Đề số 3 - Thi thử Đại học môn toán 2013 - khá hay!

Tìm tọa độ điểm M trên 1 và N trên đường thẳng 2 sao cho MN song song với mặt phẳng P đồng thời khoảng cách giữa đường thẳng MN với mặt phẳng P bằng 2.. Viết phương trình đường thẳng đ

TRUNG TÂM LTĐH SIMPLE ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 3 NĂM 2013

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 4 2 2

2 x

y  x  m  m  m (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=-2

b) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng

0

120

Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình lượng giác tanxcotx2 sin 2 xcos 2x

Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

2 2

2 2

3

1

y

x

y

  





   



Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân

3

6

sin 3 cos

dx I









Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thoi cạnh bằng 2a (a>0)

S Aa SBa BAC  , mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy M,N lần lượt là trung điểm của AB và BC a) Tính thể tích khối tứ diện NSDC

b) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SM và DN

Câu 6 (1,0 điểm) Cho ba số , , x y z[0;2] và x+y+z=3 Chứng minh rằng x2y2z25

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (Phần A hoặc B)

A Theo chương trình chuẩn

Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A nằm trên đường thẳng

: 2x 3y 14 0

    , cạnh BC song song với , đường cao CH có phương trình x-2y-1=0 Biết trung điểm của cạnh AB là M(-3;0) Xác định tọa độ các đỉnh A,B,C

Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 1

 

 



 

và mặt phẳng (P):x+y+4z+2=0 Tìm tọa độ điểm M trên 1 và N trên đường thẳng 2 sao cho MN song song với mặt phẳng (P) đồng thời khoảng cách giữa đường thẳng MN với mặt phẳng (P) bằng 2

Câu 9.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn (1-3i)z là số thực và z 2 5i 1

B Theo chương trình nâng cao

Câu 7.b (1,0 điểm) Cho đường tròn (C) có phương trình 2 2

x y  x y  và điểm A(4;5) Viết phương trình đường thẳng đi qua A cắt đường tròn (C) tại hai điểm E,F sao cho EF có độ dài bằng 8

Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1

   và điểm M(0;3-2) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với đường thẳng , đồng thời khoảng cách giữa đường thẳng  với mặt phẳng (P) bằng 3

Câu 9.b (1,0 điểm) Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9 Hỏi phải rút ít nhất bao nhiêu thẻ để xác

suất có ít nhất 1 thẻ ghi số chia hết cho 4 phải lớn hơn 5

6

………Hết………

HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ ĐỀ SỐ 3

Câu 1 b) (Dạng: Cực trị hàm bậc 4)

HD: Xét pt y’=0, tìm đk có 2 nghiệm phân biệt, và

giải phương trình y’=0 để tìm ra 3 điểm cực trị A,

B và C Dễ thấy tam giác ABC cân tại A nên để tam

giác ABC có một góc là 0

120 thì góc đó phải là tại

A, khi đó cos .

AB AC A

AB AC

ĐS:

3

1

3

m  

Câu 2 (Dạng: Biến đôi lượng giác)

sin 2

x

ĐS: ;

Câu 3 (Dạng: Hệ qui về đẳng cấp)

HD: Đổi biến 2 2

1; x

y

   

ĐS:

Câu 4.(Dạng: Tích phân hàm lượng giác)

HD: Đổi biến

3

  và ucost

ĐS: 1ln 3

4

Câu 5 (Dạng: Hình chóp có mặt bên vuông góc

với đáy)

HD: Kẻ SHAB thì SH(ABCD); SH 2SSAB

AB



và SM DN SHHM DN HM DN

ĐS:

3

5

SCND

a

Câu 6 (Dạng: Chọn điểm rơi cực trị của hàm số)

HD: Không mất tổng quát, giả sử z y x , suy ra

1

x Đánh giá y2z2(yz)2(3x)2 để qui

về biến x rồi khảo sát hàm số

ĐS: Dấu “=” khi và chỉ khi (x,y,z)=(0;1;2) hoặc các hoán vị của nó

Câu 7a (Dạng: Giải tam giác)

HD: Qua M kẻ đường vuông góc với CH cắt  tại

A Từ tọa độ A suy ra tọa độ B dựa vào trung điểm

AB Viết phương trình đường thẳng BC song song với  cắt CH tại C

ĐS: A(-4;2), B(-2;2), C(1;0)

