Đề và Đáp án thi vào lớp 10 chuyên DHSP(V1)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2013 Môn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do - Hạnh phúc

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2013

Môn thi: Toán

(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường THPT chuyên ĐHSP)

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1 (2,5 điểm)

1 Cho biểu thức:

3

2

2





a b

a a b b

ab a

Q

Với a0,b0,ab. Chứng minh giá trị của biểu thức Q không phụ thuộc vào a và b

2 Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a+b+c=0 Chứng minh đẳng thức

a b c  a b c

Câu 2 (2 điểm) Cho parabol (P): 2

yx và đường thẳng (d): 12

2

y mx

m

   (tham số

0

m  )

1 Chứng minh với mỗi m 0, đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt

2 Gọi Ax y1; 1 , B x y2; 2là các giao điểm của (d) và (P) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

My  y

Câu 3 (1,5 điểm) Giả sử a, b, c là các số thực ab sao cho hai phương trình 2

1 0,

x ax 

2

0

x bx c có nghiệm chung và hai phương trình 2

0,

x xa x2 cxb0 có nghiệm

chung Tính a+b+c

Câu 2 (3 điểm) Cho tam giác ABC không cân có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các

đường cao AA , BB , CC1 1 1 của tam giác ABC cắt nhau tại H, các đường thẳng A C1 1 và AC cắt nhau tại điểm D Gọi X là giao điểm thứ hai của đường thẳng BD và đường tròn (O)

1 Chứng minh DX.BDDC DA1 1

2 Gọi M là trung điểm của cạnh AC, chứng minhDHBM

Câu 5 (1 điểm) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn







Chứng minh x yz

-Hết -

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: ……….… Số báo danh: ………

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN Câu 1:

a)

3

3

Q

0 3





a b

ab a

a a ab b

b) Ta có a4 b4 c4 (a2 b2 c2)2 2(a2b2 b2c2 c2a2)(*)

Từ a+b+c=0 ta có

2

2

 

 a b b c c a  a b c

Thay vào (*) ta có điều phải chứng minh

Câu 2

1 Ta có tọa độ giao điểm (d) và (P) là nghiệm của hệ phương trình:

2

y= mx+ x +mx =0;(*)



Xét phương trình (*) có  2  22 2 2 0

m m

Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt với m  0

Vậy (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

2 Ta có 2 2 4 4  2 22 2 2  2 2 2 2

Áp dụng định lý Viet:



















2 2

1

2 1

2

1

m x

x

m x

x

thay vào M ta có

2

min

M 2 2 khi 8 1

2

 

m

Câu 3: Giả sử phương trình 2  

x ax 1 0 1 và 2  

x bx c 0 2 có nghiệm chungx 0 tínhđược :

0

x a b c 1 x c 1

a b



 



 ( vì ab) suy ra nghiệm còn lại của phương trình (1) là: 2 a

c 1

x b



 (c≠1

vì 0 không là nghiệm của pt (1) )

Giả sử phương trình: 2  

x xa0 3 và 2  

x cxb0 4 có nghiệm chung x 1

ta có: x 1 c1  b a x1 b a x2

c 1

      

 vậy pt (1) ; (2) (3) có nghiệm chung x 1

từ (1) và (3) ta có a 1 x  110

a 1 x x 1   vô lý vậy 0 x1  từ đó tính được 1 ab  c 3

Câu 4

a)Ta có tứ giác AC A C, ABXC là các tứ giác nội tiếp 1 1

DB DA

N

H X

D

C1

B1

A1

O

B

1

DA DC DX.DB

d) Ta thấy :theo a) DA DC1 1DX.DB

suy ra BC HA , BC A X là các tứ giác nội tiếp 1 1 1 1

1

BC HX

 là tứ giác nội tiếp

1

BXH BC H 180 BXH 90 HX BX

Kẻ đường kính BL

Ta có : BAL 90 ( chắn nửa đường tròn)BAAL mà CHBACH//AL



BCL90 ( chắn nửa đường tròn)BCCL mà AHBCAH//CL

AHCL

 là hình bình hành

Vì M là trung điểm AC Mlà trung điểm LH

BXL90 ( chắn nửa đường tròn)BX XL mà HXBXL,H, X thẳng hàng

hay M, H, X thẳng hàng.Nên H là trực tâm tam giác BDM nên DHBM

Câu 5:

x 2011 y 2012 z 2013 y 2011 z 2012 x 2013

y 2011 z 2012 x 2013 z 2011 x 2012 y 2013







Đặt ax2011, by2011, c z 2011 Ta có hệ A

B









 

  vai trò x,y z bình đẳng

Giả sử cmax{a;b;c} vì AC Ta có

 

*

Mặt khác,

c a

c b

Suy ra (*) xảy ra khi a=b=c, suy ra x=y=z