Tập san toán học và sinh viên 33 - 11/2010

NGUYỄN THÀNH QUANG Thành công nổi bật nhất trong quá trình phát triển của Khoa Toán - Trường Đại học ĐH Vinh là những thành tựu về công tác đào tạo và nghiên cứu khoa học.. Đã có 40 ng

Tháng 11, tiết trời đã trở lạnh sang đông, khiến ta quên đi ánh nắng mặt trời gay gắt, những cành phượng vĩ đỏ thắm bầu trời những lúc vào hạ, cũng không còn nữa thoáng khẽ khàng mang theo chút man mác se lạnh cuối thu… Nhưng giữa những ngày gió lạnh đầu mùa, trong mỗi chúng ta lại ấm lên cảm giác bồi hồi, xúc động khó tả, nhớ về thầy cô giáo của mình, bởi ngày 20-11 lại đến!

20-11, Ngày Nhà giáo Việt Nam, ngày lễ của toàn ngành Giáo Dục, cũng là dịp để tôn vinh những người thầy, người cô đã và đang đứng trên bục giảng truyền đạt tri thức và đạo làm người cho bao lớp học trò, tôn vinh truyền thống hiếu học và truyền thống tôn sư trọng đạo của dân tộc ta: “Không thầy đố mày làm nên” hay “Nhất tự vi sư, bán tự vi sư”…Chính thầy cô là những người đã chắp cánh cho mọi ước mơ của chúng ta bay cao, bay xa, cung cấp hành trang kiến thức để chúng ta bước vào đời và thành công trong cuộc sống…

Con đò mộc, mái đầu sương Theo con đi khắp muôn phương mai này Khúc sông ấy vẫn ngày ngày Thầy đưa những chuyến đò đầy qua sông

Thầy cô ơi! Công ơn lớn lao của thầy cô, chúng con không biết phải đền đáp như thế nào Chúng con biết, nhiều lúc đã làm thầy cô buồn lòng, không vui Chúng con xin hứa sẽ cố gắng học tập hơn nữa để có thể phần nào bù đắp những lỗi lầm của mình Cũng vẫn biết rằng, thầy cô đã phải vất vả như thế nào khi lái một con đò, với biết bao nhiêu sóng gió, thầy cô vẫn một lòng vì chúng con, chở che và dìu dắt chúng con Những lúc chúng con chùn bước, bàn tay ấm áp của thầy cô lại nâng đỡ nhẹ nhàng Những lúc dường như bất lực, giọng nói truyền cảm ấy lại đến với chúng con, cho chúng con thêm nhiều nghị lực để tiếp tục phấn đấu Thầy ơi, cô ơi, ngàn lần chúng con xin cảm ơn người! Chúng con sẽ cố gắng lắng nghe tiếng thời gian, nắm thật chặt trong tay dòng thời gian của mình, để có thể bước đến bến bờ thành công như niềm hi vong mà thầy cô dành cho chúng con Đất nước cho chúng con một quê hương để thương, để nhớ Cha mẹ cho chúng con một hình hài, dáng dấp để sống và học tâp Và thầy cô cho chúng con một hành trang vững chắc để bước vào đời

Nhân ngày 20-11, ngày Hiến Chương Nhà Giáo Việt Nam, chúng con xin gửi đến thầy cô lời cảm ơn chân thành với tấm lòng tri ân sâu sắc nhất, cùng những lời chúc tốt đẹp Chúc thầy cô luôn khỏe và mãi

là những người đưa đò vĩ đại trên dòng sông tri thức của cuộc đời

* TẬP SAN TOÁN HỌC & SINH VIÊN Số 33, tháng 11 năm 2010 Chịu trách nhiệm xuất bản SỞ TT&TT NGHỆ AN Chịu trách nhiệm nội dung PGS.TS Nguyễn Thành Quang

Trưởng ban: Trần Quốc Luật Phó ban: Nguyễn Thúy Hằng BTV: Đinh Bích Yến, Nguyễn Duy Diện, Lê Như Hảo, Hoàng Thị Ngọc Trà, Mai Thị Phương, Nguyễn Huy Hùng, Nguyễn Anh Sơn, Võ Viết Chương, Phan Hồng Quân, Nguyễn Thị Ngọc Hà, Bùi Văn Hoàng, Phạm Thị Liên, Nguyễn Thanh Huyền, Phan Đình Hùng MỤC LỤC  Tạo thói quen khai thác giả thiết……… 5

 Toán học với sự phát triển kinh tế vĩ mô……….12

 ĐH Vinh - nơi tạo dựng tương laic ho tuổi trẻ…18  Kinh nghiệm học môn Tô-pô……… 22

 Những định lý giải tích quan trọng……… 16

 Định lượng toán tử tuyến tính……… 20

 Đề ra kỳ này……….22

 Tư duy hình học trong đại số……… 25

 Khảo sát tính liên tục đều……… 28

 Hướng dẫn sử dụng LaTeX……… … 30

In 250 bản tại Xưởng in Đại học Vinh, khuôn khổ 19.27 cm Giấy phép xuất bản số 171/2010/GPXB – STTTT cấp ngày 09/11/2010 In xong và nạp lưu chiểu tháng 11 năm 2010

KẾT HỢP ĐÀO TẠO VÀ NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

TẠI KHOA TOÁN - TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG

Thành công nổi bật nhất trong quá trình phát

triển của Khoa Toán - Trường Đại học (ĐH) Vinh

là những thành tựu về công tác đào tạo và nghiên

cứu khoa học Một số tập thể nghiên cứu trong

Khoa đã đạt được những kết quả mạnh, tập trung

vào một số hướng quan trọng, có ý nghĩa khoa học,

được nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước đánh

giá cao Hiện nay, đội ngũ giảng viên toán của

Trường ĐH Vinh gồm: 1 giáo sư, 10 phó giáo sư,

15 tiến sĩ Khoa đang đào tạo 3 ngành đại học: Sư

phạm Toán học, Toán học, Toán - Tin học và ứng

dụng trên tổng số 600 sinh viên Về đào tạo sau đại

học, Khoa có 5 chuyên ngành đào tạo thạc sĩ và tiến

sĩ: Toán Giải tích, Đại số và Lý thuyết số, Lý luận

và phương pháp dạy học bộ môn Toán, Hình học và

Tôpô, Lý thuyết Xác suất và thống kê Toán học Đã

có 40 nghiên cứu sinh của Khoa bảo vệ thành công

luận án tiến sĩ tại cơ sở đào tạo sau đại học -

Trường Đại học Vinh, trong đó nhiều luận án bảo

vệ đạt loại xuất sắc; nhiều luận án trực tiếp do cán

bộ trong Khoa làm hướng dẫn chính

Toàn Khoa đã có 171 công trình toán học công

bố trên các tạp chí Toán học chuyên ngành có uy tín

trong và ngoài nước Nhiều giảng viên của Khoa có

công trình được liệt kê trong Tạp chí Mathematical

Reviews của Hội Toán học Mỹ, trong đó có 4

giảng viên có từ 10 công trình trở lên; 11 giảng viên

và nghiên cứu sinh có công trình công bố thuộc

danh mục ISI

Hiện tại, Khoa có 13 giảng viên với độ tuổi dưới

35 đang theo học chương trình đào tạo tiến sĩ, trong

đó có 6 người đang làm nghiên cứu ở nước ngoài

Trong những năm gần đây, có nhiều cán bộ giảng dạy Khoa Toán đã báo cáo khoa học tại nhiều nước trên thế giới như: Mỹ, Pháp, Italy, Trung Quốc, Thái Lan Khoa đã thực hiện 12 đề tài nghiên cứu cơ bản cấp Nhà nước, 25 đề tài cấp Bộ Nhiều giáo trình và sách chuyên khảo đã được xuất bản, phục vụ cho công tác đào tạo sau đại học ngành Toán trong và ngoài Trường ĐH Vinh

