skkn một số kinh nghiệm giải bài toán hình học phẳng bằng phương pháp tọa độ thpt nội trú

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Người thực hiện: NGUYỄN PHI PHÚC Lĩnh vực nghiên cứu: Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học

MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị Trường PTDT nội trú tỉnh

Mã số:

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

Người thực hiện: NGUYỄN PHI PHÚC

Lĩnh vực nghiên cứu:

Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN Phương pháp giáo dục 

Lĩnh vực khác: 

Có đính kèm:

 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác

Năm học: 2013-2014

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên: NGUYỄN PHI PHÚC

2 Ngày tháng năm sinh: 01/01/1962

8 Đơn vị công tác: Trường PTDT nội trú tỉnh

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Thạc sĩ Toán

- Năm nhận bằng: 2006

- Chuyên ngành đào tạo: Giải tích

III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy học Toán

- Số năm có kinh nghiệm: 26 năm

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 0

Tên sáng kiến kinh nghiệm:

MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Hình học phẳng được giảng dạy cho học sinh ở chương trình trung học cơ

sở Phương pháp giải các bài toán hình học ở cấp hai chủ yếu là dùng các định lí,

hệ quả, tính chất hình học để suy luận Mà các đề thi học sinh giỏi THPT các cấphầu như đều có bài toán hình học phẳng mà phương pháp giải phải vận dụngnhiều kiến thức mà ở cấp học PTCS đã bị giảm tải, cũng như thời lượng để trang bịlại kiến thức về hình học phẳng cho các em học sinh THPT khá, giỏi để chuẩn bịcho các kỳ thi học sinh giỏi ở các trường THPT (không là trường chuyên) là rất ít,nên đã gây khó khăn cho các em học sinh, cũng như đội ngũ thầy, cô giáo bộ môntoán trong các trường Việc dùng phương pháp tổng hợp không phải là thế mạnhcủa các em Trong khi đó học sinh THPT thì đã được học các kiến thức về vectơ

và tọa độ Vậy tại sao không tìm tòi giúp các em học sinh vận dụng các kiếnthức vừa học để giải quyết một số bài toán hình học phẳng thay vì chỉ dùngphương pháp tổng hợp đã biết ở cấp hai Điều này giúp các em hứng thú hơn vàkích thích các em học sinh tìm tòi, đào sâu hơn là các em bị chán nản khi khôngthể giải quyết được bài toán hình học phẳng nào đó mà gặp phải

Giải bài toán hình học phẳng bằng phương pháp tọa độ không những cungcấp thêm cho học sinh một công cụ giải toán, mà còn giúp củng cố các kiến thức

về vectơ và tọa độ vừa học

Đề tài không có gì là mới đã có nhiều tác giả khai thác, nhưng qua nhiềunăm công tác giảng dạy bộ môn toán đã có một số kinh nghiệm mong muốn giúpcác em học sinh chủ yếu phân tích hướng giải quyết vấn đề chọn hệ trục thíchhợp, biết sử dụng, khai thác kiến thức đã học và biết định hướng để giải quyếtbài toán Từ đó mong muốn các học sinh có thể tự rút ra được một số kinhnghiệm cho bản thân trong quá trình giải toán

II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

2. Nội dung thực hiện

a) Một số kiến thức cần vận dụng có liên quan đến đề tài

- Đường thẳng chứa điểm M(a;b), có VTCP a (A;B) có phươngtrình là:

Phân tích lời giải:

Đây là bài toán minh họa điển hình cho ứng dụng phương pháp tọa

độ Bằng cách chọn hệ tọa độ thích hợp, cụ thể chọn ngay tại một góc vuôngnào đó trong bài (kể cả việc dựng thêm) sao cho việc tính toán các tọa độ

x

y

QM

C

A

P'B

I

NP

MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

điểm còn lại thuận lợi nhất Ở bài toán này ta khai thác tính chất đường phângiác trong AN

