dạy giải phương trình, bất phương trình vô tỉ ở trường trung học phổ thông theo hướng phát hiện và giải quyết vấn đề

Thực hiện theo đường lối, nghị quyết đó, trong những năm gần đây ngành Giáo dục và Đào tạo đã có cuộc vận động đổi mới phương pháp dạy học, trong đó dạy học PH&GQVĐ được đề cập và quan t

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐỖ THỊ BÍCH

DẠY GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO HƯỚNG

PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ HỒNG MINH

HÀ NỘI – 2012

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn i

Danh mục viết tắt ii

Mục lục iii

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 5

1.1.1 Lịch sử của phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề 5

1.1.2 Những khái niệm cơ bản 7

1.1.3 Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 11

1.1.4 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn Toán và định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường THPT hiện nay 15 1.2 Dạy học nội dung phương trình, bất phương trình vô tỉ ở trường THPT 17 Chương 2: DẠY MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ THEO HƯỚNG PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 18

2.1 Định hướng chung 18

2.2 Phương pháp biến đổi tương đương 19

2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 30

2.3.1 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình, bất phương trình bậc hai một ẩn 30

2.3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ không triệt để 40

2.3.3 Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình 42

2.4 Phương pháp lượng giác hoá 48

2.5 Phương pháp hàm số 56

2.6 Phương pháp đánh giá 63

2.7 Phương pháp hình học 70

Kết luận chương 2 75

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 76

3.1 Mục đích, nội dung thực nghiệm sư phạm 76

3.1.1 Mục đích của thực nghiệm sư phạm 76

3.1.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 76

3.1.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 76

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 76

3.2.2 Giáo án thực nghiệm sư phạm 76

3.3 Kết quả thực nghiệm sư phạm 87

Kết luận chương 3 91

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 92

1 Kết luận 92

2 Khuyến nghị 92

TÀI LIỆU THAM KHẢO 93

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

tmdk Thoả mãn điều kiện

ktmdk Không thoả mãn điều kiện

BPT Bất phương trình

PTVN Phương trình vô nghiệm

VIII đã chỉ rõ con đường đổi mới giáo dục và đào tạo là: “Đổi mới mạnh mẽ các phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối giáo dục một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học, phát triển phong trào tự học,

tự đào tạo thường xuyên và rộng khắp trong toàn dân, nhất là thanh niên”

Tuy đạt được được nhiều thành quả trong lĩnh vực giáo dục và đào tạo trong thời kỳ đổi mới vừa qua, như hoàn thành phổ cập giáo dục tiểu học trong cả nước, nhưng việc đổi mới phương pháp giáo dục vẫn còn nhiều bất cập, tình trạng dạy học kiểu “thầy đọc, trò chép”; thầy truyền đạt trò tiếp nhận, ghi nhớ một cách thụ động, máy móc; dạy nhồi nhét “dạy kiểu luyện thi” vẫn thường xảy ra Vì vậy xảy ra tình trạng học trò chỉ tiếp thu kiến thức

do thầy giáo cung cấp một cách thụ động Trước tình hình đó, trong định hướng phát triển giáo dục và đào tạo, Nghị quyết Đại hội đại biểu toàn quốc

lần thứ IX đã nhấn mạnh: “Tiếp tục quán triệt quan điểm giáo dục là quốc sách hàng đầu và tạo sự chuyển biến căn bản, toàn diện trong phát triển giáo dục và đào tạo - Triển khai thực hiện hiệu quả Luật Giáo dục - Định hình qui

mô giáo dục và đào tạo; điều chỉnh cơ cấu đào tạo, nhất là cơ cấu cấp học, ngành nghề và cơ cấu lãnh thổ, phù hợp với nhu cầu phát triển nguồn nhân

lực phục vụ phát triển kinh tế - xã hội, nâng cao trình độ đội ngũ giáo viên các cấp”, “Tiếp tục đổi mới chương trình nội dung, phương pháp giảng dạy

và phương thức đào tạo đội ngũ lao động có chất lượng cao, đặc biệt trong ngành kinh tế, kỹ thuật mũi nhọn, công nghệ cao”

Thực hiện theo đường lối, nghị quyết đó, trong những năm gần đây ngành Giáo dục và Đào tạo đã có cuộc vận động đổi mới phương pháp dạy học, trong đó dạy học PH&GQVĐ được đề cập và quan tâm như một biện pháp hữu hiệu để người học hoạt động tự giác, tích cực, độc lập và sáng tạo trong quá trình học tập, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục, đáp ứng nhu cầu ngày càng cao của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước

Phát huy tính tích cực của học sinh là hướng đổi mới đã được nhiều nhà

sư phạm nghiên cứu và vận dụng một cách có hiệu quả Ở Việt Nam, từ cuối thập kỷ 60 của thế kỷ XX phương pháp này đã được Phạm Văn Hoàn rất quan tâm trong việc dạy học môn Toán Đặc biệt gần đây, đã có nhiều công trình nghiên cứu áp dụng phương pháp dạy học này theo những phạm vi, chủ đề nội dung cho những đối tượng học sinh khác nhau Điển hình là công trình nghiên cứu của Nguyễn Bá Kim, Trần Kiều, Nguyễn Hữu Châu và nhiều tác giả khác Tuy nhiên ở trường trung học phổ thông hiện nay, việc vận dụng các phương pháp dạy học hiện đại để góp phần thực hiện đổi mới phương pháp dạy học theo hướng vừa kể trên vào thực tiễn dạy học môn Toán còn nhiều hạn chế, cần phải tiếp tục nghiên cứu để áp dụng một cách cụ thể

