phân loại và phương pháp tìm cực trị trong bài toán điện xoay chiều

Trong chương trình Vật lý 12, bài tập về điện xoay chiều là một phần quan trọng và chiếm tỉ trọng lớn trong đề thi của các kì thi Quốc gia hiện hành, đây cũng là một phần có lượng kiến t

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI :

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ TRONG BÀI TOÁN ĐIỆN XOAY CHIỀU

Người thực hiện

ĐẶNG THANH HỒNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHÁNH HÒA TRƯỜNG THPT PHAN BỘI CHÂU

TỔ VẬT LÍ

-*** -Cam Ranh, ngày 20 tháng 05 năm 2014

vì vậy hầu hết các khái niệm, các định luật, quy luật và phương pháp… của vật lý trong trường phổ thông đều được mô tả bằng ngôn ngữ toán học, đồng thời cũng yêu cầu học sinh phải biết vận dụng tốt toán học Vật lý là môn khoa học khó vì cơ sở của nó là toán học, bài tập Vật lý rất đa dạng và phong phú

Trong chương trình Vật lý 12, bài tập về điện xoay chiều là một phần quan trọng và chiếm tỉ trọng lớn trong đề thi của các kì thi Quốc gia hiện hành, đây cũng là một phần có lượng kiến thức lớn và

khó đối với nhiều học sinh Trung Học Phổ Thông Với lí do đó, tôi chọn nghiên cứu đề tài: “PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ TRONG BÀI TOÁN ĐIỆN XOAY CHIỀU”

3/ Đối tượng nghiên cứu:

Các tiết bài tập của “ Chương IV: Điện xoay chiều” môn vật lý 12 ban cơ bản

Đối tượng sử dụng đề tài: Học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp và thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng

4/ Phương pháp nghiên cứu:

Nghiên cứu lí thuyết

Giải các bài tập vận dụng

Xác định đối tượng học sinh áp dụng đề tài

Đưa ra một số công thức, ý kiến chưa ghi trong sách giáo khoa nhưng được suy ra khi giải một số bài tập điển hình

Kiểm tra sự tiếp thu của học sinh bằng các đề ôn luyện

Đánh giá, đưa ra sự điều chỉnh bổ sung cho phù hợp

5/ Phạm vi và giới hạn nghiên cứu:

*Phạm vi nghiên cứu: Học sinh lớp 12, ôn thi tốt nghiệp và đại học

*Giới hạn nghiên cứu: chương trình vật lý 12 phần dòng điện xoay chiều: bài toán cực trị trong dòng

điện xoay chiều và một số trường hợp vận dụng

II/ Giải quyết vấn đề :

1/ Cơ sở lý luận:

Hiện nay giải bài tập về dòng điện xoay chiều đòi hỏi giáo viên phải cung cấp cho học sinh những phương pháp giải bài tập tối ưu nhất, chính xác nhất và nhanh nhất để tiết kiệm thời gian trong quá trình làm bài tập và bài thi, việc ứng dụng phương pháp cực trị, giúp học sinh vận dụng toán học để giải nhanh bài tập về dòng điện xoay chiều

Việc giải bài tập này đòi hỏi học sinh không những có kiến thức vững vàng và nắm được bản chất

vật lý mà còn phải có kiến thức cơ bản về toán học tối thiểu như : Tính chất của phân thức đại số; Tính chất của các hàm số lượng giác ; Bất đẳng thức Cô-si và đặc biệt là công cụ đạo hàm của hàm số…

3.1.2 Tính chất của các hàm số lượng giác

Đối với các hàm số lượng giác :

Và : + Nếu f’’(x o ) > 0 thì x o là điểm cực tiểu

+ Nếu f’’(x o ) < 0 thì x o là điểm cực đại

3.2 Những trường hợp vận dụng cụ thể

3.2.1 Sự thay đổi R trong mạch R-L-C mắc nối tiếp:

Xét mạch điện xoay chiều có hiệu điện thế hai đầu ổn định :uU0cos( t u)

R là một biến trở, các giá trị R0, L và C không đổi

Gọi Rtd = R + R0

a Có hai giá trị R 1  R 2 cho cùng một giá trị công suất

- Công suất tiêu thụ trên mạch là :