Câu 8a (Dạng: Tìm điểm trên đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước)

HD: Cách tổng quát để làm bài toán này là tham

số hóa tọa độ điểm Cụ thể, ta tham số M theo t và

N theo k và tìm t,k dự vào 2 phương trình

P 0

MN n  và d(M,(P))= 2

ĐS:   3 9 1

0; 0;1 , ; ;

  hoặc

M    N  

Câu 9a (Dạng: tìm số phức)

HD: Đặt z=a+bi

Câu 7b (Dạng: Dây cung của đường tròn)

HD: Gọi d là đường thẳng cẩn tìm Viết phương trình tổng quát của d qua A Tính k/c từ tâm I của đường tròn đến đường thẳng d

ĐS: (d):x=4 hoặc (d):20x-21y+25=0

Câu 8b (Dạng: Viết PT mặt phẳng)

HD: Gọi VTPT của (P)

ĐS: (P): 2x+2y-z-8=0 hoặc (P): 4x-8y+z+26=0

Câu 9b (Dạng: Xác suất)

HD: | | C9x , gọi A= “Trong số x thẻ rút ra, có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4”, 7x

A C

ĐS: số thẻ ít nhất phải rút là 6.

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ SỐ 3

1

(2,0 điểm)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số yx44x22

 Tập xác định: D=R

 Sự biến thiên: 3

- Hàm số đồng biến trên ( 2;0) và ( 2;) và nghịch biến trên ( ; 2] và [0; 2]

- Hàm số đạt cực đại tại x CD0;y CD 2 và đạt cực tiểu tại x CT1  2;y CT1 2 và

- Giời hạn: lim ; lim

x y x y

0,25

- Bảng biến thiên

0,25

 Vẽ đồ thị

0,25

b) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành một

tam giác có một góc bằng 0

120

y   m  x  m

Đồ thị có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi m  0

0,25 Các điểm cực trị của đồ thị là 2

),

Do tam giác ABC cân tại A nên 0

120

0,25

4 4

cos

2

| | | |

BAC



0

m 





-2

2

-

y’

0

x

-2

Vậy

3

1 3

m  

2

(1,0 điểm)

Giải phương trình lượng giác tanxcotx2 sin 2 xcos 2x

2 sin 2 cos 2 1 sin 2 (sin 2 cos 2 )

1 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 cos 2

cos 2 sin 2

x





0,25

k

sin 2 cos 2 tan 2 1 2

3

(1,0 điểm)

Giải hệ phương trình

2 2

2 2

3

1

y

x

y

  





   



1; x

y

    Hệ trở thành

3 2

1

  





     



2

3, 9

2

 









Nếu v3,u9, ta có hệ phương trình

2 2

1, 3 1,

0

3

1 3

x

x

y y





      







0,25

2

v u , ta có hệ phương trình

8

7 2

x

y

y

x

x





   





Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm

0,25

4

(1,0 điểm)

Tính tích phân

3

6

sin 3 cos

dx I









sin

3

I

x

  

Đặt

3

t x 

, ta có

2

I



Đặt ucost thì

2 2 2

du

0,25

1 2

5

(1,0 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thoi cạnh bằng 2a (a>0)

S Aa SBa BAC , mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy M,N lần lượt là trung điểm của AB và BC

a) Tính thể tích khối tứ diện NSDC

b) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SM và DN

ABC

 là tam giác đều cạnh 2a

2 2

3

4

S

2

CND BCD ABC

S  S  S  a

0,25

Kẻ đường cao SH của tam giác SAB thì H

là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) Xét tam giác SAB

2

2

3

0

cos

1 2

2 1

3 sin

2

SAB

SA

ND B

SA S

ASB

AS

B S

AB

a

S

H S















0,25

Ta có

2

3

2

0,25

2 2 2 3 2

a

SM DN  SH HM DN HM DN

1

4

HM

AB

2

2

SM DN

0,25

N

H M

D

A S

Không mất tổng quát, giả sử z y x , suy ra 3 3 x x 1 0,25

2 2 2 2 ( )2 2 (3 )2 2 2 6 9 ( )

Khảo sát hàm số f(x) trên khoảng [1;2] ta tìm được giá trị lớn nhất của f(x) là 5 Dấu

“=” khi và chỉ khi (x,y,z)=(0;1;2) hoặc các hoán vị của nó 0,25

7a

(1,0 điểm)

