Báo cáo thông tin số II – Dãy giả ngẫu nhiên

Báo cáo thông tin số II – Dãy giả ngẫu nhiên Thông thường các kĩ thuật điều chế và giải điều chế được thiết kế trong hệ truyền tin số sao cho hệ hoạt động sử dụng công suất và độ rộng băng tối thiểu, có xác suất lỗi bit thấp trong môi trường có nhiễu Gauss trắng dừng.

MỤC LỤC

Thông thường các kĩ thuật điều chế và giải điều chế được thiết kế trong hệ truyền tin số sao cho hệ hoạt động sử dụng công suất và độ rộng băng tối thiểu, có xác suất lỗi bit thấp trong môi trường có nhiễu Gauss trắng dừng Tuy nhiên các

kỹ thuật điều chế này phải kết hợp thêm một số kỹ thuật khác mới có thể chịu được trong môi trường fading đa đường, chuyển động, hoặc môi trường có nguồn gây nhiễu cố ý hay không cố ý xen vào Một kỹ thuật điều chế khác vốn có đặc tính chịu được môi trường truyền dẫn phức tạp trên là kỹ thuật điều chế trải phổ

Kỹ thuật trải phổ đã được nghiên cứu và áp dụng trong quân sự từ những năm 1930, tuy nhiên gần đây các kỹ thuật này mới được nghiên cứu và áp dụng thành công trong các hệ thống tin vô tuyến Kỹ thuật trải phổ dùng cho độ rộng băng truyền vài bậc lớn hơn độ rộng tín hiệu truyền, nó không có hiệu suất băng

khi chỉ có một người sử dụng, song lại có hiệu suất khi nhiều người sử dụng cùng một lúc mà vẫn tránh được sự giao thoa với nhau Ngoài việc chiếm băng tần rộng, tín hiệu trải phổ còn có tính chất giống như ồn khi so sánh với dữ liệu thông tin số Dạng sóng trải được điều khiển bởi dãy giả ồn ( hay là mã giả ồn – PN ), đó là dãy nhị phân biểu hiện như dãy ngẫu nhiên song được xác định bởi máy thu chủ định Tín hiệu trải phổ được giải điều chế tại bộ thu khi tương quan chéo với một phiên bản của sóng mang giả ngẫu nhiên phát tại chỗ Tương quan chéo với dãy PN đúng sẽ giải trải tín hiệu, nhận được bản tin băng hẹp trong khi tương quan chéo với tín hiệu không mong muốn sẽ chỉ cho một lượng nhỏ của ồn băng rộng tại lối

ra máy thu

Điều chế trải phổ có một số đặc điểm hấp dẫn, quan trọng nhất trong số đó là:

• Khả năng chống lại nhiễu cố ý và không cố ý – đặc điểm quan trọng đối với thông tin trong các vùng đông đúc như thành phố

• Có khả năng loại bỏ hoặc giảm nhẹ ảnh hưởng của truyền lan đa đường, có thể là vật cản lớn trong thông tin thành phố

• Có thể chia sẻ cùng băng tần (như “tấm phủ”) với các người dùng khác, nhờ tính chất tín hiệu giống như tạp âm của nó

• Có thể dùng cho thông tin vệ tinh đã cấp phép trong chế độ CDMA

• Cho mức độ riêng tư nhất định nhờ dùng các mã trải giả ngẫu nhiên làm cho nó khó bị nghe trộm

Sử dụng thương mại của trải phổ đang thu hút sự chú ý đáng kể SS hoặc là đang sử dụng hoặc đang được đề xuất sử dụng trong nhiều ứng dụng mới, như là Mạng thông tin cá nhân (Personal Communication Networks – PCN), WLAN (Wireless Local Area Networks), Tổng đài nhánh cá nhân vô tuyến (Wireless Private Branch Exchanges – WPBX), các hệ thống điều khiển kiểm kê vô tuyến, các hệ thống báo động trong tòa nhà và hệ thống định vị toàn cầu (Global Positioning System - GPS)

