HE PHUONG TRINH-DAY DU ON DH

Mét Vµi HÖ Ph¬ng Tr×nh Thêng GÆpPhần I : HỆ PHƯƠNG TRÌNH BAC NH ẤT HAI ẨN Dạng toán thường gặp: 1 - Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 2 - Hệ phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho t

Mét Vµi HÖ Ph¬ng Tr×nh Thêng GÆp

Phần I : HỆ PHƯƠNG TRÌNH BAC NH ẤT HAI ẨN

Dạng toán thường gặp:

1 - Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

2 - Hệ phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước

3 - Ứng dụng hệ phương trình bậc nhất giải các bài toán:

a) Hai phương trình bậc hai có nghiệm chung b) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng c) Biện luận GTNN của biểu thức chứa hai ẩn

Dạng I: Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 , thì hệ phương trình vô nghiệm.

* Nếu D x =D y = 0 , thì hệ phương trình có vô số nghiệm.

- Với D x =D y = =D 0 , thì hệ phương trình có vô số nghiệm.

- Với D= 0 và D x ≠ 0 hoặc D y ≠ 0 thì hệ phương trình vô nghiệm.

II – Bài tập minh hoạ:

Ví dụ 1: Giải và biện luận hệ phương trình

* Với a = 0, suy ra Dx = Dy = b2

- Khi b = 0 thì Dx = Dy = 0, hệ có vô số nghiệm

- Khi b 0 ≠ thì D x ≠ 0, hệ vô nghiệm.

* Với b = 0, suy ra Dx = 2a2 và Dy = -2a2

- Khi a = 0 thì Dx = Dy = 0, hệ có vô số nghiệm

- Khi a 0 ≠ thì D x ≠ 0, hệ vô nghiệm.

- Với a = b = 0 , hệ có vô số nghiệm

- Với a = 0 và b 0 ≠ , hệ vô nghiệm

- Với a 0 ≠ và b = 0, hệ vô nghiệm

a) Giải và biện luận hệ pt ?

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa nghiệm x, y của hệ không phụ thuộc vàoα ?

= ?b) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số a ?

Bài 2: Cho hệ phương trình

0 1

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x, y không phụ thuộc tham số m ?

Bài 3: Cho hệ phương trình:

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x, y không phụ thuộc vào α ?

Bài 4: Hãy xác địng tất cả các giá trị của a, b sao cho nghiệm của bất phương trình:

a) - Với D≠ 0, hệ phương trình có nghiệm duy nhất: D x vµ D y

b)- Với D x =D y = =D 0 , thì hệ phương trình có vô số nghiệm.

c)- Với D= 0 và D x ≠ 0 hoặc D y ≠ 0 thì hệ phương trình vô nghiệm.

Trong các trường hợp a, c phải so sánh các giá trị của nghiệm với điều kiện K nếu có để tìm được kết luận đúng





Giải:

* Với m= ⇒ 1 D x =D y = 0, hệ có vô số nghiệm.

* Với m= − ⇒ 1 D x = − ≠ 4 0, hệ vô nghiệm.

KL: Vậy với m≠ − 1 thì hệ pt luôn có nghiệm

* Với m = 1, hệ (III) có dạng:  + =X Y X Y+ =33, vô nghiệm vì: − 2 ≤ + =X Y s inx + cosx ≤ 2

* Với m = -1, hệ (III) vô nghiệm

TH1 : Nếu D≠ ⇔ ≠ ± 0 m 1, hệ (III) luôn có nghiệm duy nhất:

1 D

Vậy hệ có nghiệm khi : − ≤ < 2 m 1

b) Với m nguyên ta có m = - 2, khi đó hệ có là:

1

x y

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x, y không phụ thuộc m ?

c) Khi hệ có nghiệm duy nhất, tìm m nguyên để hệ có nghiệm nguyên ?

Bài 2: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m:

Dạng III: Ứng dụng của hệ phương trình bậc nhất:

(1) Áp dụng 1: Xét hai phương trình bậc hai có nghiệm chung.

I - Bài toán tổng quát: Tìm điều kiện để hai phương trình sau có nghiệm chung

D

D D

II- Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1: Với giái trị nào của m thì hai phương trình sau có nghiệm chung:

Thử lại ta có: Với m = -1 thì hai phương trình có nghiệm chung là x = 1

Ví dụ 2: CMR nếu hai phương trình

x2 +p x q+ = 0 vµ x2 +p x q+ = 0

2 2

0 0

TH2: Nếu D= ⇔ 0 p1 =p2.

