Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.. PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐÁP ÁN THI HSG MÔN: TOÁN 9... 0.5 Lưu ý: - Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa - Học sinh không vẽ hình hoặc
Trang 1PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 9 VÒNG I
NĂM HỌC 2013-2014.
MÔN THI: TOÁN 9
Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)
Bài 1: ( 2.0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: A = 5 3 3 5
b) Chứng minh B = a5 - 5a3 + 4a chia hết cho 120
c) Tìm số nguyên m để C = m2 + +m 1 là số nguyên
Bài 2: (2.0 điểm) Giải các phương trình sau:
4
x+ + x+ = +x
b) 2
x − x+ = x−
(4x− 1) x + = 1 2x − 2x+ 2
Bài 3: ( 2.5 điểm)
a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức M = 2x+ 5 −x2
b) Cho x; y là các số thực thỏa mãn x 1 −y2 +y 1 −x2 = 1. Tính N = x 2 + y 2
Bài 4: ( 3.0 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, vẽ đường cao AD và BE Gọi H là trực tâm của tam giác ABC
a) Chứng minh: tanB.tanC = AD
HD
b) Chứng minh: . 2
4
BC
c) Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.
Chứng minh rằng:
bc
a A
2 2 sin ≤
Bài 5: (0.5 điểm) Chứng minh rằng trong 2n+1 - 1 số nguyên bất kỳ đều tồn tại 2n
số có tổng là một số chẵn
Hết /.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐÁP ÁN THI HSG MÔN: TOÁN 9
Trang 2NĂM HỌC 2013-2014
Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)
Bài 1
(2.5
điểm)
a
2( 5 3) 2(3 5)
2 6 2 5 2 6 2 5
A = 2( 5 3)2 2(3 5)2 2( 5 3)5 3 2(33 55)
2 ( 5 1) 2 ( 5 1)
A = 2 2
0.25
0,5
0.25
b B = a5 - 5a3 + 4a = a(a4 - 5a2 +4) = a(a4 - a2 - 4a2+4)
B = a[a2(a2 - 1) - 4(a2 - 1)] = a(a2 - 1)(a2 - 4) B= (a - 2)(a - 1) a(a + 1)(a + 2) chia hết cho 120
0.25 0.5 0.25
c Để C = 2
1
m + +m là số nguyên thì 2 2
m + + =m k k Z∈
4m 4m 4 4k (2m 1) 3 4k
(2 )k − (2m+ 1) = ⇔ 3 (2k+ 2m+ 1)(2k− 2m− = 1) 3 Học sinh tìm được m = 0; m = -1
0,25 0,25
Bài 2
a
4
x≥−
4
2
3 1
1
4 2
⇔ + + ÷÷ = +
3 1
1
4 2
4 x 2
− ≤ ≤ −
Pt vô nghiệm; với 1
2
x≥−
bình phương hai vế HS tìm được x = 2
2
0.25 0.25
0.25
b Đk: x≥ 2,x2 − 5x+ = 8 2 x− ⇔ 2 x2 − 6x+ + − − 9 x 2 2 x− + 2 1
(x− 3) + ( x− − 2 1) = ⇔ = 0 x 3
0.25 0.5
c Đặt x2 + = ≥ 1 y 1 phương trình trở thành (4x− 1)y= 2y2 − 2x
4xy - y = 2y 2 - 2x ⇔2y 2 - 2x - 4xy + y = 0⇔
y(2y +1) - 2x(2y + 1) = 0⇔ ( 2y + 1)(y - 2x) = 0 ⇔y = 2x (vì y
= -1/2 loại) ⇔ x2 + = 1 2x ⇔ 1
3
x=
0.25 0.25
Bài 3 a Đk: − 5 ≤ ≤x 5
*)Ta có M2 = (2x+ 5 −x2 )2 ≤ (2 2 + 1 )( 2 x2 + − 5 x2 ) 25 = ⇒ 2
25
M ≤
⇒ − ≤ 5 M ≤ 5 Nếu M = 5 thì M2 = 25 dấu bằng BĐT xảy ra ⇔ 5 2
2
x
x
= − và
2
5
0.5 0.5 0,25
Trang 3*) Theo trên thì − ≤ 5 M ≤ 5nhưng giá trị nhỏ nhất của M không
bằng - 5 vì − 5 ≤ ≤x 5 ⇒ M ≥ − 2 5 vậy min M = − 2 5 khi x
= − 5
0.5
b ĐK: − ≤ 1 x y; ≤ 1.theo bài ra ta có
x −y +y −x ≤ x −y + y −x
x −y + y −x ≤ + − + + − =
Dấu bằng xảy ra khi: x = 1 −y2 và y = 1 −x2 hay x 2 = 1- y 2
hay x 2 + y 2 = 1 vậy N = 1
0,25 0,25 0,25
Bài 4
K
G
H E
D
A
0.25
a Ta có tanB = AD
BD ; tanC = AD
DC ⇒ tanB.tanC = 2
.
AD
BD DC(1) Xét 2 tam giác vuông ADC và BDH có DAC DBH· =· vì cùng phụ với góc C nên ta có : ADC BDH AD BD
DC DH
AD DH DB DC
.
AD AD
BD DC = HD(2)
Từ (1) và (2) ⇒ tanB.tanC = AD
HD.
0.5 0.25
0.25 0,25
DB DC BC
DH DA DB DC= ≤ + =
1.0
Trang 4x
F M
N
A
Gọi Ax là tia phân giác góc A, kẻ BM; CN lần lượt vuông góc
với Ax
Ta có sin· sin
2
A BM MAB
AB
= = suy ra .sin
2
A
BM =c
Tương tự .sin
2
A
2
A
BM CN+ = +b c
Mặt khác ta luôn có: BM CN+ ≤BF FC+ =BC a=
Nên ( ).sin
2
A
b c+ ≤a sin
b c b c
+
0.25
0.25
Bài 5 Vì có tất cả 2n+1 - 1 = 2(2n - 1) + 1 số nên có ít nhất (2n -1) + 1 =
2n số cùng chẵn hoặc cùng lẻ, suy ra 2n cùng chẵn hoặc cùng lẻ 0.5
Lưu ý: - Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
- Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình thì không chấm bài hình.