Bài tập-Công thức Chương 1

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI 1.. CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 2... Chú ý .Có những hàm số không chẵn, không lẻ... - Giải phương trình lượng giác cơ bản, kết luận nghiệm... -

Trang 1

ÔN TẬP

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 1/ Định nghĩa :sinα =OK, cos =OH, α tan sin , cos 0

cos

α

= ≠ , cot cos ,sin 0

sin

α

2/Tính chất :

• cos (α +k2 π ) = cos α , sin ( α + k2 π ) = sin α

• tan ( α +k π )= tan α , cot ( α + k π )= cot α ( k là số nguyên)

• -1 ≤ cos α ≤ 1 , - 1 ≤ sin α ≤ 1

3/ Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

6

π

4

π

3

π

2

π

1

2

3

1

3

2

1

0

1

0

4/ Dấu các giá trị lượng giác

-cos

sin

I II

Trang 2

• cos 2α + sin 2α = 1 • α

α

2

2 1 tan cos

α

2

2 1 cot

sin

1 = + •tan cotα α =1

6/ Cung liên kết

Cung đối :

sin(- α ) = sin α

cos (- α ) = cos α

tan ( -α ) = -tanα

cot( - α ) = - cot α

Cung bù : sin( π - α ) = sin α

cos ( π - α ) = -cos α

tan ( π - α ) = - tan α

cot ( π - α ) = - cot α

Cung hơn kém π : sin ( π + α ) = -sin α cos ( π + α ) = - cos α tan ( π + α ) = tan α cot ( π + α ) = cot α

Cung phụ : sin (

2

π - α ) = cos α

cos(

2

π -α ) = sin α

tan(

2

π

- α )= cot α

cot (

2

π -α ) = tan α

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Công thức cộng

• cos(a+b)= cosa.cosb - sina.sinb

• cos(a-b)= cosa.cosb + sina.sinb

• sin(a+b) =sina.cosb + sinb.cosa

• sin(a-b) = sina.cosb – sinb.cosa

1 tan tan

a tanb

a b

+ + =

−

b tan a tan 1

b tan a tan b

a

tan

+

−

=

−

Công thức nhân

• cos2a =cos2a-sin2a = 2cos2a-1 =1-2sin2a

• sin2a = 2sina.cosa

•

a tan 1

a tan 2 a 2

−

=

Hệ quả ( hạ bậc )

•

2

a 2 cos 1 a cos2 = +

•

2

a 2 cos 1 a sin2 = −

Công thức biến đổi tích thành tổng

• cosa.cosb=

2

1

[ cos(a-b) + cos(a+b)]

• sina.sinb=21[cos(a-b)- cos(a+b)]

• sina.cosb=

2

1

[sin(a-b)+sin(a+b)]

• cosa.sinb=21[sin(a-b)-sin(a+b)]

Công thức biến đổi tổng thành tích

• cos cos 2cos cos

• cos cos 2sin sin

• sin sin 2sin cos

• sin sin 2cos sin

Chương1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH

LƯỢNG GIÁC

BÀI 1 CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

2

Trang 3

1.Hàm số y=sinx

+TXĐ là: R

+Với mọi x∈R ta có: 1 sin− ≤ x≤1,

+TGT là T = [ -1; 1 ]

+Hàm y = sinx là hàm số lẻ nên đồ thị đối xứng qua

gốc toạ độ

+ tuần hoàn với chu kì T =2π

1.Hàm số y=cosx

+TXĐ của hai hàm số này là: R +Với mọi x∈R ta có: 1 cos− ≤ x≤1, + TGT là T = [ -1; 1 ]

+ Hàm y = cosx là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung

+ tuần hoàn với chu kì T =2π

2.Hàm số y = tanx

+, Hàm số y = tanx có TXĐ là











2

TGT là: T=R

+ Hàm số y = tanx là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu

kì T =π

2.Hàm số y = cotx

+Hàm số y = cotx có TXĐ là: D=R\{kπ,k∈Z}

TGT là: T=R +, Hàm số y = cotx là số lẻ và tuần hoàn với chu

kì T =π

Chú ý

Z k k

∈ +

≠

⇔

≠

∗

∈

≠

⇔

≠

∗

, 2 0

cos

, 0

sin

π

π α α

Z k k

k k

∈

≠

⇔

≠

∗

∈ +

≠

⇔

≠

∗

, 2 1

cos

, 2 2 1

sin

π α α

π

π α α

DẠNG 1 TÌM TẬP XÁC ĐịNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Biểu thức

) x ( P

1

có nghĩa khi  P(x) ≠ 0 Biểu thức P ( x ) có nghĩa khi  P(x) ≥ 0

Biểu thức

) x ( P

1

có nghĩa khi  P(x) >0

Bài 1 Tìm tập xác định của các hàm số

a) y = tan2x, b) y = cot3x









 −

=

5 2 tan x π

y d) 