Tập thể sinh viên của Khoa đã đạt được thành tích: 20 giải thưởng trong Hội thi sinh viên nghiên cứu khoa học của Bộ Giáo dục và Đào tạo, trong đó

có 2 giải Nhất, 3 giải Nhì; 115 giải trong các kỳ thi Olimpic Toán học sinh viên toàn quốc (2000-2010)

do Hội Toán học cùng Bộ Giáo dục và Đào tạo đồng tổ chức, trong đó có 18 giải nhất Sinh viên Nguyễn Trần Thuận khóa 46A đạt 2 giải nhất trong

kỳ thi năm 2009, trong đó có môn thi Đại số đạt điểm tuyệt đối Sinh viên Trần Quốc Luật khoá 50A đạt Giải nhất môn Giải tích trong kỳ thi năm 2010 Hoạt động thi Olimpic toán hàng năm của Hội Toán học đã góp phần động viên lòng say mê toán học của các em sinh viên, góp phần tôn vinh trí tuệ toán học của tuổi trẻ Việt Nam

Bốn lớp bồi dưỡng cử nhân tài năng toán tại Khoa đã được mở là một hình thức đào tạo chất lượng cao, tạo địa chỉ tin cậy để tạo nguồn cán bộ cho Khoa Lớp cử nhân tài năng khóa V đang triển khai học 2 chuyên đề

Về công tác quản lý đào tạo, Khoa Toán đã chỉ đạo việc xây dựng nề nếp quản lý đào tạo qua các chuyên ngành và tổ bộ môn, xây dựng chương trình chuẩn, tổ chức thực hiện chương trình đào tạo, viết

sách và giáo trình, rèn luyện phương pháp nghiên

cứu cho sinh viên và học viên, xây dựng thư viện,

mạng Internet tạo điều kiện cho sinh viên và học

viên tự học

Song song với những nỗ lực kể trên, nhiều sinh

viên giỏi của Khoa bằng nhiều con đường khác

nhau đã được gửi đi đào tạo thạc sĩ ở các trường đại

học nước ngoài Các trường đại học của Mỹ, Nga,

Trung Quốc, Đức, Pháp đã tiếp nhận NCS của

Khoa Chương trình hợp tác Hỗ trợ đào tạo các nhà

toán học trẻ Việt nam (Formathvietnam) đã cấp cho

Khoa 6 học bổng sau tiến sĩ tại Pháp Có 01 NCS đã

bảo vệ thành công luận án dưới sự đồng hướng dẫn

của các nhà toán học hai nước Pháp - Việt Tổ chức

Formathvietnam cũng đã tổ chức tại Khoa Toán -

Trường Đại học Vinh các trường toán ngắn hạn

Các giáo sư và các nhà toán học tên tuổi như

Cachier, Mutsuo Oka, Feréderic Phạm, Nguyễn

Thanh Vân, Lê Dũng Tráng, đã tới đọc bài giảng

khoa học cho cán bộ, NCS và học viên cao học tại

Khoa Năm 2010, Tổ chức Rencontres du Vietnam

(Gặp gỡ Việt Nam) do Giáo sư Trần Thanh Vân

làm chủ tịch, đã trao 7 học bổng Odon Vallet cho 2

NCS và 5 sinh viên của Khoa có thành tích xuất sắc

trong học tập, với tổng trị giá 53 triệu đồng Từ năm

2008, Khoa đã ký kết một hợp tác đào tạo và nghiên

cứu với Trung tâm Vật lý Lý thuyết Quốc tế Triese,

Italy (ICTP) và trong khuôn khổ hợp tác này đã có

3 giảng viên trẻ của Khoa Toán được đi thực tập

khoa học tại ICTP

Cơ sở đào tạo sau đại học trường ĐH Vinh đã

mời được hơn 100 nhà toán học từ Viện Toán học,

ĐHQG Hà Nội, ĐHSP Hà Nội, Đại học Huế, Viện

Khoa học Giáo dục, tham gia giảng dạy, hướng

dẫn luận văn thạc sĩ, luận án tiến sĩ

Khoa Toán thường xuyên tổ chức các hội nghị khoa học, nhằm giúp cho sinh viên, học viên được tiếp cận với hướng nghiên cứu mới, giao lưu với các nhà khoa học đầu ngành, có cơ hội trình bày các báo cáo và định hướng nghiên cứu Nhiều cán bộ của Khoa đã có mối quan hệ hợp tác nghiên cứu khoa học thường xuyên với các nhà toán học trong

và ngoài nước

Cùng với nhiều thành tích đã đạt được, hoạt động đào tạo ngành Toán vẫn còn nhiều hạn chế cần khắc phục:

- Trình độ đầu vào của sinh viên, học viên không đồng đều Sinh viên những năm đầu chưa tham gia nhiều hoạt động nghiên cứu, vẫn còn nhiều sinh viên chưa thực sự say mê trong học tập Các ảnh hưởng mặt trái của cơ chế thị trường vẫn còn ít nhiều tác động đến người học, đã làm cho nhiều người thiếu nhiệt tình khám phá trong các nghiên cứu cơ bản có ý nghĩa khoa học lâu dài Việc cập nhật và trao đổi các kiến thức tin học trong sinh viên còn yếu; học tập ngoại ngữ chưa thường xuyên liên tục, kém hiệu quả; khả năng tự học chưa cao Sinh viên khai thác tài liệu thư viện (đặc biệt tài liệu tiếng nước ngoài), sử dụng hiệu quả công cụ mạng Internet, các phần mềm tin học trong học tập, nghiên cứu còn ít

- Đội ngũ cán bộ hướng dẫn chính luận án tiến sĩ của Khoa còn mỏng, trong Khoa chưa có nhiều mũi nhọn nghiên cứu cơ bản đủ mạnh để có thể hội nhập khu vực và quốc tế về đào tạo tiến sĩ

- Số giáo trình đã biên soạn và nghiệm thu đưa vào sử dụng còn ít, chưa đáp ứng đầy đủ nhu cầu học tập của sinh viên, học viên

- Thông tin phản hồi hai chiều giữa người dạy và người học chưa được chú trọng Vẫn còn nặng về

truyền thụ kiến thức cụ thể, không làm nổi bật được

kiến thức gốc; nhiều người học không nắm được

bản chất của các khái niệm cơ bản của toán học dẫn

tới không ứng dụng được toán học vào các ngành

khoa học khác và thực tiễn đời sống

- Nhiều sinh viên, học viên còn tâm lý ỷ lại, lười

đào sâu suy nghĩ trong học tập và nghiên cứu; nặng

học để mà thi chứ không học để mà biết, vận dụng

Từ thực tế đào tạo ngành toán tại Khoa trong thời

gian qua, Khoa có những đề xuất sau:

1 Chất lượng đào tạo và nghiên cứu của đội ngũ

các thầy giáo là tiền đề cần thiết và là niềm cảm

hứng về tư duy sáng tạo cho các đồng nghiệp trẻ và

sinh viên và chính điều này đảm bảo tính bền vững

cho uy tín của Trường Do đó, phải tăng cường vai

trò quản lý, giám sát của bộ môn, khoa chuyên

ngành đối với đào tạo và sinh hoạt khoa học của

giảng viên, hoạt động chuyên môn của học viên ở

những nội dung rất cụ thể: Kế hoạch làm việc, sinh

hoạt chuyên môn, nội dung và chương trình giảng

dạy Thực hiện nghiêm túc các khâu: xét duyệt đề

tài; bảo vệ đề cương nghiên cứu của NCS; đánh giá

luận văn, luận án Trong luận văn thạc sĩ và luận án

tiến sĩ, với những cấp độ khác nhau cần xác lập cân

đối giữa 3 nội dung: Lý thuyết - Nghiên cứu - Ứng

dụng

2 Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin vào

việc đổi mới phương pháp giảng dạy, đặc biệt

khuyến khích cán bộ và sinh viên, học viên sử dụng

các phần mềm tin học trong học tập, giảng dạy,

nghiên cứu toán học

3 Cần có kế hoạch cụ thể về đào tạo đội ngũ cán

bộ trẻ, giỏi, có tâm huyết để đảm đương khối lượng

lớn các chuyên đề cơ bản ở các chuyên ngành, đón

đầu hợp tác quốc tế về đào tạo và nghiên cứu

4 Tạo ra một môi trường làm việc chính quy cho mảng đào tạo: Trang bị phòng làm việc cho các bộ môn; thư viện, Internet công cộng miễn phí; phòng bảo vệ luận văn, luận án,… để cán bộ, sinh viên, học viên có điều kiện học tập và nghiên cứu tốt hơn

5 Cần có chính sách cụ thể về hỗ trợ kinh phí cho sinh viên, học viên có kết quả nghiên cứu, để

họ có thể tham gia các đề tài, hội nghị, hội thảo khoa học trong và ngoài nước; khen thưởng đối với những sinh viên, học viên có thành tích nghiên cứu tốt và cán bộ hướng dẫn thành công khoá luận, luận văn, luận án có kết quả xuất sắc

6 Tinh giản nội dung giảng dạy theo xu thế hiện đại, hội nhập; tăng cường thời gian tự học và tự nghiên cứu của người học Điều đó đặt ra một nhiệm vụ cho chúng ta là công tác đào tạo cần phải

có một sự đổi mới mạnh mẽ về nội dung chương trình, phương pháp giảng dạy và học tập, biên soạn giáo trình cũng như công tác quản lý đào tạo Cần

có cơ chế chính sách thu hút giáo sư giỏi từ các trường đại học, viện nghiên cứu trong và ngoài nước tham gia giảng dạy, hướng dẫn, đồng hướng dẫn và đánh giá khóa luận, luận văn, luận án cho học viên và sinh viên

7 Huy động toàn bộ hệ thống tổ chức và chính trị trong Khoa giúp đỡ sinh viên học tập theo hệ thống tín chỉ: Tư vấn học tập, đăng ký học phần, tài liệu học tập, phương pháp học tập, hướng dẫn ôn thi học phần,

Trong thời gian tới, Khoa Toán sẽ cố gắng có những bước đột phá mạnh hơn, nhanh hơn để tạo ra một số mũi nhọn trong đào tạo và nghiên cứu khoa học, hướng tới có thể hội nhập được với các trường đại học trong khu vực và quốc tế

TẠO THÓI QUEN KHAI THÁC GIẢ THIẾT BÀI TOÁN

TRẦN QUỐC LUẬT – 50A Toán

Trong đề thi Đại học Khối A, năm 2010 có bài toán

“phân loại” như sau:

BÀI TOÁN: Giải hệ phương trình:

Trước hết, ta đặt điều kiện 3, 5

x y Rõ ràng đây là một hệ phương trình không mẫu mực Ta hãy

xem xét từng phương trình của hệ Nhận thấy

phương trình  1 có 2 ẩn “phân ly” “rời nhau” (có

thể “cô lập” mỗi ẩn sang một vế của phương trình),

đồng thời chứa một biểu thức trong dấu căn (hơn nữa

bậc của x và y bằng nhau và bằng 3) Ta khai

thác triệt để những điều này như sau Trước hết “cô

lập” mỗi ẩn về mỗi vế ta được

Với bản chất như vậy, ngoài cách trình bày trên ta

còn có thể trình bày bước này như sau:

Vấn đề đã được giải quyết một nửa, ta sẽ xử lý

phương trình  2 với điều kiện  3

Cách 2.1: Thay  3 vào  2 ta có:

2 2

x

y  vào phương trình thứ hai ta được

2

g  

  Vì vậy phương trình ( ) 7

4

  hàm ( )

f x nghịch biến và g x đồng biến nên ( )  4 có nghiệm duy nhất

Phan Hồng Quân (sưu tầm)

Con với thầy Người dưng nước lã Con với thầy Khác nhau thế hệ…

Đã nhiều lần tôi tự hỏi mình Mười mấy ngàn ngày không gặp lại Những thầy giáo dạy tôi ngày thơ dại Vẫn bên tôi dằng dặc hành trình…

Vẫn theo tôi những lời động viên

Mỗi khi tôi lầm lỡ Vẫn theo tôi những lời nhắc nhở Mỗi khi tôi tìm được vinh quang

Qua buồn vui, qua những thăng trầm Câu trả lời sáng lên lấp lánh Với tôi thầy ký thác Thầy gửi tôi khát vọng người cha…

Đường vẫn dài và xa Thầy giáo cũ đón tôi từng bước!

Từng bước một, tôi bước

Với kỷ niệm thầy tôi

SUY NGHĨ VỀ MỘT BÀI TOÁN HAI KHÔNG GIAN TÔPÔ ĐỒNG PHÔI

BÙI XUÂN QUANG – ĐH Hải Phòng

Tóm tắt Bài viết phân tích hướng chứng minh và

một vài suy nghĩ sau khi giải một bài toán về hai

không gian Tôpô đồng phôi

Mùa hè vừa qua tôi có may mắn được tham dự

Trường hè Toán học cho Sinh viên tổ chức tại Viện

Toán học Tôi đăng kí lớp Tôpô (Giảng viên là PGS

TS Hà Huy Vui) Bài tập sau đây là một trong những

bài mà Thầy cho chúng tôi về nhà:

Chứng minh rằng mặt cầu đơn vị S (2 S là mặt 2

cầu đơn vị trong R ) nếu bỏ đi một điểm thì đồng 3

phôi với R 2

Bài toán này không phải là quá phức tạp, tuy

nhiên nó lại chứa đựng nhiều điều thú vị Bài viết

này tôi sẽ trình bày một số suy nghĩ của mình về bài

toán trên Trước hết, tôi xin được nêu lên không

chứng minh vài khái niệm và Định lý có liên quan

trong việc trình bày để những ai chưa học Tôpô dễ

theo dõi:

1 Giả sử X là một tập hợp khác rỗng,  là một họ

những tập con của X ( P X( ))  được gọi là một

cấu trúc Tôpô trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện

sau đây:

i) Tập X và tập rỗng đều thuộc 

ii) Giao hữu hạn các tập thuộc  thì

thuộc  iii) Hợp bất kì các tập thuộc  thì thuộc



Tập hợp X cùng với một cấu trúc tôpô trên nó được

gọi là một không gian Tôpô (Topological space)

2 Ánh xạ f : X  Y giữa hai không gian tôpô X và

Y được gọi là liên tục tại x0Xnếu với mọi lân cận

V của f x 0 đều tồn tại một lân cận U của x sao 0

cho f U V

3 Giả sử f : X  Y là ánh xạ giữa hai không gian

tôpô X và Y Khi đó, f được gọi là một phép đồng

phôi nếu f là song ánh và ánh xạ ngược f1 của nó

cũng liên tục Lúc đó ta cũng nói không gian tôpô X

đồng phôi với không gian tôpô Y, và kí hiệu là

X Y

4 Quan hệ đồng phôi giữa các không gian tôpô là

quan hệ tương đương

5 Phép đẳng cự là phép đồng phôi (nhưng ngược

lại thì không luôn đúng)

