83 bài tập hình học không gian tuyển chọn luyện thi đại học năm 2014 – nguyễn tùng giang

Mặt phẳng P chứa BC và vuông góc với AA1 cắt hình lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng 2 8 a 3.. Tính khoảng cách d từ điểm O đến mặt phẳng SDC và thể tích V của khối chóp S.AB

PHẦN A: RUYỆN KỸ NĂNG CƠ BẢN

1/ Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 Mặt phẳng (A1BC) tạo với đáy một góc 300 và tam giác A1BC có diện tích bằng 8 Tính thể tích V của khối lăng trụ

[ ĐS: V= 8 3 ]

2/ Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A1B1C1D1 có chiều cao bằng h, góc giữa hai đường chéo của hai mặt bên kề nhau kẻ từ một đỉnh bằngα, 00< α< 900 Tính thể tích V của khối lăng trụ

[ ĐS: V =

3 (1 cos ) cos

h

α

3/ Cho khối hộp ABCD.A1B1C1D1 có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a và

[ ĐS: V =

3 3 4

a

]

4/ Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, đỉnh A1

cách đều các đỉnh A, B, C, cạnh bên AA1tạo với đáy một góc 600 Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho

[ ĐS: V =

3 3 12

a

]

5/ Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 có cạnh đáy bằng a, đường chéo BC1 của mặt bên (BCC1B1) tạo với mặt bên ( ABB1A1) một góc bằng 300 Tính thể tích V của khối lăng trụ

[ ĐS: V =

3 6 4

a

]

6/ Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, hình chiếu vuông góc của A1lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC Mặt phẳng (P) chứa

BC và vuông góc với AA1 cắt hình lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng

2 8

a

3 Tính thể tích V của khối lăng trụ

[ ĐS: V =

3 3 12

a

]

7/ Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC.

Khoảng cách từ G đến mặt bên SCD bằng

6

a

3 Tính khoảng cách d từ điểm O đến mặt phẳng (SDC) và thể tích V của khối chóp S.ABCD, với O là tâm của đáy ABCD

[ ĐS: d = 3

4

a

; V =

3 3 6

a

]

8/ Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = 2a Tam giác ABC

vuông ở C, AB = 2a, CAB 300 Gọi K và H là hình chiếu vuông góc của A lên SC và SB Tính

thể tích V khối chóp S.AHK [ ĐS: V =

3

2 3 21

a

]

9/ Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a, đáy ABC là tam giác

vuông cân với AB = BC = a Gọi B1 là trung điểm của SB, C1 là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC

a/ Tính thể tích V1của khối chóp S ABC [ ĐS: V1=

3 6

a

]

b/ Tính thể tích V của khối chóp S AB1C1 [ ĐS: V2=

3 24

a

]

10/ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a và B C α, các cạnh bên cùng nghiêng trên đáy một góc β Tính thể tích V của khối chóp đã cho

[ ĐS: V =

3 cos tan 6

11/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD = 600, SA (ABCD), SA

= a Gọi C1là trung điểm của SC Mặt phẳng (P) đi qua AC1và song song với BD cắt SB, SD tại

B1, D1 Tính thể tích V khối chóp S.A B1C1D1 [ ĐS: V =

3

6 3

a

]

12/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, SA

(ABCD), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 600 Lấy M thuộc SA sao cho

AM = 3

3

a

Mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N Tính thể tích V khối chóp S.BCNM

[ ĐS: V =

3

4 3 27

a

]

13/ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA (ABC) Gọi I là trung điểm của cạnh BC Mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SI cắt SB, SC lần lượt tại M, N Cho biết

tỉ số thể tích giữa hai khối chóp S.MNA và S.BCA bằng 1

4, tính thể tích V khối chóp S.ABC.

