skkn đổi biến để tìm gtnn, gtln và chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp đặt ẩn phụ đổi biến cũ thành biến mới, làm số ẩn của bàitoán trở nên ít hơn hoặc bằng số ẩn ban đầu và đặc biệt là bài toán trở nên đơn giản hơn.Phương pháp đổi biến là phươn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị Trường THPT Ngô Quyền

Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN Phương pháp giáo dục 

Lĩnh vực khác: 

Có đính kèm:

 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác

Năm học: 2013-2014

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

7 Chức vụ: Gíao viên Toán

8 Đơn vị công tác: Trường THPT Ngô Quyền

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Thạc sĩ Toán

- Năm nhận bằng: 2010

- Chuyên ngành đào tạo: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy học Toán

- Số năm có kinh nghiệm: 4 năm

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 4

Năm học 2010-2011: Ứng dụng tích vô hướng 2 véctơ để giải một số bài toán hình

học không gian qua các kì thi đại học.

Năm học 2011-2012: Áp dụng bất đẳng thức phụ để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

đề thi học sinh giỏi, bài BĐT hay từ những kiến thức bình thường, dễ hiểu nhất

- Trong giải phương trình, hệ phương trình học sinh(HS) đã làm quen với phươngpháp đặt ẩn phụ Phương pháp đặt ẩn phụ đổi biến cũ thành biến mới, làm số ẩn của bàitoán trở nên ít hơn hoặc bằng số ẩn ban đầu và đặc biệt là bài toán trở nên đơn giản hơn.Phương pháp đổi biến là phương pháp không mới nhưng HS ít chú ý tới Nếu ta vậndụng một cách hợp lí thì rất nhiều bài toán phức tạp sẽ trở nên đơn giản Các ưu điểm

nổi bật phương pháp đổi biến số: Làm bài toán trở nên “đơn giản” hơn, có thể

“chuyển” BĐT từ không đối xứng hay hoán vị thành đối xứng, từ một bài toán ban đầu

có thể “sáng tạo” thành nhiều bài toán khác nhau

- Phương pháp đổi biến số trong BĐT rất sâu và rộng Nhưng với vai trò giáo viên dạyToán khối 10 và trong phạm vi sáng kiến kinh nghiệm này chúng tôi chỉ tập trung vàocác dạng phổ biến HS hay gặp phải trong các đề thi CĐ, Đại học, tuyển sinh 10 chuyên,các đề thi học sinh giỏi tỉnh …Cụ thể hơn sẽ được thể hiện trong sáng kiến kinh nghiệm(SKKN)

II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI

Một là, qua thực tế dạy học chúng tôi nhận thấy trong chương trình lớp 10 phầnBĐT, số bài tập trong sách giáo khoa hạn chế và thời lượng dành cho nó rất ít

Hai là, trong sách giáo khoa, sách bài tập đều không có hoặc rất ít bài BĐT dùngphương pháp đổi biến? Nên khi làm bài BĐT thì HS thường hay lúng túng

Do đó, tôi làm SKKN này với mong muốn là một tài liệu giúp HS đỡ khó khăn hơnkhi gặp một số bài BĐT có dạng trên

III NỘI DUNG ĐỀ TÀI

Ý tưởng chủ đạo của phương pháp đổi biển số là từ các dấu hiệu đặc trưng giả thiết của bài toán, chúng ta sẽ đổi các biến cũ thành biến mới để làm cho bài toán trở nên đơn giản hơn Với vai trò là người làm toán thì đưa bài toán về dạng càng đơn giản

càng tốt Do đó, nếu khi đặt biến mới mà bài toán trở nên đơn giản hơn thì đúng hướng

để làm, còn nếu bài toán trở nên khó hơn thì ta nên đổi biến mới hoặc dùng phươngpháp khác

A) Cơ sở lí thuyết

Theo chương trình sách giáo khoa ban nâng cao và cơ bản hiện hành, HS lớp 10 chỉ được học BĐT Cô-si(Cauchy)2 và 3 số không âm, BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki (Cauchy-

Schwarz) với 2 bộ hai số thực và ba số thực Do đó, chúng tôi cố gắng biên soạn hệ

thống bài tập, kĩ thuật giải dựa trên BĐT Cô-si 2 và 3 số không âm, BĐT

Bu-nhi-a-cốp-xki với 2 bộ hai số thực và ba số thực Mục đích cho HS dễ hiểu nhất có thể.

