skkn hàng điểm điều hòa và các ứng dụng

*Nhận xét: Định lí này rất có ý nghĩa đối với các bài toán chứng minh trung điểm và song song... M,N,P,Q lần lượt là các tiếp điểm của AB,BC,CD,DA với đường tròn; khi đó ta có MP,NQ,AC

Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 1

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CÁ NHÂN:

1 Họ và tên: Đậu Thế Tâm

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH

Mã số:

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN

 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác

Năm học: 2013 - 2014

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CÁ NHÂN:

Họ và tên: Đậu Thế Tâm

Ngày tháng năm sinh: 21 - 03 – 1974

Chức vụ: P Hiệu trưởng

Đơn vị công tác: Trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

Trình độ: Thạc sĩ

Tốt nghiệp: 2003

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

Giảng dạy 19 năm

Chuyên đề trong những năm gần đây:

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Hình học phẳng là nội dung u n trọng trong các k thi học sinh gi i cấp T nh cấp uốc gi các bài tập c ng thường s dụng đến các định lý hàng đi m điều h Ch nh vì lý

do đ mà ch ng tôi muốn đi sâu vào chuyên đề này

II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

Cơ sở lý luận

Hình học phẳng là nội dung u n trọng trong chương trình giảng dạy cho l p 10 Trong giảng dạy b i dư ng học sinh gi i nhất là H dự thi uốc gi thì đề thi về hình học phẳng này hầu như không thiếu trong các k thi hàng năm M t khác nội đề thi

H Q Quốc tế thì những vấn đề trong nâng c o khối 10 11 12 thực tế không đáp ứng n i k cả về kiến thức cả về thời gi n thực hiện Vì vậy nghiên cứu sâu về hình học phẳng là một việc làm cần thiết trong việc chu n bị kiến thức k năng cho việc b i dư ng HSGQG

III NỘI DUNG

 (ABCD) = 1 - (ACBD) = 1- (DBCA)

 Nếu (ABCD) = (ABCD’) thì D trùng D’

 (ABCD) khác 1

3 Hàng điểm điều hòa:

 Định nghĩa 1: Nếu (ABCD) = -1 thì A B C D, , , là một hàng đi m điều h

Hệ thức này và định nghĩa là hai dấu hiệu phổ biến nhất để chứng minh 4 điểm là một hàng điểm điều hòa

- J trung đi m CD từ hệ thức (Descartes) t c : AC AD AB AJ (Maclaurin)

Vấn đề đ chứng t một hàng đi m là điều h xem như đã được giải uyết vậy khi

đã c một hàng đi m điều h r i thì t thu được gì? Câu h i này sẽ được giải đáp u h i định l u n trọng s u:

Định lí 3.1: Cho (ABCD)   1 Lấy O s o cho OC là phân giác trong củ AOB thì OD là phân giác ngoài củ AOB

D A

O

B C

TB KA FC  (2)

Nhân (1) và (2) vế theo vế suy r : TB EB

TC  EC Theo định nghĩ thì (TEBC)   1

Định lí 3.3: Từ đi m nằm ngoài đường tr n (O) kẻ các tiếp tuyến A B (A B là các

tiếp đi m) Một đường thẳng u cắt (O) tại M N ọi I là gi o đi m củ AB và MN

hi đ ( IMN) = -1

Định lí 3.4: Cho (ABCD)   1 và đi m O nằm ngoài hàng đi m điều h trên Một đường thẳng d cắt b ti OC OB OD lần lượt tại E I và F hi đ I là trung đi m củ EF khi và

ch khi d song song v i OA

*Nhận xét: Định lí này rất có ý nghĩa đối với các bài toán chứng minh trung điểm và song

song

I F

E B C

O

D A

Định lí 4.1: Cho chùm điều h ( bcd) Nếu bd  b d là phân giác các g c tạo bởi và

c

Chứng minh

- Nếu b d là phân giác g c tạo bởi c suy r điều phải chứng minh

- Nếu bd Từ C kẻ đường thẳng song song OD Do ( bcd) = -1 nên MC = MN suy r b d

là phân giác g c COA

Định lí 4.2: Cho (OA OB OC OD, , , ) 1.Một đường thẳng d bất kì cắt các cạnh

OA OB OC OD lần lượt tại E F khi đ t c (EFGK)   1

K F

G A

D

O

B C E

5 Phép chiếu xuyên tâm

Định nghĩa 1: Phép chiếu xuyên tâm

Cho (d) ở ngoài (d) V i mỗi đi m M M cắt (d) tại M’(M không thuộc đường thẳng

u song song (d)) Vậy M→M’ là phép chiếu xuyên tâm v i tâm chiếu lên (d)