Chọn hệ trục như hình vẽ (N là gốc tọa độ)

Hướng giải quyết bài toán là chọn số tham số ban đầu vừa đủ cho cácđiểm để xác định tọa độ các điểm còn lại theo tham số đó Để chọn tham sốban đầu ta có 2 hướng lựa chọn là đặt trực tiếp tọa độ các điểm ban đầu sau

đó sử dụng các công thức, các tính chất để xác định các tọa độ điểm còn lạihoặc đặt tham số ở dạng phương trình đường thẳng sau đó xác định tọa độcác điểm theo cách xác định tọa độ giao điểm mà thực chất là giải hệphương trình bậc nhất 2 ẩn số

Hướng thứ 1: Nếu ta có phương trình AB (chứ 2 tham số) thì ta xác

định tọa độ A, P Từ đây ta xác định được phương trình PI nên xác địnhđược tọa độ I đến đây ta không thể xác định được tọa độ các điểm khác bằng

2 tham số trên Vì vậy ta tiếp tục chọn thêm tham số khác Vấn đề đặt ra làchọn thế nào là đủ, đến đây ta có các cách lựa chọn thêm 1 tham số nữa cụthể nếu tham số thứ 3 là hoành độ của B (hoặc C) thì ta xác định được tung

B (hoặc tung C) theo các tham số đã biết từ đó xác định phương trình của

BC nên xác định tọa độ của C (hoặc B) và tọa độ M, từ đây ta xác địnhphương trình AM nên xác định được tọa độ của Q, như vậy ta đã có lời giải

Để chọn tham số thứ 3 ta chọn tham số cho phương trình của BC (đi quagốc tọa độ và không trùng với Ox, Oy nên chỉ có một tham số) từ đây ta xácđịnh được tọa độ B, C, M, Q như vậy ta có thêm một lời giải khác

Hướng thứ 2: Nếu ta chọn 2 tham số cho tọa độ A và P (do A, P

thuộc các trục tọa độ) ta xác định được phương trình AB, PI , AC nên xácđịnh tọa độ I, tương tự như phân tích hướng 1 ta cần phải xác định tham sốthứ 3 hoặc chọn tham số cho B hoặc cho C hoặc cho phương trình BC ta cócác lời giải khác nữa

Với định hướng trên ta có các lời giải sau:

  và phương trình AC là: yax b (do AC đối

xứng với AB qua Ox)

Do PI AB nên phương trình của PI là: 1

y x b I(ab;0)a

Giả sử y cx là phương trình của BC

Giải hệ 2 phương trình AB, BC ta có: b bc

MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

vị thì giảm đi 1 tham số sẽ cho ta lời giải “dễ nhìn” hơn

Giả sử A 1;0 ; P 0;b nên AB có phương trình là:   

x y

1  b    

AC đối xứng AB qua Ox nên có phương trình là: y bx b 

PI chứa P vuông góc AB nên có phương trình là: 1  2 

y x b I b ;0b

Gọi H là trực tâm tam giác nhọn ABC Từ A kẽ 2 tiếp tuyến AP, AQđến đường tròn đường kính BC với P, Q là 2 tiếp điểm.

Chứng minh rằng: P, Q, H thẳng hàng

Phân tích lời giải:

Ta tìm lời giải bài toán trên bằng phương pháp tọa độ với sự khai tháckhác nhau để thấy sự phong phú của phương pháp

Việc chọn hệ trục của bài toán khác nhau cho ta lời giải khác nhau,tuy nhiên việc chọn tọa độ thích hợp nhất thì cho ta lời giải gọn và sáng sủahơn, nhưng ở bài toán này ta không đề cập đến việc chọn hệ trục khác nhau

mà ta quan tâm đến sự phân tích tìm lời giải khác nhau với kiến thức đã cótrong giáo trình cho một cách chọn hệ trục tọa độ

