skkn phương pháp giải và bài tập phát triển chương i sách giáo khoa giải tích 12

Lý do chọn đề tài: - Dạy học bộ môn toán thực chất là dạy tư duy và dạy giải quyết các bài tậptoán.Ngoài các bài tập cần đạt ở sách giáo khoa để phục vụ các kỳ thi học kỳ và thitốt nghiệ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BÀI TẬP PHÁT TRIỂN CHƯƠNG I

SÁCH GIÁO KHOA GIẢI TÍCH 12

I ĐĂT VẤN ĐỀ:

1 Lý do chọn đề tài:

- Dạy học bộ môn toán thực chất là dạy tư duy và dạy giải quyết các bài tậptoán.Ngoài các bài tập cần đạt ở sách giáo khoa để phục vụ các kỳ thi học kỳ và thitốt nghiệp của bộ môn toán ,cần có những bài tập nâng cao để phát huy tính sángtạo phát triển tư duy cho nhiều đối tượng học sinh

- Kỳ thi học sinh giỏi và thi Đại Học do nhu cầu kiểm tra đối tượng học sinh ởmức độ phân hóa cao nên tất cả các học sinh cần phải đối diện các loại đề toán khóhơn do đó giáo viên cũng cần ra những loại bài tập mà sách giáo khoa không đềcập đến

- Người ta đã phân bậc trong nhận thức theo thứ tự :nhớ , hiểu , vận dụng , phântích , tổng hợp và đánh giá Ở mức độ trường phổ thông bài tập vận dụng là cầnthiết mà ở mức độ vận dụng thì bài tập ở sách giáo khoa còn rất ít

- Học toán nếu vấn đề càng khó, càng hấp dẫn khi ấy không chỉ rèn luyện cácphẩm chất tư duy , óc sáng tạo, trí thông minh, cách nhìn linh hoạt mà là động cơgây hứng thú đam mê, yêu thích bộ môn toán

Vì những lý do trên chúng ta cần phải cho học sinh tiếp cận một số đề toán lạ màcách giải từ thông dụng đến các kỹ thuật vận dụng giải quyết là đa dạng,phongphú

3.

Mục đích của đề tài

• Bổ sung tài liệu và phương pháp giảng dạy bộ môn toán

• Phát huy tính sáng tạo qua cách tìm các phương pháp giải toán

• Chú ý đến các đối tượng học sinh khá ; giỏi

• Đánh động đến giáo viên và giúp họ mạnh dạn soạn các loại bài tập phát triển

4 Phạm vi nghiên cứu: Chương I giải tích và một số kiến thức đại số liên quan

cần thiết

5.Phương pháp nghiên cứu

- Tìm hiểu cơ sở lý luận của phương pháp giải toán và mức độ phát triển cho phép

- Kiểm tra hiệu quả để mở rộng kiểu bài tập

II NỘI DUNG ĐỀ TÀI:

Các loại bài tập và ví dụ được sắp xếp song hành vớ cấu trúc chương trình chương

I giải tích toán 12

1)Chủ điểm : Tính đơn điệu

Về tính đồng biến, nghịch biến trước đây sách giáo khoa Toán 10 có phần sosánh 1 số α với nghiệm của Phương trình bậc 2 nhưng nay không được sử dụngnên cần phải có cách giải quyết hoặc ra đề thich hợp

Phương pháp Tam thức bậc 2 rất quan trọng và có nhiều ứng dụng nên cần vậndụng thành thạo

• Phương pháp Tịnh tiến nghiệm (Tương tự dời hệ toạ độ để biểu diễn công

+ m>0, y′= 0 có 3 nghiệm phân biệt: − m, 0, m

Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) khi chỉ khi m ≤ ⇔ < ≤1 0 m 1

YCBT ⇔ g(t) ≤ 0 ∀ < t 0

000000

a a

S P

4 1

2+

++ với ∀ ∈x ( ;0 +∞)

x

2

2 2

3)Chủ điểm: Sự tương giao

Bài toán tương giao giữa đồ thị hàm bậc 3 và đường thẳng thì phuơng trìnhhoành độ giao điểm cũng là phương trình bậc 3

Việc có trước x1 còn lại yêu cầu đối với 2 nghiệm còn lại ta có thể sử dụng các kỹ