Tiếp theo t sẽ phát bi u một định l u n trọng về phép chiếu xuyên tâm

Định lí 5.1 Phép chiếu xuyên tâm bảo toàn t số kép

Trở lại định l t c : 1

1 1 1 1 1

Cho 4 đường thẳng đ ng uy và đường thẳng  cắt 4 đường thẳng này tại A B C D khi

đ (ABCD) không phụ thuộc vào 

Hệ quả 5.2 Cho h i đường thẳng 1, 2 cắt nh u tại O A, B, C1, A ', B', C'2 Khi

T nh chất trên là một t nh chất u n trọng rất c lợi trong việc giải các bài toán

Ch ý: Chùm b c d là chùm điều h A B C D là hàng đi m điều h

Tính chất Cho O và O’ nằm trên d Các đường thẳng b c đ ng uy tại O ’ b’ c’

đ ng uy tại O’ a ' a   A, b   b ' B, c   c ' C Chứng minh rằng A B C thẳng hàng 

abcd  a’b’c’d

II BÀI TẬP:

Bài 1: Cho A nằm ngoài đường tròn (O), từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,AC trong đó B,C là hai

tiếp điểm AO cắt đường trong tại hai điểm E,F và cắt cạnh BC tại K Chứng minh rằng

(AKEF)   1

E K

Theo hệ thức Newton suy ra đpcm

Bài 2: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O) M,N,P,Q lần lượt là các tiếp

điểm của AB,BC,CD,DA với đường tròn; khi đó ta có MP,NQ,AC,BD đồng quy tại một điểm

Bài 3: Cho đường tròn (O) Lấy một điểm A ngoài đường tròn (O), từ A ta kẻ hai tiếp

tuyến AK,AN và một cát tuyến ACD bất kì đối với đường tròn trên Hai tiếp tuyến qua C và

D đối với đường tròn cắt nhau tại M Khi đó ta có K, M, N thẳng hàng

N

A K

ọi E và F lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài củ DNC

Từ (1) và (2) suy r N và N’ đều thuộc đường tr n đường k nh EF (đường tr n Apolonius)

M t khác N và N’ đều thuộc (O) do đ N và N’ là gi o đi m giữ (O) v i đường tr n

đường k nh EF.Bây giờ t ch ý đường tr n(O) và đường tr n đường k nh EF cắt nh u tại

h i đi m nằm trên h i m t phẳng khác nh u bờ DC trong khi N N’ lại cùng trên một m t phẳng bờ DC những điều trên cho t N' Nđpcm

Bài 4: Cho tam giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O) M,N,P,Q lần lượt là các tiếp

điểm của AB,BC,CD,DA với đường tròn Chứng minh rằng MQ,NP và DB đồng quy tại

Theo định l Menel us đảo suy r N P thẳng hàng suy r đpcm

Bài 5: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O) M,N,P,Q lần lượt là các tiếp

điểm của AB,BC,CD,DA với đường tròn Gọi K là giao điểm của MQ với NP Chứng minh rằng OKAC

Giải:

P F E

O N

B A

K

Q

M

ọi E và F là h i gi o đi m củ AC v i (O)

H i tiếp tuyến u E và F đối v i (O) cắt nh u tại ’

Theo bài 4 suy r ’ N P thẳng hàng và ’ M Q thẳng hàng h y ’ là gi o đi m củ MQ

v i NP h y K' K

Vậy E F là h i tiếp tuyến củ v i (O) suy ra KOEF hay KO AC (đpcm)

Bài 6: Cho tam giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O) M,N,P,Q lần lượt là các tiếp

