phương pháp phần tử hữu hạn

Mục tiêu Sau khi học xong học phần, sinh viên có thể: - Nắm được ý tưởng, các khái niệm cơ bản, trình tự tính toán của PPPTHH; - Áp dụng PPPTHH để tính kết cấu xác định chuyển vị, nội l

BÀI GIẢNG

Phương pháp phần tử hữu hạn

TS Quách Hoài Nam

Bộ môn Cơ học – Vật liệu Trường Đại học Nha Trang



 02/2012

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG

Học phần tiên quyết: Sức bền vật liệu

Bộ môn quản lý: Cơ học – Vật liệu

2 Thông tin về giảng viên

1 TS Quách Hoài Nam Cơ học – Vật liệu 2220747 namqh@ntu.edu.vn

15g30’ 17g10’

10g

9g-5 Mục tiêu

Sau khi học xong học phần, sinh viên có thể:

- Nắm được ý tưởng, các khái niệm cơ bản, trình tự tính toán của PPPTHH;

- Áp dụng PPPTHH để tính kết cấu (xác định chuyển vị, nội lực và ứng suất trong kết cấu

2 Trình tự tính toán kết cấu theo phương pháp

Nhà xuất bản

Địa chỉ khai thác tài liệu Học Tham

khảo

2 Quách Hoài Nam Thực hành

phương pháp phần tử hữu hạn với chương trình RDM

sau đó được chuyển thành điểm chữ như sau:

9.2.Các hoạt động kiểm tra - đánh giá

+ Nguyên lý thế năng toàn phần cực tiểu

+ Phương pháp Rayleigh – Ritz

[1], [3]

1.4 và 1.5 1.6 21/2 - Phương pháp PTHH dựa trên chuyển vị [1], [3]

1.14 28/2 - Giải bài tập

+ Phần tử chịu lực khác

+ Chuyển vị cưỡng bức

[1], [3]

2.12, 2.13, 2.14 và 2.15 2.16

08/3 - Kiểm tra giữa kỳ (được sử dụng tài liệu)

13/3 - Tính kết cấu dàn phẳng:

+ Phần tử dàn phẳng

[1]

3.1, 3.2, 3.3, 3.4 và 3.5 15/3 - Tính kết cấu dàn phẳng:

+ Bài toán đối xứng

+ Gối xiên

[1], [3]

3.6, 3.7 và 3.8 3.9

+ Phần tử thanh chịu xoắn

+ Phần tử khung dàn

[1]

4.5, 4.6 4.7 27/3 - Tính kết cấu khung không gian

+ Phần tử khung không gian

11 Lịch kiểm tra – đánh giá

12 Yêu cầu đối với sinh viên

Trong quá trình học, sinh viên phải:

- Tham dự đầy đủ các buổi lý thuyết và thực hành

- Làm đầy đủ và nộp đúng hạn các bài tập mà giảng viên giao Sinh viên không nộp bài tập đúng hạn hoặc chép của người khác sẽ bị điểm 0 ở bài tập đó

- Tham dự kiểm tra giữa và cuối kỳ cũng như thi kết thúc học phần

Chương 1:

Cơ sở của phương pháp phần tử hữu hạn

1.1 Giới thiệu về phương pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH)

Là phương pháp số vạn năng và hiệu quả trong giải quyết các bài toán kỹ thuật

Cho phép tìm dạng gần đúng của hàm biểu diễn đại lượng cần tìm trong miền xác định V trên cơ sở xác định trong các miền con Ve (phần tử)

PPPTHH cho phép giải quyết các bài toán:

o Phân tích kết cấu (tĩnh và động, tuyến tính và phi tuyến) (ứng dụng đầu tiên)

c) Tính dòng chảy trong ống Hình 1.1 Một số ứng dụng của PPPTHH

1.2 Sơ lược về sự ra đời của PPPTHH

Năm 1943, nhà toán học Courant sử dụng lời giải dạng liên tục trên từng đoạn cho bài toán xoắn thanh mà về sau được thừa nhận là đã đưa ra những ý tưởng cơ bản của PPPTHH