 Bất đẳng thức Cô-si 2 số không âm

10 ban nâng cao và cơ bản không có BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki (Cauchy- Schwarz) Mà

chỉ đề cập tới trong bài đọc thêm trang 111, sách giáo khoa lớp 10 ban nâng cao hiệnhành Tuy nhiên, trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 10 Chúng tôi nhận thấytrong các đề thi học sinh giỏi tỉnh hoặc cao hơn luôn sử dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki.Nên chúng tôi cũng trình bày BĐT này trong SKKN

Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki (Cauchy- Schwarz)với 2 cặp số thực

Thông thường sẽ “tiến hành” phương pháp đổi biến khi bài toán có các dấu hiệu sau:

+Số biến mới sẽ ít hơn hoặc bằng số biến ban đầu

+Bài toán trở nên đơn giản hơn

+Dựa vào các dấu hiệu đặc trưng của bài toán, sẽ được phân nhóm theo các dạngquen thuộc hoặc được hỗ trợ bởi giả thiết

Ngược lại, sẽ “không tiến hành” phương pháp đổi biến khi bài toán có xuất hiện các

dấu hiệu sau:

+Số biến mới sẽ nhiều hơn số biến ban đầu

+Bài toán trở nên khó hơn

Để hiểu hơn chúng ta sẽ đi vào các ví dụ cụ thể

1) Đổi biến ở mẫu số, biểu thức bậc cao hoặc biểu thức chứa căn

Thử đặt các biểu thức dưới mẫu, biểu thức chứa căn thức, số hạng có lũy thừa bậccao trong BĐT là các biến mới Với cách làm trên bài toán đã trở nên đơn giản, dễ biếnđổi hơn

Ví dụ 1 (BĐT Nesbit) Cho a,b,c >0 CMR: 3

2

b c c a a b     

Phân tích:

 Nhìn vào VT của BĐT ta thấy các số hạng chứa ẩn ở mẫu, thử đơn giản bài toán bằng các đặt ẩn mới là các biểu thức dưới mẫu Đặt

0 0 0

0

2 0

2

y z x a

 Khi đổi biến tuy bài toán vẫn có 3 ẩn bằng số ẩn ban đầu Nhưng vế trái của BĐT

đã trở nên đơn giản hơn, do mẫu số chỉ còn 1 ẩn, tạo điều kiện biến đổi dễ hơn, dễ nhìn thấy được là sẽ áp dụng BĐT cô si.

 Bằng kĩ thuật giải tương tự có thể giải quyết bài toán sau:

Bài toán mở rộng Ví dụ 1: Cho , , ,a b c d  0

3

b c d  c d a d a b a b c        

Tổng quát hóa Ví dụ 1: Cho a a1, , ,2 a n 0,n N * Cmr:

1 1

1

n

j n j

A

C B

A C

B A

C B

A P

sin sin

sin

sin sin

sin sin

sin sin

sin sin sin sin

2 sin sin sin

sin

2

y z A

 Khi đổi biến tuy bài toán vẫn có 3 ẩn bằng số ẩn ban đầu Nhưng vế trái của BĐT

đã trở nên đơn giản hơn, do mẫu số chỉ còn 1 ẩn và BĐT không còn chứa các giá trị Lượng giác, tạo điều kiện biến đổi dễ hơn, dễ nhìn thấy được là sẽ áp dụng BĐT cô si.

Nhân vế theo vế của (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

Dấu “=” xảy ra  a=b=c=1

Nhận xét:

 Khi đổi biến vế trái của BĐT đã trở nên đơn giản hơn, do biểu thức đã được “khử

căn”, tạo điều kiện biến đổi dễ hơn, dễ nhìn thấy được là sẽ áp dụng BĐT cô si

Ví dụ 4 Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện xyz = 1

 Để đơn giản hóa ta nên đổi biến đưa về bài toán mới

 Do BĐT đối xứng theo 3 ẩn nên ta dự đoán dấu “=” xẩy ra khi x y z  1.

