Sáng kiến kinh nghiệm phát triển tư duy toán học qua giải bài tập toán theo nhiều cách khác nhau

Về phương pháp giáo dục, giáo viên phải khuyến khích tự học và áp dụng phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực tự giải quyết vấn đề .Nhân cách của học sinh trong đó có kết quả trí dục chính là chất lượng sản phẩm mà nhà trường đào tạo cho xã hội. Vì vậy, đổi mới phương pháp giảng dạy là một yêu cầu cần thiết đối với ngành giáo dục. Đi đôi với việc đổi mới phương pháp giảng dạy là sự cần thiết phải chú ý đến hoạt động học mà trước hết là phải rèn luyện cho học sinh kĩ năng học tập bộ môn. Toán học là môn học có tính trừu tượng cao, tính lô gíc và có tính thực tiễn. Chính từ các đặc điểm đó làm cho những tri thức và kĩ năng toán học cùng với phương pháp làm việc trong toán học trở thành công cụ để học tập các môn học khác trong nhà trường , là công cụ của nhiều ngành khoa học khác nhau và là công cụ để tiến hành các hoạt động trong đời sống thực tế. Ngoài việc cung cấp cho học sinh những kiến thức và kĩ năng toán học cần thiết, môn toán còn góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích , tổng hợp , trừu tượng hoá, khái quát hoá, rèn luyện những đức tính, phẩm chất của người lao động mới như tính cẩn thận , chính xác, tính kỉ luật , tính phê phán, tính sáng tạo. Trong việc nâng cao chất lượng dạy toán học ở trường phổ thông,việc cải tiến phương pháp dạy học có ý nghĩa rất quan trọng.Sự phát triển nhanh như vũ bão của khoa học kỹ thuật đang đặt ra cho người thầy nhiều yêu cầu về phương pháp dạy học. Hoạt động giải bài tập toán có thể xem là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học đối với mỗi học sinh. Nó là điều kiện để thực hiện tốt các mục tiêu của việc dạy hoc môn toán ở trường phổ thông. Rèn luyện cho học sinh có kĩ năng giải bài tập toán theo nhiều cách là khâu quan trọng trong việc đổi mới phương pháp giảng dạy môn toán trong trường trung học phổ thông.Với những lý do đó, dưới đây tôi xin được trao đổi với quý đồng nghiệp đề tài của mình.II Mục đích nghiện cứu Trong thực tế, phần lớn học sinh có thói quen mỗi bài tập chỉ cần tìm ra một cách giải .Làm như vậy, học sinh sẽ không phát huy hết khả năng sáng tạo của mình. Chính vì vậy trong quá trình giảng dạy tôi đã cố gắng dạy cho học sinh cách định hướng để có thể tìm ra được không chỉ một phương pháp giải trước mỗi dạng bài mà là nhiều phương pháp giải khác nhau.

NÂNG CAO NĂNG LỰC, PHÁT TRIỂN TƯ DUY TOÁN HỌC CHO HỌC SINH QUA VIỆC GIẢI BÀI TẬP TOÁN HỌC THEO NHIỀU

CÁCH KHÁC NHAU PHẦN I MỞ ĐẦU I- Lí do chọn đề tài

Về phương pháp giáo dục, giáo viên phải khuyến khích tự học và áp dụngphương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sángtạo, năng lực tự giải quyết vấn đề Nhân cách của học sinh trong đó có kết quảtrí dục chính là chất lượng sản phẩm mà nhà trường đào tạo cho xã hội Vì vậy,đổi mới phương pháp giảng dạy là một yêu cầu cần thiết đối với ngành giáo dục

Đi đôi với việc đổi mới phương pháp giảng dạy là sự cần thiết phải chú ý đếnhoạt động học mà trước hết là phải rèn luyện cho học sinh kĩ năng học tập bộmôn