Bây giờ chúng ta trở lại bài toán Cũng xin nói

luôn là do khuôn khổ bài báo nên tôi chỉ đưa ra các

kết quả mà không chứng minh chi tiết, phần còn lại xin dành cho bạn đọc

Tôi giải bài toán này như sau: Thay vì xét hình cầu

2

S , xét mặt cầu:

S x y z, , R3:x2y2z2 z

và chứng minh rằng S\{N} (với N là một điểm nào

đó nằm trên S ) đồng phôi với R Khi đó trong lớp 2Tôpô chúng tôi có một bạn thắc mắc là đề bài Thầy

cho là S , tại sao lại chứng minh cho S thì Thầy 2trả lời là: “Về mặt tôpô thì hai mặt cầu đó giống nhau” Chúng ta hãy cùng lý giải sự giống nhau đó

Cũng cần nói luôn là do mục đích của bài báo nên có thể ban đầu bạn đọc thấy sự trình bày không được tự nhiên lắm, sự không tự nhiên đó sẽ được lý giải ở cuối bài viết

1 Đầu tiên tôi dựng mặt cầu

tâm là gốc O và nằm bên trong hình cầu S Ta xét 2

phép tương ứng sau đây (xem hình vẽ):

Từ gốc toạ độ O, ta kẻ tia

Ot bất kỳ cắt B tại M, cắt

2

S tại M' Khi đó, bạn đọc có thể kiểm tra một cách chi tiết rằng, ánh xạ sau đây:

2 Tiếp theo, ta tịnh tiến mặt cầu B theo trục Oz để

tâm của mặt cầu này trùng với điểm 0;0;1

2

  Ta gọi mặt cầu này là S, suy ra

S  x y z, , R3:x2y2z2z.Lúc này ta có ngay S  B (do “  ” là một quan hệ tương đương như trong phần lý thuyết ta đã nói)

3 Vấn đề còn lại là phải chứng minh cho S bỏ đi một điểm nào đấy thì đồng phôi với R Phép chứng 2

minh được thực hiện như sau (hình vẽ):

Rõ ràng N0;0;1S Với mỗi P(x;y;z)S\{N} ta

kẻ tia Pj cắt R tại Q(x;y) Với một sự kiên trì và cẩn 2

thận thích đáng, bạn đọc có thể kiểm tra được ánh xạ

sau:

:S\{N} R 2

P  P Q

là một phép đồng phôi

Đến đây, ta coi như bài toán đã được giải quyết

Nếu suy nghĩ thêm một chút nữa về bài toán, tôi tin

sẽ có điều gì đó thú vị, bây giờ ta hãy đồng nhất R 2

với không gian phức C (như cách đã biết trong Giải

tích phức) Ta thấy khi P dần tới N thì tia Pj dần tới

vị trí song song với C Vậy ta có thể coi N S

tương ứng với điểm xa vô tận  của mặt phẳng phức,

mặt phẳng phức có bổ sung thêm điểm xa vô tận

được gọi là mặt phẳng phức mở rộng và chúng ta kí

hiệu là C Như vậy, tương ứng như trên được mở

rộng tới đồng phôi giữa S và C (hay R2cũng vậy)

bằng cách đặt   N   Đến đây, tôi tin là chúng ta

có thể hiểu thêm được bản chất của điểm vô cùng

trên không gian phức Cuối cùng, lúc nãy là ta thiết

lập“sự đồng phôi” của S\{N} với R bằng hình học 2

(đồng nhất R với C ), để có thể tính toán bằng giải 2

tích, chúng ta cần thay đổi thứ tự và kí hiệu một chút

để lời tính toán được dễ dàng hơn: Trong không gian

Euclide R với hệ toạ trực chuẩn 3 O; , ,   , xét mặt

cầu S:222  Ứng với mỗi điểm

của bài toán

Kết thúc bài báo, cho phép em được gửi tới Ban tổ

chức Trường hè Toán học cho Sinh viên 2010 lời

cảm ơn sâu sắc nhất vì đã tạo mọi điều kiện thuận lợi

cho chúng em học tập và giao lưu trong suốt thời

gian ở Viện Toán học và ĐHSPHN

LẦN ĐẦU XA NHÀ

Nguyễn Thị Ngọc Hà (sưu tầm) Lần đầu tiên con đi học xa nhà

Bỏ lại đằng sau quê hương vời vợi nhớ

Xe lăn bánh mẹ còn thao nhắc nhở Nước mắt con chạm má tự bao giờ Học xa nhà con mới biết làm thơ Nỗi nhớ mẹ tràn trên trang giấy trắng Con ở một mình trong căn phòng vắng lặng Tiếng mẹ lại vọng về cố gắng nhé con Học xa nhà con lại sợ những hoàng hôn

Cứ thấy nhà ai quây quần ăn cơm tối Con giật mình nước mắt rơi vội Mặn chát bờ môi, nghẹn đắng tâm hồn Học xa nhà con thấy mình lớn khôn

Là lần đầu xa vòng tay của mẹ

Dù ở đâu con cũng thấy mình nhỏ bé Mỗi khi trở về bên mẹ yêu thương!

*********************

LỜI RU CỦA THẦY

Phan Hồng Quân (sưu tầm) Mỗi nghề có một lời ru

Dở hay thầy cũng chọn ru khúc này Lời ru của gió màu mây Con sông của mẹ đường cày của cha Bắt đầu cái tuổi lên ba Thầy ru điệp khúc quê nhà cho em Yêu rồi cũng nhớ yêu thêm Tình yêu chẳng có bậc thềm cuối đâu! Thầy không ru đủ nghìn câu Biết con chữ cũng đứng sau cuộc đời Tuổi thơ em có một thời Ước mơ thì rộng như trời, ngàn năm Như ru ánh lửa trong hồn Cái hoa trong lá, cái mầm trong cây

Thầy ru hết cả mê say Mong cho trọn ước mơ đầy của em

Mẹ ru em ngủ tròn đêm Thầy ru khi mặt trời lên mỗi ngày Trong em hạt chữ xếp dày Đừng quên mẹ vẫn lo gầy hạt cơm

Từ trong vòm mát ngôi trường Xin lời ru được dẫn đường em đi (Con đường thầy ngỡ đôi khi Tuổi thơ lăn một vòng bi tới rồi!) Hẳn là thầy cũng già thôi Hóa thân vào mỗi cuộc đời các em Thì dù phấn trắng bảng đen Hành trang ấy đủ thầy đem theo mình

BÍ QUYẾT NÓI CHUYỆN TRƯỚC ĐÁM ĐÔNG

BÙI VĂN HOÀNG – 50 Toán Tin học - Ứng dụng

Phần lớn mọi người xem việc phải nói chuyện

trước đám đông là nỗi sợ hãi kinh khủng nhất Nỗi sợ

đó còn hơn cả sợ rắn, sợ đi máy bay, hoặc ngay cả

sợ cái chết Nhưng chúng ta, không thể trốn tránh nó

mãi Nhiều người trong chúng ta có thể được mời ra

trình bày một báo cáo, phát biểu trong buổi họp phụ

huynh học sinh, nói lời chúc mừng trong lễ cưới

Làm sao để bạn có thể vượt qua những thử thách đó?