điểm của AB,BC,CD,DA với đường tròn Gọi K là giao điểm của MQ với NP và I là giao điểm của MP với QN Chứng minh rằng (DBIK)   1

Giải:

*Áp dụng định l Menel us cho t m giác ABD v i 3 đi m thẳng hàng M Q t c :

Bài 7: Cho A nằm ngoài đường tròn (O), từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,AC trong đó B,C là hai

tiếp điểm Kẻ cát tuyến AMN bất kì trong đó N nằm giữa A và M AO cắt đoạn BC và cung nhỏ BC lần lượt tại K và E Chứng minh rằng ME là phân giác của KMA

E K

Bài 8: Cho t m giác ABC bất kì Lấy một đi m I trong đường tr n s o cho IABIBC và

IACICBIAC ICB Lấy V là một đi m trên AI s o cho 0

90

BVC

  Chứng minh rằng BV là phân giác củ ABI và CV là phân giác củ ACI

Giải:

V B

E I

Từ (1) và (2) suy r E là trung đi m củ BC

Vẽ đường tr n đường k nh BC đường tr n này đi u V và nhận E làm tâm do đ

Nên theo định l 3.2 suy ra BV là phân giác củ ABI

Tương tự suy r CV là phân giác củ ACI

Bài 9: Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác AM, BM, CM theo thứ tự cắt BC, CA,

AB tại A’, B’, C’ CMR: M là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A’B’C’

Bổ đề: Cho t m giác ABC và đi m I nằm trong t m giác AI BI CI theo thứ tự cắt CA AB tại H

E

ết uả là hi n nhiên khi t m giác ABC cân iả s ABC không cân t c th giả s

AC>AB.Dựng t m giác ABP cân tại A và AP cắt HE tại Q ọi F’ là đi m đối xứng củ Q u

AH hi đ AH là phân giác củ EHF và ' '

ọi L là gi o đi m củ EF v i AH

Từ (1) suy r (AK AH AB AC, , , )   1 suy ra ( , , , )K L F E   1 (định l chùm điều h )

90

LHK nên theo nhận xét trong định l 2 t c đpcm

F L I A

đường tr n nội tiếp t m giác A’B’C’

Bài 10: Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với AC, AB tại E, F Gọi K là

giao điểm của BI và EF CMR góc 0

F

K

Trường hợp EF// BC: Dễ dàng

Trường hợp EF không song song v i BC

ọi L là gi o đi m củ EF và BC D là tiếp đi m củ (I) và BC

Bài 11: (VMO-2010) Cho đường tròn (O) Hai điểm B, C cố định trên đường tròn, BC

không phải đường kính Lấy A là một điểm trên đường tròn không trùng với B, C AD, AE

là các đường phân giác trong và ngoài của góc BAC I là trung điểm của DE Qua trực tâm tam giác ABC kẻ đường thẳng vuông góc với AI cắt AD, AE tại M,N

a) Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định

b) Tìm vị trí điểm A sao cho diện tích tam giác AMN lớn nhất

Giải ọi 2 là độ l n cung nh BC hi đ g c BAC bằng  ho c 1800-

) ọi X là đi m đối xứng củ O u BC suy r X cố định

T c OX = 2d(O;BC) = 2Rcos = AH OX // AH (vì cùng vuông g c v i BC) nên AOXH

là hình bình hành uy r AO // HX (1)

Lại c (CBDE) = -1 nên theo hệ thức Newton

=> ID2 IB.IC mà IA = ID (t m giác ADE vuông tại A)

=> IA2 IB.IC => IA tiếp x c (O)

=> IA  OA (2)

Từ (1) và (2) suy r XH  AI mà MN đi u H và  AI => M N X thẳng hàng Vậy

MN đi u X cố định (đpcm)

b) T c OAC = (1800-AOC)/2 = 900 - ABC = HAB và AD là phân giác BAC

uy r AD c ng là phân giác g c OAH Mà AE  AD suy r AE là phân giác ngoài g c OAH => (AO; AH; AD; AE) = -1 Mà AO //MN suy r H là trung đi m củ MN

Suy ra SAMN = 2SAHN = HA.HN.sin(AHN)

