Khai thác các phương thức chuyển đổi ngôn ngữ trong quá trình giải toán ở bậc trung học phổ thông

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Việc giải toán hình học ở phổ thông thường được giáo viên giáo viên và học sinh tiếp cận theo các dạng với từng yêu cầu cụ thể, trong từng bài từng chương như : chứng m

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Việc giải toán hình học ở phổ thông thường được giáo viên giáo viên và học sinh tiếp cận theo các dạng với từng yêu cầu cụ thể, trong từng bài từng chương như : chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng, sự đồng phẳng của các véc tơ, tìm khoảng cách từ điểm đến mặt, viết phương trình đường thẳng…Tương ứng với dạng trên là các thao tác giải toán được chia nhỏ cụ thể

để dễ vận dụng Tuy thuận lợi cho việc vận dụng nhưng sẽ giáo viên và học

sinh thiếu cái nhìn tổng quát về các phương pháp giải toán hình học “Khai thác các phương thức chuyển đổi ngôn ngữ trong quá trình giải toán ở bậc trung học phổ thông” là một đề tài thú vị cho thấy cách nhìn nhận tổng quan

về hình học, cũng như các phương pháp giải toán hình học ở phổ thông Từ đó xem xét bài toán hình học theo nhiều cách khác nhau và tìm được các cách giải hay cho bài toán

Đồng thời việc nghiên cứu đề tài này sẽ giúp bản thân tôi có “góc nhìn” toàn diện hơn về các bài toán hình học ở phổ thông, các phương pháp giải toán hình học, từ đó có thể vận dụng chúng để phù hợp với đối tượng học sinh

2 MỤC TIÊU

Tìm hiểu các phương pháp tiếp cận hình học phổ thông để có thể xem xét bài toán hình học nhiều khía cạnh góc độ

Xây dựng quy trình chuyển đổi giữa các ngôn ngữ hình học và một số gợi

ý vận dụng quy trình này, để việc vận dụng được thuận lợi hơn Tuy nhiên ta cóthể vận dụng linh hoạt tùy theo bài toán không nhất thiết phải theo khuôn mẫu Khai thác các phương thức chuyển đổi này trong quá trình giải toán hình học phổ thông, thông qua các bài toán cụ thể, đồng thời phân tích và nhận xét việc giải các bài toán

CHƯƠNG 1: BỐN PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN

HÌNH HỌC

Từ khóa: Phương pháp tổng hợp, phương pháp véc tơ, phương pháp vectơ -

tọa độ, phương pháp tọa độ, phương pháp giải tích, phương pháp phép biến hình, hệ tiên đề Hilbert, hệ tiên đề Weil

1.1 CÁCH TIẾP CẬN THEO PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP

Phương pháp tổng hợp trong nghiên cứu hình học, ở đây, được hiểu là

phương pháp xây dựng hình học bằng một hệ tiên đề mà ở đó không thể hiện ý

đồ đại số hóa hình học như: hệ tiên đề Ơlic, Hilbert…

Đối với hệ tiên đề Hilbert các khái niệm cơ bản gồm:

+ Các đối tượng cơ bản: điểm, đường thẳng, mặt phẳng

+ Các quan hệ cơ bản: thuộc hay nằm trên, ở giữa, toàn đẳng

+ Các số đo cơ bản: độ dài đoạn thẳng, diện tích mặt, số đo (độ) của góc.Hình học phẳng được xây dựng bằng hệ tiên đề Hilbert gồm 21 tiên đề, chia làm 5 nhóm: nhóm tiên đề về liên thuộc, nhóm các tiên đề về thứ tự, nhóm tiên đề về độ dài đoạn thẳng, nhóm tiên đề về liên tục, nhóm tiên đề về quan hệ song song

1.2 CÁCH TIẾP CẬN THEO PHƯƠNG PHÁP VECTƠ

Theo Lê Thị Hoài Châu (2004), khái niệm vectơ có ba cách định nghĩa khác nhau:

+ Định nghĩa qua hệ tiên đề của không gian vectơ Như hệ tiên đề Weil trong

đó các đối tượng cơ bản là điểm, véc tơ; các tương quan cơ bản: phép cộng vectơ, phép nhân vectơ với một số, tích vô hướng và phép đặt vectơ từ các điểm; các số đo cơ bản: độ dài ( môđun ) vecto, góc giữa 2 vecto

+ Định nghĩa qua lớp tương đương các đoạn thẳng định hướng

+ Định nghĩa thông qua lớp tương đương các cặp điểm sắp thứ tự.

1.3 CÁCH TIẾP CẬN THEO PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH

Trước hết, ta cần phải phân biệt phương pháp giải tích, phương pháp vectơ -

tọa độ và phương pháp tọa độ.

Theo Lê Thị Hoài Châu (2004)

+ Phương pháp giải tích là phương pháp “thông qua trung gian là một hệ

tọa độ, ta thay thế các đối tượng và các quan hệ hình học thành những đối tượng và quan hệ đại số Rồi ta dịch các tính chất hình học thành tính chất đại

số, quy bài toán hình học về bài toán đại số”.

+ Phương pháp vectơ - tọa độ là cách nghiên cứu hình học với công cụ

vectơ đã được gắn vào hệ tọa độ, từ đó người ta có thể chuyển phép toán trên

vectơ thành phép toán trên số Phương pháp này cho phép ta thiết lập mối liên

thông giữa phương pháp giải tích với phương pháp vectơ”

+ Thuật ngữ phương pháp tọa độ sẽ được dùng để chỉ chung cho hai

phương pháp, giải tích và vectơ - tọa độ (có cùng đặc trưng là lấy hệ tọa độ

làm trung gian để chuyển bài toán hình học thành bài toán đại số)”.

Như vậy, khi sử dụng phương pháp tọa độ để nghiên cứu hình học tức là ta áp dụng đồng thời hai phương pháp: giải tích và vectơ - tọa độ

1.4 CÁCH TIẾP CẬN THEO PHƯƠNG PHÁP PHÉP BIẾN HÌNH

Nghiên cứu các đối tượng hình học theo quan điểm biến hình, tức là theo các song ánh (1 – 1) f: D  D hoặc f:   

M  M’ M  M’

( với D là mặt phẳng 2 chiều – đối với hình học phẳng và là không gian 3 chiều – đối với hình học không gian) Nói chính xác hơn là phép biến hình điểm: M  M’ trong mặt phẳng hay không gian

Các phép biến hình thường xét ở phổ thông:

+ Phép dời:phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay+ Phép đồng dạng: phép vị tự trong mặt phẳng, phép nghịch đảo

Trong không gian cũng có các phép biến hình tương tự

A' B'

CHƯƠNG 2: KHAI THÁC CÁC PHƯƠNG THỨC

CHUYỂN ĐỔI NGÔN NGỮ TRONG QUÁ TRÌNH

GIẢI TOÁN HÌNH HỌC Ở BẬC THPT

Từ khóa: Ngôn ngữ hình học tổng hợp, ngôn ngữ véc tơ, ngôn ngữ tọa độ,

ngôn ngữ phép biến hình, hệ véc tơ cơ sở, hệ trục tọa độ Dêcac vuông góc

2.1 CHUYỂN ĐỔI TRONG NỘI BỘ MỘT NGÔN NGỮ

Để chuyển đổi ta thường sử dụng: định nghĩa, các định lý, tính chất, các cách tiếp cận khác nhau… để có được các “góc nhìn” về bài toán Từ đó đưa đến các cách khác nhau để giải quyết bài toán Nếu xem việc giải bài toán là quá trình đi từ giả thiết đến kết luận, ta có thể xem việc chuyển đổi đó giống như sơ đồ sau:

Ngôn ngữ A:

Sơ đồ (I): chuyển đổi trong nội bộ một ngôn ngữ

Qua các “lăng kính” khác nhau ta có các “góc nhìn” khác nhau về bài toán

và đi theo các con đường khác nhau để giải quyết bài toán

Mặt khác MN là đường trung tuyến của

tam giác cân MB’N nên MN  B’D

Suy ra MN là đoạn vuông góc chung của AB và B’D

Xét tam giác vuông BMN có BN =a 3

2 , BM =

a

2 ta tính được MN=

a 22

Ta thấy mặt phẳng A’B’CD chứa MN và song song AB nên

d (AB, B’D) = d ( AB, (A’B’CD)) = AI

Với I là trung điểm của A’D

Tương tự ta cũng tính được A’D = a 2

Nhận xét: Trong ví dụ trên ta đã chuyển góc nhìn từ khoảng cách của 2

đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung, đến khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng, khoảng các đó cũng chuyển thành đường cao của hình lăng trụ Ta còn có thể xét khoảng cách trên là khoảng cách giữa mặt phẳng và mặt phẳng, điểm và mặt phẳng và cách tìm thì giống như trên

C

D

D' C'

A' B'

E

Ví dụ: Cho tam giac ABC, có I là tâm đường tròn nội tiếp chứng minh rằng :

Nhận xét: trong ngôn ngữ véc tơ ta thường dùng quy tắc 3 điểm, quy tắc hình

bình hành, trung điểm, trọng tâm, … để biến đổi các biểu thức véc tơ Ngoài ra tích vô hướng giữa 2 véc tơ cũng là công cụ hữu hiệu để giải toán bằng véc tơ

Cách 1: Ápdụng trực tiếp công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng

chéo nhau : với N ( 2, -2, 0) '

Cách 2 : Ta chuyển về khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng như sau:

Gọi ( P) là mặt phẳng chứa  và song song '

Phương trình mặt (P) đi qua M (-1, 1, 2) có vecto chỉ phương

Nhận xét: Trong ví dụ trên khi tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng

trong ngôn ngữ tọa độ, ta đã chuyển về tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng , tính độ dài đoạn MN hay theo định nghĩa khoảng cách là đoạn ngắn

nhất Đó cũng chính là cách tính khoảng cách trong ngôn ngữ hình học tổng

hợp Nói cách khác ta thấy có sự chuyển đổi “góc nhìn” từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ tọa độ, ta có thể tạm sơ đồ hóa như sau:

Ngôn ngữ A :

Ngôn ngữ B :

Sơ đồ (II): chuyển đổi trong nội bộ một ngôn ngữ với góc nhìn

từ ngôn ngữ khác

Ở đây việc tính tính toán, chứng minh hoàn toàn dựa trên ngôn ngữ tọa

độ Chỉ có sự chuyển đổi góc nhìn để có được những cách giải phong phú, ấn tượng Đây cũng là trường hợp thường gặp khi giải toán, chúng ta có thể có được ý hay để giải bài toán, khi chúng ta nhìn nó với góc độ khác với góc nhìn thường sử dụng hoặc giải được bài toán sơ cấp nhờ giải nó bằng toán cao cấp

2.1.4 NGÔN NGỮ PHÉP BIẾN HÌNH

Trong chương trình phổ thông ta hiếm khi gặp các dạng đề bằng ngôn ngữnày, do tính chất trừu tượng cao của nó Ở đây tôi xin nêu 1 bài toán để ta cùng tham khảo:

Ví dụ: Cho tam giác ABC, gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, AC,

AB Gọi Z = ĐA ĐI. ĐB ĐJ ĐC ĐK Chứng minh rằng: Z là phép đồng nhất

K A

B

C M

Do đó Z = ĐP ĐP

Vậy Z là phép đồng nhất

2.2 CHUYỂN ĐỔI TỪ NGÔN NGỮ NÀY SANG NGÔN NGỮ KHÁC

Quy trình này được thực hiện theo các bước sau: chuyển giả thiết và kết luận của bài toán từ ngôn ngữ A sang ngôn ngữ B, giải bài toán bằng cách thực hiện các phép biến đổi trong ngôn ngữ B, dịch kết luận của bài toán từ ngôn ngữ B sang ngôn ngữ A Ta có thể xem việc chuyển đổi này theo sơ đồ sau:Ngôn ngữ A:

Ngôn ngữ B:

Sơ đồ (III): chuyển đổi từ ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác

Ở đây tôi xin chọn ngôn ngữ hình học tổng hợp làm trung tâm để chuyển đổi sang các ngôn ngữ hình học khác, vì 1 số nguyên nhân sau:

+ Ngôn ngữ hình học tổng hợp thường gần gũi đối với học sinh phổ thônghơn, do gắn liền từ khi học THCS đến THPT, các đề bài tập, kiểm tra, thi cử cũng thường cho bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp

+ Khi giải quyết vấn đề hình học ta thường có xu hướng chuyển về giải bài toán hình học tổng hợp hay việc vẽ bài toán theo ngôn ngữ tổng hợp, do đó

nó dễ dàng là trung gian cho việc chuyển đổi ngôn ngữ

+ Bản chất cụ thể, trực quan của nó cũng ưu thế so với các ngôn ngữ véc tơ, tọa độ, phép biến hình khá trừu tượng Do đó, việc sử dụng sẽ dễ dàng hơn, vì ta chuyển từ trực quan sang trừu tượng, rất phù hợp với học sinh

GT

L K L

2.2.1 TỪ NGÔN NGỮ HÌNH HỌC TỔNG HỢP SANG NGÔN NGỮ VÉC TƠ

a ) Quy trình chung để chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ véc tơ

Bước 1.Lựa chọn “hệ véctơ cơ sở’’; “phiên dịch” các giả thiết, kết luận của bài

toán đã cho ra “ngôn ngữ véctơ”

Bước 2 Giải bài toán thông qua ngôn ngữ véc tơ

Bước 3 Chuyển các kết luận của ngôn ngữ vectơ sang các kết luận hình học

tổng hợp tương ứng

Việc lựa chọn hệ vec to cơ sở có thể tiến hành theo gợi ý sau:

+ Chọn 3 vectơ không đồng phẳng trong không gian ( chọn 2 vecto có giá cắt nhau nếu trong mặt phẳng )

+ Các vecto này có chung điểm gốc, điểm gốc này thường là nơi có nhiềuquan hệ của các đối tượng: vuông góc, song song, bằng nhau, góc cụ thể…+ Khi phân tích các vecto khác qua hệ vecto cơ sở này được thuận lợiSau đây là 1 số hình ảnh gợi ý việc chọn hệ vecto cơ sở :

Bước1:Chọn hệ véc tơ cơ sở

C B

+N là trọng tâm của tam giác A1B1C1:

Từ (7) : MN // EF

Ví dụ 2

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các mặt là các hình thoi bằng

nhau.Các góc phẳng của góc tam diện đỉnh A’ bằng nhau Gọi M là trung điểm B’D’

B'

N

E

F M

D A

Nhận xét : ở đây có sự kết hợp của sơ đồ (I) và (III), ta thay đổi góc nhìn và

giải bài toán bằng theo ngôn ngữ véc tơ Điều này cho thấy tính phong phú củamột ngôn ngữ, cũng như một góc nhìn rộng mở hơn, khả năng lớn hơn khi chuyển đổi bài toán đã cho

Ngôn ngữ A:

Ngôn ngữ B:

Sơ đồ (IV): chuyển đổi từ ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác với góc nhìn mới

Ta cũng có kết hợp sơ đồ ( II) và (III) như sau:

Ngôn ngữ A:

Ngôn ngữ B

Sơ đồ (V): chuyển đổi từ ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác với góc nhìn cũ

Ở đây sau khi chuyển đổi ngôn ngữ bài toán, ta cũng chuyển luôn các góc nhìn , phương hướng giải quyết bài toán ở ngôn ngữ A sang ngôn ngữ B Do đó

ta thực hiện các cách giải thường sử dụng ở ngôn ngữ A gián tiếp thông qua ngôn ngữ B Điều này ta sẽ thấy rõ hơn ở ví dụ 2, mục 2.2.2

2.2.2 TỪ NGÔN NGỮ HÌNH HỌC TỔNG HỢP SANG NGÔN NGỮ TỌA ĐỘ

a) Quy trình chung để chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ tọa độ

Bước 1.Lựa chọn “hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc”; “phiên dịch” các giả

thiết, kết luận của bài toán đã cho ra “ngôn ngữ tọa độ”

GT 12

3

Bước 3 Chuyển các kết luận của ngôn ngữ tọa độ sang các kết luận hình học

tổng hợp tương ứng

Việc chọn hệ trục tọa độ vuông góc có thể tiến hành theo gợi ý sau:

+ Chọn gốc tọa độ tại nơi có nhiều quan hệ vuông góc nhất

+ Chọn gốc tọa tại nơi trung tâm của hình: trực tâm, tâm của đáy, chânđường cao …

Sau đây là việc chọn hệ trục tọa độ qua 1 số hình ảnh cụ thể gợi ý:

Hình chóp Hình lăng trụ đứng Hình hộp đứng

b) Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông,

AB BC a  , cạnh bên AA'a 2 Gọi M là trung điểm của BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C

Bước 1:

+ Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như hình vẽ

+ Dịch bài toán đã cho

B’

C B

D’ A’

C’

y x

B’

A' D'

C B

D A

71

22

Ví dụ 2 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'

Chứng minh rằng đường chéo A' C vuông góc với mặt phẳng (AB'D' )

Cách 1

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như hình vẽ:

) 0

; 0

; 0 (

Nhận xét: Trong cách 1 ta đã thực hiện gián tiếp phương pháp chứng

minh thường sử dụng trong ngôn ngữ hình học thông qua ngôn ngữ tọa độ Đó

là “để chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng cần chứng minh đường thẳng đó vuông góc 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng”

Điều này cũng nói lên rằng, ta có thể linh hoạt áp dụng việc chuyển đổi ngôn ngữ bất cứ khi nào trong quá trình giải toán, nhằm mục đích thuận lợi hơncho việc giải toán Vì mỗi ngôn ngữ điều có ưu điểm, nhược điểm riêng của nó,nên mỗi bước làm, mỗi yêu cầu khác nhau cần linh hoạt lựa chọn sử dụng ngônngữ nào sao cho phù hợp nhất Nếu chỉ chọn một ngôn ngữ hay phương pháp nhất định thì trong quá trình giải toán sẽ gặp không ít khó khăn, thậm chí không giải được theo cách đã chọn

2.2.3 TỪ NGÔN NGỮ HÌNH HỌC TỔNG HỢP SANG NGÔN NGỮ PHÉP BIẾN HÌNH

a) Quy trình chung để chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ phép biến hình

Bước 1.Lựa chọn “phép biến hình”; “phiên dịch” các giả thiết, kết luận của

bài toán đã cho ra “ngôn ngữ phép biến hình”

Bước 2 Giải bài toán thông qua ngôn ngữ phép biến hình

Bước 3 Chuyển các kết luận của ngôn ngữ phép biến hình sang các kết luận

hình học tổng hợp tương ứng

Việc chọn phép biến hình có thể làm theo gợi ý sau:

+ Chọn phép tịnh tiến nếu có đoạn thẳng (vectơ ) cố định

+ Phép đối xứng trục nếu có đoạn thẳng, đường thẳng cố định

+ Phép đối xứng tâm nếu có các điểm cố định

+ Phép quay nếu có điểm và góc cố định

+ Phép vị tự nếu có điểm cố định và tỷ lệ cạnh không đổi

Tổng quát lên ta tìm các yếu tố cố định của để có thể vận dụng phép biến hình phù hợp với bài toán

b) Ví dụ minh họa

Ví dụ:

Cho đường tròn tâm O bán kính R, AB là dây cung cố định của (O), điểm

M di động trên đường tròn Tìm quỹ tích trọng tâm H của tam giác AMB

Do đó khi M di động trên (O) thì H’ cũng di đông

trên (O) và ĐAB : H’  H (AB cố định )

Ta dễ dàng chứng minh được I là trung điểm HM’

Do đó khi M di động trên (O) thì M’ cũng di đông

F

ĐI: (O)  (O’)

Nhận xét: Trong ví dụ trên ta thấy các yếu tố cố định đã cho của bài toán

như: AB, I, A1B, do đó ta đã chọn các phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến tương ứng Có những yếu tố cố định có thể thấy ngay được như

AB, I nhưng cũng có yếu tố cố định phải tiến hành phân tích mới thấy như A1B Tuy vậy ta cũng có thể dự đoán được điều này vì theo giả thiết luôn có

phương MH luôn vuông góc với AB Ngoài ra ở đây ta thấy có góc không đổi

là AMB nên có thể giải bài toán theo phép quay

2.3 VÍ DỤ TỔNG HỢP:

Bây giờ ta sẽ xét các ví dụ sau: 1 bài hình học phẳng, 1 bài hình học không gian Ta sẽ giải các ví dụ này theo những phương thức chuyển đổi đã học

Ví dụ 1 : Cho đường tròn (O) đường kính AB, C là 1 điểm thay đổi trên

(O) sao cho tam giác ABC không cân tại C Gọi H là đường cao của tam giác ABC hạ từ C, hạ HE, HF vuông góc với AC, BC tương ứng Hai đường thẳng

EF, AB cắt nhau tại K Gọi D là giao điểm của (O) và đường tròn đường kính

CH, D ≠ C

CMR C, D, K thẳng hàng