Mặt khác môn toán là môn học có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho họ tư duy trìu tượng, rèn luyện cho học sinh năng lực PH&GQVĐ

Thực tế dạy và học Toán ở trường THPT cho thấy học sinh còn rất khó khăn khi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình vô tỉ chẳng hạn như: tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, vô nghiệm, nghiệm thoả mãn một điều kiện nào đó…

Với những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu “Dạy giải

phương trình, bất phương trình vô tỉ ở trường trung học phổ thông theo hướng phát hiện và giải quyết vấn đề ” cho bản luận văn thạc sĩ chuyên

ngành Lí luận và phương pháp dạy học (bộ môn Toán) của mình

2.Mục đích nghiên cứu

Nhằm vận dụng phương pháp dạy học PH&GQVĐ để nâng cao chất lượng dạy học một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ trong chương trình toán THPT

3 Nhiệm nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận của phương pháp dạy học PH&GQVĐ

- Thiết kế các bài toán nhằm vận dụng phương pháp dạy học PH& GQVĐ giúp học sinh phát hiện và đưa ra phương pháp giải cho từng dạng toán

- Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài trong dạy học

7 Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở lý luận của phương pháp dạy học PH&GQVĐ, thực tiễn dạy phương trình, bất phương trình vô tỉ ở trường THPT nếu khai thác và vận dụng được quy trình dạy học PH&GQVĐ trong dạy một số phương pháp giải

phương trình, bất phương trình vô tỉ thì sẽ phát huy tối đa tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh trong việc học tập bộ môn Toán ở trường THPT

8 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận: phân tích, tổng hợp và hẹ thống hoá các vấn đề lý luận, nghiên cứu, tìm hiểu, phân tích sách báo, tài liệu và các công trình nghiên cứu khoa học có liên quan đến đề tài

- Nghiên cứu thực tiễn: điều tra quan sát tiến trình dạy nội dung phương trình, bất phương trình vô tỉ ở trường THPT hiện nay

- Thực nghiệm sư phạm

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1, cơ sở lý luận và thực tiễn, trình bày một số vấn đề tổng quan

về phương pháp dạy học PH&GQVĐ và thực trạng dạy học nội dung phương trình, bất phương trình vô tỉ ở trường THPT

Chương 2, vận dụng phương pháp PH&GQVĐ trong dạy một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình, trình bày nghiên cứu và đề xuất về dạy một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ theo hướng QH&GQVĐ

Chương 3, thực nghiệm sư phạm kiểm chứng các phương pháp đã được

đề xuất

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

1.1.1 Lịch sử của phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề

- Về mặt thuật ngữ: Trong hệ thống các phương pháp dạy học không truyền thống (tức là những phương pháp dạy học hiện đại) có một phương pháp dạy học, có tác giả gọi là “dạy học nêu vấn đề”; có tài liệu viết là “dạy học giải quyết vấn đề” Vì vậy cần có sự giải thích về khái niệm này Theo Nguyễn Bá Kim, thuật ngữ “dạy học nêu vấn đề” có nhược điểm:

Một là, nó có thể dẫn tới suy nghĩ lầm rằng vấn đề thầy giáo nêu theo ý mình chứ không phải nảy sinh từ lôgic bên trong của tình huống

Hai là, nó có thể hiểu là kiểu dạy học này chỉ dừng nêu ra vấn đề chứ không nói rõ vai trò của học sinh trong việc giải quyết vấn đề

Thuật ngữ “dạy học giải quyết vấn đề” khắc phục được nhược điểm thứ hai nhưng vẫn còn mắc nhược điểm thứ nhất Thuật ngữ “Phát hiện và giải quyết vấn đề” khắc phục cả hai nhược điểm trên nhằm nêu rõ hàm ý giúp học sinh PH&GQVĐ Thuật ngữ “Phát hiện và giải quyết vấn đề” nói lên bản chất của phương pháp dạy học này rõ hơn so với những thuật ngữ khác Vì vậy chúng tôi đồng ý với thuật ngữ này như Nguyễn Bá Kim, đó là “Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề”

- Theo Lerner thì thuật ngữ “dạy học nêu vấn đề” ra đời chưa được bao năm, việc nghiên cứu tư tưởng dạy học nêu vấn đề thật rầm rộ được bắt đầu chưa lâu lắm, nhưng các tư tưởng đó, dưới những tên gọi khác nhau, đã tồn tại trong giáo dục học hàng trăm năm nay rồi Sớm hơn nữa, các hiện tượng

“nêu vấn đề” đã được Xôcrat (46- 399 trước công nguyên) thực hiện trong các cuộc tọa đàm Trong khi tranh luận, ông không bao giờ kết luận trước mà để mọi người tìm ra cánh giải quyết