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A nằm trên đường thẳng

: 2x 3y 14 0

    , cạnh BC song song với , đường cao CH có phương trình x-2y-1=0 Biết trung điểm của cạnh AB là M(-3;0) Xác định tọa độ các đỉnh A,B,C

Cạnh AB qua M vuông góc với đường cao CH nên nó có phương trình:

2(x   3) y 0 2x  y 6 0 0,25 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 2 3 14 0 4



     

M là trung điểm AB nên B(-2;2)

Cạnh BC  nên phương trình BC là 2(x 2) 3(y  2) 0 2x3y 2 0 0,25 Tọa độc của C là nghiệm của hệ 2 1 0 1



     

8a

(1,0 điểm)

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 1

 

2

:

  và mặt phẳng (P):x+y+4z+2=0 Tìm tọa độ điểm M trên 1

và N trên đường thẳng 2 sao cho MN song song với mặt phẳng (P) đồng thời khoảng cách giữa đường thẳng MN với mặt phẳng (P) bằng 2

Gọi M t( ; 2 ;1 2 ) t  t 1; (2 ;3 2 ; 2 2 )N k  k   k 2

(2 ;3 2 2 ; 2 2 3)

MN k t k t k t

(P) có VTPT n1;1; 4MN n 2k t 2k  2t 3 4(2k   2t 3) 9t 12k 9 0 0,25 Khoảng cách giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (P) là

2 2 2

2 4(1 2 ) 2

18 1

6 9 ( , ( )) ( , ( ))

3 0, 4

,

  



 

   



0,25

0; 0;1 , ; ;

M    N  

9a

(1,0 điểm)

Tìm số phức z thỏa mãn (1-3i)z là số thực và z 2 5i 1

Giả sử z=a+bi, khi đó (1-3i)z=(1-3i)(a+bi)=a+3b+(b-3a)i 0,25

z  i     a i   a    0,25

2

6

5

21 5

b a







 

 

 



Vậy 2 6 , 7 21

7b

(1,0 điểm)

Cho đường tròn (C) có phương trình 2 2

x y  x y  và điểm A(4;5)

Viết phương trình đường thẳng đi qua A cắt đường tròn (C) tại hai điểm E,F sao cho EF có độ dài bằng 8

Đường tròn (C) có tâm I(1;-2), bán kính R=5

Đường thẳng (d) qua A(4;5) có phương trình     2 2

( , ( )) 5 4

b





+) Nếu b=0, chọn a=1 thì (d):x=4

+) Nếu 42a40b0, chọn a20,b 21 thì ( ) : 20d x21y25 0 0,25

8b

(1,0 điểm)

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1

   và điểm M(0;3-2) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với đường thẳng , đồng thời khoảng cách giữa đường thẳng  với mặt phẳng (P) bằng 3

Gọi n a b c( ; ; ) là VTPT của mặt phẳng (P) Suy ra phương trình mặt phẳng (P):

ax+b(y-3)+c(z+2)=0ax+by+cz-3b+2c=0 Mặt phẳng (P) song song với  có VTCP v(1;1; 4) nên n v   a b 4c0

0,25 Lấy N(0;0;1) nằm trên  Khoảng cách giữa  và (P) là

2 2 2

| 3 b 3 |

a

d

b c

 

Thay a=-b-4c ta được

2 2 2

| b c |

( 4 )

2 8

 



   

0,25

9b

(1,0 điểm)

Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9 Hỏi phải rút ít nhất bao nhiêu thẻ để xác suất có ít nhất 1 thẻ ghi số chia hết chó 4 phải lớn hơn 5

6 Trong 9 thẻ đã cho có hai thẻ ghi số chia hết cho 4 (các thẻ ghi số 4 và 8), 7 thẻ còn lại ghi số không chia hết cho 4 Giả sử rút x thẻ (1 x 9,xN), số cách chọn x từ 9 thẻ trong hộp là 9x

C , số phần tử của không gian mẫu là | | C9x

0,25

Gọi A là biến cố “Trong số x thẻ rút ra, có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4”

Số cách chọn tương ứng với A là 7x

A C Suy ra

( ) 1

x P A x

P A

0,25

Vậy giá trị nhỏ nhất của x là 6 Vậy số thẻ ít nhất phải rút là 6 0,25