Phươntg pháp giải phương trinh vô tỷ bằng phương pháp đặc biệt

Một số phương trình được xây dựng từ hệ.. Vậy thì có phương pháp giải chung không?. Đây là câu hỏi mà nhiều bạn đọc chưa trả lời được.. * Vậy bạn đã tự hỏi xem tại sao lại có được phép đ

5.2 Xây dựng phương trình vô tỉ từ hệ đối xứng loại II

 Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II

 Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau : ( )

2 2





thì đơn giản

Bây giời ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt y= f x( ) sao cho (2) luôn đúng ,

2 1

y= x+ − , khi đó ta có phương trình : ( )2 2

x+ = x+ − + ⇔ x + x= x+ Vậy để giải phương trình : 2

x + x= x+ ta đặt lại như trên và đưa về hệ Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 : ( )

2 2





phương trình dạng sau : đặt yα + =β ax b+ , khi đó ta có phương trình :

Tương tự cho bậc cao hơn : ( )n a n

Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khia triển ta phải viết về dạng :

( αx+β )n = p a x b n ' + +' γ v đặt αy+ =β n ax b+ để đưa về hệ , chú ý về dấu của α ??? Việc chọn ;α β thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng :( αx+β )n = p a x b n ' + +' γ là chọn được

Bài 1. Giải phương trình: x2−2x=2 2x−1

2

x≥

Ta có phương trình được viết lại là: (x−1)2− =1 2 2x−1

Đặt y− =1 2x−1 thì ta đưa về hệ sau:

2 2







Trừ hai vế của phương trình ta được (x y x y− )( + ) 0=

Bài 6 Giải phương trình: 2x2−6x− =1 4x+5

Giải

4

x≥ −

Ta biến đổi phương trình như sau: 4x2−12x− =2 2 4x+ ⇔5 (2x−3)2 =2 4x+ +5 11

Đặt 2y− =3 4x+5 ta được hệ phương trình sau:

2 2

x y x y





Với x= ⇒y 2x− =3 4x+ ⇒ = +5 x 2 3

Với x y+ − = ⇒ = − → = −1 0 y 1 x x 1 2

D ạng hệ gần đối xứng

Ta xt hệ sau :

2 2

(1)





vẫn giải hệ được , và từ hệ này chúng ta xây dưng được bài toán phương trình sau :

Bài 1 Giải phương trình: 4x2+ −5 13x+ 3x+ =1 0

Nhận xét : Nếu chúng ta nhóm như những phương trình trước :

2

4

được

Để thu được hệ (1) ta đặt : αy+ =β 3x+1 , chọn α β, sao cho hệ chúng ta có thể giải

được , (đối xứng hoặc gần đối xứng )

2 2

(*)





Để giải hệ trên thì ta lấy (1) nhân với k cộng với (2): và mong muốn của chúng ta là có

Nên ta phải có :

Ta có lời giải như sau :

3

x≥ − ,

Đặt 3 1 (2 3), ( 3)

2

x+ = − y− y≤

Ta có hệ phương trình sau:

2 2





8

x= ⇒ =y x −

8

x+ y− = ⇒ =x +

Chú ý : khi đã làm quen, chúng ta có thể tìm ngay α β; bằng cách viết lại phương trình

ta viết lại phương trình như sau: (2x−3)2 = − 3x+ + +1 x 4

khi đó đặt 3x+ = − +1 2y 3 , nếu đặt 2y− =3 3x+1 thì chúng ta không thu được hệ như mong muốn , ta thấy dấu của α cùng dấu với dấu trước căn

Một cách tổng quát



 để hệ có nghiệm x = y thì : A-A’=B và m=m’, Nếu từ (2) tìm được hàm ngược y g x= ( ) thay vào (1) ta được phương trình

