một số lớp phương trình hàm với cặp đối số biến đổi

1.1 Về lớp hàm cộng tính liên tụcTrong mục này, ta định nghĩa hàm cộng tính và khảo sát dáng điệu của chúng theocác giả thiết về tính trơn khác nhau chẳng hạn như tính đo được, tính liên

Hội thảo Khoa học: Các chuyên đề chuyên Toán bồi dưỡng học sinh giỏi, Hà Nội 26-27/03/2012

Một số lớp phương trình hàm với

cặp đối số biến đổi

Nguyễn Văn Mậu, ĐHKHTN, ĐHQGHN Phạm Thị Nhàn, Sở GD và ĐT Quảng Ninh

Tóm tắt nội dungBáo cáo này viết về phương trình hàm với đối số biến đổi trong lớp hàm thực

hai biến với đối số biến đổi là các dạng đối hợp và song đối hợp Dựa vào các đặc

trưng của toán tử đại số, cho phép ta tìm nghiệm tường minh của lớp các phương

trình hàm dạng

f (x, y) ± f (2p − x, y) ± f (x, 2q − y) + f (2p − x, 2q − y) = h(x, y), (x, y) ∈ Ω, (1)

trong đó điểm (p, q) là tâm đối xứng của tập Ω ⊂ R × R, h(x, y) là hàm đã biết

Trong phần áp dụng, khảo sát hai lớp phương trình dạng

f (xy) ± f ((1 − x)y ± f (x(1 − y)) + f ((1 − x)(1 − y)) = h(xy), ∀x, y ∈ (0, 1)

f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R

Trong cuốn sách của Kuczma (1985) đã trình bày rất chi tiết các tính chất của lớp hàmcộng tính Tiếp theo, lớp hàm cộng tính cũng được đề cập nhiều trong các cuốn sáchcủa Acze’l (1966), Acze’l (1987), Acze’l và Dhombres (1989), và Smital (1988) Nghiệmtổng quát của nhiều phương trình hàm hai hay nhiều biến có thể biểu diễn thông quacác hàm cộng tính, lũy thừa, logarit hay mũ

1.1 Về lớp hàm cộng tính liên tục

Trong mục này, ta định nghĩa hàm cộng tính và khảo sát dáng điệu của chúng theocác giả thiết về tính trơn khác nhau chẳng hạn như tính đo được, tính liên tục, tính khả

vi, tính đơn điệu,

Định nghĩa 1 Một hàm f : R → R, với R là tập số thực, được gọi là một hàm cộngtính khi và chỉ nó thỏa phương trình hàm Cauchy

f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (2)

Phương trình hàm (2) được xét đầu tiên bởi A.M Legendre (1791) và C.F Gauss(1809) nhưng A.L Cauchy (1821) mới là người đầu tiên tìm thấy nghiệm tổng quát của

nó Phương trình (2) có một vị trí đặc biệt trong toán học Nó được gặp ở hầu hết tất

cả các ngành học của toán như là sự khởi đầu của các phép tính đối với hàm số.Định nghĩa 2 Một hàm f : R → R được gọi là tuyến tính khi và chỉ khi nó có dạng

f (x) = ax ∀x ∈ R,với a là hằng số tùy ý

Đồ thị của một hàm tuyến tính f (x) = ax là một đường thẳng (không thẳng đứng)

đi qua gốc tọa độ và do đó nó được gọi là tuyến tính Câu hỏi được đặt ra là ngoài hàmtuyến tính trên thì còn có hàm cộng tính nào khác nữa không?

Ta dễ dàng chỉ ra rằng chỉ có các hàm cộng tính liên tục mới là tuyến tính Điềunày đã được Cauchy đưa ra vào năm (1821)

Định lý 1 Cho f : R → R là một hàm cộng tính liên tục Thế thì f là tuyến tính,nghĩa là f (x) = ax ở đây a là một hằng số tùy ý

Để ý rằng, tính liên tục của f suy ra f cũng là khả tích Tính khả tích của f đã làmhàm cộng tính f trở thành tuyến tính Do đó mọi hàm cộng tính khả tích cũng là tuyếntính

Định nghĩa 3 Hàm f : R → R được gọi là khả tích địa phương khi và chỉ khi nó làkhả tích trên mọi đoạn hữu hạn