Cách 1

Theo yêu cầu của đề ta chỉ cần xác định tọa độ 3 điểm P, Q, H theomột số biến “vừa đủ” là xong, nhưng việc xác định tọa độ P, Q ở bài toán làphức tạp và tốn rất nhiều thời gian Ta xem có con đường nào ngắn hơntrong việc lập được phương trình của PQ mà không nhất thiết phải tìm tọa

độ “cụ thể” của PQ vì nếu xác định được phương trình của PQ ta chỉ cầnchứng minh H thuộc PQ là xong

Vấn đề đặt ra gợi ta có một bài toán quen thuộc ở hình học tọa độphẳng được phát biểu ở dạng bổ đề sau:

Bổ đề: Cho đường tròn có tâm I(a;b), bán kính R Gọi P, Q là 2 tiếpđiểm của đường tròn với 2 tiếp tuyến kẽ từ A(m,n) ngoài đường tròn Khi đóphương trình của đường thẳng PQ là:

m a x  n b y ma nb a     2b2 R2 0

Chứng minh:

Ta có phương trình của đường tròn là:

MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

Từ đây ta có lời giải sau:

Gọi O là trung điểm BC Chọn O là gốc hệ trục tọa độ, Ox chứa BC

Khi đó:

A m;n ; B c;0 ; C c;0 ; P p ;p ; Q q ;qNên: H m;h do H thuộc đường thẳng qua A vuông góc với Ox 

Nhận xét: H là trực tâm ( giao điểm 2 đường cao) nên tham số h tínhđược theo m, n, c vì còn yếu tố H thuộc cao thứ 2 của tam giác ABC Thậtvậy:

Tiếp theo ta xác định phương trình PQ theo các tham số m, n, c

Đường tròn đường kính BC có tâm O(0;0), bán kính R=c có phươngtrình là: x2 y2  c2 0 nên theo bổ đề trên phương trình đường thẳng PQlà:

2

mx ny c  0 (*) (áp dụng cho a=b=0, R=c)

Nhận xét: theo cách giải của bổ đề trên ta giải trực tiếp gọn hơn

Thay tọa độ của H vào phương trình (*) ta thấy thỏa mãn, tức là

H (PQ) Vậy ta có điều cần phải chứng minh

Cách 2

Với ý tưởng ta không cần tìm tọa độ của H theo m, n, c ta cũng chứngminh được H thuộc đường thẳng PQ theo kiến thức phương trình chùmđường thẳng đi qua một điểm Thật vậy ta có lời giải như sau:

Với ý tưởng làm giảm tham số không mất tính tổng quát ta có thể

chọn độ dài OC=1 đơn vị cho ta lời giải “dễ nhìn” hơn

Chọn hệ trục như trên Khi đó:

A m;n ; B 1;0 ; C 1;0 ; P p ;p ; Q q ;qĐường tròn đường kính BC có tâm O(0;0), bán kính R=1 có phương trìnhlà: x2 y2 1 Do P, Q thuộc đường tròn nên ta có:

  có tọa độ thỏa (3) suy ra đcpcm

Bài toán 3 (Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Quốc gia năm 2011)

Trong mặt phẳng, cho đường tròn (O) đường kính AB Xét điểm P di độngtrên tiếp tuyến tại B của (O) sao cho P không trùng với B Đường thẳng PAcắt (O) tại điểm thứ hai C Gọi D là điểm đối xứng với C qua O Đườngthẳng PD cắt (O) tại điểm thứ hai E

M C

A

P

E

MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

a) Chứng minh rằng các đường thẳng AE, BC, PO cùng đi qua một

điểm, gọi là M

b) Hãy xác định vị trí của điểm P sao cho tam giác ABM có diện tích lớn nhất Tính giá trị lớn nhất đó theo bán kính của đường tròn (O)

Phân tích lời giải:

Đây là bài toán có cấu trúc chọn hệ trục tọa độ cơ bản và ta có “cảmgiác” xác định tọa độ dễ dàng do số tham số không lớn và phương trìnhđường tròn, phương trình đường thẳng dễ dàng xác định, đồng thời tìm điểmthứ 2 của đường thẳng và đường tròn khi biết tọa độ điểm thứ nhất, nhưngkhi tìm lời giải theo hướng trên thì tìm tọa độ các điểm theo “cấu trúc” bìnhthường thì hết sức phức tạp, cồng kềnh Để khắc phục điều này ta nên theohướng các định các điểm đó bằng hệ 2 phương trình đường thẳng và vậndụng kiến thức phương trình chùm đường thẳng đi qua một điểm Thật vậy

ta có lời giải như sau:

nên phương trình (OP): mx - Ry=0 (2)

Do AP BC nên phương trình (BC): 2R(x-R) + my=0 (3)

m38mR2 x R   8R y m3   0  m38mR x 8R y Rm2  3  3 0 (4)

là E tức là giao điểm này thuộc đường tròn (O) 3 con đường này việc giải

hệ và chứng minh cồng kềnh, phức tạp tốn nhiều thời gian nên gợi ta xem Ethuộc một đường thẳng nào đó khác mà việc xác định phương trình gọngàng hơn, từ hướng này gợi ta xác định phương trình đường thẳng (BF) với

F AM (O) và chứng minh F DB là xong Ta có lời giải tiếp như sau:

MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

m2 4R2 x R  2mRy 0

Tọa độ F là nghiệm của hệ 2 phương trình (5) và (6)

Do m 0 ta nhân phương trình (5) cho 2R và nhân phương trình (6)cho m rồi cộng lại ta thu được phương trình (4)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m  2R

Vậy, tam giác ABM có diện tích lớn nhất khi và chỉ P nằm cách B một

khoảng bằng 2R (có hai vị trí như vậy) Khi đó

2

ABM

RS

Chọn hệ trục như trên Khi đó:

Tọa độ F là nghiệm của hệ 2 phương trình (5) và (6)

Do m 0 ta nhân phương trình (5) cho 2 và nhân phương trình (6)cho m rồi cộng lại ta thu được phương trình (4)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m  2

Vậy, tam giác ABM có diện tích lớn nhất khi và chỉ P nằm cách Bmột khoảng bằng 2 đơn vị độ dài hay P nằm cách B một khoảng bằng 2

R Khi đó ABM

1S

y

O2O

B

A

O1

FE

MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

Bài toán 4 (Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh K10 tỉnh Đồng Nai năm

2013)

Trong mặt phẳng, cho đường tròn (O1) tâm O1 và đường tròn (O2) tâm

O2 (O1) cắt (O2) tại 2 điểm A, B Vẽ tiếp tuyến chung (d) của (O1) và (O2).Biết A và C nằm khác phía đối (O1O2) Vẽ đường thẳng qua A song songvới (d) lần lượt cắt các đường thẳng BD và BC tương ứng tại E và F Chứngminh rằng AE=AF

Phân tích lời giải:

Đây là bài toán sử dụng phương pháp tọa độ có độ khó cao do sốtham số trong bài toán lớn, tuy nhiên nếu chọn hệ trục tọa độ thích hợp đểkhai thác vai trò của các điểm như nhau trong bài toán thì việc xác định tọa

độ các điểm ít tốn thời gian hơn Thật vậy, nếu ta chọn CD trùng Ox, CO1trùng Oy ta vẫn xác định được tọa độ các điểm nhưng việc xác định tọa độrất phức tạp, nhưng nếu ta chọn O1O2 trùng Ox và AB trùng với Oy thì vaitrò của C, D giống nhau và E, F giống nhau,

Ta có lời giải như sau:

2 2 2

m

1n

n a1

Vậy (*) đúng, suy ra điều cần phải chứng minh

Lưu ý: ta chọn a=1 lời giải gọn hơn do giảm thêm 1 tham số

Bài toán 5 (Vô địch Bungari 1981)