Có thể ra đề : Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3điểm phân biệt

a) có hoành độ đều dương b) trong đó chỉ có 1điểm có hoành độ âm

c) trong đó chỉ có 1điểm có hoành độ dương

Ví dụ 8: Cho hàm số y x = −3 mx2 + ( m + 2) x + 2 m − 12

Tìm m để đồ tị hàm số cắt trục hoành tại 3điểm phân biệt

a) có hoành độ đều dương b) có hoành độ nhỏ hơn 3

c) có hoành độ x1 ,x2 ,x3 thoả x12 + + x22 x32 = 26 …

Gợi ý : x=2 là nghiệm của PT hoành độ giao điểm

Một số Bài tập tương tự cho ba chủ dề trên:

3

y = x −mx + m − +m x+ Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A,B và AB= 4 65

2)Cho hàm sốy x= 3 −3(m−3)x2 +3(m2 −3m+5)x+1 Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị thoả x1+ −x2 x x1 2 <7

3) Cho hàm số 1( 1) 3 (2 1) 2 3(2 1) 1

3

y = m+ x − m− x + m− x+ Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 1) −∞ −

− + ( Hm) Tìm m để đường thẳng d: 2x+2y=1 cắt (Hm)

tại A;B sao cho diện tích 3

8

OAB

6) Cho hàm số y x= 3+mx+2 có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất

7) Cho hàm số y x= 3+3x2+m (1) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho · AOB= 120 0.

Trong ba chủ đề trên: định hướng ; mục đích ; phương pháp ra đề đã cô đọng rất rõ ràng do đó 8 ví dụ và 8 bài tập tạm gọi là đủ ,các đồng nghiệp có thể linh hoạt ra rất nhiều đề luyện tập kiểu này dễ dàng Tham khảo thêm ở phần đề kiểm tra

Tôi xin tăng cường ví dụ ở nội dung thứ tư : GTNN-GTLN

4)Chủ điểm:GTNN-GTLN

• Trong các đề thi Đại học Cao đẳng gần đây bài toán Tìm GTNN-GTLNcủa biểu thức chứa 2 hay 3 biến được sử dụng nhiều thậm chí có khi phải khảosát theo 1 biến các biến còn lại xem như hằng số ( do mối kiên kết các biếnkhông gắn với giả thiết theo qui luật định trước tương tự cách giải của hàmnhiều biến ở năm đầu đại học ) Việc dạy giải các bài tập này cho nhiều đốitượng là có khó khăn

• Ngoài các bài tập trong sách giáo khoa ta lần lượt đưa thêm các dạng bài tậpkiểu từ dễ đến khó như sau:

Ví dụ 9: Tìm GTLN-GTNN của a) 22 1

1

x x y

x x

− +

= + +

Lời giải a) Ngoài PP đạo hàm ta giới thiệu PP Miền Giá Trị

D = R gọi T là miền giá trị của y

y0 ∈T ⇔ 0 2

2

11

x x y

x x

− +

=+ + (1) có nghiệm đối với x

Biến hoá từ ví dụ trên ,ta có bài toán

Ví dụ 10: Cho x,y thực dương thỏa x2 + y2 = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Chú ý tính đẳng cấp của biểu thức nhiều ẩn thì có ngay ý tưởng giải

• Cho x,y là 2số thực thay đổi và thỏa x2 + y2 = 1

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức

2

2

2(x 6xy) P

1 2xy 2y

=

⊕Phương pháp ẩn phụ hay đổi biến từ các dạng toán phương trình được dùng

tương tự cho GTNN-GTLN như ví dụ sau :

Bài toán quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số

Ví dụ 11: Kiểu lượng giác

a) Tìm GTNN, GTLN y = cos 22 x − 4 3 sin cos x x + 2

VẤN ĐỀ HÀM NHIỀU BIẾN QUI VỀ 1 BIẾN

Tiến hành các dang bài tập từ đơn giản đến phức tạp từ 2 biến đến 3 biến để

mở rông đối tượng luyện tập

32

2

+

−

−+++

=

xy x

x y xy x P

)2(3

3)

2()2(

2

2 2

2

++

+

−

=+

−

−

−+

−+

−+

=

x x

x x x

x x

x x x

≥

≥

20

20

0

x y

x y

x

Bảng biến thiên

2 2

2 /

)1(

22

++

−

=

x x

x P

Xét hàm số f(x)= 1

1

− +

y + x ≥ + thì đơn giản hơn nhiều )

Cách giải khác Vì P > 0 với mọi x, y > 0 nên P đạt GTNN khi và chỉ khi

04

)(x+ y 2 ≥ xy > ⇒ <t = xy ≤ (quan trọng)

