skkn học sinh có được một hướng đi đúng đắn khi giải hệ phương trình

III/ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI :+ Xây dựng được hệ thống các dấu hiệu dùng để nhận biết phương pháp giải hệphương trình bằng phương pháp thế.Tập hợp các bài tập về giải hệ phương trìnhb

PHẦN 1 : MỞ ĐẦU

I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :

Hệ phương trình hai ẩn không chứa căn thức là một nội dung cơ bản trongchương trình đại số, mà học sinh được học ở lớp 10 Để giải loại toán này họcsinh phải có kiến thức tổng hợp, khả năng phán đoán tốt Thực sự đây là loạitoán rèn luyện được nhiều phẩm chất tư duy cho học sinh Bởi vậy các bài toán

về hệ phương trình thường xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh đại học, các kỳthi chọn học sinh giỏi Qua kinh nghiệm nhiều năm dạy học, chúng tôi thấy họcsinh thường dễ mất “phương hướng” khi giải hệ phương trình Bởi vậy làm sao

để học sinh có được một hướng đi đúng đắn khi giải hệ phương trình Đó làđiều mong mỏi của chúng tôi và các em học sinh Với những kinh nghiệm cóđược trong thời gian dạy học Chúng tôi chọn đề tài này để đáp ứng phần nàoyêu cầu đó

II/ THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI :

+ Số tiết luyện tập ít nên rèn luyện kĩ năng nâng cao là không thực hiện được

+ Thực tế bài giải hệ phương trình lại yêu cầu khó, đa dạng , đòi hỏi có nhiều kỉnăng , kỉ xảo bởi vậy học sinh phải được luyện tập nhiều

+ Số lượng bài tập tham khảo không đầy đủ và đồng bộ

+ Thiếu các dấu hiệu nhận biết cách giải một cách rõ ràng và đầy đủ

III/ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI :

+ Xây dựng được hệ thống các dấu hiệu dùng để nhận biết phương pháp giải hệphương trình bằng phương pháp thế.Tập hợp các bài tập về giải hệ phương trìnhbằng phương pháp thế có hệ thống để học sinh luyện tập và các đồng nghiệptham khảo

+ Góp phần giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức , hứng thú trong họctập từ đó vận dụng để giải tốt các bài tập về hệ phương trình, đạt được các kếtquả cao trong các kỳ thi vào đại học, thi chọn học sinh giỏi

IV/ ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU :

1 Đối tượng nghiên cứu : Học sinh THPT

2 Phương pháp nghiên cứu

+ Nghiên cứu qua tài liệu

+ Trao đổi với đồng nghiệp

+ Tiến hành thực nghiệm đối với học sinh

PHẦN 2 : NỘI DUNG I/ CƠ SỞ LÝ LUẬN :

1 Vị trí của môn toán trong nhà trường

Môn Toán là môn học có vai trò đặc biệt quan trọng trong nhà trường phổ thông

Là môn học có tác động đến hầu hết các môn học khác Môn Toán có tác động rấtlớn đến việc đào tạo các phẩm chất tốt cho người lao động sau này

2 Đặc điểm tâm sinh lý của học sinh

Ở tuổi THPT học sinh rất hiếu động và thích tiếp thu cái mới, cái “chân lý” Bởivậy gắn việc học với việc tìm tòi lời giải là quá trình giúp cho học sinh khámphá, tìm tòi, sáng tạo Bởi vậy dạy học bằng cách “lấy học sinh làm trung tâm”

và người thầy đóng vai trò tổ chức, hướng dẫn học sinh tìm tòi, khám phá trithức là nhiệm vụ của người thầy giáo

II/ CƠ SỞ THỰC TIỄN :

Để học sinh tiếp thu bài học một cách hứng thú, có hiệu quả Rõ ràng không thể

áp đặt rồi bắt học sinh cứ áp dụng máy móc Chìa khóa là hướng học sinh tìm tòi

để tìm được hướng đi cho lời giải, đó là chất “men” để học sinh có hứng thú khihọc bài Thế nhưng dựa vào đâu để tìm tòi? Theo tôi đó là dấu hiệu của mỗiphương pháp Chúng ta phải làm cho học sinh tiếp cận được với những dấu hiệu

đó Để phát hiện ra các dấu hiệu theo chúng tôi

- Phân tích mỗi phương trình để thấy được mối liên hệ giữa các ẩn

- Phân tích mỗi phương trình để tìm thấy nét đặc biệt trong các phương trình-Trả lời được câu hỏi định hướng của lời giải là gì ?