0 0

(2) Ứng dụng 2: Biện luận vị trí tương đối của hai đường thẳng:

I - Bài toán tổng quát:

Cho hai đường thẳng: d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2y + c2 = 0

Biện luận theo các giá trị của tham số vị trí tương đối của hai đường thẳng ?

Bước 2: Dựa vào biên luận số nghiệm của hệ (I) ta có được vị trí tương đối của hai đường thẳng:

* Nếu hệ (I) vô nghiệm ⇔ ( ) //( )d1 d2

* Nếu hệ (I) có nghiệm duy nhất ( ) ( ) 1 2 ( ; )

D

y

x D D

a) Với mỗi giá trị của k, hãy xác định giao điểm của d1 và d2 ?

b) Tìm quĩ tích giao điểm đó khi k thay đổi ?

Giải:

a) Xét hệ phương trình tạo bởi d1 và d2 là:

kx - y + k = 0 (1 - k )x + 2ky - (1 + k ) = 0

Vậy với mọi giá trị của k thì d1 luôn cắt d2 tại điểm I

b) Từ toạ độ giao điểm I ta có:

2

2 2

a) Hãy xác định giao điểm của d1 và d2 ?

b) Tìm điều kiện của a, b để giao điểm đó thuộc trục hoành ?

Bài 2: Cho a2 + b2 > 0 và hai đường thẳng d1, d2 có phương trình:

d1: ax + by = a + b và d2: bx + ay = a – b a) Xác định giao điểm của d1 và d2 ?

b) Tìm quỹ tích toạ độ giao điểm khi a, b thay đổi ?

(3) Áp dụng 3: Biện luận giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai ẩn:

I – Bài toán tổng quát:

Hãy biện luận giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

1 : ( 1 1 1 ) vµ d : ( 2 2 2 2 )

d a x b y c+ + a x b y c+ +Vậy giá trị nhỏ nhất của F tuỳ thuộc vào vị trí tương đối của d1 và d2

Bước 2: Xét hệ phương trình tạo bởi d1 và d2 có dạng:

Bước 3: Xét hai trường hợp:

TH1: Nếu D≠ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất : D x ; D y

Với C, minF = 0 , đạt được khi D x; D y

Vậy giá trị nhỏ nhất của F tuỳ thuộc vào vị trí tương đối của d1 và d2

Xét hệ phương trình tạo bởi d1 và d2 có dạng:

t= ⇔ + − = ⇔x y x+ y− = .Kết luận:

- Với a ≠1, minF = 0, đạt được khi 2 3; 1

Bài 2: Biện luận theo tham số a GTNN của các biểu thức sau:

a) F = (2x +y - 2)2 + (4x + ay – 1)2

b) F = (x – 2y + 1)2 + (2x + ay + 5)2

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I

Dạng toán thường gặp

1) Giải hệ phương trình.

2) Nghiệm của hệ phương trình thoả mãn điều kiện cho trước.

3) Một số hệ phương trình quy về hệ phưong trình bậc hai đối xứng loại I.

Dạng I: Hệ phương trình đối xứng loại I

I – Bài toán tổng quát:

Hệ phương trình bậc hai có dạng:

1 2

( ; ) 0 ( ; ) 0

- Biến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình với hai ẩn S, P

- Giải hệ phương trình với hai ẩn S, P

- Với mỗi cặp (S, P) tìm được, tìm nghiệm (x; y) từ hệ:

Kết luận: Hệ phương trình có bốn nghiệm:

Dạng II: Nghiệm của hệ phương trình thoả mãn điều kiện cho trước

Ví d 1: ụ Tìm các giá tr c a m h ph ng trình sau có nghi m:ị ủ để ệ ươ ệ

K t lu n: V i m = 3 thì h ph ng trình (I) có nghi m.ế ậ ớ ệ ươ ệ

Ví d 2: ụ Tìm các gái tr c a m h ph ng trình sau có nghi m duy nh t:ị ủ để ệ ươ ệ ấ

