c Gọi hai nghiệm của phương trình 1 là x1 và x2.. Tính diện tích mảnh vườn đó.. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA MB, vẽ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn O C, D là các tiếp điể
Trang 1Câu 1: (2 điểm)
a) Tính giá trị các biểu thức sau bằng cách biến đổi, rút gọn thích hợp:
1
2
2
B =
2 ) 1 2 ( 50 8
b) Giải phương trình sau: x45x260
Câu 2: (2 điểm)
Cho phương trình: 0
2m
1 mx
x2 2 (1) (với x là ẩn số, m là tham số thực khác 0) a) Cho m = 1, dùng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai, hãy giải phương trình (1)
b) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m0
c) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1 và x2 Chứng minh x14x42 2 2
Câu 3: (2 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
0 3 y x
0 7 y) 6(x y)
b) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6m và bình phương độ dài đường chéo gấp 2,5 lần diện tích mảnh vườn hình chữ nhật Tính diện tích mảnh vườn đó
Câu 4: (3 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng (d) không đi qua O cắt đường tròn tại hai điểm A và B Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA (MB), vẽ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (O) (C, D là các tiếp điểm) Gọi E là trung điểm của AB và I là giao điểm của CD và OM
a) Chứng minh 5 điểm O, E, C, D, M cùng nằm trên đường tròn đường kính OM
b) Chứng mình răng: MI.MO = MB.MA
c) Đường thẳng (d’) đi qua O và vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại G và H Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng (d) sao cho diện tích tam giác MGH bé nhất
Câu 5: (1 điểm)
Người ta gắn một hình nón có bán kính đáy R = 8cm, độ dài đường cao h = 20cm vào một nửa hình cầu
có bán kính bằng bán kính hình nón (theo hình vẽ bên) Tính giá trị đúng thể tích của hình tạo thành
•
•
S
O 8cm 20cm
Trang 2Câu 1:
1 2
) 1 2 ( 2 1 2
2 2 2 1
2
) 1 2 ( 2 2
B = 3 8 50 ( 21)2 = 3.2 2 25 2( 21) = 6 25 2 21 = 1 b) x45x260
Đặt t = x2
(t0) t2 x4
Ta có phương trình: 2
t + 5t 60
a = 1 ; b = 5 ; c = –6
a + b + c = 1 + 5 + (–6) = 0 nên phương trình 2
t + 5t 60 có nghiệm t = 1 và t = –6 (loại)
t = 1 x21x1
Vậy phương trình ban đầu có nghiệm x1
Câu 2:
0 2m
1 mx
x2 2 (1)
a) Khi m = 1 ta có phương trình: 0 2x 2x 1 0
2
1 x
3 ) 1 (
2 )
1
(
' 2
> 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
2
3 1 2
3 1) (
2
3 1 2
3 1) (
Vậy khi m = 1, phương trình (1) có nghiệm x =
2
3
1
2m
1 mx
0 m
2 m 2m
1 4.1
m)
(
2
Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m ≠ 0
c) Chứng minh x14x42 2 2
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 4 2 4
mà
2 2
1
2 1
2m
1 x
x
m x x
nên 4
2 4
1 x
2m
1 m 2m
1 m
1 m 2m
1 2 2m
1 2
2
2 2 2
2 2
2
Theo bất đẳng thức Causi
4 2 2m
1 m 2 2m
1 m 2m
1 m 2 2m
1
2 4
1 x
Trang 3Mà 4 >2 2 nên x14x42 2 2 (điều phải chứng minh)