2 2

- Từ đó ta thấy rằng có 2 giá trị R1 và R2 khác nhau cho cùng giá trị công suất

b Giá trị của R làm cho công suất cực đại

+ Giá trị R làm công suất toàn mạch cực đại

- Ta thấy rằng Pmax khi Amin => “ =” xảy ra Vậy: R td  Z LZ C

- Khi đó giá trị cực đại của công suất là:

Với R1td và R2td là hai giá trị của R cho cùng giá trị công suất

Lưu ý: Khi Z LZ C R0thì giá trị biến trở R < 0, khi đó giá trị biến trở làm cho công suất toàn mạch cực đại là R = 0

+ Giá trị R làm cho công suất của R cực đại

- Công suất của biến trở R là

rằng PRmax khi Amin nghĩa là dấu “ =” phải xảy ra, khi đó: R R02(Z LZ C)2

- Công suất cực đại của biến trở R là:

2 max 2 2

c Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R

- Để thấy rõ hơn sự phụ thuộc của công suất toàn mạch vào giá trị của biến trở R người ta thường dùng phương pháp khảo sát hàm số:

- Ta có công suất toàn mạch biến thiên theo biến trở R cho bởi hàm số:

P(R)

2 max

2 L C

U P

a Từ đồ thị ta thấy rằng có hai giá trị R1 và R2 cho cùng một giá trị

của công suất

b Công suất đạt giá trị cực đại khi R Z LZ C R0 0

c Trong trường hợp R Z LZ C R0 0 thì đỉnh cực đại nằm ở phần

R< 0 do đó ta thấy rằng công suất của mạch sẽ lớn nhất khi R = 0

d Nếu R0 = 0 thì đồ thị xuất phát từ gốc tọa độ và ta luôn có giá trị R

làm cho công suất của toàn mạch cực đại là R Z LZ C

P

Pmax

R1R=ZL - ZC - R0

2 max

U P

Kết luận:

e Với phương pháp khảo sát hàm số để thu được các kết quả ở phần 1

và 2 sẽ không hiệu quả bằng phương pháp dùng tính chất của hàm bậc 2 và bất đẳng thức Cauchy

f Tuy nhiên từ việc khảo sát này ta có thể biết được sự biến thiên của P theo biến trở R nhằm

định tính được giá trị của công suất sẽ tăng hay giảm khi thay đổi điện trở

d Tìm điều kiện để U AN hoặc U MB có giá trị không đổi và không phụ thuộc vào giá trị của điện trở R

Cho mạch điện như hình vẽ: Điện trở R có giá trị thay đổi, L và C không đổi

điện áp giữa hai đầu đoạn mạch u = U0cos(  t )

+ TH1: Tìm điều kiện để U AN có giá trị không đổi và không phụ thuộc vào giá trị điện trở R

Ta có biểu thức

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2

2 2

21

2)

(

L

C L C C

C L L

L C

L

L AN

AN

Z R

Z Z Z

U Z

Z Z Z R

Z R U Z

Z R

Z R U IZ

2 2

2 2

2 2 2

2

2 2

21

2)

(

C

C L L C

C L L

C C

L

C MB

MB

Z R

Z Z Z

U Z

Z Z Z R

Z R U Z

Z R

Z R U IZ

2

1 

 Tìm R để:

a) Mạch tiêu thụ công suất P = 90W và viết biểu thức của cường độ dòng điện trong mạch khi đó

b) Công suất tỏa nhiệt trên mạch cực đại Pmax và tính giá trị Pmax

2 2

R R

R

R Z

U R

I

B

C R

R = 225

R = 25

Trang 8

5

21075

2150

1arctan(

)3

1arctan(

3

1225

75tan  L  C      u  i  i 

cos5

2150

1arctan(

)3

1arctan(

3

125

75tan  L  C      u  i  i 

cos5

Z Z R

U R

Z Z R

U R

Z

U

R

C L C

L

2 2 2 2

2 2 2

2

2

)(

L C

R

Z Z

Khi đó công suất cực đại của mạch

)(15075.2

1502

2 2

min

2

Z Z

U y

U

P

C L

A R1 = 50Ω, R2 = 100Ω B R1 = 40Ω, R2 = 250Ω

C R1 = 50Ω, R2 = 200Ω D R1 = 25Ω, R2 = 100Ω

Hướng dẫn giải:

1 2 2 2 2 1 2 2 2 2

2 1

2 2 1

2 2

2 2 1 2

C C

Z R R Z R R R Z R

U R

Z R

U R

I R

Sau khi biến đổi ta được R1R2 Z C2 R1R2 1002 (1)