H (I) l h i x ng lo i Inên n u (x ệ à ệ đố ứ ạ ế o ;y o ) l m t nghi m c a h thì (y à ộ ệ ủ ệ o ; x o ) c ng l ũ à

nghi m.Do ó n u h có nghi m duy nh t thì x ệ đ ế ệ ệ ấ o = y o Khi ó t h (I) ta có : đ ừ ệ

b) Xác nh m h ph ng trình có nghi m duy nh t ?đị để ệ ươ ệ ấ

B i 6: Tìm m h ph ng trình sau có nghi m: à để ệ ươ ệ

D ng III: M t s h ph ng trình quy v h ph ong trình b c hai i x ng lo i I ạ ộ ố ệ ươ ề ệ ư ậ đố ứ ạ

x x y y

H (I) cú nghi m duy nh t (1 ; 1).ệ ệ ấ

0),(

y x g

y x f

là hệ đối xứng loại một nếu ƒ(x,y)=ƒ(y,x), và g(x, y)=g(y, x)

0),(

y x g

y x f

Trong đó ƒ(x,y), g ( y x, )là những đa thức đối xứng của hai ẩn x , y

s y x

(*) Chú ý điều kiện s2≥4pGiải hệ phơng trình theo s và p, thay vào (*) ⇒ x, y

0),,(

0),,(

z y x h

z y x g

z y x f

Trong đó ƒ(x, y, z), g(x,y,z), h(x,y,z), là những đa thức đối xứng với các ẩn là x, y, z

R xyz

P zx yz xy

S z y x

Giải hệ phơng trình ẩn S, P, R với mỗi (S, P, R) ta tìm đợc ⇒ x, y, z là ba nghiệm của phơngtrình : t3- St2+Pt2 - R = 0

Ví dụ: Cho hệ phơng trình

) ( 2

2

m)1y)(

1x(xy

8yxyx







=++

=++

=++

+

m y

y x

x

y y x

x

)1()1(

8)1()1(

=

− +

= +

; 1 y

2 x

; 3 x

0 2 y y

0 6 x x 2

) 1 y ( y

6 ) 1 x ( x 2

v

6 u

2

2 (*)

2 x

; 1 y

2 x

; 2 y

3 x

; 1 y

3 x

=

− +

0 2 x x 6

v

2 u

2 2

Giải tơng tự ta đợc:

2 x

; 3 y

2 x

; 2 y

1 x

; 3 y

1 x

b) Hệ phơng trình có nghiệm x ⇔∃u,v thoả mãn

u≥4

-1

; v≥41

-Mà u, v là nghiệm của phơng trình: X2- 8X+m=0 (*)

Yêu cầu bài toán ⇔ tìm m để (*) có 2 nghiệm thoả mãn ≥

-41

16m16

3316

33m

16m

04

14

0m4

18161

0m4

04

12S

014

1af

' X

≥++

=++

01zxyzxy

2zy

2zy

=++

=++

2xyx

2zyx

=++

P)zy(x1yz

Sx2zy1

zxyzxy

2zyx

yz

Sx2z

−

=++

p)zy(x1yz

Sx2zy1

zxyzxy

2zyx

p1x2xyz

Sx2zyp

)x2(x1yz

Sx2zy

Tơng tự cho y,z ⇒ điều phải chứng minh

=++

=++

1z

1y

1x1

27zxyzxy

9zyx

=

=+

=++

=

=++

1Rxyz

27zxyzxy

9Szyx

1xyz

zxyzxy

27zxyzxy

9Szyx

⇒ x, y, z là ba nghiệm của phơng trình t3 - 9t + 27=0 ⇔ (t-3)3=0 ⇔ t1=t2=t3=3

nên hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (3, 3, 3)

Bài tập đề nghị:

Bài 1: Giải các hệ phơng trình sau:

+

=+

28xy2y

x

4yx

2 2

+

=+

6yx

xyy

x3)yx(2

3 3

=+++

72)1y(y)1x(x

18yyx

=++

myx

mxyyx

+

=++

mxyyx

1mxyyx

2

a) Giải hệ phơng trình khi m=2

b) Tìm các giá trị của m để hệ phơng trình có ít nhất 1 nghiệm (x,y) thoả mãn x>0; y>0

Bài 4: Tìm các số nguyên x, y, x thoả mãn:

=++

=++

c

1z

1y

1x

1

bzyx

azyx

2 2 2

= + +

= + +

36 z

y x

14 z

y x

6 z y x

3 3 3

2 2 2

II/ Hệ phơng trình đối xứng loại 2:

+ Trừ theo vế của hệ (I) đợc phơng trình hệ quả: ƒ(x,y) -g(x,y) =0

+ Chia ƒ(x,y) –g(x,y) cho (x, y) đợc h(x,y)

⇔ƒ(x,y) –g(x,y)=(x- y)h(x,y)

