Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của một vectơ.Giá của vectơ AB là đường thẳng AB.# » 2.2 Hai vectơ cùng phương Định nghĩa 2.2.. Cho hình vuông ABCD
Trang 11 Các Khái niệm về vectơ
1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1 Vectơ là một đoạn thẳng có định hướng, tức là ta trên đoạn thẳng đó, ta đã chỉ ra điểmđầu và điểm cuối
• Một vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B, ta kí hiệu AB.# »
• Trong một số trường hợp, nếu ta không cần chỉ ra điểm đầu và điểm cuối của vectơ, thì ta có thể viết
#»
x , #»y ,
Ví dụ 1.1 Với ba điểm phân biệt A, B, C cho trước, có thể lập được bao nhiêu vectơ có điểm đầu và điểmcuối không trùng nhau?
Ví dụ 1.2 Cũng hỏi như trên, nhưng với 2009 điểm phân biệt A1, A2, , A2009?
Định nghĩa 1.2 Vectơ có điểm đầu và điểm cuối không trùng nhau gọi là vectơ - không, kí hiệu #»0
2.1 Giá của một vectơ
Định nghĩa 2.1 Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của một vectơ.Giá của vectơ AB là đường thẳng AB.# »
2.2 Hai vectơ cùng phương
Định nghĩa 2.2 Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau
Dựa vào hình vẽ, ta có thể biết hai vectơ cùng hướng hay ngược hướng
Chú ý
• Hai vectơ cùng hướng thì sẽ cùng phương Điều ngược lại không đúng
• Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng hướng hay ngược hướng
• Vectơ - không thì cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ
3.1 Xác định vị trí tương đối của ba điểm phân biệt A, B, C trong các trường hợp sau:
1 AB và# » AC ngược hướng.# »
2 AB và# » AC cùng phương.# »
4 Độ dài của một vectơ, hai vectơ bằng nhau
4.1 Độ dài của một vectơ
Định nghĩa 4.1 Độ dài của vectơ # »AB, kí hiệu |AB|, chính là độ dài đoạn thẳng AB Độ dài của vectơ# » #»0bằng 0
Định nghĩa 4.2 Một vectơ có độ dài bằng 1 thì gọi là vectơ đơn vị
Trang 24.2 Hai vectơ bằng nhau
Định nghĩa 4.3 Hai vectơ #»a và #»b , được gọi là bằng nhau, kí hiệu #»a = #»b nếu chúng có cùng độ dài vàcùng hướng
4.1 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Tìm các vectơ bằng OA.# »
4.2 Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khiAB =# » DC.# »
4.3 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O Gọi D là điểm đối xứng của B qua O và H làtrực tâm tam giác ABC
1 Chứng minh rằng AH =# » DC.# »
2 Gọi I là trung điểm của AH, M là trung điểm của cạnh BC Chứng minh rằngAI =# » OM # »
Định nghĩa 5.1 Cho hai vectơ #»a và #»b Từ điểm A tuỳ ý, dựng AB = #»# » a Từ B, dựng BC =# » #»b Khi đó,
5.2 Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh rằngAD +# » BE +# » CF =# » AE +# » BF +# » CD.# »
5.3 Cho ba điểm phân biệt không thẳng hàng O, A, B Với điều kiện nào thìOA +# » OB nằm trên đường# »phân giác của góc \AOB?
5.4 Cho tam giác đều ABC cạnh a Tìm độ dài của vectơAB +# » AC và# » AB +# » CB theo a.# »
Trang 35.5 Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằng với mọi điểm M , ta cóM A +# » M C =# » M B +# » M D.# » 5.6 Cho tam giác ABC, về bên ngoài tam giác ta vẽ các hình bình hành ABM N , BCP Q, CARS Chứngminh rằng
1 M N +# » P Q +# » RS =# » #»0
2 M Q +# » P S +# » RN =# » #»0
5.7 Cho hai điểm phân biệt A và B cố định và số k > 0 Tìm tập hợp điểm M sao cho |M A +# » M B| = k.# » 5.8 Cho các vectơ #»a , #»b , #»c Chứng minh rằng |#»a | + |#»b | > |#»a +#»b | Dấu bằng xảy ra khi nào?
