I d
A P
Q
M
C
H
Câu 4 ( 3 điểm)
c goi (d) là tiếp tuyến của (o) tại A Lấy P là điểm nằm trên (d) sao cho C, P nằm cùng trên cùng nửa mp có bờ là AB và AP.MB=MA.OB Chứng minh đường thăng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK
Giải
Gọi I là giao điểm của BP và HK Q là giao điểm của
BM và (d)
Từ AP.MB= MA.OB
( )
AP MA
va PAM OBM
OB MB
APM OBM cgc
PMA OMB OBM PAM
# :
APM
⇒ ∆ Cân tại P
Suy ra AP = PM
Lại có ·PMA PQM=· ( cùng bù với góc PMA= góc ABQ)
Suy ra ⇒ ∆PQM cân tại P
Suy ra PM=PQ = PA
Vì HK AB HK/ /AQ IK/ /APva IH/ /PQ
QA AB
⊥
Suy ra theo hệ quả của ĐL Ta lét ta có:
IK IB IH IB
va
AP BP PQ BP
IK IH
AP PQ
#
mà AP = PQ nên IH = IK hay I là trung điểm của HK
Vậy PB đi qua trung điểm của HK
Câu 5 (1 điểm) Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xy yz zx 3+ + ≥
Chứng minh rằng:
y z+ z x+ x y ≥
Giải
Ta có
2 2 2
2 2 2
1
x +y +z -(xy yz zx)= (x- ) ( ) ( ) 0
2
x +y +z xy yz zx
x +y +z 3 ( ) 3(xy yz zx) 9
y y z z x
va x y z
va x y z
#
# Áp dụng BDT Trebưsep ta có
x +y +z
3
M
y z z x x y
M
y z z x x y
Áp dụng BDT Svacso ta có
3
4
M
y z z x x y x y z
M vi x y z
Trang 2Dấu = xảy ra khi 1
3
x y
y z
x y z
z x
xy yz zx
=
=
=
+ + =
Vậy
y z +z x+x y ≥
+ + + khi x=y=z=1