Các tính chất căn bản của kỹ thuật trải phổ là do tính chất của dãy giả ngẫu nhiên PN tạo nên vì vậy có thể nói dãy giả ngẫu nhiên là phần tử cơ bản của mọi

hệ thống trải phổ Sau đây chúng ta cùng nghiên cứu dãy này và các tính chất, đặc tính của nó

II DÃY GIẢ NGẪU NHIÊN (PN)

“Các tín hiệu băng rộng trải phổ giống tạp âm được tạo ra bằng các dãy giả tạp PN hoặc dãy mã giả ngẫu nhiên Trong các hệ thống trải phổ trực tiếp DS/SS, dạng sóng trải PN là hàm thời gian của dãy PN Trong hệ thống trải phổ nhảy tần FH/SS các mẫu nhảy tần có thể tạo nên từ mã PN Lưu ý rằng các dãy PN được tạo nên một cách xác định, vì chúng phải như vậy nếu không thì không thể có sự trao đổi tin tức có ích nào trên đường liên lạc SS Tuy nhiên các dãy này được thiết kế sao cho gần giống các dãy ngẫu nhiên đối với người quan sát không chủ định Các dạng sóng thời gian tạo nên từ các dãy PN cũng gần giống tạp âm ngẫu nhiên.”

Các tín hiệu trải phổ băng rộng tựa tạp âm được tạo ra bằng cách sử dụng các chuỗi mã giả tạp âm (PN: Pseudo-Noise) hay giả ngẫu nhiên Loại quan trọng nhất của các chuỗi ngẫu nhiên là các chuỗi thanh ghi dịch cơ số hai độ dài cực đại hay các chuỗi m Các chuỗi cơ số hai m được tạo ra bằng cách sử dụng thanh ghi dịch có mạch hồi tiếp tuyến tính (LFSR: Linear Feedback Shift Register) và các mạch cổng hoặc loại trừ (XOR) Một chuỗi thanh ghi hồi tiếp dịch tuyến tính được xác định bởi một đa thức tạo mã tuyến tính g(x) bậc m > 0:

0 1

1

)

m

m

− (2.1) Đối với các dãy nhị phân (có giá trị {0,1}), gi bằng 0 hay 1 và

1

0 =

= g

gm Đặt g(x) = 0 ta được sự hồi quy sau:

1 0

2 2

1

g

m

m m

−

−

Vì -1 = 1 (mod 2) Với “ xk ” thể hiện k đơn vị trễ, phương trình hồi quy trên xác định các kết nối hồi tiếp trong mạch thanh ghi dịch nhị phân của hình 2.1

Hình 2.1 : Mạch thanh ghi dịch để tạo dãy PN

hồi tiếp tuyến tính như trên hình 2.3 Vì bậc của g (x) là m = 5 nên có 5 đơn vị Nếu gi = 1 khoá tương ứng của mạch đóng, ngược lại nếu gi ≠ 1, khoá này

hở Đối với điều chế 2 pha tiếp theo, lối ra của bộ ghi dịch được biến đổi thành 1 nếu nó là 0, và thành -1 nếu nó bằng 1 Thanh ghi dịch là mạch trạng thái hữu hạn nhị phân với m đơn vị nhớ Do đó số lượng trạng thái khác 0 cực đại là 2k −1, m đơn vị nhớ Do đó số lượng trạng thái khác 0 cực đại là c = ( c0, c1, c2, )

− Từ hình

vẽ 2.1, kí hiệu si( j ) là giá trị của ghi dịch thứ j tại xung đồng hồ i Trạng thái của

thanh ghi dịch tại xung đồng hồ thứ i là vectơ độ dài hữu hạn

))

0 ( ), , 2 ( ), 1 (

− Lối ra tại xung đồng hồ thứ j là ci = si( 0 ) Thay i m

m c

x = + trong phương trình (2.2) ta được điều kiện hồi quy của dãy ra là:

i i

m i m m

i m m

c+ = −1 + −1 + −2 + −2 + + 1 +1 + (mod 2) ) với i≥ 0

(2.3)