C

EA

MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

Đường phân giác trong và ngoài tại đỉnh C của tam giác ABC cắt ABlần lượt tại E và D Chứng minh rằng nếu CD = CE thì CB 2 + AC 2 =4R2 ( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

Phân tích lời giải:

Bài toán trên ta cần khai thác tính chất vuông góc của 2 đường phângiác xuất phát từ một đỉnh của tam giác và tỷ số chia của E, D đối với đoạn

AB, dựa vào yếu tố của bài toán ta có 2 cách chọn hệ trục tọa độ thuận lợi.Một là gốc C, hai là gốc O trung điểm ED

Cách 1.

Do CD = CE nên tam giác CDE vuông cân tại C Gọi O là trung điểm

ED nên các tam giác OCD, OCE đều vuông cân tại O

Chọn hệ trục Oxy với C thuộc trục tung Khi đó:

+) Nếu ta xác định tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giácABC thì ta xác định được R, mà xác định tâm I ta lại có các hướng đi kháccho ta các cách giải khác Thật vậy:

Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì I là giaođiểm 2 đường trung trực của tam giác ABC.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, AC

Từ (1) và (2) ta có điều cần phải chứng minh

+) Nếu ta vận dụng hệ thức lượng trong tam giác thì ta cũng được lờigiải khác gọn hơn Thật vậy:

MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

2 2

Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì I là giao

điểm 2 đường trung trực của tam giác ABC

Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, AC

Như phân tích trên, chọn gốc hệ trục là C, E thuộc Ox, D thuộc Oy

CE bằng 1 đơn vị độ dài Khi đó ta có: C 0;0 ; D 0;1 ; E 1;0 (b 1)      

(AB) : x y 1 A(a;1 a); B(b;1 b)

a

b2a 1

 (do a b )

2 2

2

2 2a 2a 12a 2a 1

Để tính R ta có nhiều hướng như đã phân tích ở trên, chẳng hạn ta sửdụng hệ thức tam giác

Gọi I là trung điểm ED thì CI vuông góc AB và I 1 1; IC2 1

2

(2) 2

III HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

Sáng kiến kinh nghiệm này là những nội dung tôi đã vận dụng dạy bồidưỡng cho các học sinh trong đội tuyển toán dự thi cấp tỉnh Đã giúp các emhọc sinh có nhiều hứng thú hơn trong việc giải một số bài tập hình học phẳng

và các em học sinh tiếp thu rất tốt biết vận dụng để giải quyết bài toán hìnhhọc phẳng bằng phương pháp tọa độ

IV ĐỀ XUẤT, KIẾN NGHỊ VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

Đề tài là tài liệu tham khảo để giáo viên dạy toán và học sinh tham

khảo Sau khi được thẩm định của hội đồng khoa học của Sở Giáo dục và

Đào tạo thẩm định đề nghị được chia sẻ dưới mọi hình thức với học sinh và đồng nghiệp

V TÀI LIỆU THAM KHẢO:

Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Thành phố Hồ ChíMinh 8/2011

NGƯỜI THỰC HIỆN

MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

Họ và tên tác giả: NGUYỄN PHI PHÚC Chức vụ: HIỆU TRƯỞNG

Đơn vị: TRƯỜNG PTDT NỘI TRÚ TỈNH

Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác)

- Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: 

- Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác: …… Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành 

- Đề ra giải pháp thay thế hoàn toàn mới, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn 

-Đề ra giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn 

- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình, nay tác giả

tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị 

- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao 

- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao

- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả cao 

- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả 

- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình, nay tác giả

tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị 

TRƯỜNG PTDT NỘI TRÚ TỈNH

–––––––––––

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ––––––––––––––––––––––––

Trảng Bom, ngày 20 tháng 5 năm 2014