Bán kính CO vuông góc với AB, gọi M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC M khác A và C, BM cắt AC tại H; kẻ HK vuông góc với AB K thuộc AB.. a/ Chứng minh tứ giác CBKH nội tiếp b/ Trên đoạn
Trang 1Đề thi lớp 10 thanh hoá năm học : 2013 – 2014
Môn : Toán
Ngày thi : 12/07/2013
Mã đề : A
Bài 1 (2,0 điểm) : 1/ Cho phơng trình bậc hai : x2 + 3x – 4 = 0 với các hệ số a = 1 ; b =
3 ; c = -4
a/ Tính tổng : S = a + b + c
b/ Giải phơng trình trên
2/ Giải hệ phơng trình : 2 3
x y
x y
Bài 2 (2,0 điểm) : Cho biểu thức : 1 1 1
:
x P
(Với x > 0; x ≠ 1) a/ Rút gọn biểu thức P
b/ Tính giá trị của biểu thiức P khi x 3 2 2
Bài 3 (2,0 điểm) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d) : y = 2ax + 1 và Parabol (P) : y = -2x2
a/ Tìm a để đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1 ; 5)
b/ Tìm a để đờng thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lợt là
x1; x2 thoả mãn điều kiện x1 + x2 + 4(x1 + x2) + 4 = 0
Bài 4 (3,0 điểm) : Cho (O;R) đờng kính AB Bán kính CO vuông góc với AB, gọi M là
điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC ( M khác A và C), BM cắt AC tại H; kẻ HK vuông góc với AB ( K thuộc AB)
a/ Chứng minh tứ giác CBKH nội tiếp
b/ Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM Chứng minh rằng tam giác MCE vuông cân
c/ Gọi (d) là tiếp tuyến của (O) tại điểm A Lấy P là điểm nằm trên (d) sao cho hai điểm
P và C nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng AB và AP.MB = MA.OB Chứng minh rằng , đờng thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK
Bài 5 (1,0 điểm) : Cho x, y, z là ba số thực dơng thoả mãn : xy + yz + zx ≥ 3
Chứng minh rằng :
y zz xx y
Hết
-Lời giải và thang điểm
Câu 1
2.0đ
1/
a/ Ta có : S = a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0
b/ Vì a + b + c = 0 Nên phơng trình có hai nghiệm
1 1
x và 2 4
4 1
c x a
0.5 0.5 2/
Trang 22 3 4 4 1 1
Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhât : 1
1
x y
0.75 0.25
Câu 2
2.0đ
a/ Rút gọn biểu thức P
P
2
1
1
x
P
1.0
b/ Tính giá trị của biểu thiức P khi x 3 2 2
Ta có : x 3 2 2 2 1 2 x 2 1 2 2 1
=> 1 2 1 1 2 2
2
x P
x
Vậy với x 3 2 2 thì P = 2
1.0
Câu 3
2.0 đ
a/ Để đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1 ; 5) => x = 1 thì y = 5, thay vào
đờng thẳng (d) ta có
5 = 2a.1 + 1 => 2a = 4 => a = 2
Vậy với a = 2 thì đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1 ; 5)
1.0
b/ Hoành độ giao điểm của đờng thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm
của phơng trình :
-2x2 = 2ax + 1
<=> 2x2 + 2ax + 1 = 0 (1)
+ Để đờng thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt thì phơng
trình (1) có hai nghiệm phân biệt
=> ’ > 0 <=> a2 – 2 > 0 =>a 2 a 2 0
2
a
2
a
=> a 2 hoặc a 2 (2)
+ Khi đó x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình (1) nên theo viét ta có
1 2
1 2
2 2 1 2
a
x x
(3)
1.0
Trang 3Thay (3) vào ta có