Năm 1956, Turner và ctv sử dụng phương pháp độ cứng để giải quyết bài toán phẳng sử dụng các phần tử tam giác ba nút

Năm 1960, Clough lần đầu tiên đưa ra khái niệm phần tử hữu hạn Sau đó, phương pháp

phần tử hữu hạn đã được thừa nhận về mặt toán học và được áp dụng rộng rãi cho các bài toán trường như truyền nhiệt, nước ngầm, trường điện từ và các lĩnh vực khác

Các phần mềm PPPTHH cỡ lớn đã xuất hiện trong những năm 1970

Vào cuối những năm 1980, đã có những chương trình cho máy tính cá nhân

Cho đến giữa những năm 1990, trên toàn thế giới có khoảng 40.000 bài báo và đầu sách về PPPTHH và các ứng dụng của nó

1.3 Các chương trình tính kết cấu theo PPPTHH

Cho nghiên cứu và giáo dục: trong các trường đại học để nghiên cứu và học tập:

+ RDM – Viện Đại học Công nghệ Le Mans, Pháp

+ CALFEM – Viện Đại học Lund, Thụy Điển

+ FEAPpv – Viện Đại học California, Mỹ

Cho thương mại: tại các công ty, xí nghiệp:

2.1 Khái niệm về bài toán phân tích tĩnh kết cấu

Tìm nội lực, ứng suất, biến dạng, chuyển vị của kết cấu dưới tác dụng của tải tĩnh

Các giả thiết nghiên cứu tương tự như Sức bền vật liệu: vật liệu đồng nhất, đẳng hướng, đàn hồi tuyến tính; biến dạng và chuyển vị của kết cấu đủ nhỏ

2.2 Các phương pháp cơ bản trong phân tích tĩnh kết cấu

2.2.1 Theo kết quả nhận được

Phương pháp giải tích: lời giải là một hàm phụ thuộc vào các tọa độ không gian

• Phương pháp trực tiếp (còn gọi là phương pháp véctơ): giải trực tiếp phương trình vi

phân chủ đạo của bài toán

• Phương pháp năng lượng: dựa vào một nguyên lý năng lượng nào đó như nguyên lý bảo

toàn cơ năng, nguyên lý di chuyển khả dĩ, nguyên lý thế năng toàn phần cực tiểu…

Phương pháp số: lời giải là một tập hợp giá trị số của đại lượng cần tính tại một số hữu hạn

điểm trên miền tính Cụ thể, có các phương pháp sau:

• Phương pháp sai phân hữu hạn

• Phương pháp phần tử hữu hạn

• Phương pháp phần tử biên…

2.2.2 Theo ẩn số chính

Phương pháp lực: lực được coi là ẩn số chính (được tìm trước), là phương pháp được sử

dụng phổ biến trong Sức bền vật liệu

Phương pháp chuyển vị: lấy chuyển vị làm ẩn số chính, là khởi nguồn của phương pháp

phần tử hữu hạn dựa trên chuyển vị

Phương pháp hỗn hợp: coi lực và chuyển vị là độc lập nhau và tìm đồng thời

2.3 Ví dụ về thanh chịu lực dọc trục (kéo /nén đúng tâm)

Xét 1 thanh thẳng có tiết diện không đổi chịu lực dọc trục như trên hình 1.2

u = chuyển vị dọc trục của mặt cắt ngang có tọa độ x,

εx = biến dạng dài tỉ đối tại đó

Hình 1.3 Quan hệ giữa chuyển vị và biến dạng

Phương trình vật liệu: nếu vật liệu làm việc trong miền đàn hồi ta có định luật Hooke:

x

E = mô-đun đàn hồi của vật liệu,

σx = ứng suất pháp trên mặt cắt ngang,

εx = biến dạng dài tỉ đối

Hình 1.4 Biểu đồ kéo vật liệu dẻo

Phương trình cân bằng: được thiết lập khi xét cân bằng của phân tố trên hình 1.5b

