HỆ PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN VÀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN

Dành cho học sinh và giáo viên ôn thi vào lớp 10 Chuyên và thi Học sinh Giỏi Toán các cấp.Tác giả: Trần Thị Thu Ngân Ngan Ltt. Mọi thắc mắc khi sử dụng tài liệu liên hệ tác giả: Mail: nganltt.lc@gmail.com Phone: 01667872256. Page: www.facebook.comDVKTeducation.OnthicunghocsinhCSP hoặc www.facebook.comnganltt.lc

~ 1 ~

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Biên soạn: Trần Thị Thu Ngân – SĐT: 01667872256 Cựu học sinh trường THCS Lý Tự Trọng – TP Lào Cai Cựu học sinh trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm

MỤC LỤC

III HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ MỘT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 6

IV HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ MỘT PHƯƠNG TRÌNH LÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT ẨN 8

a) Giải hệ phương trình với a2

b) Giải và biện luận hệ phương trình

c) Tìm các số nguyên a để hệ phương trình có nghiệm nguyên

d) Tìm a để nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn xy đạt giá trị nhỏ nhất

Từ phương trình  1 ta có: ya1 x a 1  3 thế vào phương trình  2 ta được:

1

a x a

 Nếu a0, phương trình  4 vô nghiệm

Suy ra hệ phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy: a0 hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất   2 2 1 21

a0 hệ phương trình đã cho vô nghiệm

c) Với a0 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất   2 2 1 21

~ 3 ~

2 2 2

d) Với a0 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất   2 2 1 21

Trừ vế theo vế của  1 cho  2 ta có: 2x2y2015 k 2xy2015k  3

Vì hệ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt nên ta có: 2xy   a b c d  4

Từ  3 và  4 suy ra: a b c d   2015k

Vậy a b c d   2015k

~ 4 ~

BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG I

Bài I.1 Cho hệ phương trình:

a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m

b) Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm nguyên

Bài I.2 Biết x y z; ; thỏa mãn hệ phương trình:

2 2 2

000

a) Giải hệ phương trình khi m1

b) Tìm các giá trị nguyên của m để hệ đã cho có nghiệm duy nhất  x y sao cho biểu thức ; A3xy

(a b c; ; là tham số) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ của

hệ phương trình đã cho có nghiệm là: a3 b3 c33abc

II HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

Với dạng này ta sẽ sử dụng phương pháp thế Từ phương trình bậc nhất trong hệ, ta biểu diễn ẩn bậc nhất theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại

Nhận xét: Nhìn vào hệ phương trình đã cho ta dễ dàng thấy được phương trình thứ nhất là phương trình bậc

nhất của cả x và y Tuy nhiên, hệ số của y nhỏ hơn nên ta sẽ rút y theo x để tiện cho việc tính toán Rồi sau

đó thế vào phương trình thứ hai

Nhận xét: Nhìn vào hệ phương trình đã cho ta thấy rằng phương trình thứ hai là phương trình bậc nhất đổi

với ẩn y Theo cách giải của dạng này ta sẽ biểu diễn y theo x rồi thế vào phương trình thứ nhất

~ 6 ~

BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG II

Bài II.1 Giải hệ phương trình: 12

Với dạng này ta cần tìm và đưa một phương trình về phương trình tích Sau đó tìm cách rút một ẩn theo

ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại

Để nhận ra nhanh phương trình có thể đưa về phương trình tích các bạn nên làm nhiều bài tập “phân tích đa thức thành nhân tử” theo chương trình lớp 8 và thêm các bài “phân tích đa thức thành nhân tử

có chứa căn thức” theo chương trình lớp 9

Bên cạnh những hệ ta có thể nhận ra ngay phương trình đưa được về phương trình tích ta còn có những bài cần phải biến đổi một vài bước mới có, thông thường sử dụng phương pháp cộng đại số,…

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất    x y;  5; 2

BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG III

Bài III.1 Giải hệ phương trình:

55

 Với x    y x y 0, không tồn tại điều này vì x1;y    0 x y 1 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất    x y;  5; 2

~ 9 ~

BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG IV

Bài IV.1 Giải hệ phương trình: 2   

V GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Với dạng này ta cần tìm được lượng thích hợp để đặt ẩn phụ (phát hiện ẩn phụ), ẩn phụ có thể thấy ngay hoặc xuất hiện sau một số phép biến đổi, thông thường sẽ là biến đổi hằng đẳng thức hoặc phép chia cho một biểu thức khác 0 Sau khi đặt ẩn phụ hệ phương trình sẽ đưa về các dạng đã biết cách giải

Lưu ý có những bài đặt ẩn phụ không hoàn toàn!