Mặt khác, gọi U1C là điện áp tụ điện khi R = R1 và U2C là điện áp tụ điện khi

2

2 1 1

2 2 2 2 1 2 1 2

R R I R I P

Giải (1) và (2) ta được R1 = 50Ω, R2 = 200Ω

Ví dụ 3: Một mạch điện gồm một tụ điện C, một cuộn cảm L thuần cảm kháng và một biến trở R được

mắc nối tiếp Đặt vào hai đầu mạch điện một hiệu điện thế xoay chiều u = 120 2cos(120 t)(V) Biết rằng ứng với hai giá trị của biến trở: R1 = 18Ω và R2 = 32Ω thì công suất tiêu thụ P trên đoạn mạch là như nhau Công suất P của đoạn mạch có thể nhận giá trị nào trong các giá trị sau?

Hướng dẫn giải:

3218

1202 2

1

2

W R

 thuần cảm kháng và một biến trở R được mắc nối tiếp Đặt vào hai đầu mạch điện một hiệu

điện thế xoay chiều u=150 2cos(120 t) (V) Tìm giá trị UAN để UAN không phụ thuộc vào giá trị của điện trở R

Hướng dẫn giải:

ZL = 100( Z), C = 200()

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2

2 2

21

2)

(

L

C L C C

C L L

L C

L

L AN

AN

Z R

Z Z Z

U Z

Z Z Z R

Z R U Z

Z R

Z R U IZ

Trang 10

3.2.2 Sự thay đổi L trong mạch R-L-C mắc nối tiếp (cuộn dây thuần cảm)

Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định :uU0cos( t u)

L là một cuộn dây thuần cảm có giá trị thay đổi, R và C không đổi

a Có hai giá trị L 1  L 2 cho cùng giá trị công suất

- Vì có hai giá trị của cảm kháng cho cùng giá trị công suất nên:

b Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng Z L

+ Ta có công suất toàn mạch là:

với R, C là các hằng số, nên công suất của mạch là một hàm số theo biến số ZL

+ Đạo hàm của P theo biến số ZL ta có:

L C

Z Z R

Z Z R

P(ZL)

2

max

U P

* Nhận xét đồ thị:

- Có hai giá trị của cảm kháng cho cùng một giá trị công suất

hai giá trị của cảm kháng cho cùng một giá trị công suất

Kết luận: Từ việc khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của

Z L sẽ cho phép định tính được sự tăng hay giảm của P theo Z L Từ đó ta

có thể tiên đoán được sự thay đổi của công suất theo giá trị của Z L

trong một số bài toán

c Giá trị Z L để hiệu điện thế U Lmax

+ Ta có hiệu điện thế trên cuộn dây là

trong đó R; ZC và U là các hằng số không đổi Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số này theo biến

số là ZL Tuy nhiên với cách khảo sát hàm số sẽ rất phức tạp Với phương pháp dùng giản đồ Vectơ bài

toán này có thể giải dễ hơn và rút ra nhiều kết luận hơn

+ Theo giản đồ vectơ và định lý hàm số sin trong tam giác ta có :

U P

C L

U

U U U

2

2 

- Khi ULmax thì hiệu điện thế tức thời ở hai đầu mạch luôn nhanh pha hơn uRC một góc 900

d Có hai giá trị L 1  L 2 cho cùng giá trị U L , giá trị L để U Lmax tính theo L 1 và L 2

+ Khi có hai giá trị của L cho cùng một giá trị hiệu điện thế:

* Theo kết quả phần trên khi hiệu điện thế giữa hai đầu cuộn dây cực đại thì Z Z L C R2Z C2 với giá

trị Z L là giá trị làm cho U Lmax Thay vào biểu thức trên: 1 2

  với L là giá trị làm cho ULmax

e Giá trị Z L để hiệu điện thế U LRmax

+ Khi R và L mắc nối tiếp nhau thì :

Z R

Z Z Z U

L

C L

Z R

Z Z Z





00

)(

)(

2 2 2

2 2

R Z Z Z Z

L

L C L

4

02

ZL

0

2 2

42

RLM

U U

Cuộn dây thuần cảm có độ

tự cảm L thay đổi được Điện áp giữa hai đầu đoạn mạch là u = 200cos(100πt) (V) Xác định độ tự cảm của cuộn dây trong các trường hợp sau:

a) Hệ số công suất của mạch cosφ = 1

b) Hệ số công suất của mạch cosφ =

2

3

c) Điện áp hiệu dụng trên cuộn cảm L là cực đại

10.)100(

11

11

2

C L

Z Z Z R Z

R

C L

33

432

2

32

Trang 14

3

R Z

(350200

200)