Trong những thập kỷ 60-70 của thế kỷ XX, phương pháp dạy học này được nhiều nhà khoa học giáo dục quan tâm, trên cả bình diện thực nghiệm rộng rãi ở nhiều môn học khác nhau cho nhiều lứa tuổi học sinh phổ thông Đặc biệt công trình nghiên cứu của Ôkôn, Đanhilov, Xcatkin, Rubinstein, Macchuskin, Kudriavse ([31], [32], [36]) “Ở Việt Nam, trong thời kỳ này phương pháp dạy học cũng có những ảnh hưởng và tác động đáng kể tới quá trình đổi mới phương pháp dạy và học ở nhà trường phổ thông, bởi những công trình nghiên cứu của Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim, Nguyễn Hữu Châu”([4], [5], [10], [20]) Đặc biệt trong những năm gần đây, trước những thách thức mới của yêu cầu phát triển xã hội, trong bối cảnh của cuộc cách mạng công nghệ thông tin trên thế giới, mục đích của nhà trường là phải đào tạo cho người học sinh, lực lượng lao động nòng cốt trong tương lai, có năng lực PH&GQVĐ mới một cách độc lập Như vậy, PH&GQVĐ không chỉ phụ thuộc phạm trù phương pháp dạy học, mà còn trở thành một mục đích của quá trình dạy học ở trường, được cụ thể hoá thành một thành tố của mục tiêu là năng lực giải quyết vấn đề, giúp con người thích ứng được với sự phát triển của xã hội, “giải quyết vấn đề” cũng trở thành nội dung học tập của học sinh Định hướng phát triển giáo dục và đào tạo, Nghị quyết Trung ương Đảng

khoá IX ([6]), đã nhấn mạnh “tiếp tục đổi mới chương trình, nội dung, phương

pháp giảng dạy, phương thức đào tạo,… nâng cao trình độ giáo viên các cấp ”

Những điểm nói trên chính là nhấn mạnh đến năng lực giải quyết vấn đề, phù hợp với xu thế hiện đại về cải cách phương pháp dạy học của thế giới

- Tóm lại: PH&GQVĐ là một phương pháp dạy học có hiệu quả và được coi như là một trong những hướng ưu tiên trong định hướng về đổi mới phương pháp dạy học

- Năng lực phát hiện và giải quyết vần đề là một trong những năng lực then chốt, cần thiết cho mọi học sinh, đó là mục tiêu của quá trình dạy học

1.1.2 Những khái niệm cơ bản

a) Vấn đề

Một vấn đề (đối với người học) được biểu thị bởi một hệ thống những

mệnh đề và câu hỏi (hoặc yêu cầu hành động) thoả mãn các điều kiện sau:

- Câu hỏi còn chưa được giải đáp (hoặc yêu cầu hành động còn chưa được thực hiện)

- Chưa có một phương pháp có tính chất thuật toán để giải đáp câu hỏi

hoặc thực hiện yêu cầu đặt ra ([19]) đồng thời, theo Ôkôn ([36]), trong mỗi

vấn đề phải có cái chưa biết, cái đã biết, và phải có điều kiện quy định bởi

mối liên hệ giữa các yếu tố chưa biết và đã biết đó

được đưa ra ngay sau khi học sinh mới học xong định nghĩa PT vô tỉ là một

vấn đề, nhưng nếu bài toán đó được cho sau khi học sinh đã được biết các

phương pháp giải PT, BPT vô tỉ rồi thì nó không còn là một vấn đề nữa

b) Tình huống gợi vấn đề

Tình huống gợi vấn đề, theo Nguyễn Bá Kim ([18, tr.116]) là một tình

huống gợi ra cho học sinh những khó khăn về lý luận hay thực tiễn mà họ

thấy cần thiết và có khả năng vượt qua, nhưng không phải là ngay tức khắc

nhờ một quy tắc có tính chất thuật toán, mà phải trải qua một quá trình tích

cực suy nghĩ, hoạt động biến đổi đối tượng hoạt động, điều chỉnh kiến thức

sẵn có

Như vậy, một tình huống gợi vấn đề cần thoả mãn các điều kiện sau:

- Tồn tại một vấn đề

Tình huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn với trình độ nhận

thức, chủ thể phải ý thức được một khó khăn trong tư duy hoặc hành động mà

vốn hiểu biết sẵn có chưa đủ để vượt qua Nói cách khác phải tồn tại một vấn

đề, tức là có ít nhất một phần tử của khách thể mà học sinh chưa biết và cũng chưa có trong tay thuật giải để tìm phần tử đó

- Gợi nhu cầu nhận thức

Nếu một tình huống tuy có vấn đề và vấn đề tuy hấp dẫn, nhưng nếu học sinh không thấy có nhu cầu tìm hiểu, giải quyết thì họ cũng không sẵn sàng giải quyết vấn đề Cần làm cho học sinh thấy rõ tuy họ chưa có ngay lời giải, nhưng có sẵn một số kiến thức kỹ năng liên quan đến vấn đề đặt ra, và nếu họ tích cực suy nghĩ thì có nhiều hy vọng giải quyết được vấn đề