III/ NỘI DUNG THỰC HIỆN :

1 Một số phép biến đổi tương đương của hệ phương trình

1.1 Hệ haiphương trình tương đương

Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm

1.2 Một số định lý

* Định lý 1 :

- Nếu thay một phương trình của hệ bởi một phương trình tương đương thì

ta được một hệ phương trình tương đương

Nếu y 0, (2) x y22y5

Hệ phương trình

2 5 2

y y

y y

4 24 2 25 0

y y

Chú ý : Khi giải hệ PT để khỏi mất nghiệm hoặc xuất hiện nghiệm ngoại

lai, cần chú ý :

+ Nếu chia hai vế PT cho một biểu thức thì biểu thức đó phải khác khôngtrong điều kiện của hệ

+ Khi nâng cả hai vế của PT với lũy thừa bậc chẵn hoặc nhân cả hai vế của

PT với một biểu thức chứa ẩn thì cần thử lại nghiệm để loại nghiệm ngoạilai

2 Các dấu hiệu và phương pháp tìm tòi lời giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

Định hướng ban đầu là các dấu hiệu để nhận biết cách giải Bởi vậy trongquá trình dạy học sinh cách giải hệ phương trình, chúng tôi xây dựng bộ “tiêuchí” sau đây dùng để giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

* Dấu hiệu 1 : Có 1 phương trình có ẩn là bậc nhất.

Phương pháp : Rút ẩn là bậc nhất từ PT này rồi thế vào PT kia rồi giải PT

Tìm tòi lời giải :

Phương trình (1) là phương trình có ẩn y là bậc nhất Từ PT (1) ta rút được

y theo x thế vào (2) ta được PT một ẩn là x

Tìm tòi lời giải :

Phương trình (1) là phương trình bậc nhất với y Từ pt (1) rút được y theo x

Tìm tòi lời giải :

Từ PT (2) ta phát hiện được y là bậc nhất Vậy (2) ta rút được y theo x

Dấu hiệu có 1 PT có ẩn là bậc nhất chỉ là điều kiện có tính tương đối thôi.Mặc dù rút ra được nhưng còn tùy thuộc vào có giải ra PT sau khi thế vào haykhông Bởi vậy vẫn có nhiều hệ mặc dù rút ra được ẩn này theo ẩn kia nhưngvẫn không dùng được phương pháp thế Cần phải làm rõ điều này đối với họcsinh

Ví dụ như giải hệ phương trình :

Dấu hiệu 2 : Nếu đổi vị trí các ẩn cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia.

Phương pháp : Lấy hai phương trình trừ nhau được một phương trình có

Tìm tòi lời giải :

Thay x và y cho nhau thì phương trình (1) trở thành phương trình (2) vàngược lại lấy (1) trừ (2) ta được phương trình tích :

Chú ý : Hệ phương trình nói trên là hệ phương trình đối xứng loại 2 :

Ví dụ 5 : Giải hệ phương trình sau :

(Đề thi học sinh giỏi TP.HCM – 2005)

Tìm tòi lời giải :

Hệ phương trình trên là hệ đối xứng loại 2 Lấy phương trình (1) trừ PT (2)

Lời giải :

(1) – (2) có (x-y) (8x + 8y + 9) = 0

8 9 8

( (2) (1)

Tìm tòi lời giải :

Hệ phương trình là hệ đối xứng loại 2 : Lấy (1) trừ (2) để phương trình tích

(3)

(4)

44

Ví dụ 7: Giải hệ phương trình sau :

Tìm tòi lời giải :

Ta thấy phương trình (1) là phương trình bậc hai với biến x, giải phươngtrình (1) để rút x theo y

Tìm tòi lời giải :

(1) và (2) đều là các phương trình bậc 2 đối với x và y Nếu giải PT (1) thìnghiệm còn chứa căn bậc hai Nếu giải PT (2) với ẩn y, ta có :

(1)

(2) (1)

Nghiệm hệ là

4 5

Tìm tòi lời giải :