Chứng minh được hàm số f(t) nghịch biến trên đoạn  

f , từ đó có kết quả bài toán

Ta cũng có thể cho các em làm quen dần với biểu thức đối xứng và dựa vào giả thiết mà đổi biến là t = x+y hay t = xy khi ấy điều quan trọng là miền giá trị của biến t Các Bất đẳng thức thường dùng thương dung cho 2 biến

2 2

2 2 2

b a b

12

11

) 0 ,

0 ( a > b >

22

3 3 3

b a b

) (

1 )

( 2

xy

xy + +

/ = − = − <

t

t t t

y x xy y

x xy y

x

31

11

)(

3)(

11

1

3 3

−

=++

−

−

=++

=

Đặt

4

1 2

31

1)

3)

(

t t

0 ) (

.Bảng biến thiên

Suy ra 4 2 3

6

3 3

1

;3

33212

1



y x

Trở lại các đề thi của Bộ như cách minh hoạ kỹ thuật biến đổi thường gặp

P(t)

13

2

-7 1 Vậy

Ví dụ 18: ( ĐH Khối D – 2009 )Cho x≥ 0,y≥ 0 và x y+ = 1.Tìm giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :

4 4

++

++

=

y x

y x P

++

f P

−

⇔

=

)(26

260

)2(

61

t t

f , f( 6−2), f ( 1 ) ta được

6 2 6 ) 2 6

1(minP = f − =

Do đó Max P=4 đạt dược khi t= 2 hay x y+ = 2 và xy= 1 suy ra x= 1;y= 1

Ta có min P=0 khi t = 0 hay x= 0;y= 0

Ví dụ 21: (Kiểu tìm đk của t từ GT)Cho x y , > 0 thỏa mãn x2 + y2 + xy = 1 Tìm GTLN của biểu thức

1

xy P

x y

=+ +

min P min f (t) f (1) 2

đạt được khi (x;y)=(1;0) hoặc (0;1)

Bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa 3 biến

Tập cho học sinh làm quen mối quan hệ sau

Ba đại lượng: a + b + c, ab + bc + ca hoặc a 2 + b 2 + c 2 Và hằng đẳng thức (a + b + c) 2 =a 2 + b 2 + c 2 – 2ab – 2bc – 2ca

Tìm ĐK cho t ta thường dùng một trong các bất đẳng thức sau:

b a

1113

9

≤+

2 2

2 2

Từ BBT ta suy ra Q ≤ 5.Đẳng thức xãy ra khi (a b c là một hoán vị bất kì của bộ, , )

( 0;1;2 ) Vậy giá trị lớn nhất của Q là 5

a c

20

20

2

)2(

1)

(1

4

1)(1

b c

b

a c

Suy ra

Xột hàm số với 0 < b < 2

3 3

/

)2(

22

)(

b b

b f

−+

≥ f P

;1

+++++

Lời giải Đặt t = x + y + z ⇒

2

3)

(23

2

zx yz xy zx

yz xy

2

≤

≤

−+

t

t t f

Ta có '( ) = − 52 = 3 −2 5 > 0

t

t t t t

Suy ra f (t ) đồng biến trên [ 3, 3] Do đó .

3

14)3()(t ≤ f =

f

Dấu đẳng thức xảy ra khi

1

Ví dụ 28 : Cho các số đươngx , , y zthỏax + y + z ≤ 1Tìm GTLN của biểu thức

Lời giải Áp dụng BĐT Côsi, ta có

3)

1)(

1)(

x

541

2

+++

−+++

≤

z y x z

y x P

Đặt t = x + y + z + 1 > 1 3

)2(

)2(

542

)(

+

−

=

t t t

f với 1 < t

4 2

/

)2(

1622

)(

++

−

=

t t t

f ⇒ f /( t ) = 0 ⇔ t = 1 ; t = 4

Suy ra

4

1)4

0)(

c a a

b a a







≤+

−

≤+

−

c c ac a

b b ab a

Do đó

30

3

c b a

c b

a

ta có

3 2

≤ +

⇒ + +

Vậy GTLN P =12 khi a = 0 ; b = 1 ; c = 2 và các hoán vị

Ví dụ 30 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 3 Tìm GTLN

0< a≤b≤c⇒ ≤c <

Ta có = 3 ( 3 − c )2 + 3 c2 − 2 ( 3 − c ) ab

2 2

2

2)3(23

)3

−

2 2

2

2

3)3(23

)3(

−

2

272

Nhìn lại đề thi của Bộ

Ví dụ 31 : (khối B–2010) Cho các số thực không âm thỏa mãn a b c + + = 1 Tìm GTNN của biểu thức:

f (t) 12

Đẳng thức xảy ra khi x = 0 hay các hoán vị của bộ (0,0,1)