- Khơi dậy niềm tin ở khả năng bản thân

Hay nói cách khác, trong tình huống gợi vấn đề chỉ nên chứa đựng khó khăn đúng mức; học sinh sẽ sẵn sàng vượt khó và tự giải quyết vấn đề “nếu khó khăn đúng mức” được thể hiện ở hai mặt sau:

- Một mặt, không để cho học sinh phát hiện ngay ra lời giải mà không cần tới sự nỗ lực của tư duy

- Mặt khác, tình huống gợi vấn đề phải cho trước những dữ kiện nào đó

để làm tiền đề xuất phát cho sự tìm tòi của học sinh

c) Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề

Dạy học PH&GQVĐ được hiểu là sự tổ chức quá trình dạy học bao gồm việc tạo ra tình huống gợi vấn đề trong giờ học, kích thích ở học sinh nhu cầu giải quyết vấn đề nảy sinh, lôi cuốn các em vào hoạt động nhận thức

tự lực nhằm nắm vững kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo mới, phát triển tính tích cực của trí tuệ và hình thành cho các em năng lực tự mình thông hiểu và lĩnh hội thông tin khoa học mới ([18], [31])

Như vậy theo Ôkôn quá trình dạy học này có thể bao gồm các hành động sau:

- Tổ chức các tình huống có vấn đề, phát hiện vấn đề và đặt vấn đề để giải quyết vấn đề

- Giúp đỡ học sinh những điều cần thiết để giải quyết vấn đề

- Kiểm tra cách giải quyết đó và nghiên cứu lời giải để hệ thống hoá, củng cố những kiến thức đã tiếp thu được

Tương ứng với các bước hành động đó của giáo viên, hành động học tập cơ bản của học sinh là: phát hiện được vấn đề nảy sinh trong tình huống

có vấn đề, học sinh độc lập giải quyết vấn đề dưới sự điều khiển của giáo viên, thực hiện sự liên tưởng nhớ lại liên kết chúng với nhau để củng cố các kiến thức đã học Mục đích cuối cùng là học sinh nắm vững được tri thức và học được cách thức “tự khám phá” tri thức

d) Đặc điểm của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Trong dạy học PH&GQVĐ, thầy giáo tạo ra những tình huống vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác tích cực để giải quyết vấn đề và thông qua đó mà lĩnh hội được tri thức, rèn luyện kỹ năng và đạt được những mục đích học tập khác Dạy học PH&GQVĐ có các đặc trưng cơ bản sau:

- Học sinh được đặt vào tình huống gợi vấn đề chứ không phải là được thông báo tri thức dưới dạng có sẵn

- Học sinh hoạt động tích cực, chủ động, sáng tạo huy động hết tri thức

và khả năng của mình để PH&GQVĐ chứ không phải chỉ nghe thầy giảng một cách thụ động

- Làm học sinh không những phát huy kỹ năng lĩnh hội được kết quả của quá trình giải quyết vấn đề mà còn ở chỗ học sinh còn được học bản thân việc học

e, Những hình thức dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Tùy theo mức độ độc lập của học sinh trong quá trình PH&GQVĐ, người ta nói tới các cấp độ khác nhau, cũng đồng thời là những hình thức khác nhau của dạy học PH&GQVĐ Nguyễn Bá Kim [17] đưa ra ba hình thức của dạy học PH&GQVĐ là:

- Vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề

Trong vấn đáp PH&GQVĐ, học sinh làm việc không hoàn toàn độc lập

mà có sự gợi ý, dẫn dắt của giáo viên khi cần thiết Phương tiện để thực hiện hình thức này là những câu hỏi của giáo viên và những câu trả lời hoặc hành động đáp lại của học sinh Như vậy, có sự đan kết, thay đổi hoạt động của giáo viên và học sinh dưới hình thức vấn đáp

Với hình thức này, ta thấy dạy học PH&GQVĐ có phần giống với phương pháp vấn đáp Nét quan trọng của phương pháp PH&GQVĐ không phải là những câu hỏi mà là tình huống gợi vấn đề Trong một giờ học nào đó, giáo viên có thể đặt nhiều câu hỏi nhưng nếu các câu hỏi này chỉ đòi hỏi tái hiện tri thức đã học thì vẫn không phải là dạy học PH&GQVĐ Ngược lại, trong một

số trường hợp, việc PH&GQVĐ của học sinh có thể diễn ra chủ yếu là nhờ tình huống gợi vấn đề chứ không phải nhờ những câu hỏi giáo viên đặt ra

- Thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề

Ở hình thức này, mức độ độc lập của học sinh thấp hơn hai hình thức trên Giáo viên tạo ra tình huống gợi vấn đề, sau đó chính bản thân giáo viên phát hiện vấn đề và trình bày quá trình suy nghĩ giải quyết (chứ không phải chỉ đơn thuần nêu lời giải) Trong qua trình đó có việc tìm tòi dự đoán, có lúc thành công, có khi thất bại, phải điều chỉnh phương hướng mới đi đến kết quả Như vậy, tri thức được trình bày không phải dưới dạng có sẵn mà trong quá trình người ta khám phá ra chúng, quá trình này là một sự mô phỏng và rút gọn quá trình khám phá thật sự Cấp độ này được dùng nhiều hơn ở bậc THPT và Đại học