(1)  y2  (x 3)y 2x2  6x 4 0  là phương trình bậc hai đối với y

Nghiệm hệ là

13 4

3 ( 14) 15 3 03( ); x

Tìm tòi lời giải :

Các phương trình (1) và (2) đều được coi là phương trình bậc 2 đối với xhoặc y, nhưng khi giải ra thì nghiệm được biểu thị dưới dạng căn bậc 2.Điều này không giáp ta dùng phương pháp thế được, bởi lẽ phương trìnhmới còn chưa căn Nếu nhân phương trình (2) với 2 rồi cộng với phươngtrình (1) ta có : (x +2y)2 + 3(x+2y) + 2 = 0 thì ta được phương trình bậc 2

Với y = 2x, thay vào (1) có x = -1

2

y

  vậy (-1;-2) là nghiệm của hệ phương trình

Với x = 2y, thay vào (1) có y = 1

Tìm tòi lời giải :

Nhân phương trình (1) với 5 và phương trình (2) với 9 rồi trừ cho nhau cóphương trình đẳng cấp là : 4x2  26xy30y2 0

(2) (1)

(1)

Tìm tòi lời giải :

Điều kiện phương trình là x > 0

2

2 2

Ví dụ 17 :Giải hệ phương trình sau :

Tìm tòi lời giải :

Từ (1) và (2) nếu triệt tiêu các số hạng, tự do ta được một phương trìnhđẳng cấp cấp 3 đối với x và y

Lời giải :

(1) (2)

(1) (2)

Khi x = 2y thay vào (1) có x = 2; y = 1

Khi y = 2x thay vào (1) có x = -1; y = -2

(Đề thi học sinh giỏi lớp 12 - Đồng Nai)

Tìm tòi lời giải :

Dễ dàng nhận thấy nếu cộng (1) với (2) ta được một phương trình dạngtích Bởi vậy ta có lời giải như sau :

(3) + (4) lập mối liên hệ giữa 3x và 7 y

Điều này mở ra một sự liên hệ x và y

Từ đó có lời giải như sau :

(2) (1)

(2) (1)

11

Tìm tòi lời giải :

Điều kiện phương trình là x-1>0

Ví dụ24 : Giải hệ phương trình sau

Tìm tòi lời giải :

Nhân phương trình (2) với 3 rồi lấy (1) trừ đi kết quả sau khi nhân ta xuấthiện lũy thừa 3 Tại sao lại nhận phương trình (2) với 3 ? Do ta liên kết (1)

(2) (1)

(Đề thi HSG Quốc gia – 2010)

H.D : Nhân phương trình (2) với – 8 rồi cộng với (1) được (x-2)4=(y-4)4

(3) (4)

Khi có một phương trình của hệ có dạng nói trên , đó là dấu hiệu để dùngtính chất đơn điệu của hàm số vào giải hệ phương trình Để thấy được dấuhiệu đó cần rèn luyện cho các em tìm mối liên hệ giữa các biến

Phương pháp : tìm điều kiện của hệ phương trình

Phát hiện hàm đặc trưng f(t) là hàm đơn điệu trên một khoảng của tập xácđịnh của hệ

Ví dụ 26 : Giải hệ phương trình sau

2 2

Tìm tòi lời giải

Từ (1) đã xuất hiện f(u) = f(v) Đó là dấu hiệu cho thấy bài toán sẽ giải(u)=f(v)bằng phương pháp dung tính đơn điệu của hàm số

Lời giải :

Điều kiện của hệ là x 0 và y0 Xét hàm đặc trưng f(t)= t + 2

1 1

t 

f’(t) = 1- 2 2

2 ( 1)

t t t

t t

(1) (2)

Tìm tòi lời giải

Nếu chuyển x,y qua mỗi vế, do có sự “đồng dạng” của 2 x và 2y 1

nếu coi u=2-x , v= 2y-1 ta dự đoán (1) có dạng f(u)=f(v) Để chuyển vếtrái về 2-x và vế phải về 2y-1, biến đổi ta có :

Tìm tòi lời giải

Với điều kiện của hệ là x>0 và y>0 Phương trình (1) được viết lại :

t > 0 với t > 0  f(t) đồng biến với mọi t > 0

Do đó x = y Thế vào (2) có x= 2 và y = 2

Hệ có nghiệm là ( 2; 2)