Toán học là môn học có tính trừu tượng cao, tính lô gíc và có tính thựctiễn Chính từ các đặc điểm đó làm cho những tri thức và kĩ năng toán học cùngvới phương pháp làm việc trong toán học trở thành công cụ để học tập các mônhọc khác trong nhà trường , là công cụ của nhiều ngành khoa học khác nhau và

là công cụ để tiến hành các hoạt động trong đời sống thực tế Ngoài việc cungcấp cho học sinh những kiến thức và kĩ năng toán học cần thiết, môn toán còngóp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích , tổng hợp , trừu tượnghoá, khái quát hoá, rèn luyện những đức tính, phẩm chất của người lao động mớinhư tính cẩn thận , chính xác, tính kỉ luật , tính phê phán, tính sáng tạo

Trong việc nâng cao chất lượng dạy toán học ở trường phổ thông,việc cảitiến phương pháp dạy học có ý nghĩa rất quan trọng.Sự phát triển nhanh như vũbão của khoa học kỹ thuật đang đặt ra cho người thầy nhiều yêu cầu về phươngpháp dạy học

Hoạt động giải bài tập toán có thể xem là hình thức chủ yếu của hoạt độngtoán học đối với mỗi học sinh Nó là điều kiện để thực hiện tốt các mục tiêu của

việc dạy hoc môn toán ở trường phổ thông Rèn luyện cho học sinh có kĩ nănggiải bài tập toán theo nhiều cách là khâu quan trọng trong việc đổi mới phươngpháp giảng dạy môn toán trong trường trung học phổ thông.Với những lý do đó,dưới đây tôi xin được trao đổi với quý đồng nghiệp đề tài của mình.

II- Mục đích nghiện cứu

Trong thực tế, phần lớn học sinh có thói quen mỗi bài tập chỉ cần tìm ramột cách giải Làm như vậy, học sinh sẽ không phát huy hết khả năng sáng tạocủa mình Chính vì vậy trong quá trình giảng dạy tôi đã cố gắng dạy cho họcsinh cách định hướng để có thể tìm ra được không chỉ một phương pháp giảitrước mỗi dạng bài mà là nhiều phương pháp giải khác nhau

III- Kết quả cần đạt.

Học sinh học toán,một khoa học rất sáng tạo và hấp dẫn đòi hỏi học sinhphải tích cực chủ động tiếp cận kiến thức mới dưới sự hướng dẫn của giáo viên.Trước mỗi bài toán, học sinh luôn có thói quen suy nghĩ để tìm ra nhiềucách giải khác nhau và qua đó đã chứng tỏ khả năng tư duy sáng tạo của họcsinh

IV- Đối tượng nghiên cứu.

Học sinh lớp 10 và lớp 10 trường THPT xxx

PHẦN II NỘI DUNG I- Cơ sở lí luận

Muốn tìm được nhiều lời giải cho một bài toán trước hết giáo viên phảitrang bị cho học sinh vốn kiến thức đầy đủ, chính xác, khoa học và có hệthống.Với mỗi bài tập cụ thể giáo viên cần hướng cho học sinh tiến hành tìm lờigiải theo các bước như sau:

1) Tìm hiểu nội dung bài toán

Trước mỗi bài toán thì công việc đầu tiên của học sinh là tìm hiểu nộidung bài toán Học sinh phải biết được thể loại của bài toán, phân tích các điềukiện có trong bài toán, phát hiện được mối liên hệ giữa các đại lượng, giữa giảthiết và kết luận, giữa những điều đã cho và những điều bài toán đòi hỏi

2) Tìm các kiến thức liên quan tới từng nội dung của bài toán

Từ việc tìm hiểu nội dung bài toán học sinh phải tìm được các kiến thứcliên

quan tới từng nội dung.Để làm được điều đó đòi hỏi học sinh phải nắmvững các định nghĩa, định lý, các quy tắc toán học một cách chính xác đầy đủ và

có hệ thống

3) Tìm hướng giải phù hợp với bài toán

Từ những vấn đề đã phân tích ở trên học sinh sẽ vạch ra được các hướnggiải phù hợp với mỗi bài toán.Một bài toán nếu học sinh tìm được nhiều cáchgiải càng chứng tỏ khả năng sáng tạo của học sinh.Qua đó học sinh cảm thấyhứng thú, say mê trong học tập