5.9 Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng nếu |AD +# » BC| = |# » AB +# » DC|, thì AC ⊥ BD.# »
5.10 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính P Q = 2 Trên nửa đường tròn ta lấy các điểm A, B, Ckhác P và Q Chứng minh rằng |OA +# » OB +# » OC| > 1.# »
6.1 Vectơ đối của hai vectơ
Định nghĩa 6.1 Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng có cùng độ dại và ngược hướng
• Nếu #»a và #»b là hai vectơ đối nhau, ta kí hiệu #»a = −#»b hay #»b = −#»a
• Vectơ đối của AB là −# » AB, và −# » AB =# » BA.# »
• Vectơ đối của #»0 là #»0
Tổng của vectơ #»a với vectơ đối của nó bằng vectơ - không
7.1 Hiệu của hai vectơ
Định nghĩa 7.1 Hiệu của hai vectơ #»a và #»b , kí hiệu #»a −#»b , là tổng của vectơ #»a với vectơ đối của vectơ
#»
b
#»a − #»b = #»a + (−#»b )
7.2 Hiệu của hai vectơ chung điểm đầu
Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta luôn có
# »
AB −AC =# » BC.# » 7.1 Dựng hiệu của hai vectơ #»a và #»b cho trước
7.2 Cho hình bình hành ABCD Gọi O là giao điểm của hai đường chéo Hãy rút gọn các vector
1 CO −# » BA;# »
2 CO −# » OD +# » CB;# »
7.3 Cho năm điểm A, B, C, D, E Chứng minh rằngAC +# » DE −# » DC −# » CE +# » CB =# » AB.# »
Trang 47.4 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng nếu |CA −# » CB| = |# » CA +# » CB|, thì tam giác ABC vuông tại# »C.
7.5 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện AB +# » AC vuông góc với# » AB −# » AC, thì# »tam giác ABC cân
7.6 Cho tam giác đều ABC cạnh a Tìm độ dài của vectơAB −# » BC theo a.# »
7.7 Cho lục giác đều ABCDEF Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp lục giác Chứng minh rằng
# »
OA +OB +# » OC +# » OD +# » OE +# » OF =# » #»0 7.8 Cho ngũ giác đều ABCDE Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ngũ giác Chứng minh rằng
# »
OA +OB +# » OC +# » OD +# » OE =# » #»0 7.9 Chứng minh rằng nếu hai hình bình hành ABCD và A0B0C0D0 có cùng tâm thì
# »
AA0+BB# »0+CC# »0+DD# »0 = #»0 7.10 Cho hình thoi ABCD có \BAD = 60◦ và cạnh là a Gọi O là giao điểm của hai đường chéo Tính
|AB +# » AD|, |# » BA −# » BC|, |# » OB −# » DC|.# »
7.11 Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo Tính |OA −# » CB|, |# » AB +# » DC|,# »
|CD −# » DA|.# »
8 Tích của một số thực với một vectơ
Định nghĩa 8.1 Cho số thực k và vectơ #»a Tích của số k với vectơ a là một vectơ, kí hiệu k #»a , được xácđịnh như sau:
• Nếu k > 0, thì vectơ k #»a cùng hướng với vectơ #»a Nếu k < 0, thì vectơ k #»a ngược hướng với vectơ #»a
• k · #»a = #»0 khi và chỉ khi k = 0 hoặc #»a = #»0
9.1 Chứng minh rằng điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi với M là điểm bất kì, ta
có M A +# » M B = 2# » M I.# »
9.2 Cho tam giác ABC có trọng tâm G
Trang 51 Chứng minh rằngGA +# » GB +# » GC =# » #»0 Ngược lại, nếu M A +# » M B +# » M C =# » #»0 , thì M là trọng tâmcủa tam giác ABC.
