thuật toán thể tích hữu hạn giải hệ phương trình sóng động lực hai chiều ngang

THUẬT TOÁN THỂ TÍCH HỮU HẠN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH SÓNG ĐỘNG LỰC HAI CHIỀU NGANG Lương Tuấn Anh, Trần Thục Viện Khoa học Khí tượng Thủy văn và Môi trường Mở đầu Một số bài toán ứng dụ

THUẬT TOÁN THỂ TÍCH HỮU HẠN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH SÓNG

ĐỘNG LỰC HAI CHIỀU NGANG

Lương Tuấn Anh, Trần Thục

Viện Khoa học Khí tượng Thủy văn và Môi trường

Mở đầu

Một số bài toán ứng dụng trong khoa học về khí tượng thủy văn, cơ học chất lỏng như mô hình mô phỏng mưa- dòng chảy, mô phỏng dòng chảy trong vùng đồng bằng ngập lụt, tính toán sóng vỡ đập, nghiên cứu dòng chảy trong miền có đường bờ phức tạp, nước dâng do bão ven biển, đã đặt ra yêu cầu nghiên cứu các thuật toán có hiệu quả cao về khả năng mô phỏng không gian, tính ổn định và độ chính xác để giải

hệ phương trình sóng động lực 2 chiều ngang Các phương pháp tính hiện đang được quan tâm trên thế giới là các phương pháp dựa trên nguyên lý tích phân (integral methods): Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), thể tích hữu hạn (FVM) và phương pháp dựa trên cơ sở triển khai nghiệm dưới dạng đa thức Chebyshev (spectral methods) [6] Bản chất toán học của nhóm các phương pháp này là biến đổi các hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng (PDE) về dạng các hệ phương trình vi phân đạo hàm thường (ODE) Hiện nay, bên cạnh phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp thể tích hữu hạn là một phương pháp đang được quan tâm nghiên cứu ở trong và ngoài nước [1, 2, 3, 6, 7] ứng dụng để giải các bài toán cơ học chất lỏng và chất khí Phương pháp có khả năng mô phỏng khu vực nghiên cứu có cấu trúc trường dòng chảy trong miền có địa hình và hình dạng phức tạp Ngoài ra, các phương pháp khác sử dụng nguyên lý tương tự của các phương pháp tích phân cũng đang được nghiên cứu phát triển Trong công trình nghiên cứu [4] các tác giả đã đề cập đến việc nâng cao hiệu quả giải hệ phương trình sóng động lực hai chiều ngang để mô phỏng sóng vỡ đập áp dụng

sơ đồ trung tâm bậc hai do Kurganov và Tadmor (phương pháp KT) đề xuất Phương pháp được gọi là phương pháp rời rạc hoá từng phần (semi-discrete scheme) dựa trên

cơ sở rời rạc hoá các biến theo không gian nghiên cứu để đưa hệ phương trình đạo hàm riêng (PDE) về dạng hệ phương trình vi phân thường (ODE) và hệ ODE được kiến nghị giải bằng sơ đồ Runge-Kutta bậc ba Công trình nghiên cứu [1] đã đề xuất thuật toán phần tử hữu hạn áp dụng cho mô hình sóng động lực 2 chiều ngang nhằm biến đổi hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng về dạng hệ phương trình vi phân thường và giải hệ phương trình vi phân thường bằng phương pháp Runge-Kutta

Trong các công trình nghiên cứu [6, 7], các tác giả đã đề cập đến tính ưu việt của phương pháp thể tích hữu hạn để giải các bài toán trong miền có hình dạng phức tạp và các phương án xử lý khác nhau về việc giải hệ ODE, các điều kiện biên, điều kiện ban đầu

Trong công trình nghiên cứu này, thuật toán thể tích hữu hạn sẽ được trình bày dưới đây có thể sẽ có ích trong việc nghiên cứu và đào tạo để giải quyết các vấn đề thực tiễn liên quan đến việc tìm nghiệm số trị của hệ phương trình động lực hai chiều

Mô hình sóng động lực hai chiều ngang:

Mô hình động lực học hai chiều được xây dựng dựa trên cơ sở hệ phương trình Raynolds với các thành phần được lấy trung bình theo độ sâu, dưới dạng véc tơ, thuận lợi cho việc áp dụng công thức Green, được viết như sau [3, 4]:

D G F

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

y x

Trong đó, các véc tơ có dạng:

;

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

vh uh

h

q

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧ +

=

uvh

gh h

u

uh

2 2

2

1

F

;

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+

=

2 2

2

1

gh h

v

uvh

vh

G

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−

−

=

) (

) (

0

fy oy

fx ox

S S gh

S S gh

D

u, v - Vận tốc được trung bình hoá theo độ sâu ứng với trục ox,

oy tương ứng;

h - Độ sâu dòng chảy;