0yx

0)y,x(h

0)y,x(

0yx

Giải ra đợc kết quả

Nhận xét:

a) (x-y) h(x,y) = (x-y).h(y,x)

⇒ h(x,y) là đa thức đối xứng với x và y

b) Hệ phơng trình đối xứng loại II hai ẩn có nghiệm (α,β) thì hệ phơng trình có nghiệm(β,α)

⇒ hệ có nghiệm duy nhất ⇔β=α dạng nghiệm (α,α)

Ví dụ 1: Cho hệ phơng trình

) ( 2

2

)1x(mxyy

)1y(mxyx

−

=+

ở đó m là tham số

a) Giải hệ phơng trình đã cho khi m=-1

b) Tìm các giá trị của m để hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất

−

=+

x1xyy

y1xyx

=

−+

−

y1xyx

0)1yx)(

yx(

2

=

−+

=

−

2)x1(xx

y1x

01xx2

yx

y1xyx

01yx

y1xyx

0yx

2

2

2 2

x1y

2

1x

;1x

yx

Rx

1y

1x

x1y

Rx2

1y2

1x

1y

1x

b) §iÒu kiÖn cÇn: §Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt (x, y, z) th× (theo nhËn xÐt) ⇒

=+

xy

;0y

yx

;0x0

xyy

0xyx

2 2

Rx

=++

−

=+

)1y(8xyx

0)8yx(yx)

1x(8xyy

)1y(8xyx

2 2

=

−

⇔

)1y(8xyx

0yx

=++

⇔

)1y(8xyx

08yx

−

=

2y

2x0

)2x(

yx0

4x4x

yx0

8x8x2

yx

2 2

2

⇔

72ox

x8y)

1x8(8)x8(xx

x8y

)1y(8xyx

x8y)

1y(8xyx

08yx

2

2 2

2x ( tho¶ m·n)

VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt ⇔ m=8

4yx

mxx

4xy)(

2 3

2

2 3

4xy

)yx(m)yx(43yxxy)(

2 3

2

2 2 3

2 2

(*) 2

3 2

2 3

2

2

mxx

4xy

0yx

mxx

4xy

0m)yx(3xy2yxyx

−++

−

⇔

2 3

2

2

mxx

4xy

0m)yx(3xy2yx

−++

yx0

mxx

5x

0yxmx

x4xy

0yx

2 2

3 2

3 2

HÖ ph¬ng tr×nh nµy lu«n cã mét nghiÖm x=0; y=0

Nªn ®iÒu kiÖn cÇn lµ PT x2 −5x+m=0 HoÆc cã nghiÖm duy nhÊt x= 0

hoÆc v« nghiÖm

Trêng hîp 1: x2 −5x+m= 0 cã nghiÖm duy nhÊt x= 0

Thay x= 0 vµ m = 0 nhng PT trë thµnh x2- 5x2 = 0 ⇒ x=0 hoÆc x=5 (lo¹i)

Trêng hîp 2: x2 −5x+m=0 PT v« nghiÖm

⇔∆=25- 4m <0 ⇔ m>

425

Điều kiện đủ: Với m>

4

25 xét x2 +(y−3)x+(y2 −3y+m)=0

Có ∆x= (y-3)2- 4(y2-3y+m)

Hay ∆x= -3y2+6y+9- 4m = -3(y-1)2-4(m-3)<0

∀y mà m>

4

25 ⇒ ∆x<0

25 là thoả mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 3: Giải và biện luận theo tham số m hệ phơng trình

=

−+

m1xy

2

m1yx

v1y

u1x0

u1x

1ux

2mvu2

−

=+

Ta đợc hệ phơng trình đối xứng loại hai với 2 ẩn u, v

=

−+

=

−+

−

2mvu2

01v2u2

2mvu2

vu

2mvu2

01v2u2vu

2

2 2

>

=

0m2uu2

0vu2

mvu2

0vu

2 2

Có PT: 2u2 +u+2−m=0 (1)

∆=1- 8(2- m) = 8m-15

ở đó:

4

1)2m(81

=

−+

2m2

u21u2

2

u21v2

mvu2

01v2u2

2 2

2

u21v5

m2u2u

4

2

u21

v

2 2

Với ĐK: u≥ 0; v≥ 0 sẽ đợc điều kiện tơng đơng 0≤u≤

124

1

4

12

14

12

12

S

;4

10

19m81

2

0=u<=u2=

21

19 ≤ ≤ ta luôn đợc 0≤u1, u2≤

21

1ux

2 2

2 1

1ux

2 1

2 2

15m

Hệ vô nghiệm

2)