(-a)2 – 1 + 4.(-a) + 4 = 0 => a2 – 4a + 3 = 0
Ta có 1 + (-4) + 3 = 0 Vậy phơng trình có hai nghiệm
a1 = 1 và a2 = 3
3
1 (4)
Kết hợp (2) và (4) => a = 3
Câu 4
3.0đ
Hình vẽ
1 4 3 2 1 D
N
(d)
P
O E
K
H M
C
B A
a/ Chứng minh tứ giác CBKH nội tiếp
Ta có : ACB 90 0(góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) => HCB 90 0(1)
HK AB gt HKB (2)
Từ (1)và(2)=>HCB HKB 180 0=>Tứ giác CBKH nội tiếp (đ/l) ĐPCM
1.0
b/ Chứng minh rằng tam giác MCE vuông cân
Xét MAC và EBC có
AM = BE (gt) (3)
Xét đờng tròn (O) : MAC MBC (cùng chắn cung MC) (đ/l)
=> MAC EBC (4)
Do OA = OB = R, COAB => CO là đờng trung trực của AB (đ/n)
=> CA = CB (t/c) (5)
Từ 3,4,5 => MAC = EBC (c.g.c)
=> CM = CE =>MCE cân tại C (6)
Ta có : 1 1 0 0
.90 45
CMB COB (đ/l) => CME 45 0 (7)
Từ 6,7 => MCE vuông cân tại C (ĐPCM)
1.0
c/ Chứng minh rằng , đờng thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn
thẳng HK
Trang 4Gọi BM kéo dài cắt (d) tại D, HK cắt BP tại N Ta đi chứng minh
NK = NH
Ta có : AP.MB MA.OB(gt) AP MA
OB MB
PAM MBA (cùng chắn cung AM) => PAM OBM (9)
Từ (8) và (9) => PAM ~ OBM (c.g.c)
=>
1 3
M M (hai góc tơng ớng) (10)
Ta có : 0
M M AMC (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) (11)
Từ (10) và (11) => 0
1 2 90
PMO M M => PM là tiếp tuyến của (O)
=> PM = PA (hai tiếp tuyến cắt nhau) (12)
Ta có : 3
M M Do M M (13)
ABD vuông tại A => 0
D ABD (14)
Do OB = OM => M 3 ABD (15)
Từ 13,14,15 =>
D M => PM = PD (16)
Từ (12) và (16) => PA = PD (17)
Do HK//AD theo talét ta có
NK BN
PA BP và
NH BN
PD BP =>
NK NH
PA PD (18)
Từ 17,18 => NK = NH => đờng thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn
thẳng HK
1.0
Câu 5
1.0đ Cách 1 : Bổ đề : C/M a2 b2 a b2
x y x y
Thật vậy
2
2 2
a b
a b
a y b x x y xy a b ay bx
x y x y
(Đúng) => a2 b2 a b2
x y x y
áp dụng 2 lần , ta có: a2 b2 c2 a b c2
x y x x y z
áp dụng BĐT trên ta có
2
2 2 2
x y z
y z z x x y x y z
(1)
2
2 2 2 2
2
1 2
3
1 2
2
1 2
x y z
Từ (1)
1.0
Trang 5=>
4.
2
2 2
2 2
2
2
x y xy
y z yz x y z xy yz zx
z x zx
Đặt : x2 y2 z2 = t ≥ 3
Ta có :
2
t
x y z
Ta chứng minh với t ≥ 3 thì
2 6 4
t
t Thật vậy
2
2
2 3
2 6 4
t
t đúng
do t ≥ 3 =>
2 6 4
t
t (4)
Từ (2), (3) và (4) =>
3
y z z xx y (DPCM) Dấu “=” xảy ra khi : x= y = z = 1
Cách 2
áp dụng côsi cho hai số không âm :
4 3
x
y z và 3
16
y z
Ta có :
x y z x
y z
tơng tự
y z x y
z x
z x y z
x y
Cộng 1,2,3 ta đợc
x y z
x y z
y z z x x y
2
2 2 2 2
2
1 2
3
1 2
2
1 2
x y z
(5)
Tù 4, 5 =>
2 2 2 2 2 2 2 2 2
y z z x x y
Trang 6Ta có :
2 2
2 2
2
2
x y xy
y z yz x y z xy yz zx
z x zx
(7)
Từ 6,7 =>
y z z x x y
Hay
y zz xx y Dấu “=” xảy ra khi x = y = z (ĐPCM)
Nếu học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
Các mã đề khác làm tơng tự
Giáo viên giải và dự kiến thang điểm : Nguyễn Đức Tính
SN: 06/335 - Đờng Nguyễn Tĩnh - TP Thanh hoá - DT : 0914.853.901
(Đây là thang điểm tham khảo, thang điểm chính thức theo quy định của HĐCT)