6565

~ 11 ~

BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG V

Bài V.1 Giải hệ phương trình:

 2  2 

2 2

3 1 10 0

30

VI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I

Hệ phương trình hai ẩn x; y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại I nếu mỗi phương trình không đổi khi ta thay đối vai trò x; y

Cách giải tổng quát: Tìm x + y và xy từ hệ phương trình

BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG VI

Bài VI.1 Giải hệ phương trình:

2 2

179

~ 13 ~

VII HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II

Hệ phương trình hai ẩn x; y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại II nếu ta đổi vai trò x cho y thì phương trình này biến thành phương trình kia và ngược lại

Cách giải tổng quát: Trừ vế theo vế của hai phương trình để có nhân tử chung là (x – y)

Ví dụ 11 Giải hệ phương trình:

2 2

Nhận xét: Khi đổi vai trò của hai ẩn cho nhau ta thấy phương trình này biến thành phương trình kia Hệ đã

cho là hệ phương trình đối xứng loại II

Giải

Trừ vế theo vế của hai phương trình của hệ, ta được:

2 2

1 0

1 0

52

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm      x y; 1;1 ; 5;5 

BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG VII

Bài VII.1 Giải hệ phương trình:

3 3

11

 Tìm các giá trị của a để hệ đã cho có nghiệm duy nhất

Bài VII.3 Giải hệ phương trình:

Có hai cách giải tổng quát cho dạng này:

 Cách 1: Dùng phương pháp cộng đại số, sau đó biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương

1

30

Ta thấy x0 không là nghiệm của hệ phương trình đã cho Xét x0, đặt ykx, thay vào hệ phương trình

đã cho ta được hệ phương trình mới theo x và k là:

BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG VIII

Bài VIII.1 Giải hệ phương trình:

IX GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

Với dạng này ta cần lưu ý, phát hiện các biểu thức âm hoặc dương trong hệ và cần nắm vững cách vận dụng các bất thức cơ bản như Bất đẳng thức Cauchy, Bất đẳng thức Bunyakovsky

Ví dụ 13 [ĐH – A – 2014] Giải hệ phương trình:    

 

2 3

~ 16 ~

Với x  3 y 3 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất    x y;  3; 3

BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG IX

Bài IX.1 Giải hệ phương trình:

2

3 2

2 2

xy xz yz

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm x y z; ;  3;4;5 ;   3; 4; 5  

x x

z z



Vậy hệ phương trình đã cho nghiệm duy nhất x y z; ;   1;1; 0

BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG X

Bài X.1 Giải hệ phương trình:

2 2 2

481284

xy yz zx xyz

~ 18 ~

Bài X.7 Giải hệ phương trình:

2 2 2

4 61

~ 21 ~

29 [Chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An] Giải hệ phương trình:

3 3

4 0

x y

x y

x y xy

a) Giải hệ phương trình với a 3 1

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số a, hệ phương trình có nghiệm duy nhất

a) Giải hệ phương trình với m  3

b) Trong mặt phẳng Oxy xét hai đường thẳng có phương trình là (1) và (2)

 Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (1) đi qua điểm B cố định và đường thẳng (2) đi qua điểm C cố định

 Tìm m để giao điểm A của hai đường thẳng thỏa mãn điều kiện góc BAC vuông Tính diện tích tam giác ABC ứng với giá trị đó của m

39 [Chu Văn An, Amsterdam, Hà Nội, Chuyên, 2005] Cho hệ phương trình:  

a) Giải hệ phương trình với m 10

b) Chứng minh rằng không tồn tại giá trị nào của m để hệ có nghiệm duy nhất

40 [Chu Văn An, Amsterdam, Hà Nội, Chuyên, 2008]

a) Giải hệ phương trình khi m2008

b) Chứng minh rằng khi m2008 thì hệ đã cho có không quá một nghiệm

41 [Chuyên Thành phố Hà Nội, 2011] Giải hệ phương trình:

2 2

2 3 26

x y

31

3

x x

x x

78 [Chuyên Đại học Sƣ phạm, Chuyên, 1991]

Tìm các giá trị của a để hệ phương trình sau vô nghiệm: 1

Hotline: 01667872256