3100

2

2

H L

)3100(3100

2

2 2

max

R

U R



100

232)

(232200

200

2 2

H L

Z

Z R Z

C

C L

80

80 170 80

2 2

2

L

Z

R Z

U R

L =



5,0(H)



ZL = 100 L =



1(H)

ZL = 300 L =



3(H)

Khi mạch có L = L1 =



33 (H) và L = L2=



3 (H) Thì mạch có cùng cường độ dòng điện hiệu dụng

nhưng giá trị tức thời lệch pha nhau góc

2 2 1 2

1 I Z Z R (Z L Z C) R (Z L Z C)

2 1

2 1

L C C L

C L

Z Z Z Z

ZL Z

tantan

3)

tan(

3

2

2 1

2 1

2 1 2

Z Z R

2 1

1       



)3100

(

1

31003

(200)

3100(

Độ lệch pha của u và i: tan

33

3100

3100

(rad)

Biểu thức của cường độ dòng điện i là: i = )( )

3100cos(

(200)

3100(

R = - 300 ()

R = 100 ()

Trang 16

Độ lệch pha của u và i: tan

33

3100

3100

(rad)

Biểu thức của cường độ dòng điện i là: i = )( )

3100cos(

 

* Nhận xét: Cách giải trên là tổng quát cho trường hợp độ lệch pha bất kỳ Tuy nhiên trong bài toán trên

chúng ta có thể nhận xét được rằng do cường độ dòng điện trong hai trường hợp bằng nhau nên trong hai

trường hợp đó độ lệch pha của u và i có cùng độ lớn Khi đó u1 sẽ nhanh pha hơn i góc

3



là giải ra R luôn chứ không cần phải khai triển công thức lượng giác

3.2.3 Sự thay đổi C trong mạch R - L - C mắc nối tiếp (cuộn dây thuần cảm)

Xét mạch điện xoay chiều có hiệu thế hai đầu ổn định:

a Có hai giá trị C 1  C 2 cho cùng giá trị công suất P Tìm C = C 0 để P max

Với hai giá trị C1 và C2 cho cùng giá trị công suất ta có

0

1 2 0

Với giá trị C0 là giá trị làm cho công suất mạch cực đại

b Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng

Đồ thị của công suất theo giá trị ZC

L CM

d Có hai giá trị C 1  C 2 cho cùng giá trị U C , giá trị Z C để U Cmax

- Khi có hai giá trị C = C1 hoặc C = C2 cho cùng giá trị UC thì giá trị của C làm cho UCmax khi

RCM

U U

a) Mạch tiêu thụ công suất P = 50W

b) Mạch tiêu thụ công suất cực đại Tính Pmax

100.10050

2 2

2 2

2

C

Z

R Z

U P

U R

c) Theo công thức đã chứng minh được điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ cực đại khi:

2 2

L C

100

100

F C

L CM



2

104(F) thì mạch có cùng công suất P = 200(W)

3300

2

200

2 1

2 1 2

2 2 1 2

2 2 1 2

1

H L

Z Z

Z

Z Z Z Z Z Z R I R I P

P

P

C C

L

L C C L

)(

2 2

2 2

1 2

Z Z R

U P

C L

Giải phương trình ta được nghiệm duy nhất R = 100Ω Vậy R100, L 3(H)

b) Tính hệ số công suất ứng với các trường hợp

•Khi

2

12100

100cos

2100)

400300(100)

(4

F C

100cos

2100)

200300(100)

(2

F C



Nhận xét : Trong hai trường hợp L thay đổi và C thay đổi chúng ta thấy vai trò của L và C là bình đẳng

nên hoán đổi vị trí của L và C ta sẽ được kết quả Vậy nên trong trắc nghiệm chúng ta chỉ cần nhớ kết quả với C hoặc L

3.2 4 Sự thay đổi  trong mạch R - L - C mắc nối tiếp (cuộn dây thuần cảm)

a Giá trị  làm cho P max , U Rmax , I max

- Ta có

2 2

, từ công thức này ta thấy rằng công suất của

LC C

L    



2 max

U P R



- Khi đó Zmin = R và hiệu điện thế giữa hai đầu mạch và cường độ dòng điện qua mạch đồng pha nhau

b Có hai giá trị  1   2 cho cùng công suất và giá trị  làm cho P max

- Nếu có hai giá trị tần số khác nhau cho một giá trị công suất thì:

2 2 2 2

2 2

1 1 2

2 2

1

)

1(

)

1(

C L R

U R

C L R

U R

- Biến đổi biểu thức trên ta thu được:

- Vì 1  2 nên nghiệm (1) bị loại

- Khai triển nghiệm (2) ta thu được: 1 2 1

LC

  

)1(11

2 2 1 1

C

L C

1(

1

2 2 1

1

C

L C

Trang 20

- Theo kết quả ta có : 02 1 2 1

LC

    với 0 là giá trị cộng hưởng điện

c Khảo sát sự biến thiên công suất theo 

- Ta có

2 2

Việc khảo sát hàm số P theo biến số  bằng việc lấy đạo hàm và

lập bảng biến thiên rất khó khăn vì hàm số này tương đối phức tạp Tuy nhiên, ta có thể thu được kết quả

  thì mạch cộng hưởng làm cho công suất trên mạch cực đại

+ Khi    thì Z L  L  làm cho P = 0 Từ những nhận xét đó ta dễ dàng thu được sự biến thiên và

0 0

Nhận xét đồ thị

Từ đồ thị ta thấy rằng sẽ có hai giá trị  1 ≠  2 cho cùng một giá trị công suất, điều này phù hợp với

những biến đổi ở phần trên

d Giá trị  làm cho hiệu điện thế U Lmax

2 2

2 2 2

11

R A

LC R C x

LC R C L



∞ A’(x) - 0 +

LM

U L U

số có cực tiểu ở phần âm, do đó x = 0 làm cho Amin trong miền xác định của x Khi đó  rất lớn làm cho

ZL rất lớn làm cho I = 0 Do đó không thể tìm giá trị  làm cho ULmax

e Giá trị  làm cho hiệu điện thế U Cmax

Tương tự như cách làm trên ta cũng thu được kết quả tương tự khi thay đổi giá trị  làm cho UCmax là:

- Khi thì ax

2 2

2 4

CM

U L U

Trang 22

g Khi 1 hoặc 2 thì điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ điện có cùng một giá trị Khi 0

thì điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ điện đạt giá trị cực đại Hệ thức liên hệ giữa  , 1  và 2  là0

* Khi ω = ω1 hoặc ω = ω2, ta có : UC1 = UC2

2 2 1 1 2

1

Z

U Z Z

U Z

2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1

2

1

1.2 1.2.)

1(

1)

1(

1

C C

L L

R C

C

L L

R C

L R C

))(



2

2 2

(

L

R C

)

2((2

12

2

2 2

L R

1

Z

U Z Z

U Z

2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1

2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1

2

.2

)

1(

)

L L

R C C

L L

R C

L R C L

C

L

2) Khi ULmax ta có

2

2

C R

LC   ω0

2 = 2 ( 1 1 )

2 2 2

1 

 

k Khi   1 hoặc   2 thì cường độ dòng điện, công suất, hiệu điện thế trên điện trở R có cùng một giá trị Khi   0 thì cường độ dòng điện, công suất, hiệu điện thế trên điện trở R đạt giá trị cực đại Hệ thức liên hệ giữa  , 1  và 2  là0

2 2 2

1 1 2

1

)(Z L Z C Z L Z C Z

U Z

Ví dụ 1: Cho đoạn mạch điện MN gồm một điện trở thuần R = 100Ω, cuộn dây

))(

2cos(

2

120 ft V

U MN   , tần số f của nguồn điện có thể điều chỉnh thay đổi được

a) Khi f = f1 = 50 Hz, tính cường độ hiệu dụng của dòng điện và tính công suất tiêu thụ P1 trên đoạn mạch điện MN Viết biểu thức cường độ dòng điện tức thời chạy trong đoạn mạch đó

b) Điều chỉnh tần số của nguồn điện đến giá trị f2 sao cho công suất tiêu thụ trên đoạn mạch điện MN lúc

đó là P2 = 2P1 Hãy xác định tần số f2 của nguồn điện khi đó Tính hệ số công suất

120

A Z

1100

L C

L R

R U R

)

1(

2

2 2

2 2 2

2 2

12

12