Thật đơn giản chỉ với một chút thời gian luyện tập

Quy tắc quan trọng nhất trong việc nói chuyện

trước đám đông là bạn phải biết mình nói gì Điều

này nghe có vẻ ngớ ngẩn, nhưng thông thường các

“diễn giả” không hề có một ý niệm rõ ràng về những

gì họ truyền đạt đến người nghe Bạn cần phải biết

chính xác bạn sẽ đưa người nghe đến đâu Một khi đã

biết, hãy liệt kê nó thành 3 hay 4 điểm chính và soạn

bài nói của mình tập trung vào những điểm này thôi

Bạn không phải là một cuốn từ điển sống, việc đưa ra

quá nhiều thông tin hay không đủ thông tin cũng đều

dở như nhau Thực hành, nhưng không cần quá

nhiều: Liệt kê ra những gì bạn sẽ nói và tập nói 1 hay

2 lần Sẽ rất hay nếu như bạn canh thời gian trong khi

tập, việc đó sẽ giúp bạn kiểm soát được thời gian nói

mà không sợ bị lố Có thể sẽ có những phút ngẫu

hứng tình cờ xảy ra làm bạn bất ngờ và làm khán giả

thích thú Bạn sẽ không còn muốn xuất hiện trước

đám đông nếu bạn đã nói về một đề tài cả ngàn lần

rồi, bạn sẽ cảm thấy chán và chẳng thèm để ý tới

khán giả nữa Bạn cũng nên lập kế hoạch sẽ mặc

những gì Chú ý rằng đó phải là bộ đồ mà bạn cảm

thấy thoải mái khi mặc vào và điều quan trọng nhất,

đó phải là bộ đồ mà bạn biết sẽ làm mình nổi bật

Quyết định trước việc mình sẽ mặc gì trong ngày

diễn thuyết sẽ làm bạn bớt lo lắng hơn Hãy là chính

mình! Nhiều người cảm thấy cần phải rập khuôn theo

phong cách của ai đó khi nói trước đám đông, đó là

vì họ cảm thấy họ không đủ tự tin để lôi cuốn sự chú

ý của khán giả Một số cảm thấy bị “khớp” và

nghiêm túc quá mức và quên rằng tính hài hước cũng

là một công cụ quan trọng của diễn giả Đừng nên chỉ

tập trung vào vấn đề chính, đôi khi những giai thoại

cá nhân hay những mẩu chuyện nhỏ cũng là một cách

rất tốt để hòa nhập với khán giả Khán giả là bạn bè!

Khán giả luôn ở đó, bởi vì họ quan tâm tới những gì

bạn sẽ nói và muốn nghe bạn nói về vấn đề đó Họ

muốn bạn phải làm tốt Đừng nghĩ khán giả như là

một khối người thù địch, hãy xem họ chỉ là một

nhóm cá nhân riêng lẻ Hãy cố gắng nhìn vào một ai

đó một lúc Khi nói chuyện với khán giả, tiếp thu những ý kiến phản hồi của họ để hoàn thành bài nói chuyện của mình Bạn sẽ vượt qua thôi mà! Tôi chưa bao giờ nghe thấy có ai chết trên bục diễn thuyết cả Bạn cũng không bị thở dốc, hụt hơi, quên mất tên mình hay nổi nóng Đấy là những chuyện gây ám ảnh cho bất cứ ai phải đứng trước đám đông Người ta gọi đó là cơn ác mộng của diễn viên Việc đó hoàn toàn bình thường Sử dụng một số kỹ thuật thư giãn trước khi bắt đầu Bạn có thể tìm một nơi để nhảy lên nhảy xuống hoặc dậm chân thật manh, điều này sẽ giúp bạn cảm thấy vững vàng và giảm bớt căng thẳng Lắc bàn tay và co duỗi nắm tay Điều này sẽ làm tay bạn bớt run Nếu run tay thực sự là một vấn

đề thì hãy nắm lấy một tấm danh thiếp hay nắm vào bục diễn thuyết khi nói chyện Lè lưỡi ra, trợn mắt và

há miệng to hết cỡ, sau đó nhăn tít mặt lại Việc này

sẽ làn thư giãn các cơ mặt của bạn Hít thật sâu và thở mạnh ra tiếng để làm ấm giọng của bạn Tưởng tượng như bạn đang ở trên một đám mây, không gì

có thể làm hại đến bạn khi bạn đang ở trong đó Hãy

cố gắng giữ hình ảnh ấy trong đầu khi bạn đang đứng trên diễn đàn Nói chuyện trước công chúng càng nhiều, việc đó càng trở nên dễ dàng hơn Có khi bạn còn cảm thấy thích nữa ấy chứ!

ƯỚC MƠ CÔ GIÁO

Tôi đứng đây bên giảng đường rộng mở

Tà áo dài chắp cánh những ước mơ Nhớ bé thơ cái ngày vừa bập bẹ

"Búp bê ngoan nghe cô giáo giảng bài" Thấm thoắt xưa giờ hết chặng đường dài Nay mười tám tôi không còn khờ dại Khoác áo dài bước tới Đại học Vinh Học trò xưa không còn búp bê xinh Bàn ghế xưa cũng không còn gạch đá

Mà giờ đây lòng tôi đang hối hả Mai đến rồi làm cô giáo tương lai.

TOÁN HỌC TRONG SỰ PHÁT TRIỂN KINH TẾ VI MÔ

MAI THỊ PHƯƠNG – 49A Toán (tổng hợp)

Trong sự phát triển như vũ bão của khoa học kĩ thuật ngày nay cùng với những biến động mạnh mẽ của nền

kinh tế thị trường Ảnh hưởng của toán học đến các ngành khoa học khác là không hề nhỏ đặc biệt là đối với

nền kinh tế Thông qua những vấn đề về kinh tế đã được học ở ngành 2 bản thân tôi thấy được sự quan trọng

của toán đối với sự hình thành và phát triển của các mô hình kinh tế Vì vậy ở đây tôi đề cập đến vấn đề “toán

học trong sự phát triển của nền kinh tế vi mô” Mà cụ thể hơn là xem xét sự ảnh hưởng của toán học đến hành

vi sản xuất của doanh nghiệp thông qua lý thuyết sản xuất

I – CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ MÔ HÌNH

- Mô hình kinh tế: là mô hình phản ánh các đối tượng trong lĩnh vực hoạt động kinh tế

- Mô hình toán kinh tế : là mô hình kinh tế được diễn tả bằng ngôn ngữ toán học

- Bản chất của 1 hệ thống kinh tế là mô hình hóa quá trình vận dụng của nó Do đó khi xây dựng mô hình toán

học của một hiện tượng kinh tế ta phải chọn các biến: gồm biến ngoại sinh (biến giải thích, biến độc lập) và biến

nội sinh (biến được giải thích, biến phụ thuộc) sau đó tới mô tả quan hệ giữa các biến đó bằng một hệ thức toán

học

- Các ràng buộc của mô hình: là các hệ thức toán học phản ánh mối quan hệ kinh tế, quan hệ hành vi, quan hệ

mua bán,… giữa các yếu tố kinh tế Cũng như sự vận động của tự nhiên và xã hội Quan hệ kinh tế cũng chịu sự

tác động của quy luật bảo toàn (tức là sự bằng nhau, cân bằng theo 1 thước đo nào đó) Mà suy cho cùng hình

thức biểu hiện giữa các biến kinh tế là các phương trình trong toán học

- Sau khi đưa ra các hệ thức toán học đã xác lập về dạng chính tắc hoặc chuẩn tắc thì ta được phương trình trạng

thái của hệ thống kinh tế đang xem xét

II – XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ

 Bước 1: Xây dựng mô hình Định tính cho đối tượng kinh tế cấn nghiên cứu ở đây ta phải xác lập