+q x dx

dN

(1.3)

Hình 1.5 Cân bằng của phân tố thanh chịu lực dọc trục

Thay (1.1) vào (1.2) → mối quan hệ giữa ứng suất và chuyển vị:

du E

u d

du EA U

Và các điều kiện biên:

0)0(x= =

0)

Tích phân 2 vế của phương trình (1) 2 lần:

C px dx

du

D Cx

p x

3.1 Nguyên lý thế năng toàn phần cực tiểu

Được suy ra từ nguyên lý di chuyển khả dĩ và được sử dụng rộng rãi trong PPPTHH

U = năng lượng biến dạng của hệ,

W = Wext = công của ngoại lực đặt lên hệ

Nội dung: “Hệ đàn hồi ở trạng thái cân bằng nếu và chỉ nếu thế năng toàn phần đạt giá trị

cực tiểu”

Nếu ∏ phụ thuộc vào các chuyển vị qi ( i = 1-n) thì nguyên lý thế năng toàn phần cực tiểu:

Hệ đàn hồi cân bằng ⇔ Πmin⇔ =0

Gọi u là chuyển vị của điểm đặt lực, có chiều đi từ trái sang phải (trùng với chiều của P)

Công của ngoại lực:

P.u

NLBD tích luỹ trong hệ:

dx dx

du EA dx

dx

du EA U

U U

L

0

2 2

0

1 2

1

2

12

Thế năng toàn phần của hệ:

Pu u L

EA W

2

1 2

1 2

1

u k k k

k U U

(k k )u P u W

Suy ra chuyển vị của điểm chịu lực:

2

1 k k

P u

+

3.2 Phương pháp Rayleigh – Ritz

Được đề xuất bởi Rayleigh trong những năm 1880 và được tổng quát hóa bởi Walther Ritz khoảng 35 năm sau

Một cách áp dụng NLTNTPCT và cho phép tìm lời giải gần đúng

 Giả thiết một trường chuyển vị thoả mãn ĐKB động học của bài toán Thường thì trường chuyển vị được chọn dưới dạng:

=

= N

i i

x u

1

αi = các hệ số chưa biết, được gọi là các tọa độ tổng quát,

fi(x) = các hàm liên tục phụ thuộc tọa độ x, thỏa mãn các điều kiện biên động học (về chuyển vị) và độc lập tuyến tính

 Áp dụng NLTNTPCT để xác định các tọa độ tổng quát Tức cho:

để nhận được 1 hệ phương trình đại số tuyến tính

 Giải hệ phương trình trên, ta nhận được các hệ số αi cần tìm

Dễ nhận thấy, u(x) thỏa mãn ĐKB về chuyển vị (u(0) = 0)

NLBD trong thanh:

2

12

1

αα

α

L EA dx

dx

du EA U

12

1 2 2

2 3 2 1 2 2 1

3

12

13

42

2

1

αα

αα

13

4

02

1

3 2

3 1 2 2

2 2

2 1 1

pL L

L EA

pL L

L EA

αα

α

αα

=+

EA

pL L

EA

pL L

3

13

4

21

2 1

2 1

αα

αα

u

2

x Lx EA

Lời giải

Gọi chuyển vị dọc trục của A, B và C lần lượt là uA, uB và uC

Do thanh chỉ chịu lực tập trung, chuyển vị dọc trục trong thanh là tuyến tính Chọn hàm chuyển vị dọc trục trong đoạn AB và BC:

Biểu diễn các chuyển vị trên theo các chuyển vị tại 2 đầu mỗi đoạn thanh theo cách như sau