Ví dụ 29 : Giải hệ phương trình sau

(1) (2)

x  y Đây là dấu hiệu của phương

pháp dung tính đơn điệu Hàm đặc trưng là f(t) =

sin

t

e t

Tìm tòi lời giải

Để cân bằng lũy thừa cả hai vế ,chuyển vế phải về lũy thừa 5 bằng cách chia phương trình cho y5, ta có : ( x) 3 x y5 y

y  y   (*) Ta có dấu hiệuf(u)=f(v)

(1) (2)

Xét y 0 , (1) ( )x 5 x y5 y

    (*) Xét f(t) = t5+t có f’(t) = 5t4+1 > 0Vậy f(t) đồng biến t, kết hợp với (*) ta có x=y2 T hế vào (2) có :

Tìm tòi lời giải

Điều kiện của hệ là : x 0 Từ (2)  y 0. Để cô lập x,y về mỗi vế ta cần

“ giải phóng ’’ x2ra khỏi biểu thức chứa y ở (2) bằng cách chia (2) cho x2

(1) (2)

Tìm tòi lời giải

Trục căn dưới mẫu của (1) , có 3xy(1+ 9y 2 1)= x  1 x Chia phươngtrình cho x để cô lập x , y về mỗi vế , ta có :

3y + 3y 2 1 1 1 2

    Đến đây phương trình có dạngf(u)=f(v) là dấu hiệu để áp dụng tính đơn điệu của hàm số

2

1

t t

Tìm tòi lời giải

Phương trình (2) đã có dấu hiệu về f(u)=f(v), dự đoán v=y+1 Vậy y2sẽ làthừa Do đó làm mất y2là một suy luận có lý Theo hướng đi đó sau khikhử mất y2ta có : x  2 x (y 1) 2   2 (y 1) 2

Lời giải.

Điều kiện: x 0;y 0

(1) (2)

Từ (1) 2

   Thế vào (2) ta có x  2 x  (y 1) 2   2 (y 1) 2Đặt f(t) = t  2 t với t 0 1 1

Ví dụ 35 : Giải hệ phương trình sau

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Bắc Giang 2013-2014

Tìm tòi lời giải

Từ phương trình (1) ta có dự đoán u=x -1 và v= y +2 Khi đó (1) đượcviết lại :2(x-1)2+2(x-1) (x 1) 2   1 x2  4x 2=2(y+2) (y 2) 2  1 Vậy vế trái dư ra lượng x2-4x-2 trong khi vế phải lại thiếu 2y2+8x+8 bởi vậy từ(2) thay 2 2

(1) (2)

2)Cần nhấn mạnh cho các em chú ý đến điều kiện của tính đơn điệu hàm

số trên một khoảng Ví dụ qua bài toán sau đây

Giải hệ phương trình sau

(1) (2)

(1)

(2)

HD: Lấy hai phương trình trừ cho nhau ĐS: (-1;-2) và (5 2; )

IV/ Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm và đề xuất hướng phát triển

Trong chương trình với thời gian ít ỏi, cơ bản là định hướng tổng quát.Thực tế khi giải hệ phương trình các em phải có phương pháp chi tiết, rõràng, có định hướng cụ thể Trước khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm các

em học sinh thường lúng túng, mất tự tin

Sau khi các em được tiếp thu 6 dấu hiệu nói trên với 35 ví dụ và 44 bài tập

luyện tập, phần nào các em đã tự tin hơn và chủ động trong khi giải các hệphương trình bằng phương pháp thế Cũng phải nói rằng để giải hệphương trình cần có thêm nhiều phương pháp nữa Chúng tôi sẽ đề cập đếncác phương pháp đó thành một chuyên đề hoàn chỉnh về giải hệ phươngtrình Sau đây là một số kết quả thu được khi cho các em áp dụng sángkiến này

- Học sinh tự tin , chủ động biết cách phân tích bái toán và hiệu quả nânglên rõ rệt

- Số học sinh làm được bài tập nhiều hơn hẳn Cho dù kết quả mới chỉ làbước đầu nhưng với trách nhiệm của người thầy chúng tôi cũng khấn khởikhi thấy công việc của mình bước đầu có kết quả

- Với các đồng nghiệp chúng tôi tin rằng qua đây chúng ta bày tỏ, trao đổi

và xây dựng thêm các dấu hiệu mới để các học sinh của chúng ta có kếtquả tốt hơn trên con đường học vấn