2 Chứng minh rằng với M là điểm bất kì, ta cóGA +# » GB +# » GC = 3# » M G.# »
9.3 Cho tứ giác ABCD Xác định điểm M sao cho M A +# » M B +# » M C +# » M D =# » #»0
9.4 Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo Chứng minh rằng với M là điểmbất kì, ta cóM A +# » M B +# » M C +# » M D = 4# » M O.# »
9.5 Cho tứ giác ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các đường chéo AC và BD Chứng minhrằngAB +# » CD = 2# » IJ # »
9.6 Cho bốn điểm A, B, C, D Gọi I, J lần là trung điểm của các cạnh BC, CD Chứng minh rằng
2(AB +# » AI +# » JA +# » DA) = 3# » DB.# » 9.7 Cho tứ giác ABCD Hãy dựng điểm G sao cho GA +# » GB +# » GC +# » GD =# » #»0 Chứng minh rằng vớimọi điểm O, ta có
BC, CA, AB Chứng minh rằng
# »
M A +M B +# » M C = 2(# » M H +# » M K +# » M I).# » 9.9 Cho tam giác ABC Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho
9.11 Cho lục giác ABCDEF Gọi P, Q, R, S, T, U lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD,
DE, EF , F A Chứng minh rằng hai tam giác P RT và QSU có trọng tâm trùng nhau
9.1 Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Định lí 9.1 Vectơ #»b cùng phương với vectơ #»a 6= #»0 khi và chỉ khi có số k sao cho #»b = k #»a
9.2 Điều kiện để ba điểm thẳng hàng
Định lí 9.2 Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là # »AB = kAC.# »
9.12 Cho bốn điểm A, B, C, M thoả mãnM A + 2# » M B − 3# » M C =# » #»0
9.13 Cho tam giác ABC, M và N thay đổi sao cho M N = 2# » M A + 3# » M B −# » M C.# »
1 Tìm điểm I thoả mãn 2IA + 3# » IB −# » IC =# » #»0
2 Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định
Trang 69.14 Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
1 Gọi I là trung điểm của BC Chứng minhAH = 2# » OI.# »
9.16 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Các điểm M, N thoả 3M A + 4# » M B =# » #»0 và CN =# » 1
2
# »BC.Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của tam giác ABC
9.17 Cho tam giác ABC, trên BC lấy điểm D sao cho BD =# » 3
Hướng dẫn Chọn hệ vectơ gốc {AB,# » AC};# » AD = 2# » AI.# » 9.19 Cho tam giác ABC, gọi M, N là các điểm xác định bởiM A + 3# » M C =# » #»0 vàN A+ 2# » N B + 3# » N C =# » #»0 Chứng minh ba điểm M, N, B thẳng hàng
Hướng dẫn Chọn hệ vectơ gốc {BA,# » BC};# » BM =# » 3
2
# »BN
9.3 Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
Định nghĩa 9.1 Cho hai vectơ #»a và #»b Nếu vectơ #»c có thể viết được dưới dạng #»c = m #»a + n#»b , với m, n
là hai số thực nào đó, thì ta nói vectơ#»c biểu thị được (hay phân tích được) qua hai vectơ #»a và #»b
Định lí 9.3 Cho hai vectơ không cùng phương #»a và #»b Khi đó mọi vectơ #»x đều có thể biểu thị được mộtcách duy nhất qua hai vectơ #»a và #»b , nghĩa là có duy nhất cặp số m, n sao cho #»x = m #»a + n#»b
9.20 Cho tam giác ABC và điểm M nằm trên cạnh BC sao cho M B = 2M C Chứng minh
# »AC
9.21 Cho tam giác ABC Trên BC lấy điểm D sao choBD =# » 3
5 Gọi E là điểm thoả
# »EC
Trang 72 Chứng minh ba điểm A, E, D thẳng hàng.