8

19m8

1ux

2 0

2 0

3) 19 ≤m≤2 Hệ PT có 3 nghiệm

2 0

2 0

1ux

2 2

2 1

1ux

2 1

2 2

Trong đó:

4

19m(81u

;4

19m81u

;4

15m81

4)

2

5m

1ux

2 2

2 1

1ux

2 1

2 2

x2y

y1

y2x

=++

99xy

99yx

Giải: (Gợi ý)

ĐK: x≥ 0; y≥ 0 Khi trừ theo vế, cho ta PT hệ quả

9yy9x

=+

2 2

2 2

xmxy

ymyx

có nghiệm duy nhất

Gợi ý: Trừ theo vế, xét PT hệ quả theo PT đồ thị

y

myx2

2 2

2 2

VD5 gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh 1

1

x y

(*)

(2) 4

x y

y x

(*)

2 , 2

0 (*)

2

2 2

Ëy hÖ cã hai nghiÖm lµ: (1;0;4) vµ (-3;-2;-6)

y z V

2 3

4

3

Từ đó suy ra: ( ) tăng nếu t

43 ( ) giảm nếu t

y <z x <y <z (điều này vô lý)

NÕu x 0 th× 0 x>y (®iÒu nµy v« lý víi (a)) 0

NÕu z 0 th× x>y>z 0 (®iÒu nµy v« lý víi (a)) 0

2 2

2

Nếu x 0 thì 0 x>z>y (điều này vô lý với (b)) 0

Nếu y 0 thì x>z>y 0 (điều này vô lý với (b)) 0

z>1

ừ x>0 z 1 0 1

z<-1 (2) thì z>-1 nên z>1 =z+1>2 2

hoán vị vòng quanh (x,y,z) thì hệ không đổi nên t ơng tự xét các tr ờng

hợp còn lại và chứng minh t ơng tự ta cũng đ ợc điều mâu thuẫn

1- 5x=y=z=

2

1+ 5x=y=z=

2

1- 5x=y=z=

2

ậy nghiệm của hệ đã cho là:

1+ 5x=y=z=

Bµi 6: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

2 2 2

222

2ynªn hpt z= 2

1-y2zx= 31-z

Ô thÊy x=y=z=1 lµ nghiÖm cña hÖ

Ta sÏ chøng minh nghiÖm nµy lµ nghiÖm duy nhÊt

22

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 3 3

2 4 4 (theo bất đẳng thức côsi) (1)

Cũng theo bất đẳng thức côsi ta có:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

x

x x

x x

61

1 Khái niệm: Một dạng hệ phơng trình mở rộng của hệ phơng trình đối xứng loại hai là hệ

ph-ơng trình dạng hoán vị vòng quanh của các ẩn: x1, x2,…, xn

) x ( g ) x ( f

) x ( g ) x ( f

) x ( g ) x ( f

) x ( g ) x ( f

1 n

n 1

n

4 3

3 2

2 1

Cũng nh hệ phơng trình đối xứng loại hai, đặc điểm chung của hệ này là: nếu (x1, x2,…, xn)

là một nghiệm thì hoán vị vòng quanh của nó cũng là nghiệm của hệ Vì vậy việc giải hệ phơngtrình dạng :”Hoán vị vòng quanh” trong trờng hợp tổng quát gặp không ít khó khăn ở đây tôinghiên cứu trờng hợp hệ phơng trình có duy nhất nghiệm:(x1= x2=…= xn)

4 2

1 n 5

3 1

2 n 6

4 2

1 1 n 5

3 1

x

xxx

x

xxx

xx

xxx

xx

xxx

(Điều phải chứng minh)

Nhận xét: Tính chất trên vẫn đúng khi ƒ là hàm số giảm

−+

−+

=+

−+

−+

=+

−+

−+

x z

z z

z

z y

y y

y

y x

x x

x

)1ln(

33

)1ln(

33

)1ln(

33

2 3

2 3

2 3

1t21t31tt

1t23t

+

−

++

+

=+

−

−+

3

t

2

t3 + − + 2 − + = 0 (*)

Dễ thấy phơng trình (*) có ít nhất một nghiệm t =1.