Sox, Soy- Độ dốc đáy theo trục ox, oy tương ứng;

Sfx, Sfy - Độ dốc thuỷ lực (độ dốc ma sát) theo hướng ox và oy tương ứng, trong trường hợp chảy rối (số Re đủ lớn) được xác định theo công thức Chezy-Manning:

h C

v u u

S fx

2

2

2 +

=

v u v

S fy

2

2

2 +

=

; C - Hệ số Chezy

Phương trình (1) còn có thể viết dưới dạng khác [4] :

D

q B

q A

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

y x

t (2) Trong đó, ma trận A và B được xác định như sau :

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

=

u v uv

u u

0 1 0

2 2

A

; ⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

=

v v

c

u v uv

2 0

1 0 0

2 2

B

c=(gh)1/2- là vận tốc chuyển động của sóng ; ma trận A và B có các số riêng tương ứng như sau:

c u u

c

c v v

c

λ

Số lượng điều kiện biên phụ thuộc vào số Froud (Fr), hay trạng thái chảy êm hoặc xiết Đối với trạng thái chảy êm (có cả sóng truyền xuôi và truyền ngược) 02 điều kiện biên trên (vận tốc u, v và h) và 01 điều kiện biên dưới (h) là cần thiết để giải bài toán trên Ngoài ra, các điều kiện biên cứng, biên động, biên trong cũng cần được xem xét, nghiên cứu

Thuật toán thể tích hữu hạn:

Theo phương pháp thể tích hữu hạn, phương trình (1) được thể hiện dưới dạng

tích phân dựa trên cơ sở công thức Green [6]:

Ω

=

• +

∫

Ω Γ

Ω

d ds d

dt d

p p

p

D H

; H={ }F, G T (3)

Trong đó:

p

Ω - Diện tích mặt hữu hạn;

p

Γ

- Đường cong kín giới hạn mặt hữu hạn;

N - Véc tơ pháp tuyến đơn vị của đường Γp

Trong toạ độ Đề-các, tích phân đường theo đường cong giới hạn được xác

định như sau:

p

Γ

(4)

dx dy ds

p p

∫

∫

Γ Γ

−

=

H N

Với một lưới cong bất kỳ, một thể tích hữu hạn được mô phỏng dưới dạng hình

tứ giác ABCD Tích phân (3) được lấy gần đúng khi giả thiết q, D là hàm trung bình

trong và nằm ở trọng tâm của tứ giác Khi đó, phương trình (3) và (4) sẽ dẫn đến

phương trình:

p

Ω

P p p

dt

d (q • ) + (H AB +H BC +H CD+H DA) =D •

(5) Trong đó: Sp- diện tích của mặt hữu hạn Ωp

; HAB , HBC , HCD , HAD là dòng tương ứng chảy qua các cạnh của tứ giác ABCD (Hình 1)

Phương trình (5) là phương trình vi phân thường, mô tả sự phát triển theo thời

gian của véc tơ qp Các dòng HAB , HBC , HCD , HAD có hướng chảy vuông góc

với các cạnh của tứ giác được xác định gần đúng theo (4), như sau:

AB AB AB AB

AB =F ∆y −G ∆x

H ; HBC =FBC∆y BC −GBC∆x BC;

CD CD CD CD

CD =F ∆y −G ∆x

H ; HDA =FDA∆y DA −GDA∆x DA

;

A B

∆ ∆ yAB= yB− yA;

Hình 1 Dưới dạng chi tiết hơn, các dòng được xác định theo trung bình trọng số

AB j j

i AB

j j

i

AB = [ 1F+1, + ( 1 − 1)F, ] ∆y − [ 1G+1, + ( 1 − 1)G, ] ∆x

BC j j

BC j j

BC = [ 2F, +1+ ( 1 − 2)F, ] ∆y − [ 2G,+1+ ( 1 − 2)G, ] ∆x

CD j j

i CD

j j

i

CD = [ 3F−1, + ( 1 − 3)F, ] ∆y − [ 3G−1, + ( 1 − 3)G, ] ∆x

DA j j

DA j j

DA = [ 4F,−1+ ( 1 − 4)F, ] ∆y − [ 4G,−1+ ( 1 − 4)G, ] ∆x

Trong đó: α , i β - Hệ số trọng số có thể lấy trị số trong khoảng [0 , 1], trị số i

trung bình là 0.5

Dễ nhận thấy rằng phương trình (5), sau khi thay thế các trị số dòng chảy (6) có dạng phương trình vi phân thường:

) ( )

( )

(

dt

t d

q Φ D

Trong đó:

Φ - Ma trận ;

q - Véc tơ ẩn số cần tìm ;

D1 - Véc tơ

Thuật toán giải hệ (7) như sau :

Bước 1 : Giải bài toán Cô-si

Phương trình (7) với điều kiện ban đầu qt= t ocho trước được giải theo thuật toán Runge-Kutta bậc 3 đối với toàn bộ lưới tính:

t

t (0) (0) )

