu và Kerf = {x ∈R⎪xb=0} = l(b) = Ra

Theo định lý đồng cấu ta có R/Kref ≅Rb≅l(a) Do đó R/Ra ≅l(a)

3.2.15 Bổ đề Nếu a ∈R là cấu xạ trái thì ba điều kiện sau là tương đương:

(b) ⇒(c) Vì Ra = R nên tồn tại phần tử x ∈R sao cho xa = 1 Khi đó axa = a suy ra (ax - 1)

a = 0 Cho nên ax - 1 ∈l(a) = 0 Suy ra ax = xa = 1 Vậy a khả nghịch trong R

(c) ⇒ (a) Giả sử a khả nghịch trong R, ta cần chứng minh l(a) = 0 Xét y ∈l(a) ta có ya =

0 Do đó y = yaa-1 = 0 Vậy l(a) = 0

3.2.16 Định lý Nếu R là vành Baer thì R là vành cấu xạ tổng quát

Chứng minh Với e là phần tử lũy đẳng của R ta có 1 = e+(1-e) nên R = Re ⊕ R(1-e) Suy

ra Re ≅R/R(1-e) Khi đó tồn tại b ∈R sao cho b = 1 - e Lại vì R là vành Baer nên theo định nghĩa ta có Re = l(a) Do đó ta có l(a) ≅R/Rb, hay R là vành cấu xạ tổng quát trái

Chứng minh hoàn toàn tương tự cho trường hợp vành cấu xạ tổng quát phải

Vậy nếu R là vành Baer thì R là vành cấu xạ tổng quát

3.2 17 Định lý Cho R là vành Baer và π - cấu xạ trái không phân tích được Khi đó R là một thể

Chứng minh Để chứng minh R là một thể, ta cần chứng minh với mọi 0 ≠ a ∈R đều có phần tử khả nghịch Vì R là vành π - cấu xạ trái nên với bất kỳ phần tử a của R, tồn tại số nguyên dương na sao cho R Ra/ n a ≅l a( )n a Ta có l(a) = Re (vì R là vành Baer) là một hạng tử trực tiếp của vành R Do R không phân tích được nên hoặc l(a) = 0 hoặc l(a) = Re =R

Xét trường hợp 1: l(a) = Re=R

Ta có l(a) = {x ∈R⎪=0} = R nên theo Bổ đề 3.2 15 suy ra x = 0 hay R = {0} mâu thuẫn với 0 ≠ a ∈R Do đó trường hợp này loại

Xét trường hợp 1: l(a) = 0 Chúng ta sẽ chứng minh l a( )n a =0 Thật vậy, xét phần tử b của l a( )n a ta có ba n a =0, suy ra ba n a− 1 là phần tử của l(a) = 0 Lý luận tương tự như vậy, chúng ta được ba = 0 và dẫn đến b là phần tử của l(a) = 0 Từ đó ta có b = 0, túc là l a( )n a =0.Diều này dẫn đến R Ra= n a Khi đó tồn tại phần tử r của R sao cho ra n a =1 Đặt s ra= n a− 1 ta

có sa = 1 Mặt khác (as - 1)a = asa - a = 0, tức là as - 1 là phần tử của l(a) = 0 suy ra as =1 Điều này dẫn đến a khả nghịch Vậy R là một thể