[ ĐS: V1=

3 8

a

]

14/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, SA

(ABCD) và

SA = 2a Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

[ ĐS: R = 3

2

a

]

15/ Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = a, OCB α a/ Tính thể tích V khối tứ diện OABC [ ĐS: V =

3 cot 6

a

α ]

b/ Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC [ ĐS: R = 8 cot2

2

a

α ]

16/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình

2 3

a

]

17/ Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, ASB α Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho [ ĐS: R =

2

2 2 sin sin

a

18/ Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 600

a/ Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho [ ĐS: R = 2

6

a

] b/ Tính thể tích V của khối cầu và diện tích xung quanh S của mặt cầu nói trong câu a/

[ V = 4 3

3πR ; S = 2

4 Rπ ]

19/ Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1có tất cả các cạnh đều bằng a

a/ Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình hình lăng trụ

[ ĐS: R = 7

2 3

a

] b/ Tính thể tích V của khối cầu và diện tích xung quanh S của mặt cầu nói trong câu a/

[ V = 4 3

3πR ; S = 4 Rπ 2 ]

20/ Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng 2a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD; gọi Q là giao điểm của AB và CN

a/ Tính thể tích V1của khối chóp Q.BB1C và thể tích V2 của khối chóp Q.BB1M,

b/ Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AM và B1C

[ ĐS: a/ V1= 8 3

3a ; V2=

3 4

3a ; b/ d =

2 3

a

]

21/ Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông Diện tích xung quanh của hình trụ bằng

4π

a/ Tính thể tích V và diện tích toàn phần S của hình trụ

b/ Tính thể tích V1của khối cầu ngoại tiếp hình trụ

[ ĐS: a/ V = 2π ; S = 6π ; V1= 8 2

3 π ]

22/ Một hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao bằng R 3

a/ Tính diện tích xung quanh S và thể tích V của khối trụ tương ứng

b/ Cho hai điểm A, B nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 300 Tính khoảng cách d giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ

[ ĐS: S = 2 3 Rπ 2 , V = 3 Rπ 3 , d = 3

2

R

]

23/ Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và ( O1) Bán kính đáy bằng chiều cao của hình trụ và bằng a Trên đường tròn (O) và đường tròn (O1) lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho AB

= 2a Tính thể tích V của khối đa diện OO1AB [ ĐS: V = 3 3

12 a ]

24/ Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 nội tiếp trong một hình trụ Cho biết đường kính đáy của hình trụ bằng 5a, góc giữa đường thẳng B1D và mặt phẳng ( ABB1A1) bằng 300, khoảng cách từ

trục của hình trụ đến mặt phẳng (ABB1A1) bằng 3

2

a

a/ Tính thể tích V1của khối hộp;

b/ Tính thể tích V2của hình cầu ngoại tiếp hình hộp

[ ĐS: V1=12 11a , V3 2= 36 aπ 3 ]

25/ Cho hình nón có đáy là hình tròn (O), bán kính đáy R = 50cm, chiều cao h = 40 cm Gọi M,

N là hai điểm trên (O) Cho biết tâm O cách mặt phẳng (SMN) một đoạn OH bằng 24 cm

a/ Tính diện tích S của thiết diện (SMN); [ ĐS: S = 200 cm2]

b/ Tính Sxqvà thể tích V của hình nón [ ĐS: Sxq= 100 41π cm2, V = 100000

3 π cm3]

26/ Cho hình nón có bán kính đáy là R và đỉnh là S, góc tạo bởi đường cao và đường sinh bằng

600

a/ Tính diện tích S của thiết diện khi cắt hình nón theo hai đường sinh vuông góc với nhau b/ Tính diện tích xung quanh Sxqvà thể tích V của khối nón

[ ĐS: S =

2 2 3

R

, Sxq=

2 4 3

R

π , V =

3

3 3

R

π ]

27/ Cắt hình nón (N) đỉnh S cho trước bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được một tam giác

vuông cân có cạnh huyền bằng a 2

a/ Tính diện tích xung quanh Sxq, diện tích toàn phần Stpvà thể tích V1của khối nón

b/ Tính diện tích S và thể tích V của khối cầu nội tiếp hình nón

[ ĐS: Sxq= 2 aπ 2 , Stp= 1 2

2

2 πa , V1=

3

6 2

a

π ,

S =

2 2

2πa 2 1 , V =

2

2 1 3

a

π

]

PHẦN B: LUYỆN GIẢI ĐỀ THI ĐẠI HỌC NHỮNG NĂM TRƯỚC

I/ KH I D

1/ Cho hình t di n ABCD có c nh AD vuông góc v i m t ph ng (ABC), AC = AD = 4 cm, AB = 3

cm, BC = 5 cm Tính kho ng d cách t A n m t ph ng (BCD) [ S: d = 12

34 cm ] D02 2/ Cho hai m t ph ng (P) và (Q) vuông góc v i nhau có giao tuy n g Trên g l y hai i m A, B v i