Hướng dẫn EA = −# » 54ED.# »Bài toán.Cho n điểm A1, A2, , Anvà tập hợp các số thực x1, x2, , xnsao cho x1+x2+· · ·+xn6= 0.Tìm tập hợp các điểm M thoả điều kiện
|x1M A# »1+ x2M A# »2+ · · · + xnM A# »n| = k
• Bước 1 Chọn điểm I sao cho
x1IA# »1+ x2IA# »2+ · · · + xnIA# »n= #»0 Khi đó, điểm I xác định duy nhất và
|x1M A# »1+ x2M A# »2+ · · · + xnM A# »n| = |(x1+ x2+ · · · + xn)M I|.# »
• Bước 2 Từ điều kiện đã cho suy ra IM có độ dài không đổi và M thuộc đường tròn tâm I, bán kính
là một hằng số xác định
9.22 Cho đoạn thẳng AB = 3a Tìm tập hợp các điểm M sao cho |M A + 2# » M B| = 3.# »
Đáp số Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I, bán kính R = 1 9.23 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho
• |M A +# » M B +# » M C| = 3.# »
• |M A + 2# » M B + 3# » M C| = 12.# »
Bài toán Cho đường thẳng d (đường tròn S), tập hợp điểm A1, A2, , An và tập hợp các số thực
x1, x2, , xnsao cho x1+ x2+ · · · + xn6= 0 Với mỗi điểm N thuộc d (thuộc S), ta dựng điểm M thoả điềukiện
x1N A# »1+ x2N A# »2+ · · · + xnN A# »n=N M # »Tìm tập hợp các điểm M
• Bước 1 Rút gọn biểu thức vế trái bằng cách chọn điểm I sao cho
x1IA# »1+ x2IA# »2+ · · · + xnIA# »n= #»0 Khi đó, điểm I xác định duy nhất và biểu thức vectơ được rút gọn là
(x1+ x2+ · · · + xn)N M # »
• Bước 2 Đẳng thức trên chứng tỏ N I và# » N M cùng phương Từ đó, suy ra tập hợp điểm M # »
• Chú ý xét thêm giới hạn của điểm M (nếu có)
9.24 Cho hai điểm A, B và đường thẳng (d) Với mỗi điểm N trên (d) ta dựng điểm M thoả N M =# »
2N A + 3# » N B Tìm tập hợp các điểm M khi N thay đổi trên (d).# »
9.25 Cho hai điểm A, B và đường tròn (O; R) Với mỗi điểm N trên (O; R) ta dựng điểm M thoả
# »
N M = 2N A + 3# » N B Tìm tập hợp các điểm M khi N thay đổi trên (d).# »
Trang 89.4 Tìm tập hợp điểm
Ta áp dụng các kết quả cơ bản sau:
• Nếu |OM | = |#»# » v | với O cố định, #»v không đổi, thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính
|#»v |
• Nếu |M A| = |# » M B| với A, B cố định, thì tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AB.# »
• Nếu OM = k · #»# » a với O cố định, #»a không đổi, k ∈ R, thì tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua
O và song song với giá của #»a
• Nếu OM = k ·# » OA, với A cố định, k ∈ R, thì tập hợp các điểm M là đường thẳng OA.# »
9.26 Cho tam giác ABC, tìm tập hợp các điểm M sao cho:
11 Toạ độ của một vectơ trên trục - độ dài đại số của một vectơ
11.1 Toạ độ của một vectơ trên trục
Xét trục (O; #»i ) và điểm M trên trục Nếu OM = k# » #»i , thì toạ độ của điểm M là k
Trang 911.2 Độ dài đại số của một vectơ
Cho hai điểm A, B trên trục toạ độ (O; #»i ), nếu AB = k# » #»i , thì độ dài đại số của vectơ AB, kí hiệu AB.# »
• Mặt phẳng Oxy gọi là mặt phẳng toạ độ
13.1 Toạ độ của một vectơ
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với điểm M tuỳ ý, luôn tồn tại duy nhất hai số thực x, y sao cho OM =# »
x#»i + y#»j Bộ hai số thực (x; y) được gọi là toạ độ của vectơ OM , kí hiệu# » OM = (x; y) hay# » OM (x; y)# »
# »
OM = (x; y) ⇔OM = x# » #»i + y#»j
• Toạ độ của vectơ đơn vị #»i là (1; 0), tức là #»i = (1; 0);
• Toạ độ của vectơ đơn vị #»j là (0; 1), tức là #»j = (0; 1);
