MA.MC MB.MDuuuur uuur uuur uuuur= Câu 5... Môn thi: Toán... MB MD DC MB.MD DC.
Trang 1Sở GIáO DụC & ĐàO TạO
CAO BằNG
đề chính thức
Kỳ THI OLYMPIC CHọN HọC SINH GIỏI
KhốI GIAO Ước thi đua số 3 Năm học: 2011- 2012 Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150phút, không kể thời gian phát
đề
Câu 1 (4 điểm) Giải các phơng trình sau:
a x 1 x 3− = −
b x2−5x 4+ =x2 +6x 5+
Câu 2 (4 điểm) Giải hệ phơng trình:
x y x y 8
x y xy 5
+ + + =
Câu 3 (3 điểm) Giải bất phơng trình sau:
7x 1+ − 3x 18− ≤ 2x 7+
Câu 4 (3 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, M là điểm tùy ý Chứng minh rằng:
a MA MC MB MDuuuur uuur uuur uuuur+ = +
b MA.MC MB.MDuuuur uuur uuur uuuur=
Câu 5 (3 điểm) Tính góc A của tam giác ABC biết các cạnh a,b,c thoả mãn hệ thức:
( 2 2) ( 2 2)
b b −a =c c −a (b c)≠
Câu 6 (3 điểm) Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
a b abc b+ c abc c+ a abc abc≤
-Hết -Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:……….
Số báo danh:………
Trang 2ĐáP áN Đề OLYMPIC CHọN HọC SINH GiỏI KhốI GIAO Ước thi đua
số 3 năm học 2011-2012 lớp 10 Môn thi: Toán.
Câu 1: ( 4 điểm)
a) x 1 x 3− = − ĐKXĐ: x 3≥
x 1 x 6x 9 x 7x 10 0 x 5 x 2 0
x 2(loai)
=
Vậy nghiệm của phơng trình là: S={ }3 (làm đúng đợc 2điểm)
b) x2 −5x 4+ =x2 +6x 5+ (1)
* Với x2 5x 4 0 x 1 (1) x2 5x 4 x2 6x 5 x 1
≤
x −5x 4 0+ < ⇔ < <1 x 4, (1)⇔ − +x 5x 4 x− = +6x 5+ ⇔ −2x − − =x 9 0 (vo nghiem)
Vậy phơng trình có nghiệm: S 1
11
= −
(làm đúng đợc 2 điểm)
Câu 2: (4 điểm) Giải hệ phơng trình:
x y x y 8 (x y) 2xy x y 8
x y xy 5 x y xy 5
Đặt xy P; x y S= + = HPT thành
2
2
S 2P S 8 (1)
Tu (2) S 5 P the vao PT (1), (1) (5 P) 2P 5 P 8
S P 5 (2)
+ =
25 10P P 2P 5 P 8 P 13P 22 0
P 2
=
Với P =11 -> S = -6, với P = 2 -> S = 3
Vậy ta có hệ phơng trình: x y 6(3)hoac x y 3(4)
xy 11 xy 2
Ta có: Hệ (3) vô nghiệm; Hệ (4) có nghiệm: (x;y); (2;1); (1;2)
Kết luận: Hệ phơng trình đã cho có 2 cặp nghiệm: (x;y) ; (2;1) ; (1;2) (đợc 2điểm)
Câu 3: (3điểm) Giải bất phơng trình:
7x 1+ − 3x 18− ≤ 2x 7+ ĐK: x 6≥
2
7x 1 3x 18 2 (7x 1)(3x 18) 2x 7 (7x 1)(3x 18) 16x 96x 144
18
x (loai)
5
x 9(nhan)
≤ −
⇔
≥
Vậy phơng trình có nghiệm: x 9≥ (đúng trọn vẹn 3điểm)
Câu 4: (3 điểm)
Trang 3a) CM: MA MC MB MDuuuur uuur uuur uuuur+ = +
Giả sử: MA MC MB MDuuuur uuur uuur uuuur+ = + ⇔MD DA MB BC MB MD 0uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur r+ + + − − =
DA BC 0 DA AD 0 (dung) (vi BC AD)
⇔uuur uuur r+ = ⇔uuur uuur r+ = uuur uuur=
Vậy MA MC MB MDuuuur uuur uuur uuuur+ = + (làm đúng đợc 1,5điểm)
b) CM: MA.MC MB.MDuuuur uuur uuur uuuur=
Ta có: MA.MCuuuur uuur=(MB BC MD DCuuur uuur+ ) ( uuuur uuur+ ) =MB.MD MB.DC BC.MD BC.DCuuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur+ + +
MA.MC MB.MD DC MB MD DC MB.MD DC MB MC
⇔uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur= + − − =uuur uuuur uuur uuur uuur+ −
MA.MC MB.MD DC.CB MB.MD
⇔uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur= + = ( vì DC.CB 0uuur uuur r= )
Vậy MA.MC MB.MDuuuur uuur uuur uuuur= (làm đúng đợc 1,5điểm)
Câu 5: (3 điểm) Tính góc A của tam giác ABC Biết các cạnh a,b,c thoả mãn hệ thức:
( 2 2) ( 2 2)
b b −a =c c −a (b c)≠
Ta có: b b( 2 −a2) (=c c2 −a2) (b c)≠
b a b c a c a c a b c b a (c b) (c b)(c cb b )
a c cb b
Mà theo hệ quả của định lí cosin trong tam giác ABC ta có:
b c a b c c cb b cb 1
cos A
Vậy àA 120= ° (đpcm) (làm đúng quy trình đợc trọn vẹn 3 điểm)
Câu 6: (3 điểm) Cho a,b,c > 0 CMR:
a b abc b+ c abc c+ a abc abc≤
Ta có: a3+ +b3 abc (a b)(a= + 2−ab b ) abc (a b)ab abc ab(a b c)+ 2 + ≥ + + = + +
a b abc ab(a b c)
Tơng tự ta có: 3 13 1 ; 3 13 1
b c abc ≤bc(a b c) c a abc ac(a b c)≤
Cộng vế với vế ta đợc:
a b abc b+ c abc c+ a abc ab(a b c) bc(a b c) ac(a b c)≤ + +
a b abc b c abc c a abc abc(a b c)
+ +
a b abc b+ c abc c+ a abc abc≤
+ + + + + + (đúng đợc trọn vẹn 3điểm)