Với thanh AB:

x x

x x

NLBD tích luỹ trong thanh:

0

1 2

1

2

2

12

21

B C B

L L

u u L

EA u

L EA

dx dx

du EA dx

dx

du EA U

U U

−+

L

EA W

0

B

u u

(10)

Thực hiện các đạo hàm trong (10), ta có:

0

012

P u u L EA

u u L

EA u

L EA

B C

B C B

−

=

−

P u L

EA u

L EA

u L

EA u

L EA

C B

2

4.1 Trình tự phân tích kết cấu theo PPPTHH

Bước 1 Rời rạc hóa kết cấu:

 Kết cấu liên tục được rời rạc hóa hay được coi như gồm các bộ phận kết cấu có dạng hình học đơn giản ghép lại gọi là phần tử

 Các phần tử được nối với nhau tại một số điểm nhất định nằm trên biên phần tử gọi

là điểm nút hay nút

Bước 2 Xấp xỉ chuyển vị trong phần tử:

 Vì chưa biết trường chuyển vị thực bên trong kết cấu, ta giả thiết nó được xấp xỉ bằng các hàm đơn giản trong phạm vi từng phần tử

 Các hàm xấp xỉ này được biểu diễn theo các giá trị chuyển vị tại các nút của phần tử

- gọi là bậc tự do của phần tử

Bước 3 Thiết lập phương trình phần tử:

 Phương trình phần tử biểu diễn mối quan hệ giữa lực đặt tại các nút của phần tử với chuyển vị tại các nút tức bậc tự do của phần tử

 Để thiết lập phương trình phần tử ta có thể dùng một số cách như phương pháp chính tắc (sử dụng nguyên lý thế năng toàn phần cực tiểu), hay phương pháp trực tiếp

 Cần lưu ý, mặc dù phương pháp trực tiếp đơn giản và dễ hiểu hơn nhưng chỉ áp dụng được cho một số phần tử đơn giản như phần tử lò xo hay thanh chịu lực dọc trục

 Kết quả ta nhận được phương trình có dạng:

Bước 4 Thiết lập phương trình kết cấu:

 Phương trình kết cấu biểu diễn mối quan hệ giữa lực đặt tại các nút của kết cấu với chuyển vị tại các nút tức bậc tự do của kết cấu

 Để thiết lập phương trình kết cấu ta có thể dùng một số cách như phương pháp chính tắc (sử dụng nguyên lý thế năng toàn phần cực tiểu), hay phương pháp trực tiếp

 Kết quả ta nhận được hệ phương trình có dạng:

Bước 5 Giải hệ phương trình kết cấu:

 Giải hệ phương trình kết cấu, các giá trị chuyển vị tại nút sẽ được xác định và từ đó,

ta có thể tìm được biến dạng, ứng suất… tại bất cứ điểm nào trong kết cấu

 Trong bài toán tĩnh, hệ phương trình kết cấu là hệ phương trình đại số tuyến tính nên

ta có thể sử dụng các phương pháp đã biết để giải như: phương pháp thế, phương pháp Gramer hay phương pháp tổng quát hơn là phương pháp khử Gauss

 Cần chú ý, để có thể giải được hệ phương trình trên, trước tiên ta cần áp đặt các điều

kiện biên động học của bài toán

4.2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.6

Bước 1 Rời rạc hóa kết cấu

Xét thanh hình bậc chịu lực như trên hình 1.11a

Thông thường và một cách tự nhiên, có thể coi thanh được ghép bởi 2 đoạn hay 2 phần tử tương ứng với 3 điểm nút hay 3 nút như trên hình 1.11b

Do thanh chịu lực dọc trục, tại mọi điểm trong phần tử chỉ có chuyển vị dọc trục và tại 3 nút,

có các chuyển vị là u1, u2 và u3, là các ẩn số chính của bài toán

a)

b)

c) Hình 1.11

Bước 2 Xấp xỉ chuyển vị trong phần tử

Xét phần tử thứ e bất kỳ trong 2 phần tử trên Phần tử có chiều dài là Le, diện tích tiết diện không đổi Ae và mô-đun đàn hồi Ee