AB = a Trong m t ph ng (P) l y i m C, trong m t ph ng (Q) l y i m D sao cho AC và BD cùng vuông góc v i g và AC = BD = AB Tính bán kính R m t c u ngo i ti p t di n ABCD và tính kho ng cách d t i m A n m t ph ng (BCD) theo a [ S: R = 3

2

a

, d = 2

2

a

] - D03 3/ Cho hình chóp tam giác S.ABC có áy là tam giác u c nh a, SA = 2a, SA (ABC) G i M, N

là hình chi u vuông góc c a A l n l t lên các ng th ng SB, SC Tính th tích V c a kh i chóp A.BCNM [ S: V =

3

3 3 50

a

] D06 4/ Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình thang vuông (vuông t i B và D), BA = BC = a, AD = 2a,

c nh bên SA vuông góc v i áy và SA = 2a G i H là hình chi u vuông góc c a A lên SB Ch ng minh tam giác SCD là tam giác vuông và tính kho ng cách d t i m H n m t ph ng (SCD)

[ S: d =

3

a ] D07 5/ Cho hình l ng tr ng ABC.A1B1C1có áy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, AA1= a 2

G i M là trung i m c a BC Tính theo a th tích V c a kh i l ng tr ABC.A1B1C1và kho ng cách

d gi a hai ng th ng AM và B1C [ S: V = 2 3

2 a , d = 7

7

a

] D08 6/ Cho hình l ng tr ng ABC.A1B1C1có áy ABC là tam giác vuông t i B, AB = a; AA1= 2a, A1C

= 3a G i M là trung i m c a A1C1, H là giao i m c a AM và A1C Tính theo a th tích V c a

kh i t di n HABC và tính kho ng cách d t i m A n m t ph ng (HBC)

[ S: V =

3 4 9

a

, d = 2 5

5

a

] D09 7/ Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình vuông c nh a, c nh bên SA b ng a; hình chi u vuông góc c a S lên m t ph ng (ABCD) là i m H thu c AC mà AH =

4

AC G i CM là ng cao c a tam giác SAC Ch ng minh r ng M là trung i m c a SA và tính th tích V c a kh i t di n SMBC theo a [ S: V =

3 14 48

a

] D 10 8/ Cho hình chóp S.ABC có áy là tam giác vuông t i B, BA = 3a, BC = 4a; m t ph ng (SBC) vuông góc v i m t ph ng (ABC) Cho bi t SB = 2a 3, 0

30

SBC Tính th tích V c a kh i chóp S.ABC

và tính kho ng cách d t i m B n m t ph ng (SAC) theo a [ V = 3

2 3a , d = 6 7

7

a

] D11

9/ Cho hình h p ng ABCD.A1B1C1D1 có áy là hình vuông, tam giác A1AC vuông cân, dài

o n A1C b ng a Tính th tích V c a kh i t di n ABB1C1và kho ng cách d t i m A n m t

ph ng (BCD1)

[ S: V =

3 2 48

a

, d = 6

6

a

] D12 10/ Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình thoi c nh a, c nh bên SA vuông góc v i áy,

0

120

BAD , M là trung i m c a c nh BC và 0

45

SMA Tính theo a th tích V c a kh i chóp S.ABCD và kho ng cách h t i m D n m t ph ng (SBC)

[ S: V = 3

4

a , h = 6

4

a ] D 2013 II/ KH I B

1/ Cho hình l p ph ng ABCD.A1B1C1D1có c nh b ng a

a/ Tính theo a kho ng cách d gi a hai ng th ng A1B và B1D

b/ G i M, N, P l n l t là trung i m c a B1B, CD, A1D1 Tính góc ϕ gi a hai ng th ng MP và

C1N

[ S: a/ d =

6

2/ Cho hình l ng tr ng ABCD.A1B1C1D1có áy ABCD là m t hình thoi c nh a, 0

60

BAD G i

M là trung i m c a AA1, N là trung i m c a CC1 Ch ng minh r ng b n i m B1, M, D, N cùng thu c m t m t ph ng Tính dài o n AA1theo a t giác B1MDN là m t hình vuông

