bài viết khai thác vận dụng tính chất có nghiệm duy nhất của hệ PT bậc nhất 2 ẩn trong một số dạng toán khá hay và thú vị. B»ng ph¬ng ph¸p céng ta dÔ dµng chøng minh ®îc kÕt qu¶ sau Bµi to¸n Cho hÖ ph¬ng tr×nh () Víi x,y lµ c¸c Èn sè , lµ c¸c tham sè NÕu th× hÖ PT () cã nghiÖm duy nhÊt () Nh vËy x vµ y ®Òu biÓu thÞ qua c¸c tham sè qua hÖ thøc () Do ®ã nÕu trong bµi to¸n cã 2 biÓu thøc bËc nhÊt ®èi víi 2 Èn nµo ®ã th× ta cã thÓ ¸p dông kÕt qu¶ trªn ®Ó gi¶i quyÕt bµi to¸n. Sau ®©y lµ mét sè thÝ dô
Trang 1
Vận dụng một tính chất của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Bằng phương pháp cộng ta dễ dàng chứng minh được kết quả sau
Bài toán Cho hệ phương trình
2 2
2
1 1
1
c y
b
x
a
c y
b
x
a
(*) Với x,y là các ẩn số , a1;b1;c1;a2;b2;c2là các tham số
Nếu a1b2a2b10thì hệ PT (*) có nghiệm duy nhất
1 2 2
1
1 2 2
1
1 2 2
1
1 2 2
1
b a b
a
c a c
a
y
b a b
a
b c b
c
x
(**)
Như vậy x và y đều biểu thị qua các tham số qua hệ thức (**)
Do đó nếu trong bài toán có 2 biểu thức bậc nhất đối với 2 ẩn nào đó thì ta có thể
áp dụng kết quả trên để giải quyết bài toán Sau đây là một số thí dụ
Thí dụ 1 Cho x,y,m là các số thực thoả mãn
1
2
2
1
2
3
m
m
my
x
y
mx
(1)
Chứng minh rằng 2 2 1
y x
Lời giải
Ta coi (1) là hệ PT bậc nhất 2 ẩn x,y với m là tham số
Khi đó x và y đều biểu thị được theo m
Thật vậy
do ( 2 ) 1.1 2 2 1 0
1
2
2
1b a b m m m
a
nên áp dụng công thức (**)ta có
1
1 1
2
1 1
1
2
1
2 1
2
1 1
2
)
2
.(
1
2 2
2
2
3
2 2
2
3
m
m m
m
m
m
y
m
m m
m
m m
x
) 1 (
1 2 )
1
1 ( ) 1
2
2 4 2 2
2 2
2 2
2
m m m m
m m
m y
x
Trang 2Thí dụ 2
Cho x,y,z là các số thực thoả mãn
2 3
2
1
y
x
yz
xz
y
x
xz
(1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = xy(1+z)
Lời giải
Ta giảm số biến của biểu thức P bằng cách
biến đổi (1) về dạng hệ PT bậc nhất 2 ẩn x,y với z là tham số được
2 ) 3 (
)
1
2
(
1 )
2
(
y z
x
z
y
z
zx
Có ( 3) (2 1)( 2) 2 2 2 ( 1)2 1 0
1
2
2
1b a b z z z z z z z
a
Nên áp dụng công thức (**) ta có
2 2
1 2
2
1 )
1 2
(
2
2 2
1 2
2
) 2 ( 2 )
3
.(
1
2 2
2 2
z z x
z
z
z
y
z z
z z
z
z z
x
2
) 1 ) 1 ((
) 1 ( ) 1
(
z
z z
xy
P
Do có (( 1)2 1)2 0
) 1 ) 1 ((
4
1 ) 1 (z z mà( 1)2 0
z
nên
4
1 ) 1 ) 1 ((
) 1 (
2
z
z P
GTNN của P là 0 khi và chỉ khi (x;y;z)(0;1;1)
GTLN của P là
4
1
khi và chi khi (x;y;z) ; 2)}
2
1
; 2
1 ( );
0
; 2
1
; 2
1
Thí dụ 3 Cho x,y là các số thực thoả mãn
(3 7 1)2 ( 4 1)2 9
x
Chứng minh rằng
5
16
5
14
y
x
Lời giải
Do 3x y7 1 và x+4y+1 là các biểu thức bậc nhất đối với x,y nên để đơn giản giả thiết
ta coi 2 biểu thức lần lượt là a,b thì x,y đều biểu thị được
theo a và b
Thật vậy
Đặt 3x+7y+1=a; x+4y+1 = b