Trong hệ tọa độ địa phương xy gắn liền với phần tử, phần tử chỉ có 2 bậc tự do là chuyển vị dọc trục của 2 đầu phần tử: ui, uj Tương ứng với 2 chuyển vị này là 2 lực fi và fj

Hình 1.12

Nếu phần tử không chịu lực phân bố thì chuyển vị trong phần tử có dạng tuyến tính:

x x

u u

u u

2 1 1

0

αα

α+

L

u u

i j i

u x N u x N

u L

x u L

x x

L

u u u x u

(1.17)

( )

e i

L

x x

e j

L

x x

j i x

N i j

0

1)

Bước 3 Thiết lập phương trình phần tử

NLBD tích lũy trong phần tử được tính theo (1.7):

dx

du A E dx

du U

0

21

e j i e

∫ − +   − + 

=

11

21

u

u A

E L

e

L

j

i e

e e

1-uu12

e e j i e

u

u L

A E u u U

11

112

11

e

e e e

L

A E

Với phần tử đang xét, chỉ có lực tập trung đặt tại các nút, công gây ra bởi các lực này:

e j

i j i j j i i

f

f u u u f u f

j

i j i j i e

e e j i e

e e

f

f u u u

u L

A E u u W

U

11

112

i e

e e

f

f u

u L

A E

11

11

Chú ý rằng, ngoài cách thành lập phương trình phần tử theo phương pháp chính tắc như trên, chúng ta còn có thể sử dụng phương pháp trực tiếp Mặc dù phương pháp này đơn giản và

dễ hiểu hơn nhưng chỉ áp dụng được cho một số phần tử đơn giản như phần tử lò xo hay thanh chịu lực dọc trục

Bước 4 Thiết lập phương trình kết cấu

Sau đây, ta tìm hiểu cách thành lập phương trình kết cấu từ các phương trình phần tử cũng như việc thành lập ma trận độ cứng kết cấu từ các ma trận độ cứng phần tử

112

1 ( 2

) 1 ( 1 1

d

u

u u

11

2 ( 3

) 2 ( 2 2

d

u

u u

u

u

3 2 1

2

1 1

010

001

u

u

3 2 1

3

2 2

100

010

NLBD của toàn bộ kết cấu:

{ } [ ] [ ][ ] { } { } [ ] [ ][ ] { }

{ } ( [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] ) { } { } ( [ ] [ ] ){ }

{ }d [ ]K{ }d

d k k d

d L k L L k L d

d L k L d d L k L d

d k d d

k d U

U U

T T

T T

T

T T T

T

T T

21

''2

12121

2

12

1

2 1

2 2 2 1 1 1

2 2 2 1

1 1

2 2 2 1

1 1 2

=

1 (1)

2

022

L

EA L

EA

L

EA L

EA

L k L

EA

L

EA L

EA L

k L

00

00

=

L

EA L

EA L

EA L

EA

L

EA L

EA

k k K

0

32

02

2

''1 2

Công của ngoại lực:

d

f L f L d

f L d f L d

f d f d

T T

T T

T

T T T

T

T T

=

2 1

2 2 1 1

2 2 1

1

2 2 1 1 2 1

''

WWW

Với: { } [ ] { }

( ) ( )

f

1 1 1 1

2 2 2 2 2

ff

=+

=

P0R

f

ff

f'

'

1

2 3

2 2 1 2

1 1 2

1 f f

L K

L F

1

(1.31)

Chú ý rằng, để đi đến phương trình (1.29), chúng ta cũng có thể sử dụng phương pháp trực tiếp trên cơ sở xét cân bằng của từng nút Tuy nhiên, cách này không mang tính tổng quát nên khó áp dụng cho các phần tử phức tạp hơn