Bây giờ ta có thể khẳng định phơng trình (*) có nhiều nhất một nghiệm

Thật vậy xét hệ số h(t) = t3 +2t−3+ln(t2 −t+1) trên R

Ta có: h’(t)

1tt

1t21t31tt

1t22t

2 2

+

=+

−

−+

1y

1x

t21z

z21y

y21x

2 2 2 2

−

=+

y21x2xx

21y

y21x

2

2 2

2

Trừ theo vế của hai phơng trình này:

⇒ x2-y2=0 hay x=y (vì x≥0; y≥0)Tóm lại: Trong các trờng hợp ta đều có : x=y=z=t và đêug bằng u≥0 Với u là nghiệmkhông âm của phơng trình:

32u

Ta đợc hai nghiệm của hệ phơng trình đã cho là:

32tzyx

−

=+

−

=+

−

=+

−

1 100

3 100

99 99

3 99

3 2

3 1

2 1

3 1

x22x

3x

x22x3x

x22x3x

x22x3x

Ta có thể giả thiết x1=min{x1,x2, ,x100}

Trờng hợp 1: x1>1 Khi ấy xi>1 ∀i= 1001,

Trên khoảng (1,+∞) cả hai hàm số ƒ(t) và g(t) đều tăng nên x1=x2=…=x100=t

Víi t lµ nghiÖm cña PT t -5t+2=0

⇔ (t-2)(t2+2t-1)=0Ph¬ng tr×nh nµy chØ cã nghiÖm t=2>1

−

=+

−

1 2

3 2

2 1

3 1

x22x3x

x22x3x

=

0xxxx

xx

2 1

2 2

2 1

2 1

x2= 2 (lo¹i)VËy x1=-1+ 2 =x2

−+

=

−+

+

04)xx(5xx

01xxxx

2 1

3 2

3 1

2 1

2 2 2

Là hệ đối xứng loại (I)

1SP0

4S5PS3S

01PS

2 3

2 3

1SP0

4S2S2

1SP

3

2 3

1SP0

)2SS)(

1S(

1S

2 2

0P1

S

11

1x

0x0

xx

1xx

2

1 2

0x

2 1

⇒ Trong trờng hợp này có các khả năng sau:

0x

;21x

21x

2

1 2

0x

2 1

x x

1 x x

x

100 4

2

99 3

2

99 3

1

x x

x

0 x x

x

5) x1=x2=x3=…=x100=-1+ 2

Bài tập đề nghị:

Bài 1: Cho n là số nguyên lớn hơn 1.

Tìm giá trị của tham số m để hệ phơng trình :

3 1

2 n

n

2 n

3 n

2 1 n

3

2 3

3 3

2 2

2

2 2

3 2

2 1

mxx

4xx

mxx

4xx

mxx

4xx

mxx

4xx

có nghiệm duy nhất

Bµi 2: Cho n lµ sè nguyªn lín h¬n 1 vµ a≠0 Chøng minh r»ng:

2 n

n

2 n

2 1 n

3

2 3

2 2

2 2

2 1

x

axx2

x

axx

x

axx2

−

=

−+

−

=

−+

−

x2z8z7z2

z2y8y7y2

y2x8x7x2

2 3

2 3

2 3

x4

1

z4

1

y4

1

2 3

2 3

2 3

z z 2

y y

x x

−+

=+

−+

=+

−+

yz2221log

zx2221log

xy2221log

z 2

x 2

y 2

B×a 6: CMR víi mäi sè thùc a th× hÖ ph¬ng tr×nh sau ®©y cã nghiÖm duy nhÊt

++

=

++

=

axxz

azzy

ayyx

3 2

3 2

3 2

IV/ Hệ đẳng cấp bậc hai

A)y,x(F

Trong đó F và G là các biểu thức đẳng cấp bậc hai đối với x,y còn A,B làcác hằng số

2) Phơng pháp giải:

+ Gải hệ với y=o

+ Với y≠0 đặt x=ky và đợc một phơng trình bậc hai theo k

Giải tìm k ⇒ x,y

3) Các ví dụ:

Ví dụ 1: Giải hệ phơng trình

) ( 2

2

2 2

13y

3xyx

3

1y

xy3x

−

−

=+

−

Giải: Đây là hệ đẳng cấp bậc hai đối với x,y.

+ Với y=0 ⇒ hệ (I) ⇔

3

1x

−

−

=+

−

13y

3y.kyky

3

1y

yky3ky

2 2

2 2

−

−

=+

−

133kk3y

11k3ky

2 2

2 2

Vì y≠0 ⇒ k2-3k+1=(-1)

13

3kk

3 2 − +