Để giải quyết trọn vẹn về giải hệ phương trình là cả vấn đề lớn Bởi vậychuyên đề này sẽ tiếp tục ý tưởng đó với các phương pháp như phươngpháp đặt ẩn phụ , phương pháp đánh giá , phương pháp hình học và kể cảphương pháp số phức và được mở rộng cho hệ nhiều ẩn

V Bài học kinh nghiệm :

Với thời gian hơn 30 năm trực tiếp giảng dạy Tuy nhiên thông qua đề tàinày tôi rút ra được thêm một số kinh nghiệm sau :

- Các em học sinh thường lúng túng khi không biết bắt đầu từ đâu khi phảigiải một số bài toán Vậy bản thân người thầy phải hướng dẫn học sinh đitìm lời giải bài toán, Các phương pháp để tìm tòi lời giải là

 Phân tích các giả thiết

 Phân tích để thấy được cái đặc biệt ở chỗ nào ? Các mối liên hệ trong bàitoán ra sao ?

 Chuyển hóa nội dung bài toán

 Chuyển hóa hình thức bài toán

 Chuyển hóa công cụ để giải toán

- Trước khi học sinh làm bài, cần phải

 Xác định được thể loại bài toán

 Vạch được hướng giải quyết

 Tìm được phương pháp thích hợp

VI Kết luận :

Dạy học là quá trình mà người thầy phải vừa “dạy” vừa “học” Viết sángkiến kinh nghiệm vừa là dạy nhưng cũng là học Ngoài mục đích góp phầngiúp đỡ cho học sinh học tốt hơn còn là chỗ người thầy “học” được nhiềuhơn Tôi nghĩ rằng nhiệt tình thôi chưa đủ, mặc dù đã rất nhiều cố gắngnhưng kiến thức chẳng có tận cùng Tôi xin nhận được nhiều ý kiến đónggóp từ các đồng nghiệp, các em học sinh để sáng kiến này được hoàn thiệnhơn

Đối với học sinh, nếu xây dựng được cho các em các phương pháp cụ thể

và phù hợp với từng đối tượng thì các em vững tin hơn và từ đó các em sẽchủ động học toán, hứng thú và say mê học Toán

Long Khánh, ngày 10 tháng 02 năm 2014

Người thực hiện

Hà Lê Anh

VII Tài liệu tham khảo :

1) SGK Đại số 10 - NXB Giáo dục năm 2007

2) Đại số - Tác giả Nguyễn Thành Long

3) Phương trình, hệ phương trình – tác giả Nguyễn Tài Chung4) Báo Toán học và Tuổi trẻ

5) Một số bài tập trên mạng Internet

Mục lục

Phần 1 : Mở đầu

I Lý do chọn đề tài

II Mục đích nghiên cứu của đề tài

III Đối tượng và phương pháp nghiên cứu

Phần 2 : Nội dung

I Cơ sở lý luận

II Cơ sở thực tiễn

III Nội dung thực hiện

1 Một số phép biến đổi tương đương

2 Các dấu hiệu và tìm tòi lời giải

2.1 Dấu hiệu 1 : Có phương trình có ẩn là bậc nhất2.2 Dấu hiệu 2 : Hệ phương trình đối xứng loại 22.3 Dấu hiệu 3 : Có phương trình có ẩn là bậc hai2.4 Dấu hiệu 4 : Có phương trình dạy đẳng cấp2.5 Dấu hiệu 5 : Có các hằng đẳng thức

2.6 Dấu hiệu 6 : Có phương trình dạng f(u) = f(v)

IV Hiệu quả của sáng kiến

V Rút kinh nghiệm

VI Kết luận

PHIẾU CHẤM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMTên đề tài : Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn

bằng phương pháp thế

Họ và tên người viết : Hà Lê Anh

Đơn vị : Trường THPT LONG KHÁNH

Tổ chuyên môn : Toán

pháp luật của Đảng,Nhà nước và ngành GD

4 Tính

Thực

Tiển

4.1 Các giải pháp SKKN đưa ra phù hợp với

chuyên môn nghiệp vụ, có giá trị thúc đẩy phát triển nghề nghiệp đồng nghiệp , nâng cao chất lượng GD và hiệu quả đào tạo Phùhợp với nghành và đơn vị