phát huy tư duy sáng tạo linh hoạt trong bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất

A - PHẦN MỞ ĐẦUTrong chương trình toán học ở cấp phổ thông trung học thì bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất là một dạng bài toán hay, khó và cũng rất hay có mặt trong các kỳ

A - PHẦN MỞ ĐẦU

Trong chương trình toán học ở cấp phổ thông trung học thì bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất là một dạng bài toán hay, khó và cũng rất hay có mặt trong các kỳ thi học kỳ, thi tốt nghiệp cũng như thi học sinh giỏi hay thi đại học Nhưng mãi đến sách giáo khoa lớp 12 mới có định nghĩa cụ thể về bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, và sử dụng bảng biến thiên hàm số như là một công cụ để giải bài toán này

Thông thường, trong các đề thi thì bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất thường ở các dạng như:

- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức, của hàm số

- Áp dụng tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trong việc chứng minh các bất đẳng thức

- Áp dụng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm sốtrong việc giải hệ phương trình

Qua quá trình giảng dạy cũng như qua quá trình tìm hiểu học sinh sau mỗi

kỳ thi tuyển Rất nhiều em học sinh gặp vướng mắc trong việc giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất Hay như một số bài toán vận dụng kiến thức tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất để giải bất phương trình, bất đẳng thức, giải hệ… các em học sinh cũng thường lúng túng không biết vận dụng kiến thức tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất như thế nào

Như vậy, bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất được vận dụng rất nhiều trong đời sống sinh hoạt, trong kinh doanh, trong kỹ thuật và cũng rất quan trọng trong việc giảng dạy tại trường Trung học phổ thông Xét thấy những vấn đề quan trọng như thế của bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất nên tôi đã lựa

chon đề tài:“ Phát huy tư duy sáng tạo linh hoạt trong bài toán tìm giá trị nhỏ

nhất và lớn nhất” để làm sáng kiến kinh nghiệm của mình.

Cosx + Sinx + 2a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số với giá trị k = 1.

b) Xác định tham số k sao cho giá trị lớn nhất của hàm số Yk là giá trị nhỏ nhất (Đề thi vào đại học năm 1996)

k ≥ (k + 1 − 2Yk)2

3

Với a ≠ 0Lời giải:

- Đặt Z =

36

) ( 12

2 +

−

x

a x x

2 +

−

x

a x x

2 +

−

x

a x x

⇔ 6 − 36 +a2 ≤ Z0 ≤ 6 + 36 +a2

Vậy MaxY = 4 ( 6 + 36 +a2 ) 3

2 Phương pháp áp dụng tính chất của bất đẳng thức cơ bản.

VD 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S = xy z + yz x + zx yTrong đó x,y,z là số thực dương thoả mãn điều kiện : x2 + y2 + z2 = 1

Lời giải:

Ta có S2 = 222

z

y x

+ 222

x

z y

+ 2

2 2

y

x z

+ 2(x2 + y2 + z2)

= 222

z

y x

+ 222

x

z y

+ 2

2 2

y

x z

z y

x = 2y2 (1)Hoàn toàn tương tự ta có:

y

x z

x

z y

= 2

2 2

y

x z

= 222

z

y x

, x2 + y2 + z2 = 1 và x,y,z > 0

⇔ x = y = z = 13

Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 3 khi x = y = z = 13

VD 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

z

+ + z y

z

+ + x+x y = (x+x z +

x z

z

+ ) + ( y z

y

+ + z+z y ) + ( y+y x + x+x y ) = 3Vậy P = 3 ⇔ x = y = z = 1

Do đó, giá trị lớn nhất của P = 3 khi x = y = z = 1

2 9

9 2 π

a) Tính thể tích của hình chóp theo x,y

b) Với x,y nào thì thể tích hình chóp là lớn nhất

Lời giải:

a) Ta có thể tích của hình chóp SABC là:

V = 12xy 4 − (x2 +y2 )(ĐVTT)b) Theo câu a ta đã có

V(SABC) = 12xy 4 − (x2 +y2 )(ĐVTT)

⇒ V ≤ 16 ( 2 )

2 2

x

y x

Vậy với x = y = 23 thì Max V = 2273

3 Phương pháp sử dụng đạo hàm của hàm số(Bảng biến thiên của hàm số) để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trên khoảng (a, b)hoặc trên [a, b]