4)Đánh giá các cách giải tìm được

Sau khi tìm được các cách giải phù hợp, học sinh cần đánh giá được ưunhược

điểm của từng cách để qua đó tìm ra một cách làm ngắn gọn, dễ nhớ, dễhiểu và mạch lạc nhất Mặt khác sau khi đã giải xong bài toán học sinh có thể

tìm những bài toán tương tự có thể áp dụng lời giải đó Điều này giúp các em cókhả năng tư duy sáng tạo trong học tập

II- Thực trạng vấn đề

“Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” là một vấn đề mở đầu cho việcĐại số hoá hình học Nó giúp cho học sinh có thể giải các bài toán hình học dễdàng hơn, phục vụ tốt hơn cho việc xây dựng và phát triển các bài toán hình học.Đây cũng là phần mở đầu quan trọng vì sau này đến phần “Phương pháp toạ độtrong không gian”đều được mở rộng một cách tương tự

“Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” cũng là một phần quan trọng trongcác đề thi học kỳ, thi tốt nghiệp THPT, thi đại học Phần lý thuyết rất đơn giảnnhưng dạng bài tập thì nhiều, các bài tập có mối quan hệ với những kiến thứchình học trước đây đòi hỏi học sinh phải có tư duy lôgíc, có sự liên hệ giữa lýthuyết và thực tế mới có thể giải được

“Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” bao gồm: “Phương trình đườngthẳng”, “Phương trình đường tròn” và “Phương trình các đường conic” Ở đâytôi

chỉ đề cập đến cách giải các bài toán thuộc phần đường thẳng bằng phươngpháp toạ độ Mối liên hệ giữa lý thuyết về đường thẳng trong mặt phẳng và cáchgiải bằng số hoá Nếu không có định hướng của giáo viên thì trước mỗi bài toánhọc sinh chỉ cần tìm ra một phương pháp giải cho bài do đó sẽ không nhận rađược hết tất cả các mối qua hệ giữa các kiến thức có trong bài

III-Các biện pháp giải quyết thực trạng

Các biện pháp giải quyết thực trạng được cụ thể hóa các ví dụ sau:

Ví dụ 1: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho A(-1;1), B(1;0), C(2;1) Tìm điểm

D sao cho ABCD là hình bình hành

B1 Phân tích đề.

Dạng đề: Tìm điểm trong hệ trục Oxy thỏa mãn điều kiện cho trước Kiến thức chú ý: Hình bình hành

B2.Tìm các kiến thức liên quan tới hình bình hành.

+) ABCD là hình bình hành khi 2 cặp cạnh đối song song hoặc bằng nhau +) ABCD là hình bình hành khi có 1 cặp cạnh đối song song và bằngnhau

+) Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tạo trung điểm mỗi đường +) Từ các tính chất hình bình hành có 1 cặp cạnh đối song song và bằngnhau kết hợp với các tính chất về véc tơ ta có kết quả sau: ABCD là hình bìnhhành khi và chỉ khi AB  DC

B3 Tìm các cách giải.

