Chứng minh thẳng hàng trong các bài Toán Vector lớp 10

CHUYÊN MỤC : DIỄN ĐÀN DẠY HỌC TỐN CHỨNG MINH THẲNG HÀNG TRONG CÁC BÀI TỐN VECTƠ LỚP 10  Các bài tốn chứng minh thẳng hàng và đồng quy thường làm khĩ học sinh, điều này càng dễ hiểu

CHUYÊN MỤC :

DIỄN ĐÀN DẠY HỌC TỐN

CHỨNG MINH THẲNG HÀNG TRONG CÁC BÀI TỐN VECTƠ LỚP 10

 Các bài tốn chứng minh thẳng hàng và đồng quy thường làm khĩ học sinh, điều này càng dễ hiểu khi ta mới tiếp cận các dạng tốn về Vectơ Cĩ một phương pháp nhất quán và hiệu quả để giải các dạng Tốn này, tơi xin nêu lại sau đây:

 Phương Pháp: Để chứng minh ba điểm A B C, , thẳng hàng trong các bài tốn vectơ, ta chọn một điểm

gốc (chẳng hạn A ) rồi chứng  

 

AB kAC k

 Cơng thức ngọn trừ gốc :  

  

BC AC AB (Chọn điểm A làm gốc)

 Từ các hệ thức đã cho ta làm xuất hiện 2 vectơ AC , AB

 

và các vectơ  1, 2, ,

n

AM AM AM (theo

cùng điểm gốc A ) bằng cách sử dụng cơng thức ngọn trừ gốc MN  ANAM

 Biểu diễn AB 1AM12AM2  n AM n

và AC 1AM12AM2   n AM n

với

n

k



 

       Khi đĩ ta cĩ : 

 

AB k AC

Bài 1 Cho tam giác ABC, trên BC lấy điểm D sao cho 3

5

BD  BC

 

Gọi E là điểm thỏa điều kiện

10EA2EB3EC 0

   

Chứng minh ba điểm A E D, , thẳng hàng

Lời giải Chọn điểm gốc là E Ta cĩ :

BD BC EDEB ECEB  ED EB EC

10EA2EB EC 010EA 2EB3EC (2)

Từ (1)(2) suy ra : 5ED 10EA

hay  

 

2

ED EA Vậy ba điểm A E D, , thẳng hàng

Bài 2 Cho tam giác ABC và hai điểm M N, thỏa điều kiện MA3MC0 ;NA2NB3NC 0

      

Chứng minh rằng 3 điểm B M N, , thẳng hàng

Lời giải Chọn điểm B làm điểm gốc Ta cĩ :

MA MC  BABM BCBM   BM  BA BC



          

NA NB NC  BABN  BN BCBN   BN BA BC

            

Từ (1) và (2) suy ra : 4BM 6BN

 

hay 3

2

BM  BN

 

Do đĩ 3 điểm B M N, , thẳng hàng

Bài 3 Cho tam giác ABC cĩ P là trung điểm của AB và hai điểm M N, thỏa các hệ thức MB2MC 0

  

và

NA NC

  

Chứng minh ba điểm M N P, , thẳng hàng

Lời giải Chọn điểm gốc là M Ta cĩ :

NA2NC0MAMN 2MCMN03MN  MA2MC

          

Mà MB2MC02MC MB

    

nên 3MN MAMB2MP

   

(Do P là trung điểm của AB) Hay 

 2

3

MN MP vì vậy ba điểm M N P, , thẳng hàng

Bài 4 Cho hình bình hành ABCD Gọi H K, lần lượt là hai điểm trên cạnh BC BD, sao cho

,

BH  BC BK  BD

   

Chứng minh ba điểm A H K, , thẳng hàng

Lời giải Chọn điểm gốc là A Ta cĩ :

BH  BC AH AB ACAB  AH AB AC AB AH  ABAC

            

BK  BD AK AB AD AB  AK AB  ADAB AK  AB AB AD

             

Trung tâm Thăng Long TP.HCM

Địa chỉ: 766/36 -766/38 CMT8, P5, Q Tân Bình

Giáo viên: Huỳnh Nguyễn Luân Lưu (ĐT: 0907415107) Nguyễn Thị Duy An

Do tứ giác ABCD là hình bình hành nên ta cĩ : ABAD AC

  

Do đĩ : 6AK 4AB AC (1)

  

Suy ra : 5AH 6AK

 

hay 6

5

 

Vậy ba điểm A H K, , thẳng hàng

Bài 5 Cho tam giác ABC và hai điểm I J, thỏa điều kiện IA2IB; 3JA2JC0

    

Chứng minh IJ đi qua trọng tâm tam giác ABC

Lời giải Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta cĩ : GAGBGC0

   

Chứng minh IJ đi qua trọng tâm G

nghĩa là chứng minh G I J, , thẳng hàng Ta cĩ :

IA2IB GAGI 2GBGIGI  GA2GB (1)

3JA2JC 03GAGJ 2 GCGJ05GJ 3GA2GC (2)

Từ (1)(2), ta cĩ : GI5GJ 2GAGBGC0GI  5GJ

Suy ra ba điểm G I J, , thẳng hàng hay IJ

đi qua trọng tâm G của tam giác ABC

Bài 6 Cho tam giác ABC Gọi O G H, , lần lượt là tâm đường trịn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác

ABC Chứng minh rằng: O G H, , thẳng hàng

H

G

C B

D O

A

Lời giải Chọn điểm gốc là O

Ta cĩ:    3

   

OA OB OC OG (Do G là trọng tâm tam giác ABC) (1)

Gọi D là điểm đối xứng với A qua O, ta được:

BHCD (cùng vuơng gĩc với AC) và CH BD (cùng vuơng gĩc với AB)

 Tứ giác BHCD là hình bình hành

  

  

HB HC HD

     

     

OB OH OC OH OD OH

       

      

OH OD OB OC OA OB OC (O là trung điểm của AD) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 3

 

OH OG Vậy 3 điểm O G H, , thẳng hàng

Bài Tập

Bài 1 Cho tam giác ABC Gọi D I, thỏa điều kiện 3DB2DC0

  

và IA3IB2IC0

   

Chứng minh 3 điểm

, ,

A D I thẳng hàng

Bài 2 Cho tam giác ABC Gọi M N P, , thỏa điều kiện MB2MC NA2NC  PA PB0

      

Chứng minh 3 điểm M N P, , thẳng hàng

Bài 3 Cho tam giác ABC Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB AC, và các điểm E F, thỏa điều kiện

1

3



 

ME MN; 1

3



 

BF BC Chứng minh 3 điểm A E F, , thẳng hàng

Bài 4 Cho tứ giác ABCD cĩ AB CD Các đường thẳng AC BD, cắt nhau ở E và các đường thẳng AD BC, cắt

nhau ở F Gọi M N, theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB CD, Chứng minh rằng E F M N, , , cùng nằm

trên một đường thẳng

Bài 5 Trên các cạnh BC CA AB, , của tam giác ABC tương ứng lấy các điểm A B C1, 1, 1 Gọi G G G a, b, c theo thứ

tự là trọng tâm của các tam giác AB C C A B A B C1 1, 1 1 , 1 1 và G G G, 1, 2 theo thứ tự là trọng tâm các tam giác

1 1 1

ABC A B C G G G Chứng minh 3 điểm G G G, 1, 2 thẳng hàng