Cách giải: Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a, b) rồi dựa vào đó để lập luận Nếu trên (a, b) hàm số có 1 cực trị duy nhất là cực đại hoặc cực tiểu, thì giá trị đó là giá trị lớn nhất hoặc giá trị bé nhất của hàm số Ngoài ra có thể áp dụng quy tắc tìm Max ƒ(x) và Min ƒ(x) trên khoảng [a, b]

VD 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Y = Sin20x + Cos20x

(Đại học Luật 1999)

Ta có Y’ = 20 Sin19xCosx − 20Cos19xSinx

= 20SinxCosx (Sin18 x − Cos18x)

π

π

x x x

VD 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

Y = Sin6x + Cos6x + aSinxCosxLời giải:

Ta có: Sin6x + Cos6x = (Sin2x)3 +(Cos2x)3

= (Sin2x + Cos2x)( Sin4x − Sin2x Cos2x + Cos4x)

= (Sin2x + Cos2x)2− 3Sin2x Cos2x

= 1 − 3Sin2x Cos2x

Nên Y = − 3Sin2x Cos2x + aSinx Cosx + 1

= −43 Sin22x + 2a Sin2x + 1

Đặt Sin2x = t Với t ∈[− 1 , 1]

Do đó: MinY = Min{Y(-1) ,Y(1) }= Min{ 1−42a ,1+42a}

Ta có: ƒ(t)’ = 2t – 6m ⇒ƒ(t)’ = 0 ⇒ t = 3m ⇒ Ta có 3 trường hợp xảy ra:

 Nếu 3m < 0 hay m < 0 Ta có bảng biến thiên sau:

ƒ(t)

Vậy Max Y = ƒ(4) = m2 − 24m + 16 (1)

 Nếu 3m ≥ 4 ⇒ m ≥ 34 Ta có bảng biến thiên sau đây:

ƒ(t)

Vậy Max Y = max ƒ(0) = m2 (2)

 Nếu 0 < 3m < 4 hay 0 < m < 34 Ta có bảng biến thiên sau:

VD 5: Người ta dùng tấm tôn kim loại để gò một thùng hình trụ tròn xoay có 2 đáy với thể tích cho trước Hãy xác định kích thước của hình trụ để vật liệu tốn ít nhất.Lời giải:

Gọi x là bán kính đáy, h là chiều cao của hình trụ (x,h > 0), S là diện tích toàn phần, v là thể tích của hình trụ

x2 = 61 (a + b + 2 2

b ab

CĐ

Vậy V đạt giá trị lớn nhất khi x = 61 (a + b - 2 2

b ab

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất bằng 45 khi x = 12

Vậy MaxF(x) = 1 ; Max F(x) = 2 5 + 1

II GIẢI BÀI TOÁN BẰNG NHIỀU PHƯƠNG PHÁP

Cách 1: Dựa vào bảng biến thiên.

Cách 2: Dùng bất đẳng thức Côsi.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 1x hay x = 1 (vì x > 0)

Vậy MinY = 3 khi x = 1

0 1

0 4

P vì Y

t

với t ∈[− 1 , 1]

⇒ Y’ = ( 2 )2

2 1

2

+ +

−

−

t t

t t

; Y’ = 0 ⇔ t2 + 2t = 0 ⇒ t = 0(t = -2 loại vì ∉[− 1 , 1])

Ta có Y(0) = 1 ; = 1 ; Y(-1) = 0 ; Y(1) = 32

Vậy MinY = 0 khi t = 1 ⇔ Sinx = -1 ⇒ x = −π +kπ

2 (Với k ∈Z) MaxY = 1 khi t = 0 ⇔ Sinx = 0 ⇒ x = kπ (Với k ∈Z)

Sinx

có nghiệm (ẩn x) ⇔ Y0Sin2x + (Y0 - 1)Sinx + Y0 – 1 = 0 có nghiệm

Điều này xảy ra khi và chỉ khi: Y0 = 0 hoặc ( ) ( )

Sinx

≥ 0 Với ∀xDấu “=” xảy ra khi Sinx = -1 ⇒ x = kπ (Với k ∈Z)