1.1.3 Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

a) Các bước của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Việc điều khiển học sinh tự thực hiện hoặc hoà nhập vào quá trình nghiên cứu vấn đề là điều quan trọng nhất của phương pháp dạy học PH&GQVĐ Quá trình này có thể chia thành các bước dưới đây, trong đó bước nào, khâu nào do học trò tự làm hoặc có sự gợi ý của thầy hoặc chỉ theo dõi thầy trình bày là tuỳ thuộc sự lựa chọn một cấp độ thích hợp

Theo quan điểm của Nguyễn Bá Kim ([17,tr.192-196]) có thể phân chia quá trình dạy học PH&GQVĐ thành 4 bước như sau:

Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề

- Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề thường là do thầy tạo

ra, có thể liên tưởng những cách suy nghĩ tìm tòi, dự đoán

- Giải thích và chính xác hoá tình huống (khi cần thiết) để hiểu đúng vấn đề được đặt ra

- Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó

Bước 2: Tìm giải pháp

-Tìm một cách giải quyết vấn đề Việc này thường được thực hiện theo

sơ đồ dưới đây:

Bắt đầu Phân tích vấn đề

Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết

Giải thích sơ đồ:

Khi phân tích vấn đề, cần làm rõ những mối liên hệ giữa cái đã biết và cái phải tìm Trong môn Toán, ta thường dựa vào những tri thức toán đã học,

liên tưởng tới những định nghĩa và những định lí thích hợp

Khi đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề, cùng với việc thu nhập, tổ chức dữ liệu, huy động tri thức, thường hay sử dụng những phương pháp, kỹ thuật nhận thức, tìm đoán, suy luận như: hướng đích, quy lạ về quen, đặc biệt hóa, chuyển qua những trường hợp suy biến, tương tự hoá, khái quát hoá, xem xét những mối liên hệ và phụ thuộc, suy xuôi, suy ngược tiến, suy ngược lùi Phương hướng được đề xuất không phải là bất biến trái lại có thể phải điều chỉnh, thậm chí bác bỏ và chuyển hướng khi cần thiết Khâu này có thể được làm nhiều lần cho đến khi tìm ra hướng đi hợp lý

Kết quả của việc đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề là hình thành được một giải pháp

Việc tiếp theo là kiểm tra giải pháp xem nó có đúng đắn hay không Nếu giải pháp đúng thì kết thúc ngay, nếu không đúng thì lặp lại từ khâu phân tích vấn đề cho đến khi tìm được giải pháp đúng

- Sau khi đã tìm ra một giải pháp, có thể tiếp tục tìm thêm những giải pháp khác (theo sơ đồ trên), so sánh chúng với nhau để tìm ra giải pháp hợp

lý nhất

Bước 3: Trình bày giải pháp

Khi đã giải quyết được vấn đề đặt ra, người học trình bày lại toàn bộ từ việc phát biểu vấn đề cho tới giải pháp Nếu vấn đề là một đề bài cho sẵn thì

có thể không cần phát biểu lại vấn đề Trong khi trình bày, cần tuân thủ các chuẩn mực đề ra trong nhà trường như ghi rõ giả thiết, kết luận đối với bài toán chứng minh, phân biệt các phần: phân tích, cách dựng, chứng minh, biện luận đối với bài toán dựng hình,

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp

- Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả

- Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hoá, lật ngược vấn đề, và giải quyết nếu có thể

Về dạy học PH&GQVĐ, nhiều tài liệu hiện nay chỉ nói tới việc nêu vấn

đề Như vậy là chưa đầy đủ Học trò còn phải tham gia vào quá trình giải quyết vấn đề nữa

b) Kỹ thuật tạo tình huống gợi vấn đề

Để thực hiện dạy học PH&GQVĐ, điểm xuất là tạo ra tình huống gợi vấn đề Một số giáo viên nghĩ rằng dạy học PH&GQVĐ tuy hay nhưng có vẻ

ít cơ hội thực hiện do khó tạo được nhiều tình huống gợi vấn đề Để xoá bỏ ấn tượng không đúng đó, có thể nêu lên một số tình huống gợi vấn đề rất phổ biến, rất dễ gặp và dễ thiết lập Chẳng hạn, có thể tạo ra những tình huống gợi vấn đề theo các cách thông dụng như sau:

(i) Dự đoán nhờ nhận xét trực quan và thực nghiệm (tính toán, đo đạc…)

(ii) Lật ngược vấn đề

(iii) Xem xét sự tương tự

Xuất phát từ kiến thức đã biết để đặt vấn đề nghiên cứu kiến thức mới bằng cách tương tự hóa

(iv) Khái quát hóa

(v) Giải bài tập mà người học chưa biết thuật giải

Người học có thể đứng trước một tình huống gợi vấn đề nếu được yêu cầu giải một bài tập mà người đó chưa biết thuật giải bài toán

(vi) Tìm các sai lầm trong lời giải

Giáo viên đưa ra một lời giải (có thật hay hư cấu) để học sinh phát hiện sai lầm cũng tạo ra một tình huống gợi vấn đề