Bước 5 Giải phương trình kết cấu

Cần chú ý rằng phương trình (1.29) có vô số nghiệm do ma trận độ cứng kết cấu [K] suy biến Lý do là chúng ta chưa kể đến các điều kiện biên động học của bài toán Cho nên,

trước khi giải phương trình (1.29), cần áp dụng điều kiện biên hay áp đặt điều kiện biên

(1.29) là hệ phương trình đại số tuyến tính bình thường Sử dụng các phương pháp đã biết,

ta sẽ tìm được {d}, tức chuyển vị tại các điểm nút của kết cấu Từ đó, ta có thể tìm được các đại lượng khác như chuyển vị, biến dạng, ứng suất trong kết cấu

Trên thực tế để tính kết cấu theo PP PTHH, ta thường thực hiện qua các bước sau:

Bước 1: Rời rạc hóa kết cấu

Bước 2: Tính ma trận độ cứng kết cấu

Bước 3: Thiết lập véc-tơ tải kết cấu

Bước 4: Giải hệ phương trình kết cấu

Bước 5: Tính nội lực, ứng suất và biến dạng theo yêu cầu đề bài

Ví dụ 1.7

Xác định chuyển vị của điểm đặt lực và nội lực trong thanh trên hình 1.15 theo PPPTHH

Hình 1.15a

Lời giải

Bước 1: Rời rạc hoá kết cấu

Chia thanh làm 2 phần tử như hình 1.15b:

Ma trận độ cứng của kết cấu được hình thành từ các ma trận độ cứng phần tử theo cách sau:

Mở rộng ma trận độ cứng phần tử 1 về phía chuyển vị bị khuyết u3:

1 k k

u1 u2 u3

2 -2 0 u1 -2 (2+1) -1 u2

L

EA

=

0 -1 1 u3 Bước 3: Tính véc-tơ tải kết cấu

Gọi R1, R3 là các phản lực tại 2 ngàm (hình 1.16b), véc-tơ tải kết cấu:

R F

Bước 4: Giải phương trình kết cấu

Phương trình kết cấu có dạng:

3 2 1

110

132

022

R P R

u u u

L EA

ĐKB của bài toán: u1 = u3 = 0

132

R P

R u

L EA

Giải phương trình thứ hai:

P u L

u u EA

Tương tự, lực dọc trong phần tử 2:

3

2 3 2

P L

u u EA

Kiểm tra:

03

13

6 MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT

6.1 Trường hợp phần tử chịu tải phân bố đều

Xét phần tử thanh chịu lực phân bố đều (q = const) trên suốt chiều dài (hình 1.16)

Đưa lực này về các lực tập trung tương đương đặt tại các nút trên cơ sở bảo toàn công của ngoại lực lên phần tử

Hình 1.16: Phần tử thanh chịu lực phân bố đều

Công của lực phân bố:

( )

e e

i i

j i e L

j e i e

L e

f d

qL u u

u u

qL dx u L

x u L

x q

qdx x u W

e e

e eq

qL

{ }f eq = kết quả biến đổi lực phân bố về lực tập trung tại nút

Như vậy véc tơ tải phần tử bao gồm các thành phần lực tập trung đặt tại nút và lực phân bố được đưa về qua phép biến đổi:

Gọi R1, R3 là các thành phần phản lực tại 2 ngàm Đưa lực phân bố trên phần tử 1 về 2 nút, véc-tơ tải kết cấu:

20

R qL

qL R qL qL

R

R F

Bước 4: Giải phương trình kết cấu

Phương trình của kết cấu:

22

110

121

011

R qL

qL R

u u u

L EA

ĐKB: u1 = u3 = 0

Giải phương trình thứ 2, ta được:

EA

qL u

2 2

4

1

Bước 5: Tìm phản lực tại hai ngàm

Từ 2 phương trình còn lại, ta tìm được các thành phần phản lực tại ngàm:

Để giải quyết vấn đề này, người ta thường dùng nguyên tắc chồng chất (độc lập tác dụng hay cộng tác dụng) để tính chuyển vị trong phần tử

Áp dụng nguyên tắc này, chuyển vị trong phần tử sẽ gồm hai thành phần là chuyển vị gây ra

do hai đầu phần tử có chuyển vị (chuyển vị nút) và chuyển vị gây ra do lực phân bố đều trong phần tử Cần lưu ý rằng khi xét ảnh hưởng của yếu tố này ta phải bỏ qua ảnh hưởng của các yếu tố còn lại (bằng không)

e e

e j

j i i

A E

x L qx u x N u x N x u

2

−+

A E dx

x du A E

i j e

e e e

e e

−+

−

=

Bước 1: Rời rạc hoá kết cấu

Sơ đồ rời rạc và các chuyển vị nút (3 phần tử và 4 nút)

112

1

L

EA k

112

2

L

EA k

113

3

L

EA k

−

−+

−

−

=

3300

3520

022

521

002

121

330

0

33220

0222

121

002

12

1

L

EA L

EA K

Bước 3: Tính véc tơ tải kết cấu

qL F

F

Bước 4: Giải phương trình kết cấu

Phương trình của kết cấu:

4 3 2 1

2

3300

3520

022

521

002

121

F qL qL

qL F

u u u u

L EA

Điều kiện biên: u1= u4 = 0

52

225

021

F qL qL

qL F

u

u L

EA

Giải hệ phương trình này ta được:

EA

qL u

2 2

2 3

17

14

qL F

x L qx u x N u x N x u

34

17522

2

2 2 1 1 1

−

=

−+

17

418

3 2 2 1 2

−

=+

( ) ( ) ( ) ( )

EA

x qL u

x N u x N x u

17

114

4 2 3 1 3

−

=+

1 1

x L q dx

x du EA

;

( )

qL dx

x du EA N

x du EA N

6.2 Trường hợp phần tử có biến thiên nhiệt

Giả sử phần tử có biến thiên nhiệt ∆T, vật liệu có hệ số giãn nở nhiệt αe

Véc tơ lực nút tương đương trong trường hợp này:

3L 2L

(u u ) E A T L

A E

e

e e

112

2 1

11

3 2

L

EA k

132

022

L

EA K

Véc tơ tải kết cấu:

T EA

T EA R

F

α α α

3

2

3 1

Điều kiện biên:

u1 = u3 = 0

Giải hệ phương trình ta được:

TL

u =− α∆3

1

2

Các thành phần phản lực:

TL EA

R = α∆3

EA u

2

2 2

1

T EA T

EA u EA

N =− − 3α∆ =−8 α∆

Phân bố lực dọc và chuyển vị được thể hiện trên hình 1.19b

Hình 1.19b

6.3 Trường hợp chuyển vị cưỡng bức/áp đặt

Ngoài chuyển vị và nội lực do tải cơ, nhiệt (biến thiên nhiệt độ) gây ra, kết cấu có thể phát sinh nội lực và ứng suất do chuyển vị cưỡng bức hay áp đặt

Chuyển vị cưỡng bức xảy ra khi gối lún, lắp ghép các bộ phận thiếu chính xác, lắp ghép có

độ dôi, …

Trong trường hợp này, chuyển vị cưỡng bức đã biết trước và được tính đến trong bước áp đặt điều kiện biên (động học) Đây là kiểu điều kiện biên không thuần nhất vì chuyển vị khác không

Ví dụ 1.11

Tìm chuyển vị của điểm đặt lực và các phản lực Biết thanh có diện tích tiết diện là A = 250

mm2, mô-đun đàn hồi E = 200 GPa, lực P = 60 kN, chiều dài L = 150 mm và ∆ = 0,12 mm