[ S: AA1= a 2 ] B03 3/ Cho hình chóp t giác u S.ABCD có c nh áy b ng a, góc gi a c nh bên và m t y b ng

ϕ, 00<ϕ < 900 Tính tang c a góc α gi a hai m t ph ng (SAB) và (ABCD) theo ϕ Tính th tích

V c a kh i chóp theo a vàϕ

[ S: tanα = 2 tanϕ , V = 2 3

tan

6 a ϕ ] B04 4/ Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình ch nh t v i AB = a, AD = 2 a, SA = a và SA vuông góc v i (ABCD) G i M, N l n l t là trung i m c a AD, SC; g i H là giao i m c a BM và

AC Ch ng minh (SAC) (SMB) Tính th tích V c a kh i t di n ANHB

[ S: V =

3 2 36

a

] B06 5/ Cho hình chóp t giác u S.ABCD có áy ABCD là hình vuông c nh a G i E là i m i x ng

c a D qua trung i m H c a o n SA, M là trung i m c a AE, N là trung i m c a BC Ch ng minh MN BD Tính theo a kho ng cách d gi a hai ng th ng MN và AC

[ S: d = 2

4

a ] B07 6/ Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông c nh 2a, SA = a, SB = a 3 và m t ph ng (SAB) vuông góc v i m t ph ng (ABCD) G i M, N l n l t là trung i m c a AB, BC Tính theo a

th tích V c a kh i chóp S.BMDN và tính cô sin c a góc ϕ gi a hai ng th ng SM và DN

[ S: V = 3 3

3

a , cosϕ = 5

5 ] B08 7/ Cho hình l ng tr tam giác ABC.A1B1C1có BB1= a, góc gi a BB1và (ABC) b ng 600; tam giác ABC vuông t i C, 0

60

BAC Hình chi u vuông góc c a B1lên (ABC) trùng v i tr ng tâm G c a tam giác ABC Tính th tích V c a kh i t di n A1ABC theo a

[ S: V =

3 9

208a ] - B09

8/ Cho hình l ng tr tam giác u ABC.A1B1C1 có AB = a, góc gi a hai m t ph ng (A1BC) và (ABC) b ng 600 G i G là tr ng tâm c a tam giác A1BC Tính theo a th tích V c a kh i l ng tr ã cho và bán kính R c a m t c u ngo i ti p t di n GABC

[ S: V = 3 3 3

8

a , R = 7

12

a ] - B10 9/ Cho hình l ng tr ABCD.A1B1C1D1có áy ABCD là m t hình ch nh t, AB = a, AD = a 3 Hình chi u vuông góc c a nh A1 lên m t ph ng (ABCD) trùng v i giao i m H c a AC và BD Góc

gi a hai m t ph ng (ADD1A1) và (ABCD) b ng 600 Tính theo a th tích V c a kh i l ng tr ã cho

và kho ng cách d t i m B1 n m t ph ng (A1BD)

[ S: V = 3 3

2

2

a ] - B11 10/ Cho hình chóp tam giác u S.ABC có SA = 2a, AB = a G i H là hình chi u vuông góc c a A lên SC Ch ng minh SC (ABH) Tính theo a th tích V c a kh i chóp S.ABH

[ S: V = 7 11 3

96

a ] B12 11/ Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình vuông c nh a, m t bên SAB là tam giác u và n m trong m t ph ng vuông góc v i áy Tính theo a th tích V c a kh i chóp S.ABCD và kho ng cách h t i m A n m t ph ng (SCD)

[ S: V = 3 3

6

a , h = 21

7

a ] B2013 III/ KH I A

1/ Cho hình chóp tam giác u T.ABC nh T có dài c nh áy b ng a G i M, N l n l t là

trung i m c a SB, SC Tính theo a di n tích S c a tam giác AMN, bi t r ng m t ph ng (AMN) vuông góc v i m t ph ng (TBC) [ S: S = 2 10

16

2/ Cho hình l p ph ng ABCD.A1B1C1D1 Tính s o c a góc ϕ gi a hai m t ph ng (BA1C) và (DA1C)

[ S: ϕ = 1200 ] A03 3/ Cho hình tr có hai áy là hai hình tròn tâm O và O1, bán kính áy b ng chi u cao và b ng a Trên ng tròn áy tâm O l y i m A, trên ng tròn áy tâm O1l y i m B sao cho AB = 2a Tính theo a th tích V c a kh i t di n OO1AB