(vii) Phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm

Sau khi thấy được một sai lầm khi giải toán, học sinh cũng được đặt vào một tình huống gợi vấn đề với nhiệm vụ mới là phát hiện nguyên nhân và sữa chữa sai lầm

c)Những ưu, nhược điểm của phương pháp dạy học giải quyết vấn đề

Ưu điểm

Phương pháp dạy học PH&GQVĐ là một phương pháp dạy học tích cực Nó phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh Phương pháp dạy học này phù hợp với tư tưởng hiện đại về đổi mới mục tiêu và phương pháp dạy học cũng rất phù hợp với yêu cầu đổi mới của thực tiễn, là xây dựng những con người biết đặt và giải quyết vấn đề trong cuộc sống phù hợp với hệ giá trị chuẩn mực, những con người thực sự là động lực của phát triển bền vững và nhanh chóng của đất nước

Phương pháp dạy học PH&GQVĐ có thể kết hợp với nhiều hình thức tổ chức lớp học một cách đa dạng và phong phú lôi cuốn học sinh tham gia cùng tập thể, động não, tranh luận, dưới sự dẫn dắt gợi mở của giáo viên như thảo luận nhóm, báo cáo và trình bày

- Học sinh: Phải có trình độ tư duy nhất định

d, Những điểm cần chú ý khi vận dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề

Dạy học PH&GQVĐ là điều kiện là phương tiện tốt để đạt được mục đích quan trọng của nhà trường trong quá trình đào tạo nguồn nhân lực trẻ

Nhưng thật là không đúng nếu vì thế mà kết luận rằng tất cả mọi phương pháp dạy và học đều phải trở thành phương pháp dạy học PH&GQVĐ

Một điều rõ ràng là không có một phương pháp dạy học nào là vạn năng Dạy học PH&GQVĐ là một trong những phương pháp dạy và học hiện đại, nó đòi hỏi phải có sự vận dụng thật sáng tạo trong những điều kiện dạy học, nội dung dạy học, đối tượng dạy học và môi trường sư phạm cụ thể Khi vận dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học cần chú ý:

- Yêu cầu giáo viên phải có sự chuẩn bị bài giảng hết sức công phu (bởi

vì, để đạt được kết quả cao của phương pháp dạy học này, giáo viên phải chuẩn bị nhiều câu hỏi, nhiều bài toán, nhiều tình huống có vấn đề… cho nhiều đối tượng học sinh)

- Khi tiến hành dạy học ở những lớp có số học sinh đông, tạo tình huống có vấn đề một cách thật khéo léo; nếu không thì sẽ có nguy cơ bị bỏ rơi một số lượng lớn học sinh

1.1.4 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn Toán và định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường THPT hiện nay

a) Vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn Toán

Việc vận dụng dạy học PH&GQVĐ trong môn Toán, theo Phạm Văn Hoàn, Trần Thúc Trình, Nguyễn Gia Cốc [10] có nghĩa là phải tổ chức việc dạy học toán sao cho các em luôn đứng trước những tình huống có vấn đề mang tính chất toán học phải giải quyết, phải luôn luôn tìm tòi và phát hiện

ra vấn đề sáng tạo và những con đường để giải quyết những vấn đề đó (tự rút

ra công thức tự chứng minh định lý, tìm cách ghi nhớ một cách tích cực cần kiến thức cần lĩnh hội tự tìm ra thuật toán giải bài toán điển hình, tự tìm ra cách giải hay và gọn những bài toán lí thuyết hay thực hành…) Kết quả là học sinh lĩnh hội được kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo mới đồng thời học cách tự khám phá

Khi vận dụng dạy học PH&GQVĐ trong môn Toán cần phải chú ý hình thành và rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy cơ bản, đặc biệt là các thao tác tương tự hoá, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tổng quát hoá

Khi dạy theo phương pháp PH&GQVĐ cũng cần chú ý vận dụng quan điểm “dạy học toán là dạy các hoạt động toán học”

b) Định hướng đổi mới phương pháp dạy học

Như đã trình bày ở trên với tư tưởng chủ đạo và cũng là mục đích của quá trình dạy học là tích cực hoá hoạt động học tập của người học, khi tổ chức, hướng dẫn cho học sinh tự tìm hiểu, tự PH&GQVĐ trên cơ sở là họ phải tự giác và được tự do, được tạo khả năng và được tạo điều kiện chủ động trong hoạt động đó

Đồng thời, khi thực hiện đổi mới phương pháp dạy học cần phải tham khảo các chọn lọc kinh nghiệm của thế giới đặc, biệt là phải bám sát các hướng đổi mới của họ Chẳng hạn như thực hiện các phương pháp đổi mới dạy học sau:

- Dạy học PH&GQVĐ

- Dạy học hợp tác

- Dạy học sử dụng phiếu học tập

- Dạy học theo tư tưởng của lý thuyết kiến tạo

- Dạy học với máy tính điện tử nói riêng và dạy học có tính áp dụng các thành tựu của công nghề tin học nói chung

Dạy học PH&GQVĐ có khả năng góp phần tích cực thực hiện đổi mới phương pháp dạy học theo hướng kể trên Sử dụng phương pháp dạy học này không đòi hỏi phải có sự thay đổi lớn về cơ chế trường lớp, bài học, cơ sở vật chất hay trình độ giáo viên hiện nay Phương pháp dạy học này cũng tỏ ra phù hợp khi vận dụng vào những tình huống cụ thể trong dạy học toán

