Đây là một tài liệu hiếm có về việc sử dụng MTBT trong khi giải đề thi Đại học môn Toán một thao tác mà học sinh hiện nay ít chú ý tới. Tài liệu này rất đầy đủ vì được tác giả sưu tầm từ nhiều nguồn khác nhau đồng thời bổ sung, sáng tạo thêm các kỹ thuật. Hi vọng phiên bản thứ 2 này khi ra mắt sẽ được bạn đọc đón nhận nhiều hơn vì đây là một tài liệu khá bổ ích cho việc thi Đại học.
Trang 11
SỬ DỤNG MTBT TRONG LÀM ĐỀ THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
Lâm Hữu Minh (TTMT)
“Việc kết hợp trí tuệ máy tính với trí óc con người sao cho hiệu quả là cả một
môn khoa học, gọi là khoa học về phương pháp”
TTMT
Các kỹ thuật sau đây được TTMT sưu tầm (khoảng 1
2 dung lượng của chuyên đề) và tự sáng tạo, bao gồm cả kỹ thuật giải tay lẫn sử dụng MTBT, phương pháp chính quy lẫn không chính quy Các kỹ thuật về MTBT trong này dùng cho đề thi ĐH - CĐ, chỉ một số ít có thể dùng để thi HSG giải toán trên MTBT Trong đó, có 2 tác giả của các kỹ thuật mà TTMT sưu tầm nhiều nhất, đó là:
_ Bạn Bùi Thế Việt (nthoangcute): phần lớn là các kỹ thuật về sử dụng MTBT
_ Thầy Trần Phương: các kỹ thuật tính tích phân
Số còn lại sưu tầm từ nhiều tác giả khác nhau, chủ yếu về các kỹ thuật sử dụng MTBT Lưu ý: loại MTBT dùng ở đây là CASIO fx-570ES, các loại máy khác có màn hình hiển thị tương
tự thì thao tác sẽ khác một vài chi tiết nhỏ
Tuy cấu trúc đề thi ĐH - CĐ có thể thay đổi theo thời gian, nhưng kiến thức là vĩnh cửu, do
đó việc cấu trúc câu ở đây khác đề thi thật hay không không quan trọng Ngoài ra, có những
kỹ thuật vượt khỏi phạm vi kiến thức THPT thì không nhất thiết phải tìm hiểu, nhưng luôn có thể áp dụng được vì chúng được dùng để truy nhanh những kết quả mà đề thi không yêu cầu trình bày cách giải, miễn người đọc có khả năng áp dụng
Chỉ cần chúng ta vẫn nắm vững được phương pháp giải và trình bày bài toán, thì chúng ta
có thể tự tin giao cho máy tính giải quyết những chi tiết nhỏ nhặn, thời gian còn lại sẽ góp phần để mở rộng vốn kiến thức của bản thân
Tài liệu này nên được bổ sung phát triển theo hướng sát với đề thi ĐH - CĐ mỗi năm, bởi bất kì người học nào có năng lực
Câu 1 a) (khảo sát hàm số)
Tính trước các giá trị để biết trước kích cỡ của BBT trước khi kẻ vào
Dùng MODE TABLE của MTBT để tìm các điểm thuộc đồ thị trước khi vẽ (dùng cho cả việc tính các giá trị của hàm với nhiều giá trị biến liên tiếp nhau để biết được sự biến thiên trong 1 khoảng, hay tìm khoảng chứa nghiệm) Vì đồ thị vẽ ở bên không cùng mặt giấy với quá trình khảo sát trước đó nên phải giữ lại bảng giá trị (MODE TABLE) để nhìn vào và vẽ (đỡ phải lật giấy lại liên tục để xem tọa độ các điểm hay phải ghi ra nháp)
(dx e)( ) '( )( ) '( )
x
adx aex be cd y
f x f x y
Trang 2 Chia y cho y’: y y f x' ( )1 f x2( ) PT đường qua cực trị y f x2( ) tính nhanh được
0
(x ) 2( )0
y f x với x0 là nghiệm PT y’ = 0