Ví dụ xét đa thức sinh g(x)= x5 +x4 +x2 +x1 +1 Sử dụng qui tắc ( 2.3) ta được hồi quy c i+5 =c i+4 +c i+2 +c i+1+c i (mode 2) và xây dựng thanh ghi dịch nhớ

trong mạch Đối với bất kì trạng thái ban đầu khác 0 nào ( 0≠(0,0,0,0))

−s , trạng thái của thanh ghi dịch thay đổi theo điều kiện hồi qui xác định bởi đa thức sinh g(x)

Trong ví dụ này dãy tuần hoàn lối ra là cột cuối cùng trong hình 2.2:

0

0001110011 1001010110

1111101000

=

−

Hình 2.2: Bộ tạo mã với đa thức g(x)=x5 +x4 +x2 +x1+1

Một cách ngẫu nhiên, dãy này có chu kì cực đại N =2m −1.Các đa thức sinh khác có thể cho dãy có chu kì ngắn hơn đáng kể Lưu ý rằng trong mạch cụ thể này, m bít đầu tiên của dãy ra là bằng nội dung ban đầu của bộ ghi dịch, cụ thể

là s0 =11111 Với nội dung ban đầu khác, ví dụ s0 =00001, dãy ra tương ứng sẽ là 1000011100110111110100010010101 , là sự dịch chuyển sang phải đi một lượng N - i = 31 - 18 = 13 đơn vị của dãy c−

Dãy ghi dịch chu kì N có N phép dịch hay pha Kí hiệu T−j c− là sự dịch trái đi j Ở hình 2.2 ta thấy rằng có các loại dịch sau: T−4c−,T−3c−,T−2c−,T−1c−.Các dịch khác có thể nhận được bằng cách kết hợp tuyến tính m=5 đầu ra nói trên Chẳng hạn sử dụng mặt chắn 00101 trên 5 trạng thái ở hình 2.2 (bằng các cổng AND), ta có thể nhận được :

1 0110111110 1100001110

0001001010

2 + =

−

−

− c c

T

Đây chính là T−7c− hay T−24c− Như vậy ta đã xét hai cách khác nhau để chọn pha của chuỗi ra

Tốc độ của mạch trong hình 2.2 bị hạn chế bởi tổng thời gian trễ trong một phần tử thanh ghi và các thời gian trễ trong tất cả các cổng hoặc loại trừ ở đường hồi tiếp Để thực hiện tốc độ cao, trong các hệ thông thông tin di động CDMA người ta sử dụng sơ đồ tốc độ cao ở hình 2.3

Hình 2.3: Mạch ghi dịch tốc độ cao

Phương trình đệ quy trong trường hợp này được xác định như sau Ta chuyển đổi đa thức tạo mã vào đa thức đặc tính bằng cách nhân x m và đa thức tạo

mã đảo:

1

( )

1

1 1

1 = + − + + + − +

−

−

x g

m m m m

= + g m x+ + g x m− + x m

1 (2.4)

Sau đó chuyển 1 sang vế phải và áp dụng thủ tục như đã xét ở trên cho bộ tạo mã tốc độ thấp ta được :

m i m

i i

m i

m

c = −1 −1 + −2 −2 + + 1 − +1 + − (mode 2), i≥m (2.5)

Ta thấy phương trình hồi quy này giống như hồi quy ở phương trình (2.3)

Vì vậy hai cách thực hiện trên có thể tạo ra cùng chuỗi đầu ra nếu m bit ra đầu tiên trùng nhau Lưu ý rằng các trạng thái đầu của chúng khác nhau và chúng có các chuỗi trạng thái khác nhau Hình 2.4 thực hiện chuỗi thanh ghi dịch như ở hình 2.2 với tốc độ cao

Hình 2.4: Mạch thanh ghi tốc độ cao g(x)=x5 +x4 +x2 +x1 +1

*) Dãy m và đa thức sinh:

Một chuỗi thanh ghi dịch cơ số hai tuyến tính , với chu kì N =2m −1, trong

đó m là số đơn vị nhớ trong mạch hay bậc của đa thức sinh , được gọi là dãy nhị phân độ dài cực đại hay dãy m

Đa thức sinh của dãy m được gọi là đa thức nguyên thủy Định nghĩa toán học của đa thức nguyên thủy là: đa thức tối giản g(x) là một đa thức nguyên thuỷ bậc m nếu số nguyên nhỏ nhất n, mà đối với số này x n +1chia hết cho đa thức g(x), bằng n=2m −1

Ví dụ g(x)=x5 +x4 +x2 +x1+1 là đa thức nguyên thủy có bậc m = 5 vì

số nguyên nhỏ nhất n sao cho x n +1 chia hết cho g(x ) là n=25 −1=31 Trái lại

1 )

(x = x5 +x4 +x3 +x2 +x1 +

) 1 )(

1

(

6 + = x+ x +x +x +x +x +

x do đó n nhỏ nhất là 6 không bằng 31

Số lượng các đa thức nguyên thủy bậc m được tính bằng công thức sau:

) 1 1 (

m

N N

n p

(2.6)

Ở đây p|n ký hiệu “tất các các ước số nguyên tố khác nhau của n”

Ví dụ với N=15; m=4 thì ta có tất cả các ước số nguyên tố của 15 là 3,5 Khi đó số các đa thức nguyên thủy cho trường hợp này sẽ là:

) 2

5

1 1 ).(

3

1 1 (

4

15

=

−

−

=

p

Các đa thức nguyên thủy cho trường hợp này sẽ là: g(x)=x4 +x3 +1 và

1 )

(x = x4 +x +

g

Ta có thể tìm các đa thức nguyên thủy bằng phương pháp "thử và lỗi" Sau đây là các đa thức nguyên thủy nhị phân bậc m = 3, 4, 5, 6

m = 3: 1011 và 1101

m = 4: 10011 và 11001

m = 5: 100101, 110111, 101001, 111011, 101111, 111101

m = 6: 1000011, 1100111, 1011011, 1101101, 1100001, 1110011

ở đây mục 1100111 tại m = 6 chẳng hạn ứng với đa thức

1

2

5

6 +x +x +x +

Một điểm đặc biệt nữa là các đa thức sinh có dạng g(x)= x m +x k +1, với 1<k<m chỉ có 3 số hạng khác không và chúng được gọi là các tam thức Các tam thức sinh là loại có tốc độ cao vì chúng chỉ cần 1 cổng “hoặc loại trừ” trong mạch hồi tiếp bộ ghi dịch tuyến tính (hình 2.1 hoặc 2.3) không phụ thuộc vào bậc của m,

do đó chúng rất được quan tâm trong thực tế

Các đa thức nguyên thủy là không rút gọn được, tức không thể phân tích hành tích các đa thức có bậc nhỏ hơn, nhưng điều ngược lại thì không đúng

2 Tính chất của dãy m

Ta kí hiệu S m là tập hợp của 2m−1 dãy m tạo bởi g(x) cộng với dãy toàn 0

có độ dài 2m−1 Tập hợp này tạo thành không gian vecto gồm 2m =N +1 dãy Ví

dụ xét g(x)= x3 +x +1, tập S m được xác định như sau:

(2.7) Với S m như trên ta có các tính chất của dãy m là:

2.1 Tính chất 1-Tính chất dịch: Dịch vòng (trái hoặc phải) của dãy m cũng là dãy

m Nói cách khác, nếu c− thuộc S m thì dịch vòng của nó cũng thuộc S m

2.2 Tính chất 2- Tính chất hồi qui: Dãy m bất kì trong S m thỏa mãn sự hồi qui:

i i

m i m m

i m m

c + = −1 + −1 + −2 + −2 + + 1 +1 + (mod 2), i=0,1,2,…

(2.8) Ngược lại bất kì nghiệm nào của phương trình hồi qui này cũng là dãy

m trong tập S m Có m nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình hồi qui này, do đó có m dãy độc lập tuyến tính trong S m

