Biết diện tích tứ giác MNCB bằng 48cm2.. Tính diện tích tam giác AMN.. Tính diện tích tam giác BMO 2.. Cho tam giác nhọn ABC, có trực tâm H và tâm đường tròn noại tiếp là O.. Đường trung
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCSNăm học 2012-2013
Môn thi : TOÁN
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 03/4/2013
Câu 1 (3,0 điểm)
a Rút gọn biểu thức A = ( 3+ 5 + 7−3 5)( 21+6 6 + 21−6 6 ) b.Tính giá trị biểu thức B = x5 – 10x3 - 15x2 + 2x + 1, biết rằng x = 2 - 3
Câu 2 (4,0 điểm)
a Giải phương trình (x – 2)(x – 1)(x + 3)(x+6) = 12x2
b Giải hệ phương trình:
=
− +
= +
−
32 ) )(
(
20 ) )(
(
2 2
2 2
y x y x
y x y x
Câu 3 (4,0 điểm)
a Chứng minh rằng phương trình x2 – 2y = 2013 không có nghiệm nguyên
b Cho s, t, x, y, z là các số nguyên và tổng s + t + x + y + z chia hết cho 5 Chứng minh rằng tổng s5 + t5 + x5 + y5 + z5 chia hết cho 5
Câu 4 (7,0 điểm)
1 Cho tam giác ABC Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho AB = 3AM, AC = 3AN Biết diện tích tứ giác MNCB bằng 48cm2
a Tính diện tích tam giác AMN
b Gọi O là giao điểm của BN và CM Tính diện tích tam giác BMO
2 Cho tam giác nhọn ABC, có trực tâm H và tâm đường tròn noại tiếp là O Đường trung trực của đoạn thẳng AH cắt AB, AC lần lượt tại D và E Chứng minh rằng:
a Tam giác AOC đồng dạng với tam giác ADH
b Điểm A là tâm đường tròn bang tiếp tam giác DOE
Câu 5 (2,0 điểm)
Cho ba số thực dương a, b, c
a
c c
b b
a
+ +
≥ +
3
Đẳng thức xảy ra khi nào?
==== Hết ====
Lưu ý: Học sinh không được đem máy tính bỏ túi vao phòng thi.
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HƯƠNG DẪN GIẢI
Câu 1 (3,0 điểm)
a Rút gọn biểu thức A = ( 3+ 5 + 7−3 5)( 21+6 6 + 21−6 6 ) Tính A2 = ( 3+ 5 + 7−3 5)2( 21+6 6+ 21−6 6)2
= (3 + 5 + 7 - 3 5 + 2 3+ 5 7−3 5)(42 + 2 441−216) = (10 - 2 5 + 6+2 5 14−6 5)(42 + 2.15)
= 12(10 - 2 5 + ( 5 + 1)(3 - 5 )) = 72(10 - 2 5 + 3 5 - 5 + 3 - 5 ) = 72.8 = 576
Do A > 0 Vậy A = 24
b.Tính giá trị biểu thức B = x5 – 10x3 - 15x2 + 2x + 1, biết rằng x = 2 - 3
x2 = (2 - 3 )2 = 7 - 4 3
x3 = x2 x = (7 - 4 3 )(2 - 3 ) = 26 - 15 3
x5 = x3.x2 = (7 - 4 3 )(26 - 15 3 ) = 362 - 209 3
B = 362 - 209 3 - 10(26 -15 3 ) - 15(7 - 4 3 ) + 2(2 - 3 ) + 1 = 2 - 3
Câu 2 (4,0 điểm)
a Giải phương trình (x – 2)(x – 1)(x + 3)(x + 6) = 12x2
Ta có: (x – 2)(x – 1)(x + 3)(x + 6) = 12x2
⇔ (x2 + x – 6)(x2 + 5x – 6) = 12x2 (*)
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình
Chia hai vế của phương trình (*) cho x2 ≠ 0 ta được:
(x -
x
6
+ 1)( x -
x
6 + 5) = 12 Đặt t = x
-x
6
ta có phương trình:
(t + 1)(t + 5) = 12 khai triển và rút gọn ta được pt:
t2 + 6t - 7 = 0 ⇔ t t ==1−7
Với t = 1 => x -
x
6 = 1 ⇔x2 – x – 6 = 0 ⇔ x x==−32
Với t = -7 => x -
x
6 = -7 ⇔x2 + 7x – 6 = 0 ⇔
−
−
=
+
−
= 2
73 7 2
73 7
x x
Vậy phương trình có 4 nghiệm …
b Giải hệ phương trình:
=
− +
= +
−
32 ) )(
(
20 ) )(
(
2 2
2 2
y x y x
y x y x
⇔
=
− +
= +
−
32 ) ( ) (
40 ) )(
( 2
2
2 2
y x y x
y x y
Trang 3Trừ hai pt vế theo vế ta được:
(x - y)3 = 8 ⇔x – y = 2
Hệ pt đã cho tương đương với hệ
= +
=
−
10
2
2
x
y
x
⇔
=
− +
−
=
10 ) 2 (
2
2
x
x y
⇔
=
−
−
−
=
0 6 4 2
2
x
x y
⇔
=
−
=
−
= 3 1 2
x x
x y
⇔
=
=
−
=
−
=
1 3 3 1
y x y x
Vậy hệ pt có 2 nghiệm…
Câu 3 (4,0 điểm)
a Chứng minh rằng phương trình x2 – 2y = 2013 không có nghiệm nguyên
Ta có thể chứng minh bằng phản chứng
b Cho s, t, x, y, z là các số nguyên và tổng s + t + x + y + z chia hết cho 5 Chứng minh rằng tổng s5 + t5 + x5 + y5 + z5 chia hết cho 5
Ta chứng minh s5 – s chia hết cho 5 tương tự các số t, x, t, z rồi cộng lại suy ra điều cần chứng minh
Câu 4 (7,0 điểm)
1 Cho tam giác ABC Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho AB = 3AM, AC = 3AN Biết diện tích tứ giác MNCB bằng 48cm2
a Tính diện tích tam giác AMN
S∆AMN = 6 cm2 (HD:
AMN
ABC
S
S
∆
∆
= 9)
b Gọi O là giao điểm của BN và CM Tính diện tích tam giác BMO
Gọi x là diện tích tam giác AMO và y là diện tích tam giác ANO ta có hệ pt
=
+
=
+
18
3
18
3
y
x
y
x
⇔x = y = 4,5 cm2 từ đó suy ra S∆BMO = 9cm2
2 Cho tam giác nhọn ABC, có trực tâm H và tâm đường tròn noại tiếp là O Đường trung trực của đoạn thẳng AH cắt AB, AC lần lượt tại D và E Chứng minh rằng:
a Tam giác AOC đồng dạng với tam giác ADH
b Điểm A là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác DOE
(dễ dang chứng minh được)
Câu 5 (2,0 điểm)
Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: ab bc ca
a
c c
b b
a3 + 3 + 3 ≥ + + Đẳng thức xảy ra khi nào?
Với a, b > 0 ta có
(a – b)2(a + b) ≥ 0 ⇔a3 ≥ ab(a + b) - b3 ⇔
b
a3
≥ a(a + b) – b2 = a2 + ab – b2
Tương tự ta có 3 BĐT và cộng chúng lại ta suy ra đpcm