Ta có hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn x,y sau
1
4
1
7
3
b
y
x
a
y
x
(1)
Có 3.41.750 nên áp dụng công thức (**) thì
hệ pt (1) có nghiệm
Trang 3
5
2
3
5
3
7
4
a
b
y
b
a
x
Khi đó ta có
2 2 9
b
a
5
1 4
3
x
Mặt khác
2
)
(
0 np mq ( )2 ( 2 2)( 2 2)
q p n m nq
mpnq (m2n2)(p2q2)
áp dụng BĐT trên ta có
15 9 25 ) )(
) 4 (
3
(
4
a
157b4a15
Suy ra
5
16 5 1 15 5
1 4 3 5
5 15
5
14
y x
Thí dụ 4 giải hệ phương trình
21 2 9 11
5
5 2 2
1
2
1 ) 5 2 ( 4
)
1
2
y x x
y x y
x
y x y
x
Lời giải
Ta thấy x y2 1 và 2x y5 là các biểu thức bậc nhất đối với x và y nên có thể giải hệ PT bằng cách đặt
0 1
2
x , 2xy5b0
khi này x, y đều biểu diễn được theo a và b
ta có hệ pt bậc nhất 2 ẩn x,y
2
2
5
2
1
2
b
y
x
a
y
x
5 3 2
5 11 2 2 2
2 2
b a y
b a x
(1)
2 11
5x a b , 9x y2 21= 2 2
4b
a
Thay vào hệ phương trình đã cho ta được
2 2 2
2
3
3
4 2
2
1 4
b a b
a
b
a
b
a
) 4 )(
2 (
2
1 4
2 2 2 2
3
3
b a b a b
a
b
a
(2) Nhân vế với vế các phương trình của hệ (2) được
Trang 4(a2b)(a34b3)(a22b2)(a24b2)
ab(a – b)(a - 2b) = 0
a = 0 hoặc b = 0 hoặc a = b hoặc a = 2b
Từng trường hợp này thay vào hệ (1)
12
1
; 3
2 ( ), 5
1
; 5
1 ( ), 0
; 1 ( ), 4
1
; 0
Với (a;b) tìm được thay vào (1) ta được
các nghiệm (x;y) của hệ PT đã cho là
5
3 144 343
; 5
11 2 3 ( ), 5
3 25 1
; 5
11 25 27 ( ), 1
; 2 ( ), 5
16
1 3
;
5
11
2
1
(
3 3
3 3
3
Thí dụ 5 Giải hệ phương trình
2 2
2
2 2
2
3 1 2 ) (
7
2
2 1 2 7
)
(
x xy y
y x
x
x
y xy y
y x
y
x
Lời giải
Ta có thể đưa hệ PT đã cho về 1 hệ PT bậc nhất với 2 ẩn mới bằng cách
Đặt x27u; 2y21v
Hệ PT đã cho trở thành
2 2
3 )
(
2
)
(
x xy v
y
x
xu
y xy
yv
u
y
x
(1)
1
2
2
1b a b (x y)(x y) 2xy x y
Dễ thấy x = y = 0 là nghiệm của hệ PT đã cho
Khi x,y không đồng thời bằng 0
Có a1b2a2b1 2 2 0
y
x nên hệ (1) có nghiệm duy nhất
x y
x
y xy x x xy
y
x
v
y y
x
y x xy y x
y
xy
u
2 2
2 2
2 2
2 2
) ( 2 ) 3
)(
(
2 ) 3 ( ) )(
(
Suy ra
x x
y x
1
2
2 7
2
2
2 2
2 2
1 2
4 7
0 2 0
x y
y x
y x
4
9
0
0
2
2
y
x
y
x
2
3
y
x
Vậy hệ PT đã cho có 2 nghiệm (x;y) là (0;0);(-3;2)
Trang 5Cuôí cùng mời các bạn luyện tập với các bài tập sau
Bài 1 Cho x,y,m là các số thực thoả mãn
4 4 3
2
2
2
m
m
y
mx
m
my
x
a) Tìm một hệ thức giữa x và y không phụ thuộc vào m b) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức
3 3
y
x
P
Bài 2 Cho x,y là các số thực thoả mãn
(11 3 1)2 (5 2 1)2 4
Chứng minh
7 73 2
3
y x
Bài 3 Giải hệ phương trình
a)
31 6 3 ) 6 4 5 )(
2
7
9
(
3 6 4 5 2
7
9
3
3 3
y x y
x y
x
y x y
x
b)
9
1 4 )
3
(
1 5 )
4 (
)
1
(
2 2
2
2
2 3 2
z
y
x
z z y
z
x
z z y z z
x
z
c)
6 7 6
5 2
)
2
(
1 3 4 5 2
)
(
y x xy xy
y
x
y xy xy
y
x