Khi đề cho hàm số y f x m3( , ) (ở câu a), mà để làm được câu này ta phải tìm (biểu diễn) được nghiệm của PT f x m Lúc này nên thử xem PT đó có nghiệm 3( , ) 0 xx0R (không chứa m) hay không Nhập vào máy f3(X) rồi gán m = 0 (đơn giản nhất) cho máy giải tìm X Nếu máy cho nghiệm xấu không làm rõ được (hoặc biết được nhưng phức tạp) thì chắc chắn
đó không phải x0 cần tìm, cho máy giải lại tìm nghiệm đẹp (thường là nguyên) Nếu đã tìm
được nghiệm đẹp, quay lại PT, áp dụng “nguyên tắc thử giá trị tốt nhất” (xem Câu 2a) để
kiểm tra biểu thức khi thay đổi m Tuy nhiên để đề phòng nghiệm có dạng x = am + b, ta gán
m = 1000 cho máy giải Nếu 0
0 100
x x
quát ở Câu 2b)
Câu 2 a) (PT lượng giác)
Với mọi PT: nếu có thể rút gọn nhanh các biểu thức của PT mà vẫn giữ nguyên ĐKXĐ thì nên nhập PT rút gọn cho máy giải (trước khi bắt tay vào làm, trừ phi bài quá dễ)
Nguyên tắc thử giá trị tốt nhất (sẽ dùng cho 1 vài kỹ thuật phía sau): nếu một dạng khác của biểu thức f(x) là g(x) được tìm ra nhờ MTBT mà khi ta gán các giá trị X (trên MTBT):
_ Là số siêu việt (như ; ; e …) nếu f(x) là hàm nguyên (VD: hàm đa thức f x ) n( )
_ Là số thập phân hữu hạn (như 1,364; 5,2235;…) nếu f(x) là hàm vô tỉ
để tính ( )f X g X( ) mà kết quả luôn bằng 0, thì dạng g(x) được tìm ra là đúng (các giá trị X
ở đây phải thuộc TXĐ của f(x))
Dùng MTBT kiểm tra xem đẳng thức lượng giác ( )f x g x( ) (1 vế là đại lượng có trong bài toán) nhớ có đúng không: nhập vào máy ( )f x g x( ) rồi dùng “nguyên tắc thử giá trị tốt nhất”) để kiểm tra, sai thì sửa lại biểu thức và thử tiếp
Tìm nhân tử (khi nháp chưa ra): giả sử PT ( )F x 0 bấm máy được nghiệm x = x0 (nên nhập các giá trị dự đoán ban đầu (gọi là x G) là các số đẹp, hay xảy ra là 0; ; ; ;
6 3 2 4
cho máy giải), dự đoán và thử tính f x( )0 với ( )f x là hàm lượng giác có liên quan mật thiết đến
PT đang giải (nhưng trước tiên nên chọn các hàm cơ bản là sinx, cosx, tgx), nếu f x ( )0 0 thì ( )
f x có thể là 1 nhân tử của PT Đến đây có 2 cách tìm nhân tử chính xác:
_ Giải PT nhân tử ( )f x 0 tìm nghiệm, đối chiếu ĐK (nếu có) ta được các nghiệm x0, x1,
x2,… Thay lại các nghiệm này vào F(x), giả sử có F x , thì ( )( )1 0 f x không phải là nhân tử
cần tìm (ngược lại thì coi như đã xong 1 nửa)
_ x0 có thể thuộc họ nghiệm xx0kc với 1; ; ;1 1 2
2 3 3
c
(những số thường rơi vào), do đó
ta lưu x0A rồi lập chương trình kiểm tra nghiệm: X A C : ( )F X Dùng CALC gán
Trang 3 Cách lưu nghiệm nhanh hơn cho mọi PT ( )f x g x( ): nhập vào máy ( )f x g x( ) (bỏ “= 0”) để giải Sau khi ra nghiệm, quay lại PT, ấn (đương nhiên kết quả là 0) để lưu PT (nếu phải tính nhiều phép tính khác nhưng liên quan đến PT này, thì cứ khoảng 3; 4 phép tính lại quay lại lưu PT 1 lần), rồi lưu nghiệm trong X sang biến nhớ khác Quay lại PT cho máy giải tiếp tìm nghiệm khác
Khi máy cho nghiệm xấu (trong PT lượng giác là nghiệm có dạng a
b) (phương – bất phương – hệ phương – trình đại số)
Nếu không muốn đặt ĐKXĐ cho PT (trừ phi ĐK có thể giúp 1 phần trong việc giải) thì cứ giải bình thường rồi mang các nghiệm thử lại vào PT đầu (nếu dùng cho PT lượng giác thì phải lưu ý tính tuần hoàn của họ nghiệm, vì có vô số nghiệm)