được quy luật cũng như yếu tố có ý nghĩa quyết định đối với đối tượng kinh tế nghiên cứu

 Bước 2: Xây dựng mô hình toán học cho đối tượng cần nghiên cứu (tức là diễn tả dưới dạng ngôn

ngữ toán học)

 Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết mô hình đã xây dựng ở bước 2

nhằm đưa ra giải pháp tối ưu cho mô hình đã xây dựng

 Bước 4: Dựa vào các số liệu thu thập được để dự đoán và kiểm định sự phù hợp của mô hình trong

lý luận và thực tiễn, ở đây ta sử dụng mô hình kinh tế vi mô để phân tích cách ứng xử, hành vi của

các chủ thể kinh tế thông qua hành vi sản xuất

III – CÔNG NGHỆ SẢN XUẤT VÀ HÀM SẢN XUẤT

Hàm sản xuất: Là hàm mô tả những sản lượng sản phẩm đầu ra tối đa có thể được sản xuất bởi một số lượng

yếu tố sản xuất (đầu ra) nhất định tương ứng với trình độ kỹ thuật nhất định Dạng tổng quát hàm sản xuất

Q = f (X 1 , X 2 …, X n ) Trong đó Q là sản phẩm đầu ra, X i là sản lượng yếu tố sản xuất thứ i

1) Năng suất trung bình (AP) và năng suất biên (MP)

Năng suất trung bình của một yếu tố sản xuất biến đổi là số sản phẩm sản xuất tính trung bình trên 1 đơn vị yếu

tố sản xuất đó Năng xuất biên của yếu tố sản xuất biến đổi là phần thay đổi trong tổng sản lượng khi thay đổi 1

đơn vị yếu tố sản xuất biến đổi đó

Cho hàm sản xuất Q = f (X 1 , X 2 ,…, X n ) Gọi năng suất trung bình theo 1 yếu tố sản xuất thứ i là hàm

i Q X

(i= 1, n ) có cực đại tại X i

*

Ta có

* '

i i

i X X

Q X

 là hệ số kĩ thuật của quá trình sản xuất Giả sử ta có công nghệ sản xuất biểu thị dưới dạng hàm sản

xuất QA t f k l( ) ( , )  1 trong đó k là vốn, l là sức lao động, A(t) là tất cả các yếu tố ảnh hưởng khác (là hàm

của thời gian t) Nó biểu thị tiến bộ kĩ thuật cho nên ta luôn giả sử là d A t( ( )) 0

dt  Khi đó vi phân 2 vế của (1)

của Q theo thời gian; ( ( ))

theo thời gian và dl G L

ldt  là tốc độ tăng trưởng của lao động theo thời gian Khi đó (2) có thể viết thành:

TRẦN THỊ THANH NHÀN – 48A Toán

Trong mỗi chúng ta, chắc hẳn ai cũng còn nhớ

cảm giác bỡ ngỡ, niềm vui tựu trường xen lẫn

những lo lắng trong buổi đầu nhập học Lúc ấy,

hành trang mang trên mình chỉ là những ước mơ,

những hoài bão, là cả một tuổi trẻ với trọn vẹn bầu

nhiệt huyết Điều đó cũng dễ hiểu Bởi lẽ, là những

người trẻ tuổi, có ai mà không ôm một giấc mơ

trong vòng tay, trong trái tim hay trong tâm tưởng

của mình! Và trong số các bạn, có ai mà chưa một

lần mơ ước rằng, mai này, mình sẽ trở thành một

nhà giáo, một nhà khoa học hay một kỹ sư! Đó là lý

do để tất cả chúng ta về đây, dưới mái trường Đại

học Vinh này, để cùng một mục đích là thực hiện

những ước mơ, dự định đó Chính mái trường Đại

học Vinh là ngôi nhà chung để tất cả chúng ta giao

lưu, học hỏi, tự bồi dưỡng và giúp đỡ lẫn nhau trong

học tập, rèn luyện Và nơi đây cũng là nơi ươm

mầm những ước mơ, nơi tạo dựng tương lai cho tuổi

trẻ

Hòa cùng với niềm vui chung của cả trường,

năm học qua cũng là mốc thời gian đánh dấu sự

trưởng thành của Khoa Toán qua 50 năm xây dựng

và phát triển Cùng nhìn lại những hoạt động và kết quả đạt được, sinh viên Khoa Toán không khỏi không tự hào về những thành tích đó Bên cạnh những thành tích về các hoạt động Đoàn Thanh niên, Hội sinh viên thì phong trào học tập, nghiên cứu khoa học (NCKH) của Khoa cũng có nhiều bước tiến, luôn là hoạt động bề nổi và dẫn đầu

+ Về học tập

Khắc phục được những khó khăn ban đầu về chương trình học theo hệ thống tín chỉ, cùng với sự giúp đỡ, tạo điều kiện của Khoa và Nhà trường, mỗi sinh viên Khoa Toán đã dần làm quen được với hình thức đào tạo mới, có nhiều cố gắng trong quá trình học tập, rèn luyện của mình

Là một sinh viên Khóa 48- khóa đầu tiên đào tạo theo hệ thống tín chỉ, ý thức được những khó khăn của cách đào tạo mới, cũng như các sinh viên khóa

48 khác, mình đã phải cố gắng rất nhiều để xây dựng cho bản thân một phương pháp học tập phù hợp, cụ thể như:

- Lập cho mình một thời khóa biểu, thời gian

biểu hợp lý Đặc biệt là đối với việc đăng ký học,

các bạn nên đăng ký các môn học theo khung

chương trình đào tạo của Khoa Trong quá trình

đăng ký, nên chú ý cân đối giữa các học phần lý

thuyết và các môn có nhiều bài tập Sắp xếp lịch học

một cách phù hợp, sao cho tiết kiệm được thời gian

nhất

- Luôn có kế hoạch học tập cụ thể, lựa chọn và

xây dựng phương pháp học thích hợp, có thể phối

hợp nhiều phương pháp học khác nhau để kết quả tự

học đạt tối ưu

- Trong quá trình học, cần nắm vững nguyên tắc:

Tìm hiểu bất cứ vấn đề gì bao giờ cũng bắt đầu đi từ

dễ đến khó, không đặt mục tiêu quá cao đối với năng

lực bản thân mình

- Luôn có ý thức nỗ lực ý chí, kiên trì khắc phục

khó khăn trong quá trình tự học, rèn luyện thói quen

độc lập suy nghĩ, chủ động sáng tạo trong mọi vấn

đề

Như chúng ta đã biết, học Đại học là biến quá

trình đào tạo thành quá trình tự đào tạo Do đó, theo

mình, mỗi người cần xây dựng kỹ năng tự học cho

mình Ở lớp, chú ý nghe giảng và ghi chép đầy đủ, cố

gắng hiểu những vấn đề được thầy cô nói tới trong

bài giảng và trọng tâm của bài học Về nhà, xem lại

bài và làm bài tập để có thể nhớ và vận dụng các kiến

thức đã học, thành thạo các kỹ năng giải các dạng bài

tập Chỗ nào chưa hiểu thì có thể cùng trao đổi với

bạn bè hay hỏi lại thầy cô

- Nên học các môn ngay từ đầu và học một cách

thực sự chứ không nên để đến lúc ôn thi mới bắt đầu

học Như vậy kiến thức sẽ không nhớ được lâu Đối

với các môn lý thuyết, các bạn nên đọc giáo trình và

tập cách lập đề cương để học Và cũng tương tự, nên

hệ thống kiến thức và phân dạng cùng cách giải các

dạng đối với các môn có nhiều bài tập

Mình nghĩ rằng, nếu các bạn chịu khó tìm cho

mình một phương pháp học tập đúng đắn, phù hợp

với bản thân thì việc tự học sẽ diễn ra thuận lợi hơn

+ Về công tác NCKH

NCKH là một hoạt động quan trọng trong việc

nâng cao chất lượng đào tạo trong các trường đại học

Theo mình, để có thể NCKH, mỗi sinh viên chúng ta

cần tham gia các buổi Hội nghị phương pháp học tập

do Khoa tổ chức để dần làm quen với việc NCKH

Bởi thông qua các báo cáo điển hình về phương pháp

học tập các môn chuyên ngành ở Đại học, chúng ta

bước đầu được làm quen với cách đặt vấn đề, triển

khai ý tưởng của mình về một đề tài ở bộ môn yêu

thích

- Tham gia các cuộc thi Olympic Toán, viết bài

cho tập san Toán học và Sinh viên

- Tham gia các buổi tọa đàm, seminar bàn về phương pháp học tập, trao đổi kinh nghiệm

- Luôn tạo cho mình thói quen tự học, tự tìm tòi, nghiên cứu

Bên cạnh những vấn đề đã nêu trên, còn một điều

mà mình nghĩ rằng nó cũng không kém phần quan trọng Đó là chúng ta phải không ngừng vun đắp những ước mơ, hoài bão, lý tưởng cao đẹp, từ đó mới

có được động cơ, thái độ và phương pháp đúng đắn trong học tập và NCKH

Như văn hào Lép-tôn-xtôi đã từng nói: “Lý tưởng

là ngọn đèn chỉ đường, không có lý tưởng thì không

có phương hướng kiên định, mà không có phương hướng thì không có cuộc sống”…Vâng, mình thiết nghĩ rằng, con đường hôm qua, hôm kia của mình, của bạn sẽ dần lùi vào quá khứ Nhưng con đường hôm nay và của ngày mai còn tùy thuộc vào tất cả chúng ta Chúng ta phải đi như thế nào, chọn lựa ngọn đèn lý tưởng nào và đi theo phương hướng ra sao để tiếp tục phát triển, đó mới là điều quan trọng

Hy vọng rằng, với bầu nhiệt huyết sẵn có, niềm say

mê khoa học, tuổi trẻ Khoa Toán sẽ tiếp tục học tập, nghiên cứu và sẵn sàng cống hiến, xứng đáng là niềm

tự hào của Khoa Toán, xứng đáng là những sinh viên

trường Đại học Vinh “Bản lĩnh, Trí tuệ, Văn minh,

Tình nguyện”

ẢNH VUI TOÁN HỌC (!)

CÁC BẠN ĐƯỢC THƯỞNG KỲ NÀY

TOÁN HỌC SINH VIÊN SỐ 33 (11/2010)

1 Đỗ Đức Hiếu, SV lớp Anh3-CLC-KT-K49, ĐH

Ngoại Thương, Hà Nội,

2 Phan Minh Trí, HS lớp 12T, trường THPT chuyên

Lương Văn Chánh, Phú Yên

3 Phạm Thị Liên, SV lớp 51A Toán, ĐH Vinh

4 Đinh Bích Yến, SV lớp 49A Toán, ĐH Vinh

NHỮNG ĐỊNH LÝ GIẢI TÍCH QUAN TRỌNG

TRẦN QUỐC LUẬT – 50A Toán, NGUYỄN THANH HUYỀN – 51A Toán

Tóm tắt Nhằm giúp các bạn sinh viên khoa Toán Đại học Vinh tiếp cận và hiểu hơn về lí thuyết giải tích

cổ điển chúng tôi sẽ đưa ra các định lí quan trọng trong giải tích toán học và những ứng dụng của nó trong giải tích cổ điển

A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Để mở đầu chúng tôi xin nhắc lại các Định lí

Rolle, Lagrange và Cauchy

Định lí Rolle: Giả sử f là hàm liên tục trên [a, b] ,

khả vi trên ( , )a b và f a( ) f b( ) thì tồn tại

( , )

c a b sao cho f c( )0

Hệ quả 1.1: Nếu f là hàm khả vi trên R thì giữa

bất kì hai nghiệm nào của f cũng tồn tại một

Từ Định lí Rolle ta đi chứng minh Định lí Cauchy

và Lagrange

Như chúng ta đã biết khi chứng minh Định lí

Lagrange để áp dụng Định lí Rolle hầu hết các giáo

trình đều chọn hàm phụ có dạng

( ) ( )( ) ( ) ( ) f a f b ( )

Định lý Lagrange: Giả sử f là hàm liên tục trên

[a, b] , khả vi trên ( , )a b thì tồn tại c(a, b) sao cho

Định lí Cauchy: Cho hai hàm f g , :[ , ] a b  R là

các hàm liên tục trên [a, b] và khả vi trên ( , ) a b

đồng thời g x  ( )  0với mọi x thì tồn tại c  ( , ) a b

Tiếp theo chúng ta sẽ nói về ứng dụng của hai

định lí này, có thể nói hai định lí này là một tài sản

quí báu của những ai học toán, những ứng dụng của

nó liên quan đến hội tụ đều, tìm giới hạn, số nghiệm

của phương trình, chứng minh bất đẳng thức,

Hệ quả 1.4: Giả sử f là hàm khả vi trên khoảng I ,

'

f bị chặn trên I thì f là hàm liên tục đều trên I

Hệ quả 1.5: Nếu f liên tục trên [ , ] a b và f x( ) 0

với mọi x( , )a b thì f là hàm hằng trên [ , ] a b

Hệ quả 1.6: Nếu f liên tục trên [ , ] a b và f x( ) 0với mọi x( , )a b thì f là tăng ngặt trên [ , ] a b

B – CÁC DẠNG BÀI TẬP ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ LAGRANGE

Ví dụ 1: Giả sử a a0, , ,1 a là các số thực thỏa mãn: n

n n

Chứng minh nếu hàm f có đạo hàm cấp 2 trên

đoạn [a,b] và f a( ) f b( ) thì bất phương trình 0

1

( )2

.2

2

( )2

.2

Theo giả thiết, ta có f a( ) f b( ) nên ta áp 0

dụng Định lí Lagange ở trên và viết lại đẳng thức

với mọi nn0 Từ hai nhân xét

trên ta thu được ( n)

n

f x x

  (đpcm)

Chúng ta lại xem xét tiếp, khi tính giới hạn của

các hàm đặc biệt thì các phương pháp cổ điển hầu

như đều quá khó để dùng, đôi lúc ta dùng qui tắc

L'Hospital tuy nhiên không phải lúc nào nó cũng là

hiệu quả lúc đó ta áp dụng Định lý Lagrange

Ví dụ 4: Cho số thực a  và đa thức 2

10 10

n

f x a x  x    x

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n ,

phương trình f x n( ) luôn có đúng một nghiệm a

dương duy nhất Gọi nghiệm đó là x , chứng minh n

rằng dãy x có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô n

cùng

Giải: Dễ dàng chứng minh tính tồn tại và duy nhất

n

a x a

đó ta có : ckc n x nc.Vậy ta có lim n 1

Ví dụ 6:

Chứng minh Bất đẳng thức Bernoulli:

Nếu x  1 thì 1xn 1 nx với mọi nN

Giải: Giả sử x 0 và xét ( )f t (1t)n với

n

n k

Giải: Ta xét hàm

2

ln( )2

nhiên nên dãy x có giới hạn hữu hạn n

nghiệm duy nhất, ta gọi nó là L Theo Định lí

Lagrange, tồn tại R sao cho:

Tương tự ta chọn

1/

21,

f x  với mọi x thuộc [ , ] a b

Giải: Gọi x là nghiệm của ( ).0 f x Đặt

Trên đây là những dạng toán áp dụng Định lý

Lagrange, trong số báo sau chúng tôi sẽ giới

thiệu kỹ về Định lý Rolle và Công thức Taylor

Mời các bạn giải các bài tập vận dụng Định

4 Chứng minh nếu hàm f liên tục trên

[ , ],a b có đạo hàm cấp 2 trên đoạn [a,b] và

( ) ( ) 0

f a  f b  thì bất phương trình

( ) ( )( ) f b f a

ĐINH BÍCH YẾN – 49A Toán

Nói về "thoát y vũ" trong Toán học, trước hết

phải kể đến đối tượng có thể thoát y là cái gì (bởi

không phải đối tượng nào muốn thoát y là được?)

Đầu tiên phải kể đến là chữ số Chữ số thoát y vũ là

nói về tổ hợp các số có nhiều chữ số Khi tước bỏ

từng vị trí thì nó biến đổi ra sao?

Mời các bạn hãy xem các tổ hợp 3 số dưới đây, mỗi số có 6 chữ số Chia các tổ hợp thành hai nhóm, tổng của các chữ số trong hai nhóm bằng nhau Ví dụ:

123789 561945 642864 242868 323787 761943.     Tính chất vừa nêu không có gì lạ có nhiều tổ hợp

số cũng có tính chất đó Nhưng nếu chú ý thì sẽ thấy các tổng bình phương các số trong nhóm:

123789 561945 642864 242868 323787 761943 Bạn đừng tán thưởng vội, đó mới chỉ là khúc dạo đầu Bây giờ hãy tước bỏ các chữ số ở đầu mỗi con

số các bạn sẽ thấy điều thần diệu của các con số có

5 chữ số vừa mới tạo thành:

2378961945 42864  42868 23787 61943. 

23789 61945 42864 42868 23787 61943 Quả kì lạ(!) Bạn lại tước bỏ các chữ số đứng ở đầu các con số vừa mới hình thành bạn sẽ có một bộ các

số, mỗi số có 4 chữ số Qua tính toán bạn sẽ thấy:

ĐỊNH LƯỢNG TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH

TRẦN QUỐC LUẬT – 50A Toán

Tóm tắt Bài viết tập hợp một số bài toán định lượng toán tử tuyến tính nhằm giúp các bạn sinh viên năm

thứ ba có một cái nhìn toàn diện hơn về toán tử tuyến tính và làm quen với loại bài tập này Trong bài viết này, nếu không chú thích gì thêm thì chuẩn trên không gian cho trước là chuẩn thông thường trên không gian đó

A – PHƯƠNG PHÁP

Bước 1: Xác Định không gian định chuẩn và chuẩn

của nó là chuẩn gì

Bước 2: Tìm hằng số k thỏa mãn f x( ) k x

Bước 3: Chọn x sao cho 0 x0  và 1 f k

Ta sẽ làm rõ điều này thông qua một số ví dụ từ dễ

đến khó

Ví dụ 1: Cho T C: [0;1]C[0;1] biến x thành ( ) T x

với ( ( ))( )T x t e x t t t ( ), [0;1] Chứng minh T

tuyến tính, liên tục và tính chuẩn T

Giải: Với mọi x y, C[0;1];  , R ta có:

Chú ý rằng trên C[ , ]a b có chuẩn thông thường là

chuẩn sup như trên nhưng ngoài ra còn có chuẩn

N

n n

x  nếu nN và x n(N) nếu 0 nN Khi

đóx(N)C0 và x(N)  và 1

( ) 1

1

2

N N

n n

n

f n

n n

k k

A tuyến tính liên tục và tính chuẩn của A

Giải: Tương tự như trên ta có A tuyến tính liên tục

Ví dụ 8: Giả sử C[0,1] là không gian tuyến tính các hàm số liên tục trên [0;1], với chuẩn sup Ánh xạ

A tuyến tính liên tục và tính chuẩn của A

Giải: Tương tự như trên ta có A tuyến tính liên tục



  Xét chuẩn

Sau đây là một số bài tập vận dụng:

1 Giả sử C[0,1] là không gian tuyến tính các hàm số liên tục trên [0;1], X{fC[0,1]: (0)f  f(1)} Xét hàm T X: C[0,1] với

Ax t x t x t t xX Chứng minh

A tuyến tính liên tục và tính chuẩn của A

2.( sin cos )

Phạm Kim Chung – (cựu SV 41A 1 Toán)

Bài T3/33: Giải phương trình:

2

cos xcos 6x 3 sin cos x x

Trần Quốc Luật – 50A Toán

Bài T4/33: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Trần Quốc Luật – 50A Toán

Bài T6/33: Cho các số thực ,x y thỏa mãn điều

kiện xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 0

Fy x        y x

Phạm Kim Chung – (cựu SV 41A 1 Toán)

Bài T7/33: Cho các số thực x y z thỏa mãn điều , ,

Trần Quốc Luật – 50A Toán

Bài T8/33: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

8cos Acos Bcos Ccos 2 cos 2 cos 2A B C0

Trần Quốc Luật – 50A Toán

(O), ngoại tiếp đường tròn (I) Tiếp điểm của đường

tròn (I) với BC là D Đường tròn đường kính AI cắt

(O) tại M, cắt đường thẳng qua A song song với BC

tại N Chứng minh rằng MO đi qua trung điểm DN

trình sau trên tập các số tự nhiên: a p 1 p k

Đỗ Chí Sơn Linh – 12A 1 – Trường Chuyên ĐHV

Bài T13/33: Cho hàm f : 0;1 R liên tục, thỏa mãn

Dương Việt Thông – GV ĐH KTQD

Bài T14/33: Cho a , b là các số thực với ab Xét hàm f :[ , ]a b R liên tục, khả vi và có đạo hàm không đổi dấu trên ( , )a b Chứng minh rằng tồn tại

1( ) max '( ) 12



Dương Việt Thông – GV ĐH KTQD

Bài T16/33: Cho A B là 2 ma trận vuông cấp ,

 1 ,

n n  các phần tử nhận giá trị trên trường K

Ma trận A có n giá trị riêng phân biệt Chứng minh ABBA khi và chỉ khi tồn tại đa thức ( ) [ ]

Nguyễn Anh Tuấn – SV ĐHKHTN-ĐHQGHN

Bài T18/33: Một cuộc thi bắn có 100 người dự

tuyển Mỗi người được phát 5 viên đạn, họ bắn từng viên cho đến khi trúng mục tiêu 3 viên thì được coi

là qua vòng sơ tuyển Giả sử xác suất bắn mỗi viên trúng mục tiêu của mỗi người dự tuyển là 0,5 Tìm

số k nhỏ nhất để sự kiện “Số người dự sơ tuyển đạt yêu cầu không vượt quá k người” có xác suất

không nhỏ hơn 0,95

Nguyễn Thị Thanh Hiền – GV khoa Toán, ĐHV

Bài giải xin gửi về email: toanhocsinhvien@gmail.com hoặc nạp trực tiếp cho Trưởng BBT Thời hạn nhận bài giải: Từ ngày xuất bản đến hết 23h59’ ngày 26/03/2011