Ta có kết luận rằng mọi ánh xạ cộng tính khả tích địa phương cũng là tuyến tính

Ta nêu một chứng minh ngắn gọn bằng cách sử dụng cách chứng chính quy của Shapiro(1973) Giả thiết f là hàm cộng tính khả tích địa phương Từ đó f (x + y) = f (x) + f (y)đúng ∀x, y ∈ R Từ điều này và sử dụng tính khả tích địa phương của f , ta có

Vế phải của phương trình trên là bất biến khi hoán đổi x và y, nghĩa là

yf (x) = xf (y), ∀x ∈ R

Do đó, với x 6= 0, ta thu được

f (x)

x = a,với a là hằng số tùy ý Từ đây suy ra f (x) = ax, ∀x ∈ R \ {0} Vì f là cộng tính, ta biếtrằng f (0) = 0 Kết hợp hai điều trên, ta kết luận f là hàm tuyến tính trong R

Mặc dù chứng minh trên là rất vắn tắt và được suy ra bằng cách chỉ vận dụng cáctính toán thông thường, nhưng nó chưa làm sáng tỏ vấn đề liên quan giữa tính cộngtính và tính tuyến tính

Tiếp theo, ta sẽ trình bày một chứng minh khác, nó giúp ta hiểu dáng điệu của hàmcộng tính nhiều hơn Trước tiên, ta bắt đầu với định nghĩa sau đây

Định nghĩa 4 Hàm f : R → R được gọi là thuần nhất hữu tỉ khi và chỉ khi

f (rx) = rf (x), ∀x ∈ R, r ∈ Q (3)

Định lý dưới đây chứng tỏ rằng hàm cộng tính là thuần nhất hữu tỉ

Định lý 2 Cho f : R → R là một hàm cộng tính Thế thì f là thuần nhất hữu tỉ Hơnnữa, f là tuyến tính trên tập số hữu tỉ Q

Chứng minh Cho x = 0 = y ở (2) ta thấy rằng f (0) = f (0) + f (0) và do đó

Như vậy, ta đã chứng tỏ f (nx) = nf (x) với mọi số nguyên n và ∀x ∈ R Tiếp theo, cho

r là một số hữu tỉ tùy ý, ta có

r = klvới k là một số nguyên và l là một số tự nhiên Ngoài ra, kx = l(rx) Sử dụng tínhnguyên thuần nhất của f , ta có được

Từ đó, f là tuyến tính trên tập các số hữu tỉ 

Bây giờ ta trình bày chứng minh thứ hai của Định lí 2 Cho f là hàm cộng tính vàliên tục trên tập số thực Với số thực tùy ý x thì luôn tồn tại một dãy {rn} các số hữu

tỉ với rn → x Do f là cộng tính, theo Định lí 1.2, f là tuyến tính trên tập số hữu tỉ.Nghĩa là

f (rn) = arn, ∀nBây giờ sử dụng tính liên tục của f, ta có

1905, nhà toán học Đức G Hamel, người đầu tiên đã thành công trong việc chứng minhrằng tồn tại các hàm cộng tính gián đoạn

Bây giờ ta bắt đầu tìm hiểu về lớp hàm cộng tính phi tuyến Trước tiên, ta chỉ rarằng lớp hàm cộng tính phi tuyến phô diễn một dáng điệu rất kì lạ

Định nghĩa 5 Đồ thị của một hàm f : R → R là tập

G = {(x, y)|x ∈ R, y = f (x)}

Dễ dàng thấy rằng đồ thị của hàm f : R → R là tập con của không gian R2

Định lý 4 Đồ thị của mọi hàm cộng tính phi tuyến f : R → R là trù mật khắp nơitrong không gian R2

Chứng minh Đồ thị G của hàm f được cho bởi

x 1 và giả sử x1 = x, ta sẽ có f (x) = mx với mọi x 6= 0, và từ

f (0) = 0 điều này kéo theo f là tuyến tính trái với giả thiết của ta rằng f là phi tuyến.Suy ra

x1 f (x1)

x2 f (x2)

... tính

2 Hàm cộng tính với cặp biến thực biến phức

Trong mục này, ta trình bày số kết liên quan đến hàm cộng tínhtrên mặt phẳng R2 sau tìm hiểu lớp hàm giá trị phức... số phức Ở đầu kỷ 16, Cardano (1501-1576) đãlàm việc với số phức việc giải phương trình bậc hai bậc ba Đến kỷ 18,Euler xét hàm với lũy thừa số phức khảo sát tính chất chúng