Đổi số thập phân Pa a1 2 a b b m, 1 2 (b c c n 1 2 )c p máy hiện thành phân số:
Số thập phân vô hạn tuần hoàn:
_ Cách 1: dùng MTBT:
Trang 4+ Nếu m n p thì nhập P vào với ít nhất 3 lần chu kì, nhập phải dài hơn phần mà máy 7hiển thị được, ấn , máy cho ra phân số Lưu ý: điều kiện “ 7 ” chỉ là mức tối đa mà máy có thể làm được, không phải P cứ có điều kiện đó là đổi được
+ Nếu Pa a1 2 a m,(c c1 2 )c p với p khá lớn, ta chỉ cần cho máy đổi 0,(c c1 2 )c p thành phân
số, rồi cộng với a a1 2 a ngoài nháp Áp dụng định lí: mọi số thập phân dạng m
0,c c c là số thập phân được cắt từ 15 chữ số đầu của một số thập phân vô hạn tuần hoàn
có dạng 0,(c c1 2 )c p (lúc này không nhất thiết p 14) mà dạng phân số của nó chính là a _ Cách 2: áp dụng công thức đổi số thập phân tuần hoàn tổng quát:
_ Tổng chữ số của tử và mẫu vượt quá 9
_ Tổng chữ số của tử và mẫu bằng 9 nhưng số chữ số của tử lớn hơn của mẫu (lúc này ta trừ đi phần nguyên để đổi phần thập phân)
Giả sử số thập phân hữu hạn Pa a1 2 a b b m, 1 2 b n cần tìm dạng phân số, ta dùng phương pháp chuyển đổi từng phần để tìm dạng phân số của 0,b b1 2 b n Lần lượt nhập vào máy
Tính nhanh giới hạn: vì đề thi ĐH không bắt trình bày cách tính lim ( )f x nên ta có thể làm bất cứ cách gì miễn tính được nhanh nhất, và chỉ phải dùng cách này ở các hàm số sinh bởi việc giải PT khi không nhẩm ngay được đáp án:
_ Dạng 0
0: tính 0
( )lim( )
Trang 55
+ Quy tắc L’Hospital: nếu f x g x'( ), '( ) trong lân cận x0 và 0
0
'( )lim'( )
x x
x x
d
f X dx d
g X dx
x x
f x
g x
(trong đề thi ĐH không có loại
không tồn tại giới hạn), lúc này nhìn bảng biến thiên của ( )
: ta vẫn dùng quy tắc L’Hospital như trên, chỉ khác lúc này
sẽ tính theo hàm có độ tăng mạnh nhất Khi
x thì độ tăng của chúng xếp theo thứ tự x m log
a
a x x (tức hàm x
a nhanh nhất),
nhờ đó có thể đoán được ngay kết quả
_ Giản ước giới hạn về dạng đa thức bằng cách sử dụng:
2
x a
0
n
n k k k
Trang 6 Cách tối ưu hóa việc tìm nghiệm của MTBT:
_ Cách 1: thử giá trị xG phù hợp Cách để máy dễ tìm ra các nghiệm nhất là thử lần lượt với
f X
X A Tiếp tục SHIFT CALC cho máy giải nghiệm, máy sẽ phải tìm
nghiệm khác (nếu có), không thể hiển thị nghiệm A được Nếu có nghiệm thứ 2 (lưu vào B), ta lại sửa biểu thức thành ( )
f X
X A X B rồi làm tương tự Hết nghiệm máy sẽ báo “Can’t
Solve” Nếu f(x) là PT lượng giác thì với mỗi X giải được tiếp theo, phải coi nó có cùng họ với nghiệm trước không (vì có vô số nghiệm)
Với PT bất kì lúc bắt đầu cho máy giải nên chọn
0 : 1{1;2; ; 1}: 0
Trang 77
Thỉnh thoảng PT có nghiệm đẹp nhưng hàm solve cho “X a,99999998 ” (vì máy dùng thuật toán lặp Newton để xấp xỉ nghiệm), thì hiểu nghiệm đúng là x = a + 1, còn nếu hiện
“X a,000000012 ” thì x = a (MODE EQN rất hiếm khi mắc lỗi này)
Loại máy CASIO fx-570ES trở xuống, MODE EQN không thể hiển thị nghiệm dạng căn thì với PT bậc 2, dùng 2 lệnh:
2
42
B B AC
A
ở MODE COMP để giải
Kỹ thuật khai triển đa thức fn(x) hệ số nguyên ra dạng rút gọn bằng MTBT:
_ Cách 1: Dùng CALC tính fn(1000) được kết quả K1 Vì nhìn qua fn(x) biết được n nên ta xấp xỉ K1 thành số tròn chục gần nhất: K1a110 (3n a1 (do ta gán X = 1000 = 10) 3) a1
là hệ số xn (có thể xảy ra a1 = 0) Quay lại biểu thức fn(X), nhập thêm ta được “ ( ) ( 1 n
n
f X a X ” (biểu thức mới này có bậc n ), ấn , được kết quả K1 2 (nếu làm đúng thì K2 phải ngắn hơn
thể trục trặc nếu n 6 ở những hệ số cuối, gần cuối
_ Cách 2: tính giới hạn theo vô cùng bé Vì
1 2
1 0
a x a x a x
a x
, ta tính được ai Nhưng đầu tiên phải tính a n1 f n(0), sau đó mới
được gán đầu tiên để tính an, sau đó sửa biểu thức và ấn tiếp, nhưng nếu kết quả
là 0 thì phải giảm k xuống và thử lại, vì hệ số chưa chắc đã là 0 (lỗi ngay cả với 1
0lim
n
n X
a X X
) Tuy nhiên nếu để hệ số phân số để khai triển thì kết quả không hiển thị được ở dạng phân số, nhưng vì là số thập phân hữu hạn và nhỏ, hoặc có chu kì, nên có thể đổi được sang phân số nhanh chóng (chi tiết xem phía trên) Cách này hoạt động tốt nhất với n (lúc này có thể cố 4định 10
x
a x a x a
a x
f x x
hiệu quả nhất, ta dùng các quy tắc:
Trang 8+ Tính a1 luôn gán X = 1015, 2 giá trị tiếp theo (để tìm a2, a3) là 1010; 107, các giá trị sau đó cứ lấy 1
2 số mũ của 10 ở giá trị phía trước
+ Nếu thấy kết quả bằng 0 thì thay đổi k của X = 10k đến khi được kết quả khác 0 (nếu mãi
_ Cách 4: được sử dụng để tìm nốt những hệ số còn lại nằm ở giữa của fn(x) bởi vì những cách trên kết hợp lại có thể cũng chỉ tìm được các hệ số phía đầu và cuối Giả sử cần tìm
X2 rồi tính tương tự, ta được hệ 1 1 1
EQN hoặc MODE TABLE (xem Câu 5 (hình học tọa độ phẳng) để rõ hơn) để tìm a a i, i1 Ta
có thể xác định được tối đa 4 hệ số qua cách này (ở Câu 4 (hình học không gian thuần tuý và
tọa độ) có cách giải hệ 4 ẩn bằng MTBT), nhưng tốt nhất vẫn là 3 trở xuống
_ Cách 5: ứng dụng đạo hàm tại điểm Trước hết dùng CALC tính f n(0) được kết quả là an+1
Do đó quay lại đầu biểu thức f X n( ), chèn f X n( )
vào chức năng đạo hàm tại điểm bằng cách ấn ( SHIFT DEL (bật chế độ chèn) rồi
Trang 9hệ này trong MODE EQN thu được kết quả Tuy nhiên bất cập là nếu trong fn(x) có chứa
gm(x) thì máy sẽ không tính được k( )
m
g i với k 4 (nghĩa là với f x4( ) trên, ta phải nhập 3
i i để tính 4
i thay vì nhập trực tiếp 4
i ), xem Câu 7b (số phức) để rõ hơn cách xử lí Cách này hoạt
động tốt nhất với n (làm tương tự trên) 6
_ Cách 7: dùng SOLVE giải PT fn(X) = 0 (nhập nguyên dạng chưa khai triển) Nếu PT có n nghiệm (nhìn qua fn(X) có thể xác định ngay được n, nghiệm bội h cũng coi là h nghiệm đơn)
thì lưu các nghiệm vào biến rồi dùng hệ thức Viet:
k l
i n
i j
a x
a
k i n a
Cách này tốt nhất cho n = 2, không những khai triển được mà còn biết được nghiệm
Nếu fn(x) có hệ số phân số thì ta triệt mẫu số bằng cách nhân thêm s (là BCNN của các mẫu
số, nhằm đưa về đa thức hệ số nguyên) rồi khai triển sfn(x) bằng các cách trên, cuối cùng chia ngược lại các hệ số cho s Đối với cách 7 thì không cần làm vậy, vì ta khai triển gián tiếp