Dấu “=” xảy ra

1 6

1 2

Bài 4 Cho a >0, b >0, c>0 Chứng minh rằng 25 16  8

b c b a

Bài 5 Cho m, n, p, q, a, b >0 Chứng minh rằng

b a

pc a

1

Bài 6 Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1 Chứng minh rằng

9 2

1 2

1 2

1

2 2

Bài 7 Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x+y+z=0, x+1>0, y+1>0, z+4>0

Hãy tìm giá trị lớn nhất của : 1 1 1

y x

x Q

2) Đổi biến trong các bất đẳng thức có dạng đối xứng

2.1)Bất đẳng thức đối xứng theo hai biến số không âm

Đối với một số bài toán chứng minh bất đẳng thức đối xứng chứa hai biến a, b không âm ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến như sau:

Đặt   



s a b

p ab Ta có các đẳng thức sau:

dụng các đẳng thức, bất đẳng thức trên vào chứng minh bài toán.

Ví dụ 7 Cho a, b không âm Cmr: a4 b4 a b ab3  3

4 0 4

4 3 0)BĐT được chứng minh Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b

Ví dụ 8 Cho a,b,c>0 thỏa ab a b 3   Cmr

Lời giải:

Đặt    

 

s a b

p ab 00

        

Do  nên s2 4p s2  4 3  s s 2

BĐT cần chứng minh trở thành

 

 

2

2

 s3 s2 4 12 0s 

 s 2 s2 s 6  0 (luôn đúng với mọi s 2 )

Bài toán đã chứng minh xong

 Bài tập (BĐT đối xứng theo 2 biến):

Bài 1 Cho a b,  1 Cmr       

a a2  b b2 

16

Bài 2 Cho a b, 0 Cmr

 







a b

a b

4

5 8

Bài 3 Cho a b R a,  : 2b2  a b Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

P a3 b3 a b ab2 2

Bài 4 Cho a b R a,  : 2 b2 1 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức  

P

b 1 a 1

2.2)Bất đẳng thức đối xứng theo ba biến số không âm

Đối với một số bài toán chứng minh bất đẳng thức đối xứng chứa ba biến a, b, c không âm ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến như sau:

Đặt

  



  



 



x a b c

y ab bc ca

z abc ta có các đẳng thức sau:

xy z–  (a b b c c a )(  )(  ) 

x2 y (a b b c )(  ) (  b c c a )(  ) (  c a a b )(  )  x2 2y a 2b2c2 

x3 3xy 3z a 3b3c3 

Dễ dàng chứng minh được , , ,  dựa vào hàng đẳng thức và khai triển Cùng với việc áp dụng các bất đẳng thức sau: x2 3y 

x3  27z 

y2  3xz 

xy 9z 

x3 4xy 9z 0(dạng thể hiện khác của BĐT Schur) 

Áp dụng BĐT Cô-si 3 số không âm a b c   33abc

Áp dụng BĐT Cô-si 3 số không âm ab bc ca   3 3abc2

Nhân vế theo vế bài toán đã chứng minh xong

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c

 c x2xy y 2 x x2  2y  0(luôn đúng vì c,x,y đều không âm)

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c hoặc a=b,c=0 hoặc các hoán vị

2 4

9 ( BĐT Schur ) với x,y,z

không âm.

 Để sử dụng phương pháp đổi biến hiệu quả quan trọng nhất là khai thác mối liên hệ giữa các đại lượng x a b c y ab bc ca z abc   ,    ,  Tiếp theo là đổi biến mới

theo x,y,z Sau cùng vận dụng các đẳng thức, bất đẳng thức trên vào chứng minh bài toán

Sau đây là một số ví dụ để làm sáng tỏ vấn đề này:

Ví dụ 9 Cho ba số dương a, b, c thoả mãn điều kiện abc = 1 Chứng minh:

       (y 3)2 0(đúng với mọi y)

Từ (*) và (**) suy ra bài toán được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c =1

 Bài tập (BĐT đối xứng theo 3 biến):

Bài 1 Cho ba số không âm a, b, c, thoả mãn: ab bc ca abc 4   

Bài 6 Cho x,y,z>0 thoả mãn điều kiện Cmr:     

Bài 7 Cho a, b, c>0 thỏa abc 1 Cmr: a2 b2 c2    a b c 2ab bc ca  

Bài 8 Cho a, b, c>0 thỏa abc 1 Cmr:    

2 m=

a+2 b

b+2 c

c+2

m n p m a

n p n b

p m p c

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương ta có m n p m n p         2 mn2 np2 pm 8mnp

Bài toán được chứng minh

Nhận xét: Kĩ thuật đổi biến

2 2 2

m a

n p n b

p m p c

a+2 b+2 c+2   khá phổ biến, giúp bài

toán có dạng trên trở nên đơn giản hơn rất nhiều.