Vì vậy, có thể coi phương pháp dạy học PH&GQVĐ là một trong những hướng quan trọng để đổi mới phương pháp dạy học ở nước ta hiện nay

Luận văn của chúng tôi thực hiện theo hướng này, với việc áp dụng tinh thần của phương pháp dạy học PH&GQVĐ để dạy học nội dung phương trình

CHƯƠNG 2 DẠY MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH,

BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ THEO HƯỚNG PHÁT HIỆN VÀ

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1 Định hướng chung

Chương này trình bày một số phương pháp dạy học giải phương trình, bất phương trình vô tỉ theo hướng PH&GQVĐ Trong từng chủ đề việc PH&GQVĐ được gợi mở nảy sinh, bổ sung theo trình tự phát triển của các tình huống khai thác bài toán Trong mỗi chủ đề, phương pháp dạy học được xây dựng theo các bước:

- Gợi vấn đề và phát hiện vấn đề: trước hết chúng tôi lựa chọn và đưa ra tình huống có vấn đề, sau đó hướng dẫn học sinh từng bước giải quyết vấn đề

- Đề xuất và trình bày giải pháp: Từ những tình huống đã nêu giáo viên hướng dẫn học sinh phát hiện và đưa ra phương pháp giải quyết vấn đề

- Nghiên cứu sâu giải pháp: gợi ra một số vấn đề liên quan khác bằng cách: từ mồt số ví dụ, một số dạng toán liên quan yêu cầu học sinh khái quát hoá đề xuất phương pháp giải quyết từng dạng toán đó cũng có khi là củng cố cách giải quyết vấn đề đã nêu

- Chọn lọc một số bài tập cho học sinh vận dụng: các bài tập ở đây giúp học sinh tự luyện tập, vận dụng theo cách giải quyết vấn đề đã có ở trên đồng thời PH&GQVĐ mới nảy sinh

Trong quá trình xây dựng và lựa chọn bài tập chúng tôi chủ yếu dựa vào tài liệu tham khảo, một số vấn đề thi đại học, cao đẳng trong những năm gần đây theo mức độ từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp nhưng phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh, rèn cho học sinh kĩ năng phát hiện vận dụng phương pháp giải quyết vấn đề Qua đó học sinh dần hình thành và phát triển

kĩ năng phát hiện vấn đề, giải quyết vấn đề, củng cố kiến thức rèn luyện kĩ năng giải toán

2.2 Phương pháp biến đổi tương đương

Phương pháp biến đổi tương đương nhằm đưa các phương trình, bất phương trình về các dạng tương tự, nhưng đơn giản hơn và dễ giải được Khi

sử dụng phương pháp này học sinh cần phải được rèn luyện kĩ năng nhận dạng và thực hiện được các phép biến đổi tương đương, đồng thời củng cố kiến thức về các tính chất của đẳng thức, bất đẳng thức tương đương, điều kiện để hai phương trình, bất phương trình tương đương và cách giải phương trình tương đương Phương pháp dạy học PH&GQVĐ có thể được áp dụng một cách hiệu quả trong nội dung dạy học này

Theo các bước của dạy học PH&GQVĐ, trong các phần dưới đây chúng tôi sẽ thiết kế các hoạt động với các ví dụ để thực hiện áp dụng dạy học PH&GQVĐ đối với phương pháp biến đổi tương đương

HOẠT ĐỘNG 1: Gợi vấn đề và phát hiện vấn đề

Dưới đây là các bài toán giải phương trình, bất phương trình có thể được sử dụng cho hoạt động gợi vấn đề và phát hiện vấn đề:

 

2 2

(?) Có nhận xét gì vế trái vế, phải của phương trình (1)?

(!) Vế trái luôn không âm, vế phải có thể âm, có thể không âm

(?) Muốn giải được phương trình ta phải làm gì?

(!) Phải khử được dấu căn bậc hai

(?) Làm thế nào để khử căn bậc hai?

(!) Bình phương: ( A)2  A

(?) Vậy ta có thể làm thế nào để khử căn bậc hai của phương trình?

(!) Bình phương hai vế

(?) Nếu vế phải của phương trình mà âm thì phương trình thế nào

(!) Phương trình vô nghiệm

(?) Vế phải không âm ta có nhận xét gì về phương trình?

(!) Hai vế đều không âm

(?) Nêu các tính chất của đẳng thức tương đương

Khi đó hai vế đều không âm ta bình phương hai vế ta được phương trình

tương đương 2x 1 (3x1)2 nếu 1

3

x 

là nghiệm của phương trình này thì

(?) Có nhận xét gì về vế trái vế phải của bất phương trình (2)?

(!) Vế trái luôn không âm, vế phải có thể âm, có thể không âm

(?) Nếu vế phải nhỏ hơn hoặc bằng không thì bất phương trình thế nào?

(!) Vì khi g x( )0 bình phương hai vế ta được bất phương trình

2

( ) ( )

f x g x nếu x là 1 ngiệm của phương trình này thì ta có 0 g x2( )0 0còn

ta chưa thể khẳng định được ( )f x 0 hay không( vì f x( )0 g x2( )0 ) Do vậy

ta cần phải có điều kiện ( )f x 0 để căn tồn tại

Giải

2 2

x x

x

x x

x x

(!) BPT luôn có nghiệm với x làm cho vế phải âm

(?) Khi VP0 ta có nhận xét gì?