2.3 Tính chất 3-Tính chất cửa sổ: Nếu trượt một cửa sổ có độ rộng m dọc theo

dãy m trong S m thì ta nhìn thấy đúng 1 lần mỗi bộ m nhị phân khác 0 trong 1

2m− bộ (thử cửa sổ có độ rộng m = 4 với dãy 000100110101111 Hãy hình dung dãy này được viết thành vòng tròn)

Để chứng minh tính chất này ta xét hình 2.1 Dãy m đi qua bộ ghi dịch cho nên cửa sổ độ rộng m chính là phản ánh trạng thái của bộ ghi dịch Vì dãy m

có độ dài cực đại N =2m −1,nên bộ ghi dịch phải đi qua tất cả N =2m −1 trạng thái khác 0 có thể (các bộ m) đúng 1 lần Do đó suy ra tính chất 3

2.4 Tính chất 4- Số số 1 nhiều hơn số số 0 một đơn vị: Bất kì dãy m nào trong

m

S cũng chứa 2msố 1 và 2m −1 số 0

Mỗi trạng thái khác 0 là 1 bộ m, có thể coi như là biểu diễn nhị phân của số nguyên từ 1 đến 2m−1 Số nguyên lẻ có bít có nghĩa nhỏ nhất bằng 1 Trong phạm vi 1 đến 2m−1, số số nguyên lẻ nhiều hơn số số nguyên chẵn đúng 1 đơn vị, do đó tính chất 4 được chứng minh

2.5 Tính chất 5- Tính chất cộng: Tổng của 2 dãy m trong S m (mod 2, từng số

hạng một) là dãy m khác trong S m

Tính chất này suy ra từ tính chất hồi qui vì dãy m nào trong hai dãy m bất kì

trong S m đều phải thỏa mãn 2.8, do đó tổng của chúng cũng vậy

2.6 Tính chất dịch và cộng: Tổng của dãy m và dịch vòng của chính nó

(mod 2, từng số hạng một) là dãy m khác

Ta thấy rằng các dãy m trong S m là các dịch pha của nhau, do đó

chúng là tương đương dịch vòng và rõ ràng chia sẻ cùng đa thức sinh Tính chất Cộng và Dịch trở nên hiển nhiên vì dịch pha của dãy m trong S m vẫn

là dãy m khác trong S m

2.7 Tự tương quan có dạng đầu đinh

Đây là một tính chất rất quan trọng của dãy m

Trong thực tế các chuỗi m sử dụng cho các mã PN có thể được thực hiện ở dạng cơ số hai lưỡng cực hoặc đơn cực với hai mức lôgic "0" và "1"

độ rộng xung T c (c ký hiệu cho chip) cho một chu kỳ N như sau:

∑

=

−

= N

i

c

i p t iT c

t c

1

) (

) ( (2.9)

Trong đó:





=

' ,

0

0 , 1 ) (

khac

T t t

c k =±1 đối với lưỡng cực và bằng 0/1 đối với đơn cực

Quan hệ giữa các xung lưỡng cực và đơn cực được xác định như sau:

Các thao tác nhân đối với các chuỗi lưỡng cực ở các mạch xử lý số sẽ được thay thế bằng các thao tác hoặc loại trừ (XOR) đối với các chuỗi đơn cực (hoặc ngược lại)