0 ( ) 1 (

∆

−

∆

=

∆q D 1 Φ q

t } 3 ) t ( { t

) 1 ( )

1 ( )

1 ( 1 ) 2

t } 3

2 ) t ( { t

) 2 ( )

2 ( )

2 ( ) 3 (

∆

∆ +

−

∆

=

(8)

i-1

j+1

P

B C

A

D

i,j

j-1 i+1

Nghiệm số của phương trình (1) sau khoảng thời gian được xác định như sau:

t

∆

) 3 ( )

1 (

75 0 25

0 ) t ( ) t t

q + ∆ = + ∆ + ∆ (9) Bước 2: Giải bài toán biên (phương pháp nội suy tuyến tính nối tiếp- successive linear interpolation) [5] :

Tại biên, với điều kiện biên qΓ = 0 = qΓ(t) cho trước, đặt:

qˆΓ(t+ ∆t)=qˆ( k )(t+ ∆t)=q( k )(t+ ∆t)

xét hàm sai số tại biên: f(k) (q) = qˆ (k) −qΓ)2

(i) Nếu: f( k )(q)fε ước tính:

) ˆ ˆ

/(

)) ˆ f ) ( f

) ( f ˆ

ˆ

) k ( ) 1 k ( )

k ( ) 1 k (

) k ( )

k ( )

1

k

q q

q

−

−

−

=

−

− +

Gán: q( t + ∆ t ) =qˆ ( k+1 )

trở về bước 1 tính lại

(ii) Nếu: f( k )(q)≤ε, ta có :qΓ( t + ∆ t ) ≈q( t + ∆ t ) quá trình tính được thực hiện từng bước cho khoảng thời gian tính tiếp theo

Kết luận và kiến nghị

Bản chất toán học của phương pháp phần tử thể tích là biến đổi hệ phương trình sóng động lực hai chiều ngang dưới dạng các phương trình đạo hàm riêng thành hệ các phương trình vi phân đạo hàm thường thỏa mãn các điều kiện ban đầu và điều kiện tại biên Khi đó, việc giải bài toán sóng động lực đã trở thành bài toán tìm nghiệm của hệ các phương trình vi phân thường

Thuật toán được trình bày, dựa trên nguyên lý biến đổi các bài toán phức tạp thành các bài toán đơn giản và đã được chuẩn hóa Các bước tính được thực hiện như sau:

Viết hệ phương trình sóng động lực dưới dạng có thể áp dụng công thức Green;

Áp dụng công thức Green để đưa hệ phương trình PDE (1) về hệ ODE (5); Tính toán các hệ số của hệ ODE (7);

Giải hệ (7) áp dụng phương pháp Runge-Kunta và phương pháp nội suy tuyến tính kế tiếp để giải bài toán hệ phương trình vi phân thường thỏa mãn các điều kiện biên

Có thể đưa ra nhận xét rằng thuật toán trên không phức tạp, có thể xây dựng các chương trình tính toán trong các nghiên cứu ứng dụng Tuy vậy, việc xử lý các trọng

số, điều kiện ban đầu và các điều kiện biên khác nhau sẽ là các mô hình có độ mô phỏng khác nhau, hiện nay là các vấn đề cần được nghiên cứu phát triển

Tài liệu tham khảo

1 Lương Tuấn Anh, Trần Thục (2003): Một phương án nâng cao độ ổn định của sơ

đồ sóng động lực 2 chiều ngang Tuyển tập báo cáo Hội nghị Khoa học Viện Khí Tượng Thủy văn Hà Nội, 2003

2 V Aizinger, C Dawson (2002): A Discontinuous Galerkin method for two-dimensional flow and transport in shallow water Adv in Water Resources Vol

25, pp 67-84

3 C.V Bellos, J.V Soulis and J.G Sakkas (1991) “Computation of Two-Dimensional Dam-Break-Induced flows” Adv Water Resources, Vol 14, No 1,

pp 31-41

4 G Gottardi, M Venutelli (2004) “Central Scheme for Two-Dimensional Dam-Break Flow Simulation” Adv Water Resources, Vol 27 , pp 259-268

5 Forsythe G.E., Malcolm M.A , Moler C B (1977): Computer Method for Mathematical Computations Prentice-Hall (Russian translation from English, 1980)

6 R Peyret, T.D Taylor (1983) Computational Methods for Fluid Flow Springer-Veriag New York Inc (Russian translation, NXB KTTV, Lê-nin-gơ-rad, 1986)

7 D.H Zhao, H.W Shen, G.Q Tabios III, J.S Lai and W.Y Tan (1994) Finite-Volume Two-Dimensional Unsteady Flow Model for River Basins Journal of Hydraulic Engineering Vol 120, pp 863-883