Vì Y > 0 với ∀ x∈ [3 , 6] nên Y đạt max, min đồng thời với Y2 đạt max, min

2

1

Với 3 ≤ x ≤ 6 = (x )( x)

x x

1 9

z y x

z y x

+ +

+ +

(Đề thi học sinh giỏi quốc gia THPT môn toán năm 2004)

Lời giải:

Ta thấy: với α là số thực dương tùy ý ta luôn có P(x,y,z) = P( α x , α y , α z) và x , y , z thõa mãn điều kiện bài toán thì αx, αy, αz cùng thỏa mãn điều kiện đó Vì thể, không mất tính tổng quát có thể giả sử: x + y + z = 4

Khi đó kết hợp với điều kiện của bài toán ta được: xyz = 2 Lúc này bài toán trở thành:

Tìm giá trị lớn nhât, nhỏ nhất của biêu thức:

P = ( 4 4 4)

256

1

z y

x + + khi các số thực dương x,y,z thay đổi sao cho x +

t = 4 − +2 (2)

Từ (2) ta được (4 − )2 >8−x3 − 8x2 + 16x− 8

x x

⇔ (x− 2)(x2 − 6x+ 4)≥ 0 ⇔ 3 − 5 ≤x≤ 2 do x∈(0 , 4)

Min ƒ(t)= ƒ( 5 52−1 ) =

2

5 165

T =

1 4

2

4 3

2

3 2

2

2 1

2

x x

DQ x

x

CP x x

BN x

2

1

, ,

,

x x

t x x

z x x

2

4 3

t x x

z x

2 3

1

x x x x x

x x

+ +

+ +

+

x x x x

x x x x

(∗)

Đẳng thức xảy ra ở (∗) khi và chỉ khi:

( ) ( ) ( )

3

1

1 4 4 3 3

2

2

1

P x x

x

x

k x x

t x x

z x

P Px

c Px

a Px

d

4 3 1

Từ (4) ta có kết luận sau đây:

Biểu thức T đạt cực tiểu Tmin = 1 khi và chỉ khi x1 = d,x2= a,x3 = b,x4 = c (5)

Đồng thời đối chiếu (1) , (5) ta được:

P

cd t P

bc z P

ab y

P

da

Tóm lại: Trong 4! = 24 hoán vị {x1 ,x2 ,x3 ,x4} khác nhau của {a,b,c,d}

nhưng chỉ có 1 hoán vị {x1 ,x2 ,x3 ,x4} = {d,a,b,c} Sắp xếp theo thứ tự này thõa mãn điều kiện của biểu thức T đạt cực tiểu và giá trị cực tiểu Tmin = 1 đạt được với mọi tứ giác lồi

VD 3: Trong các nghiệm (x,y) của biểu thức : Log x2+2y2(2x+y)≥ 1

<

>

+

1 2 0

0

2

2

2 y x

y x

a) Trường hợp 1: x2 + 2y2 > 1 thì hàm số Lôgarit trên là đồng biến

⇔ +

≥ +

>

+

0 2 2 2

2

1 2

2 2

2 2

2 2

y x x y x y x

y x

Viết biểu thức về trái dưới dạng bình phương đúng ta có:

( )

8

9 2 2

1 1 2 2

1 2 1

2 2

1 2 2

1 2 2 2 1 2 2

2

2 2

2

2 2

2 2

− +

y y

x x y y

x

x

Phân tích số 2x + y ta có:

( )4

1 2 1

1 2 2

1 ) 1 ( 2 4

9

2

4

9 2 2

1 2 2

1 2

1 2 2 2

1 2 2

1 ) 1 (

2

2

2 2

2 2

y x

y

x

y x

y x

1 2 0

2 2

2 2

y x y x

y x

Trong cả hai trường hợp a) và b) ta có:

2

9 2

1 2

2

9 2

≤ +

y x y

x

y x

Với (x,y) là nghiệm của phương trình (1)Tổng 2x + y lớn nhất bẳng: 29

1.2

14

1

22

2

1.42

2

212

94

929

2

144

92

2

14

14

12

1

22

12

2

1

y y

x x

y x y

x

y x

y x

=

x x

12 2 − + 2 − + 2 =

m m

Bài 3: x1,x2 là nghiệm của phương trình 2 + + 1 = 0 (p≠ 0)

p px

1 +

x4

2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 4: Cho hàm số Y = 13x2 – 6x + 2a -1 Với -2 ≤ x ≤ 3

a) Xác định a để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất

b) Xác định a để giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 29

Bài 5: Cho hàm số Y = Sin4x + Cos4x + mSinxCosx

Tùy theo giá trị của m tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của Y