Như vậy để xây dựng pt theo lối này ta cần xem xét để có hàm ngược và tìm được và hơn nữa

hệ phải giải được

Một số phương trình được xây dựng từ hệ

Giải các phương trình sau

1) 2

4x −13x+ +5 3x+ =1 0 2) 4x2−13x+ +5 3x+ =1 0

3

x− = −x x + x− 4) 36x+ =1 8x3−4x−1

6) 33x− =5 8x3−36x2+53 25−

TRAO ĐỔI PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

* Khi các bạn giải phương trình (pt) dạng ax+b =cx+d, chúng ta đều biết bình phương 2 vế để khử căn bậc hai, vậy với pt ax+b =cx2 +dx+ecó giải được bằng phương pháp đó được nữa không ? Xin trả lời trừ một số trường hợp đặc biệt Vậy thì có phương pháp giải chung không ? Đây là câu hỏi mà nhiều bạn đọc chưa trả lời được

* Ví dụ khi giải pt sau:

36

61 12 6

29

3 2 + − = x+

x

6

1 36

61

6

y

 ≥ − 

rồi khi giải pt: x2 −x−2004 1+16032x =2004, ta đặt

2

1 , 1 2 16032

1+ x = t− t≥

* Vậy bạn đã tự hỏi xem tại sao lại có được phép đặt như vậy Đặc biệt với các bạn đã học về đạo hàm thì phương pháp sau sẽ giải quyết bước chọn đặt nhanh hơn rất nhiều Sau đây là nội dung phương pháp cụ thể:

a

Xét hàm số x cx d

a

=>

2 0

2 ) (

a x

f = + = <=> =− Đặt

2

ac y b

ax+ = + , ta sẽ đưa pt dạng 1 về hệ đối xứng quen thuộc

Ví dụ: Giải pt sau:

36

61 12 6

29

3 2 + − = x+

x x

Làm nháp:

6

29 3

) (x = x2 +x−

6

1 0

1 6 ) ( ' x = x+ = <=> x=−

Giải: Đặt

6

1 36

61 12

+

=

+

y

x

, 6

1

−

≥

x

+

⇔ 12x 61 36y 12y 1 + = 2 + + ⇔ 3y y x 5 12 + = + ( )

Mà theo cách đặt ta có:

6

1 6

29

3x x y 5 2

Từ (1) và (2) ta có hệ:









+

= +

+

= +

5 3

5 3

2

2

y x x

x y

y ⇔ 3 y – x ( 2 2) + ( y – x ) = x – y ( x y 3y 3x 2 ) ( ) 0 y x

⇔ − + + = ⇔ = hoặc

3

2

3 +

−

3

= ⇒ = ⇒ = = ,(

6

1

−

≥

* Với

3

2

3 +

−

y ⇒ 3x x 2 + =

3

2

3x+ +5 ⇔9x2 +6x - 13 = 0

=>

9

126 3

2

,

1

±

−

=

x Từ đây ta tìm được y và kết luận được nghiệm của pt đã cho

2 Dạng 2: 2 , ( 0 , 0 , 1 )

c a c a e dx cx b

Xét f(x) = cx2 + dx + e => f’(x) = 2cx + d = 0 =>

c

d x

2

−

= Đặt: ax + b = 2 cy + d

Ví dụ 1: Giải pt sau: 9x−5=3x2 +2x+3

Làm nháp: f(x) = 3x2 + 2x + 3 =>f’(x) = 6x + 2 = 0 =>x = - 1/3

Giải: Đặt

3

1 ,

1 3 5

9x− = y+ y≥−

=> 9x – 5 = 9y2 +6y + 1 <=> 9y2 + 6y = 9x – 6 <=> 3y2 + 2y = 3x – 2 (1)

Mặt khác ta có: 3x2 + 2x + 3 = 3y +1 <=> 3x2 + 2x = 3y – 2 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ









−

= +

−

= +

2 3 2 3

2 3 2 3 2

2

y x x

x y y

đến đây xin dành cho bạn đọc tự giải như ví dụ trên

Ví dụ 2: Giải pt sau: x2 −x−2004 1+16032x =2004

Làm nháp: Xét hàm số f(x) = x2 – x – 2004 => f’(x) = 2x – 1 = 0 <=> x =

2 1

Giải: Đặt

2

1 , 1 2 16032

1+ x = t− t ≥ => t2 – t = 4008x, (1)