Kỹ thuật khai triển đa thức F x m n( , ) bằng MTBT:
_ Cách 1: dùng khi biết tham số m có bậc cao nhất bằng 1 Ta sẽ khai triển đa thức thành dạng ( ) ( )
f x mg x sau đó gộp lại theo x Vào MODE 2 (CMPLX), xem m là số ảo i, nhập vào máy ( , )
n
F X i , ấn CALC , gán X = 1000 (theo cách 1), ấn được kết quả:
(1000)(1000) (1000)
Nhập F x m n( , ) vào máy (dùng 2 biến X, M; lưu ý triệt mẫu số của các phân số trong F x m n( , )
trước khi nhập), ấn CALC , gán 0
1000
X M
Trang 10tối đa là 3 (nếu có thường chỉ có 1 đa thức ( )f m mang bậc 3), nên ta làm tiếp như sau: dùng i CALC tính F X M với n( , ) 1000
1;2
X M
(2; (2) )f i không thuộc đồ thị hàm số đi qua 3 điểm ( 1; ( 1) ), (0; (0) ), (1; (1) ) f i f i f i thì ( )f m i
có bậc 3 và không thể xác định được trong MODE STAT (vì hàm đa thức trong này chỉ có bậc 1; 2), do đó ta xác định ( )f m này ở MODE COMP i
Ở MODE COMP, ta nhập vào máy F X M n( , )G X M( , ) trong đó G(X,M) chính là dạng khai triển của F X M n( , ) nhưng bị khuyết hạng tử 1
( ) n i i
x SxP, nếu không, thử tiếp với các cặp nghiệm khác Lưu ý: nếu cho EQN giải PT bậc 3
ra 3 nghiệm vô tỉ thì cách này vô dụng Mọi PT đa thức khác nếu gặp phải TH này (khi giải bằng solve) thì thường phải viện đến lượng giác hóa để giải (bằng tay) Với các PT vô tỉ, do TXĐ nên nghiệm vô tỉ có thể bị loại dẫn đến thiếu nghiệm để dùng phương pháp Viet, ta có thể xử lí bằng những cách khác đề cập phía dưới
Nếu máy giải fn(X) = 0 cho nghiệm xấu x = A (lưu vào A), ta có thể giả sử A là nghiệm của
g2(x) = x2 + bx + c trong phân tích fn(x) = g2(x)h(x), rồi sử dụng MODE TABLE để tìm ra nhân tử g2(x) Ta nhờ MODE TABLE tính g2(x) với các giá trị b nguyên (còn x = A), từ đó tìm ra c Do đó ta nhập vào MODE TABLE f(X) = A2 + XA (ở đây X chính là các giá trị b nguyên sẽ dò, A là nghiệm x đã giải được, vì MODE này chỉ dò với biến X) Do A là nghiệm
Trang 1111
nên chắc chắn 2
A bA Bấm , lần lượt gán: c
14141
Start End Step
Từ bảng giá trị thu được, ta
dò giá trị X sao cho f(X) của nó là số hữu tỉ, thì đó chính là kết quả:
Kỹ thuật phân tích đa thức hệ số nguyên f(x,y) thành nhân tử: trước hết nếu f(x,y) có chứa
hệ số phân số thì ta nhân sf(x,y) sao cho mất hết phân số (vì chỉ làm việc với đa thức hệ số nguyên) Tiếp đến nếu bậc y lớn hơn (ngược lại làm tương tự), thay y = 1000 ta được
B = BX + A với input
1 0 2
Kỹ thuật tìm nhân tử PT vô tỷ:
_ PT chứa 1; 2 căn của nhị thức bậc nhất:
Trang 12, làm tương tự (dùng kỹ thuật phân tích
thành nhân tử cho đa thức 2 ẩn)
_ PT chứa căn biểu thức bậc cao:
PT ( )F x f x n( )a h x m( ) (các hệ số đều hữu tỉ), trước hết cho máy giải tìm các 0
nghiệm, lưu vào 2 biến A, B (chỉ cần tối đa 2 nghiệm):
+ TH1: được 2 nghiệm vô tỉ A, B Dùng hệ thức Viet S A B
A B A B B
Bằng cách tương tự ta tìm được dạng đúng của C, D (trong trường hợp
tính số bị xấu) Như vậy nhìn vào A, B, C, D ta tìm được liên hệ giữa h x và x là: m( )
( ) m( ) 0
g x b h x (thường gặp ( )g x px với ,q p q ), đó chính là 1 nhân tử của PT