 −

=

4 3 cot x π

y

Bài 2(SGK/17) Tìm tập xác định của các hàm số

a) 1 cos

sin

x y

x

+

1 cos

x y

x

+

=

π

x y

a) = 2−cos

x

x y

b

sin 1

cos )

−

4

  d)

1 sin

1 cos

x y

x

+

=

−

DẠNG 2 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

LƯỢNG GIÁC

1,

x

− ≤ ≤ − ≤ x≤1,

Trang 4

Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của hàm số

a)y=sin3x+2 b)y=cos2x+1 c)y=3-2sinx(SGK/18) d)y=4-2cos5x

a)y=3sin2x-2 b)y= 4- 2cos25x c)y=3 - | sin2x| d)y= 5- | cos3x|

a)y= 3sinx+1, b) y= 3−2sinx

c)y=2 cosx+1 (SGK/18) d) y= 4sin2 x−1, e) y= sinx+cosx−1

DẠNG 3 XÉT TÍNH CHẴN , LẺ CỦA HÀM SỐ

Cho hàm số y= f(x) với tập xác định D

• Hàm số f gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x thuộc D, ta có –x cũng thuộc D và f(-x) =f(x)

• Hàm số f gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc D, ta có –x cũng thuộc D và

f(-x) = - f(x)

Chú ý Có những hàm số không chẵn, không lẻ.

Bài 1.Xét tính chẵn ,lẻ của các hàm số sau

a) y= sin3x b) y = cos3x c) y= cos4x

Bài 2.Xét tính chẵn ,lẻ của các hàm số sau

a) y = sin22x+1 b) y= cos2x- sin2x c) y= tan2x

BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1.Phương trình sinx = a (1)

+a >1: PT(1) vô nghiệm

+a ≤1 : thì đặt a = sinα

2

k

= +



⇔ = − + ∈Z

+Các trường hợp đặc biệt:

2 sinx= -1 x= - 2 ,

2 sinx=0 x= ,

k k

π

Z Z Z

2,Phương trình cosx = a (2)

+a >1: PT(2) vô nghiệm + a ≤1 : thì đặt a = cosα

2

k

= +



⇔ = − + ∈Z +Các trường hợp đặc biệt:

osx=1 x= 2 , osx= -1 x= 2 , osx=0 x= ,

2

π

π π

Z Z Z

3.Phương trình tanx = a (3)

Đặt a = tanα :

tanx=tanα ⇔ = +x α k kπ, ∈Z

4.Phương trình cotx = a (4)

Đặt a = cotα :

cotx=cotα ⇔ = +x α k kπ, ∈Z

4

Trang 5

Chú ý

1)Nếu a là giá trị không có góc đặc biệt thì sin arcsin 2

arcsin 2

x a

π



= ⇔  = − +

2) Nếu a không phải là giá trị của góc bặc biệt thì cos arccos 2

x a

π π



= ⇔  = − +

Bài 1.(SGK/28)Giải các phương trình sau :

a)sin( 2) 1

3

x+ = b) sin3x=1 c) sin 2 0

 − =

sin 2 20

2

Bài 2.(SGK/28)Giải các phương trình sau :

a)cos( 1) 2

3

 − = −

  d)

cos 2

4

x=

Bài 3.(SGK/28)Giải phương trình : 2cos 2 0 1 sin2x x = − Bài 4.(SGK/28)Giải các phương trình sau : a) ( 0) 3 tan 15 3 x− = b)cot 3( x− = −1) 3 c)cos2xtanx=0 d) sin3x.cotx=0

Bài 5.(SGK/28)Giải các phương trình : a/ sin3x-cos5x=0 b) tan3x.tanx=1 Bài 6.Giải các phương trình sau : 0 4 2 cos 3 d)sin

0 1 cos2x c)cosx 0 1 -cos2x b)sinx

0 sin 2 sin 2 ) 2 2 =      − −       − = + + = + = + π π x x x x a

. -BÀI 3.MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

DẠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng phương trình: aSin2x + bSinx + c = 0 (a

≠0)

*Cách giải:

- Đặt t = sinx, điều kiện t ≤1

- Giải phương trình bậc 2 theo ẩn t

- Giải phương trình lượng giác cơ bản, kết luận

nghiệm

Dạng phương trình: aCos2x + bCosx + c = 0, (a

≠0)

*Cách giải:

- Đặt t = Cosx, điều kiện t ≤1

- Giải phương trình bậc 2 theo ẩn t

- Giải phương trình lượng giác cơ bản, kết luận nghiệm

Dạng phương trình: atan2x + btanx + c = 0, (a

≠0)