Hàm tự tương quan tuần hoàn chuẩn hoá của một chuỗi m có là một hàm chẵn, tuần hoàn có dạng đầu đinh với chu kì bằng N =2m −1, được xác định theo các công thức dưới đây:

j i

j c c N

j i

M R

+

⊕

−

=

0

) 1 (

1

(2.10) bằng 1 đối với i=0 (mod N) và -1/N với i≠0 (mod N)

b Nếu chuỗi nhận được có dạng lưỡng cực nhận hai giá trị ±1

∑−

×

0

1 N j

j i j

N

R (2.11)

bằng 1 đối với i=0 (mod N) và -1/N với i≠0 (mod N)

c Nếu chuỗi m là chuỗi mã PN được biểu diễn ở dạng xung có biên độ +1

và -1, thì hàm tương quan dạng tuần hoàn chu kỳ NTc với chu kỳ thứ nhất được xác định như sau:

N N

dt t c t c NT

NT c c

) ( )

1 1 ( ) ( ) (

1 ) (

0

− Λ +

= +

Trong đó N là chu kỳ mã và Tc là độ rộng xung (c ký hiệu cho chip ở CDMA) và ΛTc là hàm tam giác được xác định như sau:











≤

≤

−

= Λ

c kha

T

Tc

' , 0

0 ,

(2.13)

Trong trường hợp mã hoàn toàn là ngẫu nhiên ta được hàm tương quan của

mã này bằng cách đặt N= ∞ hay 1/N=0 Hàm tự tương quan cho chuỗi m và mã

PN được cho ở hình dưới đây:

Hình 2.5: Hàm tự tương quan cho chuỗi m (a) và chuỗi PN (b)

2.8 Tính chất 8-Hành trình: Hành trình hay các đoạn chạy là 1 xâu các số 1 liên

tiếp hoặc các số 0 liên tiếp Trong dãy m bất kì, một nửa các hành trình có

độ dài 1, một phần tư có độ dài 2, 1/8 có độ dài 3 v.v đến khi nào các phân

số này còn cho số nguyên các hành trình Cụ thể, có 1 hành trình có độ dài

m các số 1, 1 hành trình có độ dài m-1 các số 0 Đối với độ dài hành trình k,

0 < k < m -1, số các hành trình của số 0 bằng số hành trình của số 1 và bằng

2

2m−k−

2.9 Tính chất 9- Pha đặc trưng: Có đúng 1 dãy m trong tập S m thỏa mãn

Dãy m này được gọi là dãy m đặc trưng, hoặc pha đặc trưng của các dãy m trong S m

2.10 Tính chất 10 - Lấy mẫu (Decimation): Lấy mẫu 1 từ n>0 của một chuỗi m

−

c (nghĩa là lấy mẫu c− cứ n bit mã một lần), được biểu thị c−[n], có chu kỳ bằng N/gcd(N,n) nếu không phải là chuỗi toàn không; đa thức tạo mã g'(x) của nó có gốc là mũ n của các gốc của đa thức tạo mã g(x)

3 Các dãy đa truy nhập trải phổ SSMA

Ta sẽ đưa ra 2 lớp dãy nhị phân quan trọng và được ứng dụng rộng rãi là dãy Gold và dãy Kasami Các dãy này chủ yếu sử dụng với điều chế 2 pha BPSK Một số sơ đồ điều chế hiệu quả dải thông khác được sử dụng như MPSK, thì các thiết kế phi nhị phân của các dãy có thể tốt hơn Đó là các dãy phức (ta sẽ không

đề cập đến ở đây )

3.1 Dãy Gold

Vì dãy m có đặc điểm là số dãy độc lập tạo ra không nhiều nên sau này sẽ không có nhiều mã gán cho những người dùng khác nhau Các chuỗi PN có các thuộc tính trực giao tốt hơn chuỗi m được gọi là các chuỗi Gold Tập n chuỗi Gold được rút ra từ một cặp các chuỗi m được ưa chuộng có độ dài N =2m −1 bằng cách cộng modul-2 chuỗi m thứ nhất với các phiên bản dịch vòng của chuỗi m thứ hai có thể cho số dãy độc lập khá lớn đáp ứng đa truy nhập theo mã CDMA Kết hợp với hai chuỗi m ta được một họ N+2 mã Gold Các mã Gold có hàm tương quan chéo ba trị {−1,−t(m),t(m)−2} và hàm tự tương quan bốn trị