+ TH2: được 1 nghiệm vô tỉ A Ta đổi dấu của căn được PT F x( ) f x n( )a h x m( ) , giải 0
PT này tìm 1 nghiệm vô tỉ B (lưu vào B) Do ( )F x là phương trình liên hợp với ( ) F x nên B
liên hợp với A, do đó bằng hệ thức Viet S A B
Trang 1313
của nó: bằng cách bình phương toàn phần để làm mất căn, rồi phân tích phương trình bậc cao thu được thành nhân tử bậc 2 để tìm các nghiệm phức, từ đó tìm được nhân tử PT gốc Cuối cùng nếu không muốn làm như trên, thì xoay sang đạo hàm, đánh giá để c/m ( )F x có 0nghiệm duy nhất
+ Nếu các nghiệm giải được không liên hợp với nhau thì với mỗi nghiệm mà máy giải ta tìm
ra 1 nhân tử chứa nó, và coi như PT chứa chừng ấy nhân tử (mỗi nhân tử cho 1 nghiệm) để phân tích
Trong cách phân tích đa thức fn(x) thành nhân tử đã nêu, sau khi tìm được 1 nhân tử bậc 2 là
g2(x) ta chia 2
2
( )
( )( )
n
n
f x
g x
g x bằng kỹ thuật khai triển đa thức trên MTBT để xác định g n2( )x
Nhưng nếu ta cần chia
đều là số đẹp, thì kết quả có dạng pq w (nếu kết quả xấu thì chọn X
khác) Quay lại biểu thức (1) , nhập thêm “ p ” rồi ấn , kết quả chính là q w , chia kết quả
này cho h X( )1 ta được hệ số c1 (thường gặp c1 = q) ( ) Như vậy quay lại (1) , nhập thêm ta
Bây giờ để xác định hệ số c2 của c2 h x( )2 , ta lại
chọn X gán vào (2) sao cho h X( )2 là số xấu còn h X( ) (j j 3; )k
đều là số đẹp, lặp lại thao tác tương tự ta tìm được c2, rồi quay lại (2) nhập thêm “c2 h X( )2 ”, cứ như vậy ta xác định được
Trang 14thi ĐH chỉ có bậc 1 hoặc 2, do đó ta dùng MODE 3 (STAT) để tìm đa thức này
Trước hết ta thực hiện bước chia ( ) 3 lần để tìm 3 giá trị c1 khác nhau ứng với X = x1, X =
x2,
X = x3, đó chính là 3 giá trị v x( ) ; ( ) ; ( )1 i v x2 i v x3 i Như vậy biết 3 điểm ( ; ( ) ); ( ; ( ) )x v x1 1 i x v x2 2 i ;
3 3
( ; ( ) )x v x i thuộc đồ thị hàm ( )v x có bậc 1 hoặc 2, ta hoàn toàn xác định được hàm số đó i
Cách xác định ( )v x bằng MODE STAT được nêu ở Câu 5 i
Ngoài ra, ta thường gặp u x với p = 1; 2, do đó ta có thể tính p( ) 1
( )
( )( )
lim
k
i p x
Sau khi tìm ra 1 nhân tử của PT f x( ) f x1( ) f x2( ) g x1( )0 là h x( ) g x1( )g x2( ) thì
có thể phân tích f(x) thành nhân tử bằng cách chia ( )
( )
f x
h x , song nếu ngại chia có thể chuyển
sang cách triệt tiêu căn (bản chất là nhân liên hợp với h(x)):
(f(x) chứa nhiều căn làm tương tự)
PT f x n( ) (n 3) khi máy giải ra tất cả nghiệm đều xấu, thì hầu hết phải sử dụng lượng giác hóa Lúc này có thể thử tính arcsinx0; arccos ; arctanx0 x0 (x0 là nghiệm đã lưu vào biến) để tìm dạng lượng giác của nghiệm, là xsin(kc) với k1;l
ứng với l nghiệm khác nhau (có thể thay sin bằng cos hay tan) Nếu không tìm được dạng lượng giác, thì tùy vào khoảng giá trị
x (có thể dựa vào các nghiệm mà máy giải) để đặt t sin ;x t cosx hay ttanx, lao vào giải tay
Vài cách đặt ẩn phụ để lượng giác hóa (tương tự như nguyên hàm - tích phân):
_ PT f x n( ) 0: tổng quát đặt x = tgt chuyển về PT đẳng cấp với sint, cost
t
_ PT chứa 2 2
x a : đặt | |
| | cotg
a tgt x
a t