*Cách giải:

Dạng phương trình: aCot2x + bCotx + c = 0, (a

≠0)

*Cách giải:

Trang 6

- Giải phương trinh lượng giác cơ bản, kết

luận nghiệm

* Chú ý điều kiện tồn tại: Đối với hàm số tanx:

cosx 0≠ ⇔x≠π +kπ

- Giải phương trinh lượng giác cơ bản, kết luận nghiệm

* Chú ý điều kiện tồn tại: Đối với hàm số cotx:

sinx ≠0⇔x≠kπ, k∈Z

Bài 1.(SGK/36)Giải các phương trình

a) 2cos2x-3cosx+1=0 b) 2sin2x+ 2sin4x=

a)sin2 2cos 2 0

x− x+ = b) 8cos2x+2sinx-7=0 b)2tan2x+3tanx+1=0 c)tanx-2cotx+1=0

Bài 3.Giải các phương trình

a)4sin2x -2( 3− 2)sinx− 6 =0(CĐKTĐN/2004) b)cos2x -5cosx +4=0(CĐCN4/2003)

DẠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS

*Dạng: asinx + bcosx = c (*)

*Cách giải:

B1: Xác định a = ?, b = ?, c = ? Tính a2 +b2

B2: Chia cả hai vế của phương trình (*) cho a2 + b2 ta được:

2 2 2

2 2

b a

c x

b a

b x

b

a

+

= +

+

B3: Đặt:











= +

α

α cos

sin

2 2

b a

a

(I)

Chú ý: Nếu có α ( đặc biệt) thoả mãn hệ (I) thì chọn α thích hợp nếu không ta giữ nguyên α . Khi đó (**) có dạng:

2

cos cos sin

sin

b a

c x

b a

c x

x

+

=

−

⇔ +

=

B4: Giải PT(***) (Là PT lượng giác cơ bản) tìm nghiệm

Chú ý: Nếu a2 + b2 < c2 thì PT(8) vô nghiệm

a)cosx− 3 sinx− 2 0= b)3sin3x-4cos3x=5

c)2sinx+2cosx− 2 0= d)5cos2x+12sin2x-13=0

a)2sinx +2cosx = 6 b)sin3x+ 3cos3x= 2

c)cos4x− 3sin4x− 2=0 e)cosx+ 3sinx= 3

6

Trang 7

a) sin2x+cos2x= 2sinx b)sin3x - 3 cos3x =2sin2x (CĐ KA,B,D /08)

DẠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH DẠNG a.sin2x+b.sinxcosx +c.cos2x =d

Cách 1.Xét phương trình khi x =

2

π +kπ, k∈Z Nếu phương trình nghiệm đúng thì đây là nghiệm của phương trình

Khi x ≠

2

π

+kπ , chia hai vế phương trình cho cos2x ta được : a.tg2x + btgx +c = d(1+tg2x)

Cách 2 Sử dụng cơng thức hạ bậc:

2

2 cos 1 cos , 2

2 cos 1

x

Ta sẽ được phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x

a)2sin2x+sinxcosx-3cos2x=0 b)3sin2x-4sinxcosx+5cos2x=2

sin sin 2 2cos

2

x+ x− x= d) 2cos2x−3 3 sin 2x−4sin2x= −4

a)4sin2 x+3 3sin2x−2cos2 x=4 b) 4cos2x -2sin2x -4sinxcosx +1=0

c) sin2x-3sinxcosx+cos2x +1=0 d) 2sin2x -5sinxcosx -8cos2x = -2

BÀI TẬP ƠN









 −

=

3

2 3

tan x π









 −

=

4 2 cot x π

y









 −

6

tan π

d) 









 −

4 cot π

Bài 2 :Tìm tập xác định hàm số sau :

2

x

− +

Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau :

a)y=3- 2sin2x b)y= 4- 3cos22x

Trang 8

a)y= 3−sinx, b) y= 4−sin2 x

c) y= 2+sinx+3 d) y=5 cosx+1−2

Bài 4.Giải các phương trình sau:

a) 4sin2x – 4cosx – 1 = 0 , b)2cos2x+cosx-1=0

c)sin2x-2cos2x+cos2x=0, d) 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0

e)tan2x+ −(1 3 tan) x− 3 0= f) 4sin2x−2 3 1 sin( + ) x+ 3 0=

a) tan2x + cot2x = 2 b) cot22x – 4cot2x + 3 = 0

c)5 4sin2 8cos2 4

2

x x

− − = − d) 12 (3 3 tan) 3 3 0

e) 12

cos x + 3cot

2x = 5 f) 9 – 13cosx + 4 2

1 tan x+ = 0

a) cosx+ 3 sinx= 2 b) sin cos 6

2

x+ x=

c ) 3 cos3 sin3x+ x= 2 d) sinx+cosx= 2 sin 5x

e) 2sin2x+ 3 sin 2x=3 f) sin8x−cos6x= 3 sin 6( x+cos8x)