Mặt khác do từ pt ta có: x2 – x – 2004 = 2004( 2t – 1) => x2 – x = 4008t,(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ PT sau:









=

−

=

−

t x

x

x t

t

4008

4008 2

2

=> (t2 – x2) – (t – x) = 4008(x – t)

<=> (t – x)[ t + x – 1 + 4008] = 0

<=> t = x hoặc t = - x – 4007

* Với t = x ta có: x2 – 4009x = 0 <=> x = 0 và x = 4009 Ta có x = 0 không thỏa mãn

* Với t = - x – 4007=> x2 – x = 4008(- x- 4007) <=> x2 +4007x + 4007.4008 = 0 => PT vô nghiệm

KL: pt đã cho có nghiệm duy nhất x = 4009.

3 Dạng 3: 3 3 2 , ( 0 , 0 , 1 )

c a c

a m ex dx cx b

Xét hàm số f(x) = cx3+ dx2 + ex + m => f’(x) = 3cx2 + 2dx + e =>f’’(x) = 6cx + 2d = 0

=>

c

d

x

3

−

= Khi đó bằng phép đặt:

c

d y b ax

3

3 + = +

Ví dụ: Giải pt sau: x x x x

4

9 2

3 3 8

63

Làm nháp: Xét hàm số f(x) = x x x

4

9 2

3 3

2

3

+

− => f’(x) = x2 - 3x +9/4 =>f’’(x) = 2x – 3 = 0 <=>

2

3

=

Giải: Đặt

2

3 8

63 3

3 x− = y− =>

8

27 4

27 2

9 8

63

3x− = y3 − y2 + y− <=> x y y y

4

27 2

9 2

9

3 − = 3 − 2 +

<=> 12x – 18 = 4y3 – 18y2 + 27y, (1)

Từ pt và theo cách đặt ta có: y x x x

4

9 2

3 3 2

+

−

=

− <=>12y – 18 = 4x3 – 18x2 + 27x (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:









+

−

=

−

+

−

=

−

x x

x y

y y

y x

27 18

4 18 12

27 18

4 18 12

2 3

2 3

( việc giải hệ này xin dành cho bạn đọc)

a

Xét hàm số f(x) = cx3+ dx2 + ex + m => f’(x) = 3cx2 + 2dx + e

 f’’(x) = 6cx + 2d = 0 =>

c

d x

3

−

 Khi đó bằng phép đặt: 3 ax + b = 3 cy + d

Ví dụ: Giải pt sau:

2

3

4 2

8

3 x − = x − x + x −

Làm nháp: Xét hàm số f(x) = 2

3

4

2 2

3− x + x −

x => f’(x) = 3x2 – 4x + 4/3

=> f’’(x) = 6x – 4 = 0 <=>

3

2

=

c

a≠ 1

Giải: Đặt 3 81x−8 =3y−2=> 3x = y3 – 2y2 + y

3

4 ,( Biến đổi tương tự ta có hệ)













+

−

=

+

−

=

y y

y

x

x x

x

y

3

4 2

3

3

4 2

3

2 3

2 3

=> (x – y)( x2 + xy +y2 - 2x – 2y +

3

13 ) = 0(*),

Do x2 + xy +y2 - 2x – 2y +

3

13

3

1 ) 2 ( 2

1 ) 2 ( 2

1 ) ( 2

1 x+y 2 + x− 2 + y− 2 + > , nên từ (*) ta có x = y => 3x = x3 – 2x2

+ x

3

4

=> x1= 0 ; x2,3 =

3

6 2

3±

Trên đây chỉ là một số ví dụ điển hình.Để thành thạo hơn các bạn luyện tập qua một số ví dụ dưới đây Hi vọng rằng phương pháp trên đem lại cho bạn thành công khi giải phương trình chứa căn

Bài tập tự luyện:

Giải các phương trình sau:

1) x2 = 2−x+2

2) x2 −4x−3= x+5 3) x3 +2=33 3x−2

4) 3x+1=−4x2 +13x−5 5) x+1=x2 +4x+5 6) x 7x 7x

28

9

+

=

+