• Toạ độ của vectơ - không là (0; 0), tức là #»0 = (0; 0)
13.2 Toạ độ của một điểm
Định nghĩa 13.1 Toạ độ của điểm M cũng chính là toạ độ của vectơ # »OM
Trang 1013.5 Toạ độ trung điểm của một đoạn thẳng
Cho A(xA; yA) và B(xB; yB) Gọi I(xI; yI) là trung điểm của đoạn thẳng AB, thì
13.6 Toạ độ trọng tâm của một tam giác
Cho tam giác ABC, A(xA; yA), B(xB; yB) và C(xC; yC) Gọi G(xG; yG) là trọng tâm của tam giác ABC,
1 Tìm toạ độ của vectơ #»s = 2 #»u − 3#»v ;
2 Tìm toạ độ của vectơ #»t = 5 #»m + #»j ;
3 Cho điểm A(1; −3) Tìm toạ độ điểm M sao cho 3AM − 2#»# » v = #»0
13.2 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 5 Chọn hệ trục toạ độ (A;#»i ,#»j ) sao cho #»i và AD cùng# »hướng, #»j và AB cùng hướng Tìm toạ độ của các đỉnh hình vuông, toạ độ giao điểm I của hai đường chéo# »hình vuông, toạ độ trung điểm M của cạnh BC và toạ độ trung điểm N của cạnh CD
13.3 Cho tam giác ABC với A(−1; 3), B(2; 4), C(4; −1) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD làhình bình hành
13.4 Cho tam giác ABC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB Tìm toạ độ cácđỉnh của tam giác ABC
13.5 Xét xem các cặp vectơ sau có cùng phương không? Trong trường hợp chúng cùng phương, xét xemchúng cùng hướng hay ngược hướng
1 #»a = (2; 3) và #»b = (−10; −15);
2 #»u = (0; 7) và #»v = (0; 8);
Trang 113 #»c = (3; 4) và #»d = (6; 9)
13.6 Cho A(−1; 1), B(1; 3), C(−2; 0) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng
13.7 Cho A(3; 4), B(2; 5) Tìm x để điểm C(−7; x) thuộc đường thẳng AB
13.8 Cho bốn điểm A(0; 1), B(1; 3), C(2; 7), D(0; 3) Chứng minh rằng AB và CD song song
13.9 Cho tam giác ABC với A(3; 2), B(−11; 0), C(5; 4)
1 Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác ABC
2 Tìm toạ độ điểm I đối xứng với A qua B
13.10 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(−3; 4), B(1; 1), C(9; −5)
1 Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng;
2 Tìm toạ độ điểm D sao cho A là trung điểm của đoạn BD;
3 Tìm toạ độ điểm E trên trục Ox sao cho ba điểm A, B, E thẳng hàng
13.11 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(−4; 1), B(2; 4), C(2; −2)
1 Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác ABC;
2 Tìm toạ độ điểm D sao cho C là trọng tâm của tam giác ABD;
3 Tìm toạ độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành
13.12 Cho tam giác đều ABC cạnh a Chọn hệ toạ độ (O;#»i ,#»j ), trong đó O là trung điểm của cạnh
BC, #»i cùng hướng vớiOC,# » #»j cùng hướng với OA.# »
1 Tính toạ độ các đỉnh của tam giác ABC;
2 Tìm toạ độ trung điểm E của cạnh AC;
3 Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
14 Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0◦ đến 180◦
14.1 Nửa đường tròn đơn vị
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 1, ở phía trên của trục hoành Tagọi nó là nửa đường tròn đơn vị
14.2 Định nghĩa
Với mỗi góc α (0◦ 6α 6 180◦), ta xác định điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \M Ox = α Giả sửđiểm M có toạ độ (x; y) Khi đó,
• tung độ y của điểm M gọi là sin của góc α, kí hiệu là sin α
• tung độ x của điểm M gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cos α
Trang 12• Với x 6= 0, tỉ số xy gọi là tang của góc α, kí hiệu là tan α.