a) 3sinx – 2cosx = 2 b) 3 cosx + 4sinx – 3 = 0

c) cosx + 4sinx = –1 d) 2sinx – 5cosx = 5

a) 4sin2x+3 3 sin cosx x−2 cos2x=4 b) sin2x+sin 2x−2 cos2x=12

c) 3sin2x+8sin cosx x+4 cos2x=0

ĐỀ THI

Bài 1.Giải các phương trình :

a)sin2xsinx +cos5xcos2x=

2

8 cos

(CĐKTtpHCM/07)

4

sin









( CĐGTVT3/07)









 +

= +

4 sin 2 sin

1

cos

x

d)cosxcos2xsin3x= sin2x

4

1

(CĐTCHQ/07)

a)sin4x+cos4x = sin2x

2

1

(ĐHSGKD,M/07) b)1+sinx+cosx+tgx= 0 (ĐHSGKB/07)

8

Trang 9

c) 









 −

=











 − π

x sin

x sin 1 2 2 x

tan

d)2sin3x +4cos3x =3sinx (CĐKTCT/07)

e)cos4x -2sin2x+2=0 (CĐXD2/05)

f)cos2x +cos4x -2=0 (CĐTCKTIV/05)

a) 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0(ĐHKD/09)

b)h)sinx+cosxsin2x+ 3cos3x=2(cos4x+sin3x) ( ĐHKB/09)

(1 2sinx)(1 sinx) 3

x cos x

sin

2

1

=

− +

−

(ĐHKA/09) d) 2sinx (1+cos2x) +sin2x = 1+2cosx ( ĐHKD/08)

e) sin3x - 3 cos3x = sinx.cos2x - 3 sin2x.cosx (ĐHKB/08)









 −

=











 −

x

7 sin 4 2

3 sin

1 sin

g) 2.sin22x+sin7x-1=sinx ( ĐHKB/ 07)

h) (1+sin2x )cosx +(1+cos2x)sinx =1 +sin2x (ĐHKA/07)

k) cos3x +cos2x -cosx-1=0 (ĐHKD/06)

sin 2 2

cos sin sin

cos

=

−

− +

x

x x x

x

(ĐHKA/06)

Bài 4.Giải phương trình

a) cos4x + 12sin2x -1 =0(CĐKD/2011)

b)sin 2x−cos 2x+3sinx−cosx− =1 0(ĐH KD/2010)

c)sin2x 2cos x sin x 1 0

tan x 3

d)(sin 2x + cos 2x) cosx + 2cos2x – sin x = 0(ĐHKB/2010)

e)sin 2 cosx x+sin cosx x=cos 2x+sinx+cosx (ĐHK B /2011)

f) (1 sin x cos 2x)sin x

1

π

  = +

(ĐH KA/2010)

g) 1 sin 2 2cos 2

2 sin sin 2

1 cot

x

h) 3sin2x+cos2x=2cosx−1 (ĐHK A 2012)

a)sin3 x− 3cos3x=sinxcos2 x− 3sin2 xcosx(ĐHKB/2008)

b) 1+sin2x)cosx+(1+cos2x)sinx=1+sin2x (ĐHKA// 2008)

2

cos

2

sin

2

= +











(ĐHCĐKD/2007)

Trang 10

f) cos3x+cos2x-cosx-1=0(ĐHKD/2006)

2 tan tan 1 sin









 +

sin 2 2

cos sin sin

cos

=

−

− +

x

x x x

x

(ĐHCĐKA2006)

2

3 4 3 sin 4 cos sin









 −











 − +

x x

x

b) 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 (ĐHCĐ KB2006)

c) cos23xcos2x-cos2x=0 (ĐHCĐKA2006)

d) 2sinx(1+cos2x)+sin2x =1+2cosx (ĐHKD /2008)

e) sin 2 cosx x+sin cosx x=cos 2x+sinx+cosx (ĐHCĐK B 2011)

a) sin3x+cos3x−sinx+cosx= 2cos2x(ĐHCĐK D 2012)

b) 2(cosx+ 3sinx)cosx=cosx− 3sinx+1 (ĐHCĐK B 2012)

c) 3 sin2x+cos2x=2cosx-1(ĐHCĐK A 2012)

d) sin 3x+cos 2x−sinx=0(ĐHCĐ KD/2013)

e) sin 5x+2 cos2x=1(ĐHCĐ KB/2013)

f) 1 tan x 2 2 sin x

4

π

 (ĐHCĐ KA,A1 /2013)

10

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	498 KB