[ S: V =

3 3 12

a

] A06 4/ Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông c nh a, m t bên SAD là tam giác u và

n m trong m t ph ng vuông góc v i áy G i M, N, P l n l t là trung i m c a SB, BC, CD

Ch ng minh AM BP Tính theo a th tích V c a kh i t di n CMNP

[ S: : V =

3 3 96

a

] A07 5/ Cho hình l ng tr ABC.A1B1C1có áy ABC là tam giác vuông t i A, AB = a, AC = a 3 , dài

c nh bên b ng 2a Hình chi u vuông góc c a A1 lên (ABC) là trung i m H c a c nh BC Tính theo a th tích V c a kh i chóp A1.ABC và tính cô sin c a góc ϕ gi a hai ng th ng AA1 và

B1C1

[ V = 3 2

a , cosϕ = 1

4 ] A08 6/ Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thang vuông t i A và D, AB = AD = 2a; CD = a; góc

gi a hai m t ph ng (SBC) và (ABCD) b ng 600 G i H là trung i m c a c nh AD Cho bi t hai

m t ph ng (SBH) và (SCH) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABCD) Tính theo a th tích V c a kh i chóp S.ABCD

[ S: V =

3

3 15 5

a

] A09 7/ Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông c nh a G i M, N làn l t là trung i m c a

AB và AD; H là giao i m c a CN và DM Bi t SH vuông góc v i m t ph ng (ABCD) và SH = a 3 Tính th tích V c a kh i chóp S.CDNM và tính kho ng cách d gi a hai ng th ng DM và SC theo a

[ S: V = 5 3 3

24

a , d = 2 3

8/ Cho hình chóp S.ABC có áy ABC là tam giác vuông cân t i B, AB = BC = 2a; Hai m t ph ng

qua SM và song song v i BC c t AC t i N Bi t góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (ABC) b ng 600 Tính theo a th tích V c a kh i chóp S.BCNM và kho ng cách d gi a hai ng th ng AB và SN

[ S: : V = 3

3a , d = 2 39

13

a

] A11 9/ Cho hình chóp S.ABC có áy ABC là tam giác u c nh a, hình chi u vuông góc c a S lên m t

ph ng (ABC) là i m H thu c AB mà HA = 2HB Góc gi a ng th ng SC và m t ph ng (ABC)

b ng 600 Tính th tích V c a kh i chóp S.ABC và kho ng cách d gi a hai ng th ng SA và BC

[ S: V =

3 7 12

a

, d = 42

8

a

] A12 10/ Cho hình chóp S.ABC có áy ABC là tam giác vuông t i A, 0

30

ABC , SBC là tam giác u

c nh a và m t bên SBC vuông góc v i áy Tính theo a th tích V c a kh i chóp S.ABC và kho ng cách h t i m C n m t ph ng (SAB)

[ S: V = 3

16

a , d = 39

13

a ] A13 IV/ M T S BÀI TOÁN THAM KH O

1/ Cho hình chóp S.ABC có áy ABC là tam giác u c nh a, ng th ng SA vuông góc v i m t

ph ng (ABC) và SA = 6

2

a Tính kho ng cách d t i m A n m t ph ng (SBC)

[ S: d = 2

2

a

] TK02 (De so 04) 2/ Cho t di n OABC có ba c nh OA, OB, OC ôi m t vuông góc G iα , β,γ l n l t là góc

gi a m t ph ng (ABC) v i các m t bên (OBC), (OCA), (OAB) Ch ng minh r ng:

cosα cosβ cosγ 3 [ S: ] TK02 (De so 05)

3/ Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông c nh a, SA (ABCD), SA = a G i E là trung

i m c a CD Tính theo a kho ng cách d t S n ng th ng BE

[ S: d = 3 5

5

a ] TK02 (De so 06) 4/ Cho tam giác vuông cân ABC có c nh huy n BC; trên ng th ng d vuông góc v i m t ph ng (ABC) t i A l y i m S sao cho góc gi a hai m t ph ng (ABC) và (SBC) b ng 600 Cho bi t BC = a, tính dài o n SA theo a

[ S: SA = 3

2

a

] TK02 (De so 07)