Ví dụ 32: Cho x y z, , ≥0 và x+y+z=1 Tìm GTNN của

Lập BBT ta có Min f(x)= 1

4 khi x=0 hay x=

13Vậy GTNN P=1

Vấn đề khảo sát hàm nhiều biến , chọn một tham số là biến

và cố định các tham số còn lại Đây là nội dung khó cũng chỉ nên xem là tập làm quen cho học sinh phổ thông chuẩn bị vào đại học

Bắt đầu từ bài toán sau

Ví dụ 33:

3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

(ĐH Khối A-2011) Cho ba số thực x y z, , ∈[ ]1; 4 và x y x z≥ , ≥ Tìm giá trị nhỏ nhất

a + + ≥ +

2 1

1 1

y z

x z

x y

z y

x

x P

+

+ +

≥ +

+ +

+ +

+ +

=

1

2 3

2

1 1

1 1

1 1

1 3

t P

+

+ +

≥

1

2 3

2 2

2

Xét hàm số

t t

t t f

+

+ +

=

1

2 3 2 )

2

) 1 ( ) 3 2 (

9 ) 1 2 ( 3 ) 3 4 ( 2 )

+ +

+

− +

−

−

=

t t

t t t

t t

y x

P P xy

x y x y x

Đặt t x

y

= , do x y x z≥ , ≥ và x y z, , ∈[ ]1; 4 nên 1 ≤ ≤t 2.Xét hàm ( ) 22 2

t y

Ngoài ra phương pháp tiếp tuyến hoc sinh cũng cần tiếp cận vì thực ra lý

thuyết không quá khó so với trình độ học sinh khá hay giỏi ở lớp 12 hiện nay;

• Lịch sử vấn đề :Tháng 12/2005, 1/2006, Tiến sĩ Kin – Yin Li (công tác tạiKhoa Toán ĐH khoa học và công nghệ Hồng Kông) đã viết một bài báo vớitiêu đề “ Using Tangent Lines to Prove Inequalities” trên tạp chí toán quốc

tế Mathematical Excalibur nhằm đưa ra một phương pháp chung hiệu quả để

giải quyết một lớp các bài toán về bất đẳng thức Ở Việt Nam có một số tác

giả như Nguyễn Tất Thu, Phạm Trọng Thư, đã viết chuyên đề này

Cơ sở lý thuyết :Phương pháp tiếp tuyến Cho hàm số f(x) liên tuc.có đạo hàm trên

D Tại điểm x0 ∈D ,tiếp tuyến với đồ thi hàm số có PT y=f’(x0)(x-x0)+f(x0) có thể

nằm phía trên hay phía dưới đồ thi ham số khi ấy ta có

x + + + =x x nx và dấu bằng xảy ra khi chúng bằng nhau Ý tưởng này có thể

mở rộng cho đồ thị của 2 đường cong tuỳ ý tiếp xúc nhau (để tim dấu bằng xảy ra khi nào)

Ví dụ 35: Ví dụ đơn giản sau tác giả nào cũng minh hoạ

(Hồng Kong,2005) Cho các số dương a b c d , , , thỏa mãn a b c d+ + + =1

4 ⇒f’(1

• Bất đẳng thức có dạng thuần nhất ,đối xứng 3 biến

Ta có thể đặt a + b + c = 3 (thuần nhất- nhân với số t>0 BĐT không đổi – nên có thể chuẩn hoá ) và dự đoán đẳng thức xảy khi a = b = c = 1

Bài toán mở rộng

Cho các số thực dương a, b, c thoả a2 + + = b2 c2 1 Tìm GTNN của biểu thức

− ,đi tìm y=mx2 + n mà đồ thio của hàm số sau nằm phía dưới đồ thi hàm số trước trên ( 0 ;1) và tiếp xúc tại x0= 1