Bài 2 Cho a,b,c,d>0:ab cd  1 Cmra b c d      4 2a b c d   

(Đề TS10 Năng phổ thông năng khiếu ĐHQG TPHCM 2007)

Bài 3 Cmr với a,b,c>0 ta có: a2 bc b2 ca c2 ab a b c

b c c a a b

Bài 4 Cho a,b,c>0 thỏa ab bc ca abc    4 Cmr ab bc ca  3

3) “Chuyển” từ bất đẳng thức không đối xứng thành đối xứng, bất đẳng thức hoán

pháp đổi biến là “chuyển” BĐT không đối xứng, hoán vị về bất đẳng thức đối xứng

0

2 0

2Bất đẳng thức trở thành

 Đặc biệt “chuyển” bất đẳng thức từ bất đối xứng thành đối xứng.

 Như thế chúng ta có thể dự đoán dấu bằng BĐT xẩy ra khi nào? Làm cho bài toán

   (k:const) Có thể chuyển BĐT Hoán vị vòng quanhthành BĐT đối xứng.

Năm hướng phân tích trên thường được áp dụng để “chuyển” BĐT hoán vị thành

đối xứng, đôi khi nó cũng được dùng để giải trực tiếp đối với các BĐT đối xứng mà

không cần phải “chuyển”.

Ví dụ 16 (IMO 2000) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 .CMR:

 Hướng 1, đặt a 1,b 1,c 1

   thì BĐT vẫn có dạng hoán vị do đó đổi hướng khác.

 Hướng 4 và 5 sẽ làm VT của BĐT trở nên có bậc cao hơn do đó đổi hướng khác.

 Khi đổi biến vế trái của BĐT đã trở nên đơn giản hơn, tạo điều kiện biến đổi dễ hơn,

dễ nhìn thấy được là sẽ áp dụng BĐT cô si

 Đặc biệt “chuyển” bất đẳng thức từ BĐT hoán vị vòng quanh thành BĐT đối xứng

Như thế chúng ta có thể dự đoán dấu bằng BĐT xẩy ra khi nào? Làm cho bài toán dễ định hướng và làm hơn.

Ví dụ 17 Cho a,b,c dương

 Hướng 4 và 5 sẽ làm VT của BĐT trở nên khó biến đổi hơn do đó đổi hướng khác.

 Khi đổi biến vế trái của BĐT đã trở nên đơn giản hơn, tạo điều kiện biến đổi dễ hơn,

dễ nhìn thấy được là sẽ áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz

 Đặc biệt “chuyển” bất đẳng thức từ BĐT hoán vị vòng quanh thành BĐT đối xứng

Như thế chúng ta có thể dự đoán dấu bằng BĐT xẩy ra khi nào? Làm cho bài toán dễ định hướng và làm hơn.

Ví dụ 18 Cho x y z, ,  0 :xyz 1 Tìm GTLN của 2 2 2 2 2 2

Vì x y z, ,  0 :xyz 1 nên tồn tại các số dương a, b, c sao cho:x a,y b,z c

 Khi đổi biến vế trái của BĐT đã trở nên đơn giản hơn, tạo điều kiện biến đổi dễ hơn,

dễ nhìn thấy được là sẽ áp dụng BĐT cô si

 Đặc biệt “chuyển” bất đẳng thức từ BĐT hoán vị vòng quanh thành BĐT đối xứng

Như thế chúng ta có thể dự đoán dấu bằng BĐT xẩy ra khi nào? Làm cho bài toán dễ định hướng và làm hơn.

b c b a

Bài 2 Cho m, n, p, q, a, b >0 Chứng minh rằng

 m n p m n p

b a

pc a

C) Đổi biến để chứng minh BĐT hay tìm GTLN, GTNN với vai trò người ra đề.