15060

Ta dễ dàng xác định được ma trận độ cứng kết cấu và véc tơ tải kết cấu lần lượt là

121

011

R F

với R1 và R3 là phản lực tại 2 ngàm, chiều được chọn đi từ trái qua phải

Điều kiện biên của bài toán là

u1 = 0 và u3 = ∆ (điều kiện biên không thuần nhất)

Như vậy ta có phương trình kết cấu sau khi xử lý điều kiện biên như sau:

1

110

121

011

R P

R u

u

L EA

121

3

1 2

L EA R

P

R u L

EA

Từ phương trình thứ 2, ta có:

15,02

12,02502002

150602

250200

25020015,0150

250200

2

L

EA u

L EA

Áp dụng PPPTHH tính kết cấu dầm phẳng

Chỉ xét dầm thẳng chịu uốn trong mặt phẳng đối xứng

Các giả thiết về biến dạng của dầm đã đề cập trong Sức bền vật liệu:

o MCN luôn phẳng và vuông góc với trục dầm,

o khoảng cách giữa các thớ dọc không thay đổi,

o biến dạng, chuyển vị của dầm là bé

Hình 2.2

dx

v d y dx

x v d

V

dx dx

v d EI dv

E U

0

2 2

2 2

2

12

Tìm độ võng, góc xoay và nội lực trong dầm theo phương pháp trực tiếp và phương pháp Rayleigh-Ritz nếu dầm có độ cứng uốn không đổi trên toàn bộ chiều dài

x v d

3

C qx dx

x v d

( )

2 1 2 2

2

x q dx

x v d

( )

3 2 2 1 3

2

x C

x q dx

x dv

4 3 2 2 3 1 4

26

x C

x C

x q v

Áp đặt điều kiện biên:

4 3 2

10 0 00

0=−q +C +C +C +C

3 2

10 00

0=−q +C +C +C

4 3 2 2 3 1 4

26

24

3 2 2 1 3

26

224

2412

q EI

x qL EI

qLx EI

qx x

v

z z

z z

−

2 Phương pháp Rayleigh - Ritz

Giả sử độ võng của dầm được xấp xỉ bởi:

L x ax x

2 2 2

5

22

1

a L EI dx

dx

v d EI

a qL dx

x qv W

2 5 2 qL5a

a L EI W

15

=+

L EI

q L

x x EI

q x

v

z z

2 2

L Lx x q x

Xét phần tử thanh chịu uốn có chiều dài Le, Ee, Ize = const trên hình 2.6

Mỗi nút có 2 BTD là độ võng v và góc xoay θ của MCN quanh trục z

2 2 x 3 x dx

x dv

−+

j e j e i e i e i

L

v L L

v L

L

v L L

v L

θ θ

α

θ θ

α

θ α

2 3

2 3

4

2 2

3 2

12

12

13

23

Thay (2.11) vào (2.10) rồi sắp xếp theo thứ tự các chuyển vị nút, ta được:

( )

j e e j

e e

i e e i

e e

L

x L

x v

L

x L x

L

x L

x x v L

x L

x x

−+

3 2

2

2

3 2 3

3 2

2

23

22

31

L

x L

x x

e e i

L

x L

x x x

e e vj

L

x L

x x

e e j

L

x L

x x

j vj

i vi

v

v

x N x N x N x N x v

dx

v d I E U

0

2 2 2

vj i

x N d dx

x N d dx

x N d dx

x v d

θ

θ

θ θ

2 2 2

2 2

2 2

2 2

v

v

B B B B

θ

θ

4 3 2

( )

3 2

2

2

e e

vi

L

x L

dx

x N d

( )

2 2

2

e e

i

L

x L

dx

x N d

( )

3 2

2

2

e e

vj

L

x L

dx

x N d

( )

2 2

2

e e

j

L

x L

dx

x N d

Dạng của phương trình (2.17) là

[ ]{ }B d e dx