Bài 6: Cho hàm số Y = 4x2 – 4ax + a2 – 2a Với x∈[− 2 , 0]

Tìm a để MinY = 2

Bài 7: Cho a ≠ , b ≠ 0 Tìm giá trj nhỏ nhất của biểu thức:

M = + + + − + 2 

2 2

2 4

4 4

4

a

b b

a a

b b

a a

b b

a

Bài 8: Một tam giác vuông có cạnh huyền là a không đổi Cho tam giác quay quanh cạnh huyền Hỏi chiều cao tương ứng với cạnh huyền bằng bao nhiêu để hiệu thể tích 2 hình nón sinh ra sau khi quay đạt giá trị lớn nhất

Bài 9: Cho hình cầu bán kính R Tìm hình nón ngoại tiếp hình cầu sap cho diện tích xung quanh là nhỏ nhất

Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số:

a) Y = Cosx2Cosx+−2Sinx Sinx++43 Trong khoảng: (-π, π)

b) Y = 2+Sinx Cosx Trong đoạn [0 , 1]

2

1 ≥ − +

+

−

Cosx

Sinx k

Với ∀ x

Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Y = Sinx – Cos2x + 21

Bài 13: Cho tam giác ABC bất kỳ với 3 góc A, B, C Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 3CosB + 3 (CosA + CosC).

Bài 14: Cho 3 số dương a,b,c thõa mãn điều kiện acb = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P =

b c a c

ab c

b a b

ca c

a b a

bc

2 2 2 2 2

Bài 15: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

Y =

x Cos x

Sin

x Sin x

Cos

2 4

2 4

2 3

4 3

+ +

Bài 16: Cho 3 số dương a, b, c là 3 số dương thõa mãn điều kiện a2+b2+c2=1

Chứng minh rằng:

2

3 3 2 2 2 2 2

+

+ +

+

c a

c

b c

b a

C - MỘT SÔ KẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM TRONG NHỮNG NĂM THỰC NGHIỆM

ĐỀ TÀI

1.Kết quả thực nghiệm.

Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số là một bài toán rất hay gặp trong chương trình cũng như trong các kì thi tuyển sinh vào THPT, vào đaị học

và các kỳ thi học sinh giỏi Bản thân tôi xác định vị trí và vai trò của dạng toán này

vì vậy tôi cũng đã đưa vào giảng dạy ở các lớp học mà tôi trực tiếp giảng dạy.Chẳng hạn như:

a) Ở khối 10:

• Khi học hàm số bậc nhất, hàm số bậc 2 đã cho các em tiếp xúc với bài toán tìm giá trị nhỏ nhât, lớn nhất của hàm số bằng định nghĩa và bằng phương pháp tìm miền giá trị của hàm số Đặc biệt, phương pháp áp dụng miền giá trị của hàm số, học sinh làm khá tốt Được thể hiện là kết quả kiểm tra cuối chương có bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số thì có 60% học sinh làm được tôt

• Ở chương bất đẳng thức, bất phương trình Trong quá trình giảng dạy tôi cũng đã đưa phương pháp sử dụng tính chất của bất đẳng thức và các bất đẳng thức quen thuộc cơ bản để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số Kết quả đạt được

là ở phương pháp này có 60% làm bài tốt , 30% trung bình và 10% làm bài yếu.b) Ở khối 11:

Khi học chương phương trình lượng giác Điều kiện để phương trình

Sinx = a , Cosx = a và phương trình aSinx + bCosx = c có nghiệm đã áp dụng phương pháp tìm miền giá trị của hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

• Khi học chương hàm số mũ, Lôgarit, phương trình mũ và phương trình lôgarit đã đưa bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số Kết quả kiểm tra

cho thấy: có 50% các em học sinh làm được, trong đó có 30% khá, còn lại 20% chưa đạt yêu cầu.

c) Ở khối 12:

Sau khi học xong bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số Tổng hợp các phương pháp giải thì các em học sinh nắm vững cách làm, các em đã phát huy được tư duy sáng tạo thể hiện ở việc các em đã đưa ra nhiều phương pháp khác nhau để giải bài toán Kết quả kiểm tra cuối chương tôi đã đưa vào bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất thì phần lớn học sinh làm được Kết quả cụ thể là: 70% khá giỏi, 25% trung bình, 5% yếu kém

2.Bài học kinh nghiệm:

− Cần có định nghĩa và các phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của hàm số Ngay từ khi ở chương trình lớp 1o, khi học hàm số bậc nhất, bậc 2 đưa ra định nghĩa nhờ áp dụng hằng đẳng thức

− Khắc sâu bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số ở chương bất đẳng thức, bất phương trình

− Với học sinh lớp 11 cần đưa vào ở phương trình lượng giác, phương trình mũ

và phương trình lôgarit nhiều bài tập hơn nữa học sinh làm quen với việc vận dụng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trong việc giải các phương trình lượng giác, hàm số mũ, hàm Lôgarit

− Trong quá trình giảng dạy ở chương trình toán lớp 12 cần phải giành quỹ thời gian thích hợp cho dạng bài toán này Đưa vào các dạng bài toán có nhiều phương pháp giải Đặc biệt áp dụng đạo hàm, bảng biến thiên của hàm số để giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số một cách ưu việt,hiệu quả từ đó phát huy tính sáng tạo, linh hoạt,tư duy lôgic chặt chẽ

D - KẾT LUẬN

Vấn đề tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số được làm quen từ trung học cơ sở Ở cấp THPT đưa thêm một số cách giải khác như dùng công cụ đạo hàm, bảng biến thiên của hàm số làm cho việc giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số được giải quyết một cách dễ dàng hơn Và bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số được ứng dụng rộng rãi trong đời sống hằng ngày, trong giáo dục Khi giải được bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất sẽ giải quyết được các bài toán chứng minh bằng đẳng thức, bài toán giải và biện luận phương trình, bất phương trình chứa tham biến

Trong quá trình giảng dạy đặc biệt là lớp 12 cần có lượng thời gian thích hợp giành cho dạng bài toán này Cũng như cũng cần phải tổng kết các phương pháp giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số Dạng toán này có vai trò quan trọng trong các kỳ thi tuyển vào đại học, cao đẳng; đặc biệt trong các đề thi học sinh giỏi bao giờ cũng có ít nhất 1 câu Bất kỳ một học sinh cũng như giáo viên nào cũng phải nên quan tâm đến dạng toán này

Qua bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất rèn luyện được tư duy sáng tạo, linh hoạt cho hoc sinh Quả thật thú vị khi đi sâu vào loại toán này chúng ta sẽ khám phá nhiều điều mới mẻ, thú vị trong kho tàng toán học

Trong quá trình bày không tránh khỏi những thiếu sót, những khuyết điểm Rất mong nhận được đóng góp xây dựng để chuyên đề này được áp dụng rộng rãi

và phát huy hiệu quả tối ưu trong việc giúp các đồng chí đồng nghiệp bồi dưỡng học sinh giỏi và đặc biệt là kỳ thì đại học

Xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Báo toán học tuổi trẻ

2 Chuyên đề khảo sát hàm số của Trần văn Hạo

3 Tuyển chọn 400 bài tập toán 12 của Đậu thế cấp - Nguyễn văn Lộc

4 Đề thi tuyển sinh vào đại học và cao đẳng các năm

5 Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn toán đại số sơ cấp của Trần Phương – Lê Hồng Đức

MỤC LỤC

A - PHẦN MỞ ĐẦU 1

B - NỘI DUNG 2

I CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ 2

1 Phương pháp áp dụng miền giá trị của hàm số để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số 2

2 Phương pháp áp dụng tính chất của bất đẳng thức cơ bản 5

3 Phương pháp sử dụng đạo hàm của hàm số(Bảng biến thiên của hàm số) để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trên khoảng hoặc trên 8

4.Phương pháp sử dụng định nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 16

II GIẢI BÀI TOÁN BẰNG NHIỀU PHƯƠNG PHÁP 17

III MÔT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP(PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP) ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHÂT, LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ 21

IV.BÀI TẬP TỰ GIẢI 25

C - MỘT SÔ KẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM TRONG NHỮNG NĂM THỰC NGHIỆM ĐỀ TÀI 28

1.Kết quả thực nghiệm 28

2.Bài học kinh nghiệm: 29

D - KẾT LUẬN 30

TÀI LIỆU THAM KHẢO 31