Câu 3:
a)
0 3
y
x
0 7 y) 6(x y)
0 7 3) 6(2y 3)
(2y
3 y x
2
Ta có:
2 y
2 y 7
3 2y
1 3 2y 0
7 3) 6(2y 3)
Khi y = –2 thì x = –2 + 3 = 1
Khi y = 2 thì x = 2 + 3 = 5
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (1 ; –2) và (5 ; 2)
b) Gọi a (m), b (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật (a > 6, b > 0) Diện tích mảnh vườn là: a.b (m2
) Chiều dài hơn chiều rộng 6m nên ta có: a – b = 6
Áp dụng định lý Pitagore, ta có bình phương độ dài đường chéo hình chữ nhật là a2
+ b2 Theo đề ra ta có: a2
+ b2 = 2,5ab
mà a – b = 6 a = b + 6 Thay vào a2 + b2 = 2,5ab ta được :
(b + 6)2 + b2 = 2,5b.(b + 6)
15b 2,5b 36 12b
0 2 6b b 0 36 3b
Giải ra ta được b =6 ; a = b + 6 = 12
Diện tích mảnh vườn là S = a.b = 12.6 = 72 (m2
) Vậy mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 72m2
Câu 4:
•
•
•
•
•
A
B
E
G
O
•
•
•
•
M
C
D
d
I
d'
•
H
Trang 4a) Chứng minh 5 điểm O, E, C, D, M cùng nằm trên đường tròn đường kính OM
90 M
Dˆ O M
Cˆ
O (tính chất tiếp tuyến)
Nên C và D nằm trên đường tròn đường kính OM (1)
Ta có ∆OAB cân tại O, OE là trung tuyến nên cũng là đường cao, suy ra 0
90 M
Eˆ
Nên E nằm trên đường tròn đường kính OM (2)
Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm O, E, C, D, M cùng nằm trên đường tròn đường kính OM
b) Chứng mình răng: MI.MO = MB.MA
* Xét ∆MAC và ∆MCB có
AMˆClà góc chung
CAˆMBCˆM (góc nội tiếp và góc ngoại tiếp cùng chắn một cung)
nên ∆MAC đồng dạng với ∆MCB suy ra MC2
= MB.MA (1)
* Xét ∆MCO và ∆MDO có
OCˆMODˆM900
OC = OD (bán kính)
OM là cạnh chung
Nên ∆MCO = ∆MDO suy ra COˆMMOˆI
Tam giác cân OCD có OI là đường phân giác nên OI cũng là đường cao
* Xét ∆MCO và ∆CIO có
COˆIlà góc chung
CIˆOOCˆM900
Nên ∆MCO đồng dạng với ∆CIO suy ra OC2
= MI.MO (2)
Từ (1) và (2) suy ra MI.MO = MB.MA
c) * Xét ∆MOG và ∆MOH có
0 90 H
Oˆ M
M
Oˆ
OM là cạnh chung
D
Mˆ O
O
Mˆ
Nên ∆MOG = ∆MOH
OC.GM 2
OC.GM 2
2S
ΔMGH
S đạt giá trị nhỏ nhất khi GM nhỏ nhất (do OC là bán kính cố định)
GM = CG + CM 2 CG.CM2 OC2 2OC(bất đẳng thức Causi)
Vậy GM đạt giá trị nhỏ nhất là 2OC khi CG = CM
Khi đó ∆OCM vuông cân tại C
2 R 2 OC
Vậy vị trí điểm M cần tìm (trên tia đối của tia BA) là giao điểm của đường thẳng d với đường tròn tâm O bán kính bằng R 2
Câu 5:
Gọi V1 (cm3) là thể tích hình cầu tâm O bán kính OB = R = 8cm
Áp dụng công thức tính thể tích hình cầu ta có: V1 = 3 π.83
3
4 πR 3
Trang 5Suy ra một nửa hình cầu có thể tích là 1 3
8 π
3
2 2
Hình nón có bán kính đáy R = 8cm, đường cao h = 20cm nên nó có thể tích là
3
1 h π.R
3
Thể tích của hình gồm một nửa hình cầu và hình nón gắn lại với nhau là:
V =
2
V1
+ V2 = π.83
3
2
+ π.8 20 3
= π.8 (2.8 20) 768π 3
(cm3) Vậy thể tích hình cần tìm là 768πcm3
(Bài giải đôi khi không tránh khỏi sai sót, nên rất mong được sự thông cảm và sự góp ý của các bạn)