3Điều kiện cần là hệ sau có nghiệm

2 2

Tù bài toán này ta lại phát triển thành bài toán

Cho các số thực dương a, b, c thoả a2 + + = b2 c2 1 Tìm GTNN của biểu thức

Dĩ nhiên theo trên thì 3 3 3 3 3

4) Tìm GTNN, GTLN của hàm số y = sin 4 x +cos 4 x +sinx.cosx +1

5) Cho x y, > 0 thỏa mãn x y+ ≥ 4 Tìm GTLNN của biểu thức

6) Cho x y, ∈ − [ 3;2] thỏa mãn x3 + y3 = 2 Tìm GTNN của P x= 2 + y2

7) Cho x y+ = 1 Tìm GTNN của biểu thức

a b c

a b c ab bc ca

12) (Khối A – 2009) Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn

x y

+ − +

=

− −

III KIỂM TRA:

Các bài toán trên tôi thường lồng ghép khi dạy ôn tập , ôn chương ,kiểm tra học kỳ, dạy tăng cường ,bồi dưỡng học sinh giỏi ,ra đề kiểm tra thi học sinh giỏi, đề thi thử đại học …Sau đây là một số đề kiểm tra đã thực hiện

2) Cho x,y,z là 3 số thực thay đổi và thỏa x2 + y2 + z2 = 3

Tìm GTNN của biểu thức P (x 2)(y 2)(z 2) = + + +

Đề 3:

1) Cho hàm số y x = 3− 3 mx2 + 3( m2 − 1) x m − ( 2 − 1) (m là tham số) (1)

Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có 2

hoành độ là 2 số đối nhau

2) Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn (x+y)3 + 4xy ≥ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = 3(x4 + y4 + x2 y2) – 2(x2 + y2) + 1

Đề 4:

1)Cho hàm số y x = 3 − 3 mx2 + 4 m3 (m là tham số) có đồ thị là (C )

Tìm các giá trị của m để (C m) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua

Tôi chỉ xin phép nêu tên một số học sinh đạt điểm >9 (hoặc giải được dạng câu 6 của đề thi đại học) các em này có được học các chuyên đề lồng ghép này củacác năm gần đây mà trường có thể kiểm tra kết quả như :Từ Hải , Nguyễn Anh Khoa (12A3)Nguyễn Lê Phương KhanhA2 Nguyễn Xuân HoaA1 Hồ Anh Phi

A2Nguyễn Thị Phương Linh ,Võ Chí Trung A8…

Đề 1: Câu 1 học sinh có thể phát hiện nghiệm hay sử dụng Vi-et cho đạo hàm đều

được Câu 2 đa số bẻ khoá đẳng cấp và có thể giải bằng nhiều cách

Đề 2: Câu 1 tương tự trên Câu 2 chỉ khoảng 70% làm được do qui về hơi khó

Đề 3: 80% học sinh làm được Câu 2 đa số thấy đặt t = x2 + y2

Điều kiện t là khó vì cần rút từ giả thiết x + y ≥ 1 ;giáo viên nên tập cho học sinh khai thác các loại giả thiết kiểu này vì cần cho việc giải hệ phương trình

Đề 4: Mục đích khảo sát cách tìm mối liên hệ giữa các biểu thức 3 ẩn do đã

hương dẫn mà học sinh thì trí nhớ tốt nên thành ra 90% học sinh hoàn thành khi khảo sát (Đặt t = x2 + y2 + z2 Xét hàm số

t t

t f

2

92

1)

( = − + )

IV KẾT LUẬN

Qua nhiều năm giảng dạy tôi cũng thừơng xuyên phải ra đề và hứong dẫnhọc sinh các phương pháp giải toán tuy nhiên đôi khi cũng trăn trỡ với những loạibài tập mà mình xem là quá tải Tuy nhiên đối với học sinh lớp 12 thì vấn đề tiếpcận với đề thi đại học là tất yếu Do đó vấn đề là dẫn dắt từ những ví dụ thích hợp

để nâng cao năng lực hiểu và giải các bài toán khó cũng là kinh nghiêm lý thú

Trong SKKN này tôi cố gắng đưa ra các ví dụ từ dễ đến khó tuy nhiên vănviết không diễn đạt hết ý tưởng và cũng khó chi tiết hoá kỹ thuật áp dụng bằngnhững lời giải thích vả lại năng lực về nhiều mặt còn khiếm khuyết chắc còn nhiềuthiếu sót rất mong đồng nghiệp trao đổi để bổ sung và hoàn thiện.Tôi sẽ cố gắngcho các chủ điểm khác trong một bài viết khác Với 68 đề bài trên có thể làm quíđồng nghiệp không hài lòng kính mong có sự lưọng thứ.Trân trọng cám ơn

Long khánh ,15 tháng 5 năm 2014

Người viết

Ngô Tấn Tuân