Phương pháp đổi biến có ưu điểm từ một bài toán đơn giản có thể sáng tạo thành nhiều bài toán hay hoặc khó hơn tùy vào mục đích người ra đề

Bài toán ban đầu: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác cmr

(a b c b c a c a b  )(   )(   )abc

Lời giải:

x y b

y z c

Từ bài toán ban đầu ta thu được bài toán mới như sau:

BT1 Cho x,y,z>0 Cmr x y  . y z  . z x   8xyz

Thử thay đổi bài toán bằng cách đặt

x y z

SinA SinB SinC

(hiển nhiên là giá trị của 0<x,y,z 1  )

BT1 trở thành bài toán mới như sau:

sin sin   sin sin   sin sin  8sin sin sin

2sin cos 2sin cos 2sin cos 8sin sin sin

TanA TanB TanC

BT1 trở thành bài toán mới như sau:

TanA TanB  . TanB TanC  . TanC TanA   8TanATanBTanC(1)

Với A,B,C là 3 góc của tam giác nhọn ABC thì (1) được thay đổi cho khác hơn

tan A B tanA tanB tan B C B C tan C A C A A B tanC

A B C tanA tanB B C C A A B tanC

1

1 1

BT4 Cho a,b,c>0 thỏa 1 1 1 1

2

1 1

Do đó ta thu được bài toán mới như sau

BT5 Cho a,b,c>0 thỏa 1 1 1 2

y c

Vậy BĐT đựợc chứng minh Dấu “=” xảy ra  a b c   1

Bằng cách chứng minh tương tự ta sẽ giải quyết được bài toán sau:

Ví dụ 20 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1

Bài 6 Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác CMR:

a)a2 b2 c2  4 3S với S là diện tich tam giác

Bài 15.Cho a,b,c>0 thỏa abc=1 Cmr:

Khi áp dụng chuyên đề trên cho HS 10 thì tôi thấy HS rất thích thú, đồng thời các

em cũng đỡ lúng túng hơn khi gặp các dạng bài tập trên

V BÀI HỌC KINH NGHIỆM

Nếu có thêm thời gian mở rộng thì tôi nghĩ rằng đề tài có thể trở nên có nhiều tácdụng hỗ trợ thiết thực trong việc rèn luyện và phát triển tư duy góp phần giải được khánhiều dạng toán trong quá trình dạy học sinh nói chung và bồi dưỡng học sinh khá, giỏinói riêng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Võ Bá Quốc Cẩn-Trần Quốc Anh, Sử dụng phương pháp Cauchy-Schwarz để chứng minh bất đẳng thức Nhà xuất bản Đại học sư phạm.

2 Võ Bá Quốc Cẩn-Trần Quốc Anh, Sử dụng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức.Nhà xuất bản Đại học sư phạm.

3 Đỗ Tất Thắng, Dự đoán dấu bằng trong bất đẳng thức Cô si để tìm GTLN, GTNN và chứng minh bất đẳng thức, SKKN 2012-2013.

4 Đỗ Tất Thắng, Áp dụng bất đẳng thức phụ để tìm GTLN, GTNN và chứng minh bất đẳng thức SKKN 2011-2012.

5 Lê Anh Tuấn, Đổi biến để chứng minh bất đẳng thức, Toán học với tuổi trẻ trang 2

số 411 tháng 9 năm 2011

6 Lê Trung Tín, Ứng dụng của đa thức đối xứng sơ cấp vào giải toán bất đẳng thức, tìm cực trị của hàm nhiều biến dạng đối xứng, Trường THPT Hồng Ngự 2, Đồng Tháp.

7 Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, Nhà xuất bản Tri thức.

8 Trần Phương, Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học, Nhà xuất bản

Tri thức

9 Lê Trọng Quyền, Gỉai các bài toán sử dụng bất đẳng thức Cô si bằng phương pháp

đổi biến số, Trường THPT Hà Huy Tập- Cẩm Xuyên- Hà Tĩnh.

NGƯỜI THỰC HIỆN

ĐỖ TẤT THẮNG