(!) Hai vế đều không âm

(?) BPT ?

(?) Tại sao không cần điều kiện x2  1 0?

(!) Vì x0  2là nghiệm của phương trình x 0 thoả mãnx02  1 (x0 2)2 2

54

x x

x x

42

4

x

x x

(?) Có nhận xét gì về hai vế của phương trình?

(!) Hai vế đều không âm

(?) Có thể giải phương trình như thế nào?

(!) Bình phương hai vế ta được: 1 (x3)(3x  1) x 2 x(2x1) (4‟)

(?) Phương trình đã cho có tương đương với phương trình

(!) Cách giải (4‟‟‟) đơn giản hơn

(?) (4‟‟‟) và (4‟‟) có tương đương không?

(!) Không vì 2 vế của (4‟‟) chưa biết có cùng dấu hay không (?) Cách giải phương trình (4)?

Thay x1 vào ta thấy x1 thoả mãn phương trình

Vậy x1 là nghiệm của phương trình

Bài toán 5 Giải phương trình sau:



 

 là nghiệm của phương trình trên không?

(!) Chưa khẳng định được vì phương trình (5*) không tương đương với (5**)

Ta phải thay 3

1

x x

(?) Chú ý điều gì khi giải phương trình này?

(!) Khi thay 312x12 3 2x 3 3 x vào phương trình (5*) ta chỉ được phương trình hệ quả

HOẠT ĐỘNG 2: Đề xuất và trình bày giải pháp

(?) Từ các ví dụ nêu trên, nêu phương pháp giải các phương trình,bất phương trình dạng:

HOẠT ĐỘNG 3: Nghiên cứu sâu giải pháp

Vận dụng các phương pháp giải quyết vấn đề ở trên để giải các phương trình, bất phương trình sau:

2 2

70

24

2

x

x x

x x

Vậy (4) có nghiệm

01

1

1

m m

m m

Vậy (5) có hai nghiệm phân biệt khi 3< m4

* Một số bài tập vận dụng giải phương trình, bất phương trình

Giải các phương trình, bất phương trình sau:

Bước 1: Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn phụ

Bước 2: Đưa phương trình ban đầu về phương trình có biến là ẩn phụ, giải phương trình vừa tạo ra, đối chiếu điều kiện để chọn nghiệm thích hợp

Bước 3: Giải phương trình cho bởi ẩn phụ vừa tìm được và kết luận nghiệm Phương pháp dạy học PH&GQVĐ có thể được áp dụng một cách hiệu quả trong nội dung dạy học này

Theo các bước của dạy học PH&GQVĐ, trong các phần dưới đây chúng tôi sẽ thiết kế các hoạt động với các ví dụ để thực hiện áp dụng dạy học PH&GQVĐ đối với từng phương pháp đặt ẩn phụ

2.3.1 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình, bất phương trình bậc hai một ẩn

HOẠT ĐỘNG 1: Gợi vấn đề và phát hiện vấn đề

Dưới đây là các bài toán giải phương trình, bất phương trình có thể được sử dụng cho hoạt động gợi vấn đề và phát hiện vấn đề:

Bài toán 1 Giải phương trình sau:

(?) Liệu có cách khác để giải phương trình này không ?

Có nhận xét gì về biểu thức trong căn và biểu thức ngoài căn?

(!) Ta có 3x2 21x183(x2 7x 7) 3

(?) Nếu ta đặt x2 7x 7 t t( 0)thì ta được phương trình mới nào?

(!) Phương trình 3t2   5 2t 0

15.3

t t

t t

(!) Không sử dụng được 2 phương pháp trên

(?) Có nhận xét gì về biểu thức 3x2 5x2 với hai biểu thức dưới dấu căn bên vế trái?

   có thể biến đổi qua 3x 2 x1

(?) Giải phương trình trên bằng cách đặt 3x 2 x 1 t ?

kết hợp với điều kiện x1 ta được nghiệm phương trình x2

Bài toán 4 Giải phương trình sau:

Giải tương tự phương trình (3)

Bài toán 5 Giải phương trình sau:

(?) Chia hai vế cho 3 (x1)2 ta đựơc phương trình như thế nào?

x x



111

x x

x x

(?) Từ các ví dụ trên nêu cách giải phương trình, bất phương trình bằng cách đặt ẩn phụ?

(!) Giải pháp

Dạng 1: Phương trình dạng Af x( )+B f x( ) C 0, đặt f x( ) t t( 0)(điều kiện tối thiểu của t) đưa phương trình về dạng At2 Bt C 0

Dạng 2: Nếu phương trình có chứa f x( ) g x( ), f x( ) g x( )

ta đặt f x( ) g x( ) t f x ( ) g x =( ) t2  k h x( )(trong đó k const) rồi đưa phương trình về dạng At2 Bt C 0

Dạng 3: Nếu phương trình có chứa dạng

HOẠT ĐỘNG 3: Nghiên cứu sâu giải pháp

Vận dụng các phương pháp giải ở trên để giải phương trình, bất phương trình: