skkn phương trình chứa căn thức bài toán xác đinh đa thức thpt lương thế vinh

Lên cấp 3 các em tiếp cận với các phương trình đa thức bậc nhất, bậc hai và một số phương trình bậc cao hơn.. Các em đã làm quen với các dạng phương trình hàm trên tập số thực, tập số ng

Đơn vị: TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH

Mã số:

(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Người thực hiện: Phạm Hữu Danh Lĩnh vực nghiên cứu: Toán Học

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên: PHẠM HỮU DANH

2 Ngày tháng năm sinh: 01/02/1986

8 Đơn vị công tác: Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Thạc Sỹ

- Năm nhận bằng: 2013

- Chuyên ngành đào tạo: Toán học

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán học

Số năm có kinh nghiệm: 6

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 3

“Một số vấn đề cơ bản về lý thuyết chia hết, đồng dư”

“Một số ứng dụng của lượng giác trong đại số và hình học”

“Một số vấn đề về phương trình vô tỉ”

Tên SKKN

BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Đa thức là một trong những lớp hàm quan trọng nhất của đại số Từ cấp 2

học sinh đã biết cộng, trừ, nhân, chia hai đa thức Lên cấp 3 các em tiếp cận với các phương trình đa thức bậc nhất, bậc hai và một số phương trình bậc cao hơn Các kiến thức giải tích sau này như giới hạn, đạo hàm, tích phân vẫn có liên quan nhiều đến đa thức

Phương trình hàm là một dạng toán đặc trưng cho chương trình toán

chuyên ở trung học phổ thông Trong các đề thi học sinh giỏi khu vực, quốc gia, quốc tế hầu như đều có mặt nội dung này Các em đã làm quen với các dạng phương trình hàm trên tập số thực, tập số nguyên, tập các hàm số liên tục… Trong

đó phương trình hàm trong lớp các hàm đa thức có những tính chất khá thú vị

Chuyên đề Bài toán xác định đa thức nhằm giúp các em học sinh có một cái

nhìn sâu hơn phương trình hàm đa thức Tài liệu này nói chung không phù hợp với các em học sinh thông thường, vì chương trình phổ thông hiện giờ đề cập rất ít đến

đa thức, còn phương trình hàm thì hầu như không có Tuy nhiên nó có thể là một

tham khảo hữu ích với các em học sinh chuyên toán

Hi vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho thầy cô và các em học sinh có điều kiện nghiên cứu sâu hơn về phương trình hàm đa thức Dù đã hết sức cố gắng nhưng do năng lực có hạn nên chuyên đề này chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót Rất mong được sự đóng góp, chia sẻ của quý thầy cô và các em

II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

1 Cơ sở lý luận

Những vấn đề ban đầu về đa thức đã được đề cập tới từ chương trình cấp 2 Học sinh đã biết nhân, chia hai đa thức, dùng sơ đồ Hoorne… Tuy nhiên do thời lượng có hạn nên một số phương pháp hay chưa có điều kiện đề cập tới

Chuyên đề này được viết nhằm giúp độc giả có thể thấy được những phương pháp để giải phương trình hàm đa thức Các em học sinh lớp 10 chưa tiếp cận với phương trình hàm nói chung vẫn có thể tham khảo

Tài liệu có nhắc lại một số kiến thức về đa thức, đồng thời cung cấp những nội dung mới như định lý Vi-et cho phương trình bậc cao, tính chất nghiệm của đa thức hệ số nguyên

2 Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài

Trong chương I, tác giả trình bày các định nghĩa và tính chất cơ bản của đa thức Qua đó làm cơ sở cho phần tiếp theo

Chương II đề cập đến bài toán xác định đa thức Tác giả chia làm ba phần:

đồng nhất thức một biến, đồng nhất thức nhiều biến và một số bài toán khác Các

phương pháp độc giả có thể tìm thấy ở đây là so sánh bậc của hai vế, dùng tính chất nghiệm của đa thức, thế các giá trị đặc biệt…

III HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

Chuyên đề này đã được áp dụng trong việc giảng dạy cho học sinh khối 10 cũng như đội tuyển học sinh giỏi Đây có thể là cẩm nang để các em tra cứu khi cần thiết, qua đó phát triển thêm tư duy toán học của mình Đối với học sinh lớp

11, 12 có thể xem thêm những bài liên quan đến đạo hàm hay liên tục

Nội dung này được truyền đạt tới học sinh trong khoảng 10 tiết Các bài tập

được trình bày chi tiết trong tiến trình lên lớp và một số bài luyện tập để học sinh

nghiên cứu ở nhà

Sau khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này, học sinh đã có một cái nhìn sâu hơn về đa thức và phương trình hàm Các em đã biết thêm những phương pháp hay và có thể áp dụng trong những trường hợp cụ thể

IV ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

Đề tài này có thể áp dụng cho học sinh khá giỏi về toán Giáo viên có thể sử

dụng chuyên đề này độc lập với chuyên đề đa thức hay phương trình hàm

Tốt nhất giáo viên nên dạy học sinh chuyên đề đa thức, sau đó lồng bài toán xác định đa thức vào chương cuối Chương trình này có thể dạy ngay cho học sinh lớp 10

1 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học cơ sở, Đa thức – Phan Huy Khải – Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam – 2009

2 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học phổ thông, Đa thức đại

số và Phân thức hữu tỉ – Nguyễn Văn Mậu - NXB Giáo Dục - 2006

3 Chuyên khảo Phương trình hàm - Nguyễn Tài Chung, Lê Hoành Phò – NXB Đại học quốc gia Hà Nội – 2013

4 Tuyển tập Đề thi Olympic 30/4 - NXB Đại Học Sư Phạm – 2009, 2010,

2011, 2012

NGƯỜI THỰC HIỆN (Ký tên và ghi rõ họ tên)

SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI

Đơn vị

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc , ngày tháng năm PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học:

––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm:

Họ và tên tác giả: Chức vụ:

Đơn vị:

Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục - Phương pháp dạy học bộ môn:

- Phương pháp giáo dục - Lĩnh vực khác: Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị Trong Ngành

- Có giải pháp hoàn toàn mới

- Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại

đơn vị có hiệu quả

- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:

- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và

- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả

Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có ký tên xác nhận của người

có thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm cuối mỗi bản sáng kiến kinh nghiệm

XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN

(Ký tên và ghi rõ họ tên)

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

(Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu)

CHƯƠNG I: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

• an gọi là hệ số bậc cao nhất, a0 là hệ số tự do

• n gọi là bậc của đa thức, kí hiệu n=degP(x)

Nếu a0 ≠0,a i = ∀ ∈0; i 1,n thì degP(x)=0 Nếu a i = ∀ ∈0; i 0,n, P x( )≡0 gọi là đa

thức không, và ta không định nghĩa bậc

Tập hợp tất cả các đa thức trên K kí hiệu là K[x] Ta có ℤ[ ] [ ] [ ]x ,ℚ x ,ℝ x lần lượt

là tập hợp các đa thức hệ số nguyên, hệ số hữu tỉ, hệ số thực Về cơ bản, ta xét đa thức

hệ số thực (nếu trong bài toán không có chú thích gì thêm)

Số x0 gọi là nghiệm của đa thức P(x) nếu P x( )0 =0

II Các Tính Chất Cơ Bản

1 Bậc của đa thức

Cho hai đa thức P(x), Q(x) có bậc lần lượt là m, n

a) Đặt R(x)=P(x)+Q(x) thì R(x) là đa thức có bậc thỏa degR x( )≤max{ }m n,

Trong trường hợp m≠n, ta có degR x( )=max{ }m n,

T(x) gọi là thương, R(x) gọi là dư trong phép chia P(x) cho Q(x)

Nếu R x( )≡0 thì ta nói đa thức P(x) chia hết cho Q(x) (hay đa thức Q(x) là ước

của P(x))

b) Định lý về thương trong phép chia hết đa thức:

Cho hai đa thức P x Q x( ) ( ), ∈ℚ[ ]x Nếu P(x) chia hết cho Q(x) thì đa thức thương

T x ∈ℚ x

*Chú ý:

• Hiển nhiên định lý trên đúng nếu thay Q x bởi [ ] ℝ[ ]x

• Trong trường hợp P x Q x( ) ( ), ∈ℤ[ ]x , ta cần thêm điều kiện hệ số bậc cao nhất của Q(x) là 1 hoặc -1 để thương trong phép chia hết P(x) cho Q(x) là T x( )∈ℤ[ ]x

3 Nghiệm của đa thức

• Mọi đa thức bậc n đều có không quá n nghiệm

• Nếu đa thức bậc không quá mà có n+1 nghiệm thì đó là đa thức không

• Nếu hai đa thức bậc không quá n lại lấy giá trị bằng nhau tại n+1 điểm khác nhau thì hai đa thức đó đồng nhất bằng nhau

• Nếu P(x) là đa thức đồng thời là hàm số tuần hoàn thì P(x) là đa thức hằng

III Đa Thức Hệ Số Nguyên

1 Định lý (nghiệm hữu tỉ của đa thức hệ số nguyên)

CHƯƠNG II: BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC

I Đồng Nhất Thức Một Biến

Để xác định đa thức thỏa mãn đồng nhất thức, ta có thể dùng đến các kĩ thuật sau:

So sánh bậc của đa thức ở hai vế

Cân bằng các hệ số đặc biệt ở hai vế, chẳng hạn hệ số bậc cao nhất và hệ số tự do Thay các giá trị đặc biệt của x vào đồng nhất thức

Tìm được nghiệm x0 của P(x) thì P x( )=(x−x Q x0) ( )

Đa thức bậc n có không quá n nghiệm thực Nếu P(x) có vô số nghiệm thì

đa thức khác có tính chất đặc biệt hơn

• Nếu đa thức P(x) có nghiệm x0 thì P x( )= −(x x Q x0) ( ), degQ<degP

• Nếu đa thức P(x) là hàm số tuần hoàn thì P(x) là đa thức hằng

Do đó Q(x) là hàm số tuần hoàn, suy ra Q(x)=c, với c là hằng số

Lúc này P(x)=35x+c Dễ thấy P(x) thỏa bài toán

Vậy P(x)=35x+c, c là số bất kì

*Nhận xét:

a) Ở trên ta đặt P x( )=Q x( )+35x để đưa về đa thức Q(x) tuần hoàn

b) Có thể giải quyết bài toán như sau

b) Nếu ta thay số 2015 trong giả thiết bởi 2016 thì nghiệm của bài toán sẽ là đa thức P(x) khác không

Đa thức là một lớp hàm đặc biệt, khác biệt căn bản với các lớp hàm khác là chúng

có bậc Ngoài ra chúng còn có các hệ số, ứng với các lũy thừa của biến Hiển nhiên chúng

ta có các nhận xét sau đây

• Các hệ số tương ứng của chúng bằng nhau (thường ta sử dụng hệ số bậc cao nhất

a) Đầu tiên ta so sánh bậc hai vế để tìm ra bậc n của P(x)

b) Khi n đã có giá trị xác định thì ta có thể biểu diễn P(x) theo các tham số, ở đây là

P x = x +bx+c Đến đây ta có thể thay vào đẳng thức ban đầu để đồng nhất hệ số

c) Ở trên ta so sánh hệ số bậc cao nhất Bài toán tiếp theo sẽ so sánh hệ số khác

Cân bằng hệ số của x n k+ , ta được 2a a n k =0 (vô lý)

P x =a x có khả năng thỏa bài toán Nếu thêm vào các hệ

số khác thì không thỏa Do đó ta nghĩ đến việc chứng minh các hệ số khác bằng 0

a) Nếu n=0: chỉ có hai đa thức thỏa là P x( )≡0,P x( )≡16

b) Nếu n=1: P x( )=4x+b Thay vào hệ thức:

a) Trên đây ta đã so sánh hệ số bậc cao nhất hai vế để tìm ra bậc của P(x)

b) Giả thiết P(x) có hệ số nguyên để giải phương trình 16

4

a =

3 Sử dụng tính chất nghiệm của đa thức

Nghiệm của đa thức có một số tính chất đặc biệt:

• Đa thức bậc n chỉ có tối đa n nghiệm

• Nếu số nghiệm của đa thức lớn hơn bậc thì đó là đa thức không

• Mọi đa thức bậc lẻ đều có nghiệm

• Đối với đa thức hệ số nguyên, phân số tối giản p

q là nghiệm thì p là ước của hệ số

tự do, q là ước của hệ số bậc cao nhất

Bài 8:

Tìm tất cả đa thức P(x) thỏa

( ) ( ) ( ) ( )

Từ giả thiết ta suy ra rằng: Nếu t là nghiệm thì t2 cũng là nghiệm Điều này chứng

tỏ P(x) chỉ có nghiệm 0; 1; -1 và suy ra dạng biểu diễn của P(x)

Mặt khác P(x) không thể có nghiệm thực Thật vậy, nếu x0 là nghiệm thì có dãy số dương x n+1= x n2+2 cũng là nghiệm, điều này chứng tỏ P(x) vô số nghiệm (mâu thuẫn)

b) Vì đa thức bậc lẻ luôn có nghiệm nên P(x) phải là đa thức bậc chẵn

c) Sau đây chúng ta cùng xem xét bài toán về xác định đa thức hệ số nguyên

1− 2+ 4 không thể là nghiệm của đa thức bậc nhất hệ số nguyên

Giả sử 1−3 2+3 4 là nghiệm của đa thức g(x) bậc hai hệ số nguyên Khi đó

f x = x − x + x− là đa thức cần tìm

*Nhận xét:

• Nếu f(x) là đa thức hằng, dễ thấy f x( )≡0, f x( )≡1

• Nếu deg f x( )≥1 Ta chứng minh f(x) vô nghiệm

II Đồng Nhất Thức Nhiều Biến

Các kĩ thuật giả quyết đồng nhất thức nhiều biến cũng tương tự đồng nhất thức một biến Ta có thể chú ý đến các phương pháp sau:

Đổi biến

Thay các giá trị đặc biệt

Trong trường hợp các biến có ràng buộc, ta có thể đưa về đồng nhất thức một biến

u v x

b) Nếu ta thế giá trị cho biến y và giữ nguyên x, ta được đồng nhất thức một biến

c) Sau đây ta cùng xem xét một ví dụ về hai biến có ràng buộc

b) Khi đưa được về P( )2x =8P x( ), ta sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số để tìm P(x)

Lần lượt thay x=t, y=t và x=t, y=0:

b b

P x = x − thỏa bài toán

Vậy có hai đa thức cần tìm là 2x2− −1, 2x2+1

Không mất tổng quát, giả sử an=1

Với n=1: ta có hai đa thức cần tìm là x+1, x-1

Với n>1: Gọi x x1, 2, ,.x là n nghiệm thực của P(x) n

Theo định lý Vi-ét:

2 2 0 1

1

n i i

Với n=2: có hai đa thức x2+ −x 1,x2− −x 1

Với n=3: có hai đa thức x3+x2− −x 1,x3− − +x2 x 1

Vậy có 12 đa thức thỏa yêu cầu:

± + ± − ± + − ± − − ± + − − ± − − +

a) Đây là bài toán tìm đa thức hệ số nguyên Đặc biệt hơn các hệ số chỉ có thể là 1 hoặc -1 b) Ta tìm các đa thức ứng với hệ số cao nhất là 1 Các đa thức có hệ số là -1 chỉ cần đổi dấu những đa thức trên

c) Mấu chốt bài toán là chứng minh được bậc của P(x) không vượt quá 3

Trên đây ta đã sử dụng tính chất liên tục của hàm đa thức : Nếu đa thức Q(x)

không có nghiệm thực thì Q(x) mang giá trị dương hoặc âm

Với P(1)=6, ta tính được a=1 Vậy ( ) 2

• Trong đẳng thức trên cho y=x : P' 0( ) ( )P 2x =2P x P x( ) ( )'

• Nếu P’(0)=0 thì P(x) là đa thức không Nếu P' 0( )≠0 thì P(x) là đa thức bậc nhất

Đáp số: P(x)=ax, với a là hằng số tùy ý

a) Nếu Q(x) là thức hằng, dễ dàng chứng minh được Q x( )≡ ∨0 Q x( )≡1

Xét degQ x( )= ≥n 1 với hệ số bậc cao nhất là a Đặt R x( )=Q x( )−ax n, degR x( )<n

( )2 ( ) 2 2n ( )2 2 2n n ( ) ( ) 2

≡  ⇔ + ≡ + + 

Ta chứng minh được R x( )≡0 và ( ) n

Q x =x b)