Mà t m giác AMN vuông tại A nên HN = HA = 2Rcos không đ i Hơn nữ

Từ đ suy r AMN đạt giá trị l n nhất bằng 4R2cos2 khi AHN = 900 Điều này xảy r khi và ch khi AOX = 900 Từ đ suy r c h i vị tr đ AMN đạt giá trị l n nhất là h i đầu m t củ đường k nh vuông g c v i OX (tức là song song v i BC)

Bài 12: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi E,F lần lượt là giao điểm AC

với (O) Hạ OHDB Chứng minh rằng AHECHF

N M

Q

I

F H

E

P O

ọi M N P Q lần lượt là tiếp đi m củ AB BC CD DA v i (O) Đ t LMNQP,

KQMPNvà I DKAL Vì h i tứ giác EOH và FOH nội tiếp suy r 5 đi m

E O H F cùng thuộc một đường tr n suy r EHK FHK do vậy đ chứng minh (*) t cần chứng minh HI là phân giác AHC

Thật vậy: T chứng minh HI vuông g c AL và (ACIL)   1 do vậy áp dụng định l 3.2 suy

r HI là phân giác AHC (đpcm)

Bài 13: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) và M,N,P,Q lần lượt là các tiếp

điểm của AB, BC, CD, DA Đặt KADBC , L ABDC , EQMPN , FQPMN Chứng minh rằng 4 điểm K, L, E, F cùng nằm trên một đường thẳng

I B O K

D

C

L E'

T

A

M N Q

P

Giải:

ọi I là gi o đi m giữ BD v i AC E’ là gi o đi m DB v i L T là gi o đi m CE’ v i

D theo bài toán 1 thì (TAKD)   1 suy ra (CT CA CK CD, , , )   1 theo định l chùm điều

h suy r ( 'E IBD)   1 M t khác t đã c (EIBD)   1

Do vậy E' E suy ra E, K, L thẳng hàng (1)

Lập luận tương tự c ng c F K, L thẳng hàng (2)

ết hợp (1) và (2) suy r đpcm

Bài 14: Cho tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn (O) có QMPNK , MNQPL ,

MPQNI Chứng minh rằng I là trực tâm của tam giác KOL

N M

Q

I

P O

ẻ 4 tiếp tuyến u M N, P, Q ch ng cắt nh u tại 4 đi m là A B C D (hình vẽ)

Theo bài 2 thì I c ng là gi o đi m củ AC v i BD

Bài 15 (IMO Shortlist 1994) Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là tiếp điểm trên BC,

CA, AB của đường tròn nội tiếp tam giác Gọi X là một điểm bên trong tam giác ABC sao cho đường tròn nội tiếp tam giác XBC tiếp xúc với BC tại , tiếp xúc với XB, XC theo thứ

tự tại Y, Z Chứng minh E, F, Y, Z đồng viên

Giải:

Y F

Gọi J J’ lần lượt là gi o đi m củ EF, YZ v i BC T chứng minh

Dễ thấy AD, BE, CF đ ng uy (tại đi m củ t m giác ) nên (JDBC) = -1 (hàng điều

h tứ giác toàn phần)

Tương tự (J’DBC) = -1, suy ra (JDBC) = (J’DBC) Suy ra

Từ đ JD là tiếp tuyến chung củ h i đường tr n nội tiếp t m giác ABC, XBC nên :JE.JF

= JD2 = JY.JZ

uy r các đi m E, F, Y, Z đ ng viên

Bài 16: (IMO 2003)Cho đường tròn nội tiếp (O) của tam giác Gọi M là trung điểm của BC AM cắt (O) tại hai điểm K, L ( nằm giữa A, L) Qua K kẻ đường thẳng song song với BC cắt (O) tại điểm thứ hai là X Qua L, kẻ đường thẳng song song với BC cắt (O) tại điểm thứ hai là Y AX, AY cắt BC tại Q, P Chứng minh M là trung điểm của PQ

Giải

Bổ đề : Cho t m giác ABC ngoại tiếp (O) tiếp đi m củ (O) trên BC, CA, AB lần lượt là

D, E, F ọi M là trung đi m củ BC Chứng minh AM, EF, OD đ ng uy

Tức là JI là phân giác g c M t khác JI vuông g c J (vì JI vuông g c BC BC // J )