Cách 1: Dựa vào tính chất: ABCD là hình bình hành khi 2 cặp cạnh đối

bằng nhau ta làm như sau:

Gọi điểm D(x;y)

2 2

1 1

2

1 )

2 ( 5

y x

y x

1 1

2

1 2

5

y x

y x

Vậy điểm D(0;2)

Cách 2:Dựa vào tính chất hình bình hình có hai đường chéo cắt nhau tạo

trung điểm mỗi đường ta làm như sau:

Gọi I là trung điểm AC => I( ; 1 )

2

1

Do ABCD là hình bình hành nên I làtrung điểm

D B I

D B I

y y y

x x x

B I D

y y y

x x x

Vậy điểm D(0;2)

Cách 3: Gọi điểm D(x;y)

ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB  DC

2 2

Vậy điểm D(0;2)

Cách 4: Dựa vào phương trình đường thẳng

+) Viết phương trình đường thẳng CD:

Ta có CD đi qua C(2;1) và có véc tơ chỉ phương là AB(2;-1) =>Véc tơpháp tuyến của CD là: n 1 ; 2 => Phương trình tổng quát của CD là: x + 2y -4=0 +) Viết phương trình đường thẳng AD

Ta có AD đi qua A(-1;1) và có véc tơ chỉ phương là CB(-1;-1) =>Véc tơpháp tuyến của AD là: u 1  ; 1 => Phương trình tổng quát của AD là: x - y+ 2=0

+ Tọa độ D là nghiệm của hệ phương trình:

0 4 2

y x

y x

=> D(0;2)

B4 Đánh giá các cách giải

Trong các cách giải ở trên, mỗi cách giải đều dựa vào một tính chất củahình bình hành So sánh các cách giải đó, ta thấy cách giải thứ ba là ngắn gọnnhất Vì vậy, học sinh lên chọn các giải đó trong các bài kiểm tra để dành thờigian cho các bài toán khác

Mặc dù bài toán trên là một bài toán khá đơn giản nhưng nếu trong khilàm bài tập nếu học sinh không có sự phân tích kĩ, không có thói quen suy nghĩtìm các lời giải khác nhau thì rất có thể các em sẽ không tìm được lời giải ngắngọn nhất

B1 Phân tích đề.

Dạng đề: Tìm điểm trong hệ trục Oxy thỏa mãn điều kiện cho trước Kiến thức chú ý: Tâm đường tròn nội tiếp tam giác

B2.Tìm các kiến thức liên quan tới tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

+) Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác +) Tâm đường tròn nội tiếp tam giác cách đều 3 cạnh của tam giác

B3 Tìm các cách giải.

*)Tìm tọa độ ba điểm A,B,C

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:

0 5 2

y x

y x

0 5 2

y x

y x

0 2 2

y x

y x

Ví dụ 2: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có cạnh AB, BC, AC

có phương trình lần lượt là: 2x+ y - 5 = 0, x+2y+2 = 0, 2x-y+9=0 Hãy xácđịnh tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

5 3

) 4 ( 3

5 4

y y

x x

5 5

3

9

5 20

5



BM BA

Gọi I (x’;y’) là tâm đường tròn nội tiếp => I  AM và I nằm trên đườngphân giác trong của góc B => BM BA  MI AI => IA2IM

2 '

1 ' )'

2

1 ( 2 ' 7

)' 1 ( 2 '

x y

y

x x

Cách 2: Viết phương trình hai đường phân giác trong của tam giác ABC.

Tọa độ giao điểm hai đường phân giác đó là tâm đường tròn nội tiếp tam giác +) Viết phương trình phân giác trong của góc A

Gọi M(x;y) nằm trên đường phân giác trong của góc A Khi đó:

) ( 0 7

2

1

d x

d y

Thay tọa độ điểm B vào vế trái của d1 ta được: tB = -3 -7 = -10

Thay tọa độ điểm C vào vế trái của d2 ta được: tC = 1 - 7 = -6

=> tB.tC > 0 => d1 là phân giác ngoài của góc A

=> Phân giác trong của góc A: x + 1 =0

+)Viết phương trình phân giác trong của góc B

Gọi M(x;y) nằm trên đường phân giác trong của gócB Khi đó:

2 2 5

2

y x y

x

y x y

) ( 0 7

2

1

y x

y x

Thay tọa độ điểm A vào vế trái của  1 ta được: tA = -1 -7 -7 < 0

Thay tọa độ điểm C vào vế trái của  1ta được: tC =-4 -1 -7 < 0

=> tA.tC > 0

=> Phân giác trong của góc B: x + y -1 = 0

+) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC => I = d2  2

Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ:

0 1

x

y x

k

AM k AB

AM AC

) 1 ( 5

45 ) 2 5 7 ( ) 1

k

x k

x k

x x

2 )

2 2 ( 10

) 1 ( 5

0 8 2

2

k

x x

k

x k

x x

=>M(2;1)

Gọi N là trung điểm của AC => N(-1;1)

Do tam giác ABM cân tại A nên AN là phân giác của góc A trong tam giácABM=> AN là phân giác trong của góc A trong tam giác ABC do MAC

Phương trình đường thẳng AN là: x + 1 =0

+)Viết phương trình phân giác trong của góc B

Lấy M1(x’;5-2x’) AB sao cho

k

BA k BM

BC BM

2 5

) 5 ( 4 0

(*) 80 ) 3 2 5 ( ) 4

k x

k x

k

x x

4 8

) ( 5

4 0

L k

x

TM k

x

=> M1(0;5)

Gọi E là trung điểm M1C=> E(-2;3) Do tam giác BCM1 cân nên BM1 làđường phân giác trong của góc B trong tam giác BCM1=> BM1 là đường phângiác trong của góc B trong tam giác ABC doM1 AB

Phương trình BM1 là: x+y - 1 = 0

Goi I là là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ:

0 1

x

y x

Cách 4: +)Viết phương trình phân giác trong của góc A

Gọi M(x;y) nằm trên đường phân giác trong của góc A Khi đó:

AB,AM  AC,AM

  2 2 45  1 2  7 2

7 6 ) 1 ( 3 7

1 125

) 7 ( 10 ) 1 ( 5

y x x y

x

y x

 x+1=0

=>Phương trình phân giác trong của góc A là x+1 = 0

+)Viết phương trình phân giác trong của góc B

Gọi N(x;y) nằm trên đường phân giác trong của góc B Khi đó:

BA,BN BC,BN

 

BN

y x

BN

y x

80

3 4 ) 4 ( 8

125

) 3 ( 10 ) 4 (





 x+y-1=0

=>Phương trình phân giác trong của góc B là x+y-1 =0

+)Goi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ:

0 1

x

y x

AC I d AB I d

, ,

, ) , (

và I, A nằm cùng phía BC; I, B nằm cùng phía AC;

0 9 2

0 2 2

2 2 5

2

9 2

5 2

y x

y x

y x

y x y

x

y x y

2

9 2

5 2

y x y

x

y x y

Vậy I(-1;2) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

B4 Đánh giá các cách giải

Trong các cách giải ở trên ta thấy:

+) Cách 1 dựa vào tính chất tỉ số đường phân giác và chỉ cần tìm được tọa

độ chân của một đường phân giác trong của tam giác ABC sau đó vẫn dựa vàotính chất tỉ số đường phân giác để xác định được tâm đường tròn nội tiếp tamgiác ABC mà không cần tìm phương trình đường phân giác.So với các cách cònlại ta thấy cách này ngắn gọn hơn cách 3song nếu tâm đường tròn nội tiếp tamgiác có tọa độ lẻ thì việc làm này sẽ khó khăn hơn

+) Các cách 2,3,4 đều xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác bằng cáchviết phương trình hai đường phân giác trong của tam giác và tìm tọa độ giao

điểm hai đường phân giác này.Tuy nhiên việc viết phương trình đường phângiác trong của tam giác trong các cách này đều khác nhau So sánh các cách này

ta thấy cách 4 và cách 5 ngắn gọn hơn và trong thực tế giảng dạy, học sinhthường vân dụng theo hai cách này 2 để làm bài