14.1 Tính các giá trị lượng giác của góc 120◦
14.3 Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau
1) sin(90◦− α) = cos α;
2) cos(90◦− α) = sin α;
3) tan(90◦−α) = cot α;
4) cot(90◦−α) = tan α
14.2 Tính P = tan 5◦· tan 10◦· tan 15◦· · · tan 80◦· tan 85◦
14.4 Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau
Nếu hai góc bù nhau, thì sin của chúng bằng nhau còn côsin, tang và côtang của chúng đối nhau
1) sin(180◦− α) = sin α;
2) cos(180◦− α) = − cos α;
3) tan(180◦− α) = − tan α với α 6= 90◦;4) cot(180◦−α) = − cot α với 0◦ < α < 180◦ 14.3 Tính tổng S = cos 0◦+ cos 20◦+ cos 40◦+ · · · + cos 140◦+ cos 160◦+ cos 180◦
14.4 Đơn giản các biểu thức
1 S1= sin 100◦+ sin 80◦+ cos 16◦+ cos 164◦
2 S2= 2 sin(180◦− α) · cot α − cos(180◦− α) · tan α · cot(180◦− α) với 0◦ < α < 90◦
Trang 1314.7 Cho và cos α = −4
7 Tính các giá trị còn lại của góc α
14.8 Cho tan α = 2 Tính các giá trị còn lại của góc α
15 Tích vô hướng của hai vectơ
15.1 Góc giữa hai vectơ
Định nghĩa 15.1 Cho hai vectơ #»a và #»b đều khác #»0 Từ một điểm O nào đó, ta vẽ các vectơOA = #»# » a và
• Nếu (#»a ,#»b ) = 90◦, thì ta nói hai vectơ #»a và #»b vuông góc với nhau, kí hiệu là #»a ⊥ #»b
15.2 Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ
Định nghĩa 15.2 Tích vô hướng của hai vectơ của hai vectơ #»a và #»b , kí hiệu #»a · #»b , là một số, được xácđịnh bởi
#»a · #»b = |#»a | · |#»b | · cos(#»a ,#»b )
Từ định nghĩa trên, ta suy ra
#»a · #»b = 0 ⇔ #»a ⊥ #»b 15.1 Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và trọng tâm G Tính các tích vô hướng sau
Trang 141 AB ·# » AC;# » AC ·# » CB;# » AG ·# » AB.# »
2 GB ·# » GC;# » BG ·# » GA;# » GA ·# » BC.# »
15.2 Cho tam giác ABC vuông ở A có bA = 60◦ Tính các tích vô hướng CA ·# » CB;# » AB ·# » BC.# »
15.3 Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng Biết AB =√
2 và AC =√
3 TínhAB ·# » AC.# » 15.4 Cho tam giác ABC vuông tại C có AB = 9, CB = 5 TínhAB ·# » AC.# »
15.3 Bình phương vô hướng của một vectơ
Định nghĩa 15.3 Với vectơ #»a tuỳ ý, tích vô hướng #»a · #»a được kí kiệu ( #»a )2hay #»a2 và gọi là bình phương
vô hướng của vectơ của vectơ #»a
Ta có
#»a2 = |#»a | · |#»a | · cos 0◦ = |#»a |2.Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó
15.4 Tính chất của tích vô hướng
Với ba vectơ #»a , #»b , #»c tuỳ ý và một số thực k, ta có1) #»a · #»b = #»b · #»a ;
2) (k #»a ) ·#»b = a · (k#»b ) = k( #»a · #»b );
3) a · (#»b + #»c ) = #»a ·#»b + #»a · #»c ;4) a · (#»b − #»c ) = #»a ·#»b − #»a · #»c 15.5 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 Tính giá trị của biểu thức (AB + 2# » AD) · (3# » AB −# » CD).# » 15.6 Cho các vectơ #»u , #»v , #»w có độ dài bằng 1, ( #»u , #»v ) = 30◦, (#»v , #»w) = 60◦, (#»w, #»u ) = 120◦ Tính
P = ( #»u + #»v + #»w)2
15.7 Cho các vectơ #»a , #»b có độ dài bằng 1 và thoả mãn điều kiện |#»a +#»b | =√3 Tính ( #»a ,#»b )
15.8 Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằng AC2+ BD2 = 2(AB2+ AD2)
15.9 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đường chéo AC, BD Chứng minhrằng
AB2+ BC2+ CD2+ DA2 = AC2+ BD2+ 4M N2 15.10 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh rằng
M A2+ M B2+ M C2 = 3M G2+ GA2+ GB2+ GC2 15.11 Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm tuỳ ý Chứng minh rằng
1 MA2+ M C2 = M B2+ M D2;
2 M A ·# » M C =# » M B ·# » M D;# »
3 MA2+M B ·# » M D = 2# » M A ·# » M O (O là tâm của hình chữ nhật)# »
Trang 1515.12 Cho tam giác ABC có AB = 7, AC = 5, bA = 120◦.
1 Tính các tích vô hướngAB ·# » AC và# » AB ·# » BC;# »
2 Tính độ dài đườn trung tuyến AM của tam giác
15.13 Cho hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R Chứng minh rằng với M
là điểm tuỳ ý, thì MA2+ M B2+ M C2+ M D2 là một số không đổi
15.14 Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R Chứng minh rằng với M
là điểm tuỳ ý nằm trên đường tròn, thì các tổng sau là một số không đổi
1+ M A22+ · · · + MA2n có giá trị không đổi
15.16 Cho tam giác ABC với các trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh rằng
# »
BC ·AD +# » CA ·# » BE +# » AB ·# » CF = 0.# » 15.17 Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì Chứng minh rằng
# »
AB ·AM = k ⇔ AH =# » k
AB.Tập hợp các điểm M là đường thẳng vuông góc với AB tại H
15.19 Cho đoạn thẳng AB và một số thực k Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn hệ thức AM2−BM2= k 15.20 Cho đoạn thẳng AB và một số thực k Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn hệ thức AM2+BM2= k 15.21 Cho đoạn thẳng AB và một số thực k Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiệnM A·# » M B = k.# » 15.22 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn hệ thức M A2+ M B2 = 2M C2
Trang 1615.6 Phương tích của một điểm đối với một đường tròn
15.23 Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định Một đường thẳng ∆ thay đổi, luôn đi qua M , cắtđường tròn (O; R) tại hai điểm A và B Chứng minh rằngM A ·# » M B = M O# » 2− R2
Hướng dẫn.Vẽ đường kính BC của đường tròn (O; R), ta cóM A là hình chiếu# » M C trên đường thẳng# »
M B Sau đó, dùng công thức hình chiếu
Định nghĩa 15.4 Giá trị không đổi # »M A ·M B = M O# » 2− R2 = d2− R2 trong Bài toán trên gọi là phươngtích của điểm M đối với đường tròn (O) và kí hiệu là PM/(O)
PM/(O)=M A ·# » M B = M O# » 2− R2= d2− R2.Khi điểm M ở ngoài (O), MT là tiếp tuyến của (O) (T là tiếp điểm), thì
PM/(O) =M T# »2 = M T2 15.24 Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùngnằm trên một đường tròn khi và chỉ khi M A ·# » M B =# » M C ·# » M D.# »
15.25 Cho đường thẳng AB cắt đường thẳng ∆ ở M và một điểm C trên ∆ (C khác M ) Chứng minhrằng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi MC2= M A · MB
15.7 Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
Cho hai vectơ #»a = (x1; y1) và #»b = (x2; y2) Khi đó1) #»a · #»b = x1x2+ y1y2;
2) |#»a | =px2
1+ y2
1;3) cos(#»a ,#»b ) = p x1x2+ y1y2
x2
1+ y2 1
p
x2
2+ y2 2
(#»a 6= #»0 và #»b 6= #»0 )
Hệ quả.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy khoảng cách giữa hai điểm M(xM; yM) và M (xN; yN) là
M N = |M N | =# » p(xN − xM)2+ (yN − yM)2 15.26 Cho ba điểm A(1; 1), B(2; 3), C(5; −1)
• Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông
• Tính diện tích và chu vi tam giác ABC
• Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A
15.27 (A, 2004) Cho hai điểm A(0; 2) và B(−√3; −1) Tìm toạ độ trực tâm và toạ độ tâm đường trònngoại tiếp tam giác OAB (O là gốc toạ độ)
Đáp số H(√
3; −1) và I(−√3; 1) 15.28 (D, 2004) Cho tam giác ABC có các đỉnh A(−1; 0), B(4; 0), C(0; m) với m 6= 0 Tìm toạ độ trọngtâm G của tam giác ABC theo m Xác định m để tam giác GAB vuông tại G
Đáp số M(1; m/3); m = ±3√6
Trang 1715.29 Cho điểm N (2; −3) Tìm điểm M trên trục hoành sao cho độ dài đoạn MN bằng 5.
Đáp số M1(6; 0) và M2(−2; 0) 15.30 Cho điểm N (−8; −13) Tìm điểm M trên trục tung sao cho độ dài đoạn MN bằng 17
Đáp số M1(0; 28) và M2(0; −2) 15.31 Cho các điểm M (2; 2) và N (5; −2) Tìm điểm P trên trục hoành cho tam giác MP N vuông tại P
Đáp số P1(1; 0) và P2(6; 0) 15.32 Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn (C ), biết rằng (C ) đi qua điểm A(4; 2) và tiếpxúc với hai trục toạ độ
Đáp số C1(2; 2) R1= 2; và C1(10; 10) R1 = 10 15.33 Cho hình vuông ABCD với A(3; 0) và C(−4; 1) Xác định toạ độ của hai đỉnh B và D
Đáp số B(0; 4) và D(−1; −3) 15.34 Cho tam giác ABC, với A(−3; 6), B(9; −10), C(−5; 4)
1 Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Đáp số I(3; −2) và R = 10
2 Xác định toạ độ trực tâm của tam giác ABC
3 Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
15.35 Xác định độ dài đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC biết A(3; −5), B(−3; 3),C(−1; −2)
Đáp số 14
√3
2 15.36 Xác định độ dài đường phân giác ngoài kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC biết A(3; −5), B(1; −3),C(2; −2)
Đáp số 4 15.37 Cho điểm A(7; −3) và B(23; −6) Xác định toạ độ giao điểm C của đường thẳng AB và trục hoành
Đáp số C(−9; 0) 15.38 Cho điểm A(5; 2) và B(−4; −7) Xác định toạ độ giao điểm C của đường thẳng AB và trục tung
Đáp số C(0; −3) 15.39 Cho hai điểm A, B và một số thực k Tìm tập hợp các điểm M sao cho AM ·# » BM = k.# »
Hướng dẫn Chọn A(0; 0), B(0; b) và M(x; y) 15.40 Cho tam giác ABC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC Chứng minh rằngnếu AC > BC, thì AM > BN
Hướng dẫn Chọn A(a; 0), B(b; 0) và C(0; c)