Do đ chùm (JF, JE, JI, JS) = -1 tức (AB, AC, AI, AS) = -1 M t khác chùm (AB, AC,

AI, AS) c BC// AS nên AI đi u trung đi m M củ BC B đề được chứng minh

Quay trở lại bài toán :

B

R

W K

L

E A

O

F

M Y

T c (AWKL) = -1 (hàng điều h về đường tr n) nên (XA,XW,XK,XL)

=(XR,XY,XK,XL) = -1 mà XK//RY nên L là trung đi m củ RY tức YL = LR

Theo định l Thales: YL AL LR MP MQ

PM  AM  MQ  tức M là trung đi m củ PQ

T c điều phải chứng minh

Bài 17: Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác Các tia BO, CO lần lượt cắt

AC, AB tại E, F Gọi là giao điểm của AO, EF Gọi là hình chiếu của I trên BC Chứng minh rằng

Giải:

O I A

B

F E

C J

H

ọi J là gi o đi m củ ti AO v i BC S là gi o đi m củ EF v i BC

T c (BCJS) = -1 (hàng điều h tứ giác toàn phần)

Suy ra H(EFIS) = -1mà nên theo định l về chùm điều h t c HI là phân giác

củ g c

Tức là

C ng vì (BCJS) = -1 t c (FB, FC, FJ, FS) = -1 => (FO, FA, FJ, FI) = -1=> H(OAJI) = -1

mà nên theo định l về chùm điều h t c là phân giác củ g c Tức là

Do đ

Đây là điều phải chứng minh

Bài 18 (China TST 2002) Cho tứ giác lồi ABCD, gọi E, F, P lần lượt là giao điểm của AD

và BC, AB và CD, AC và BD Gọi O là chân đường vuông góc hạ từ P xuống EF Chứng minh rằng

Giải :

B P

E

D

F A

C

I

J

O

ọi là gi o đi m củ BD và EF và J là gi o đi m củ EP v i CD

T c (DCJF) = - 1 (hàng điều h tứ giác toàn phần) nên E(DCJF) = - 1

E(DCJF) = - 1 => E(DBPI) = - 1 => O(DBPI) = -1

Mà nên theo định l về chùm điều h t c OP là phân

giác

Hoàn toàn tương tự t c

Từ đ

Bài 19 : Cho tam giác ABC, ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H Gọi I, K lần lượt

là chân đường vuông góc hạ từ D, A xuống EF Chứng minh rằng KH đi qua trung điểm M của ID

Giải:

N H

B

C A

Do các tứ giác FECB và FHDB nội tiếp nên t c

Nên FH là phân giác trong củ t m giác FND mà nên FA là phân giác ngoài

củ t m giác FND

Từ đ (AHND) = -1 (hàng điều h ti phân giác)

 K(AHND) = -1 Lại c KA// ID (cùng vuông g c v i )

Do đ theo định l về chùm điều h t c KH đi u trung đi m củ

Bài 20: Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I), D là điểm tiếp xúc của (I) với BC Gọi M là một

điểm thuộc đoạn AD Đường thẳng BM, CM theo thứ tự cắt (I) tại B 1 , B 2 , C 1 , C 2 sao cho

ọi E, F là h i tiếp đi m v i (I) củ CA, AB

ọi L là gi o đi m củ EF, BC ọi W là gi o đi m củ AD v i (I) Dễ thấy WFDE là một

tứ giác điều h nên LW là tiếp tuyến củ (I) ọi gi o đi m củ đường thẳng LB1 v i AD, (I) lần lượt là X, C0

Ta c (LXB1C0) = -1 (hàng điều h về đường tr n) => (ML,MD,MB,MC0)= -1 (1)

M t khác dễ thấy AD, BE, CF đ ng uy tại đi m Gergonne củ t m giác ABC nên

(LDBC1)= - 1 (hàng điều h tứ giác toàn phần) do đ (ML,MD,MB,MC1)= - 1 (2)

Từ (1) và (2)suy ra (ML,MD,MB,MC0)= (ML,MD,MB,MC1) => MC0 MC1

Mà C0( ),I C1( )I C0C1 tức là B1C1 đi u L