+) Cách thứ 5 ta thấy ngắn gọn nhất nhưng nếu không có định hướng củagiáo viên thì học sinh thường có thể chỉ tìm được hai điều kiện đầu.Khi đó họcsinh sẽ tìm được bốn điểm I Trong bốn điểm đó chỉ có một điểm là tâm đườngtròn nội tiếp còn ba điểm còn lại là tâm đường tròn bàng tiếp Muốn xác địnhđược tâm đường tròn nội tiếp ta phải sử dụng đến ba điều kiện sau Trong giảngdạy tôi thấy khi đã có định hướng của giáo viên thì học sinh tỏ ra thích sử dụngphương pháp này nhiều hơn

B1 Phân tích đề.

Dạng đề: Tìm khoảng cách lớn nhất từ một điểm đến một đường thẳng

B2.Tìm các kiến thức liên quan

Công thức tính khoảng cách và cách xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏnhất

B3 Tìm các cách giải.

Cách 1: Khoảng cách từ A đến đường thẳng mlà:

 

5 6 2

8 7 ,

m A

Khoảng cách từ A đến đường thẳng mlớn nhất khi y =492m m221126m m564lớn

nhất Ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =

5 6 2

64 112

2 0

m m

6 2

8 7 ,

m m

m m

m A

37 ,

2 2

2 2

m m

A

=> Khoảngcách từ A đến đường thẳng mlớn nhất bằng 37khi

m 2 m6 1 m115

Cách 3:

+) Tìm điểm cố định mà mluôn đi qua:

Gọi điểm M(x0;y0) là điểm cố định mà mluôn đi qua.Khi đó ta có:

(m-2)x0 +(m-1)y0 +2m-1=0 nghiệm đúng với mọi m

1 2

0 2

0

0 0

0

0 0

y

x y

x

y x

Vậy đường thẳng mluôn đi qua điểm cố định M(1;-3)

+) Giả sử khoảngcách từ A đến đường thẳng mlà AH với H là hình chiếucủa A lên m=> AH AM

Vậy khoảngcách từ A đến đường thẳng mlớn nhất bằng AM =>M là hìnhchiếu của A lên m=> AM  k n với n(m-2;m-1) là véc tơ pháp tuyến của đườngthẳngm

=>  

11 1

6

2 1

k

m k

Kết luận: Khoảngcách từ A đến đường thẳng mlớn nhất khi m = 11/5

B4 Đánh giá các cách giải

Trong các cách giải trên ta thấy:

+ Cách 1 và cách 2 đều dựa vào công thức tính khoảng cách từ một điểmđến một đường thẳng Việc tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách thì mỗi cách đitheo một hướng khác nhau.So sánh hai cách đó ta thấy cách thứ hai ngắn gọnhơn nhưng trong thực tế bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng

phương pháp sử dụng các bất đẳng thức là một bài toán khó Vì vậy mà học sinhhay sử dụng cách 1 nhiều hơn.

+) Cách 3 dựa vào định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một đườngthẳng Tuy nhiên khi đã có công thức tính khoảng cách thì học sinh thường sửdụng công thức nhiều hơn

*) Chú ý: Đối với các em học sinh lớp 12 có thể làm như sau:

Khoảng cách từ A đến đường thẳng mlà:

 

5 6 2

8 7 ,

m A

64 112

m

=>y’ =  2 2

2

10 12 4

496 936

m m

Dạng đề: Xác định tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước.

Kiến thức: Tam giác cân và diện tích tam giác

B2.Tìm các kiến thức liên quan

+) Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau hoặc có hai góc bằngnhau

+) Tam giác cân có đường trung tuyến hạ từ đỉnh đồng thời là đườngcao…

+) Công thức tính diện tích tam giác

Ví dụ 4: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A(-1;4) và các

đỉnh B,C thuộc đường thẳng x-y-4 = 0 Xác định tọa độ các điểm B,C biếtdiện tích tam giác ABC bằng 18 ( Đề thi đại học khối B - 2009)