ĐỀ THI TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC 2015 HAY NHẤT ĐỀ THI TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC 2015 HAY NHẤT ĐỀ THI TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC 2015 HAY NHẤT ĐỀ THI TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC 2015 HAY NHẤT ĐỀ THI TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC 2015 HAY NHẤT ĐỀ THI TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC 2015 HAY NHẤT ĐỀ THI TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC 2015 HAY NHẤT ĐỀ THI TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC 2015 HAY NHẤT ĐỀ THI TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC 2015 HAY NHẤT
Trang 1I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Bài 1 (ĐH 2002A) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2p ) của phương trình:
x
cos3 sin 3
1 2sin 2
HD: Điều kiện: x m
12 7 12
ì
¹ - + ï
í
ï ¹ + ỵ
PT Û 5cosx=2 cos2x + Û 3 cosx 1
2
= Û x
x
3 5 3
p p
é
= ê ê
ê = ë
Bài 2 (ĐH 2002B) Giải phương trình: sin 32 x-cos 42 x=sin 52 x-cos 62 x
HD: PT Û cos sin 9 sin 2x x x = Û 0 sin 2 sin 9x x = Û 0 x k
x k
9 2
p p
é
= ê ê
ê = êë
Bài 3 (ĐH 2002D) Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình:
cos3x-4 cos2x+3cosx- = 4 0
HD: PT Û 4 cos (cos2x x - = 2) 0 Û cosx = Û x0 ;x 3 ;x 5 ;x 7
2sin cos 1 sin 2 cos 3
=
- + (a là tham số)
1 Giải phương trình khi a 1
3
=
2 Tìm a để phương trình cĩ nghiệm
HD: 1) x k
4
= - + 2) 1 a 2
2
- £ £ (Đưa về PT bậc 1 đơií với sinx và cosx)
Bài 5 (ĐH 2002A–db2) Giải phương trình: tanx cosx cos2x sin 1 tan tanx x x
2
HD: x k2p= Chú ý: Điều kiện: x
x
cos 0 cos 1
í ¹
-ỵ và
x x
x
1
1 tan tan
2 cos
x
x
2 4
4
2 sin 2 sin3 tan 1
cos
HD: Điều kiện: cosx ¹ 0 PT Û sin3x 1 x k2 ; x 5 k2
sin cos 1cot 2 1 5sin 2 2 8sin 2
-
HD: Điều kiện: sin2x ¹ 0 PT Û cos 22 x 5cos2x 9 0 x k
- + = Û = ± +
x
2
1 sin 8cos =
HD: Điều kiện: x
x
cos 0 sin 0
í >
ỵ
Trang 2PT Û x k2 ; x 3 k2 ; x 5 k2 ; x 7 k2
Bài 9 (ĐH 2002D–db2) Xác định m để phương trình:
2 sin( 4x+cos4x)+cos 4x+2sin 2x m- = 0 (*)
cĩ ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;
2
p
é ù
ê ú
ë û
HD: 10 m 2
3
- £ £ -
Đặt t = sin2x (*) cĩ nghiệm thuộc 0;
2
p
é ù
ê ú
ë û Û f t( ) 3= t2- = + cĩ nghiệm t2t m 3 Ỵ[0;1]
x
2
cot 1 sin sin 2
HD: Điều kiện: sinx¹0, cosx¹0, tanx ¹ 1
PT Û (cosx-sin )(1 sin cosx - x x+sin ) 02x = Û x k
4
p p
= +
Bài 11 (ĐH 2003B) Giải phương trình: x x x
x
2 cot tan 4sin 2
sin 2
HD: Điều kiện: x
x
sin 0 cos 0
ì ¹
ỵ PT Û 2 cos 22 x-cos2x - = Û x1 0 k
3
p p
= ± +
Bài 12 (ĐH 2003D) Giải phương trình: sin2 x tan2x cos2 x 0
p
HD: Điều kiện: cosx ¹ 0
PT Û (1 sin )(1 cos )(sin- x + x x+cos ) 0x = Û x k
2 4
é = + ê
= - + ê
ë
Bài 13 (ĐH 2003A–db1) Giải phương trình: cos2x+cos 2 tanx( 2x- = 1) 2
HD: Điều kiện: cosx ¹ 0
PT Û (1 cos )(2 cos+ x 2x-5cosx+2) 0= Û x (2k 1) , x k2
3
p
= + = ± +
Bài 14 (ĐH 2003A–db2) Giải phương trình: 3 tan tan- x( x+2sinx)+6 cosx= 0
HD: Điều kiện: cosx ¹ 0 PT Û (1 cos2 )(3cosx 2x sin ) 02x x k
3
p p
Bài 15 (ĐH 2003B–db1) Giải phương trình: 3cos 4x-8cos6x+2 cos2x+ = 3 0
HD: PT Û cos2 ( 2 cosx 4x 5cos2x 3) 0 x k , x k
4 2
p
Bài 16 (ĐH 2003B–db2) Giải phương trình:
x
2
2 3 cos 2sin
2 4 1
2 cos 1
p
è ø =
HD: Điều kiện: cosx 1
2
¹ PT Û 3 cosx sinx 0 x (2k 1)
3
Bài 17 (ĐH 2003D–db1) Giải phương trình: x( x )
x
2 cos cos 1 2(1 sin ) sin cos
- = +
HD: Điều kiện: sin x 0
4
p
+ ¹
è ø
Trang 3PT Û (1 sin ) (1 cos ) 0x 2 x x k ,x k2
2
x
2 cos 4 cot tan
sin 2
HD: Điều kiện: sin2x ¹ 0 PT Û 2 cos 22 x cos2x 1 0 x k
3
- - = Û = ± +
Bài 19 (ĐH 2004B) Giải phương trình: 5sinx- =2 3(1 sin ) tan- x 2x
HD: Điều kiện: cosx ¹ PT Û 0 2sin2x+3sinx - = Û 2 0 x k
2 6
5 2 6
é
= + ê
ê
ê = + ë
Bài 20 (ĐH 2004D) Giải phương trình: (2 cosx-1)(2sinx+cos ) sin 2x = x-sinx
HD: PT Û (2 cosx-1)(sinx+cos ) 0x = Û x k
2 3 4
é = ± + ê
ê
ê = - + ë
Bài 21 (ĐH 2004A–db1) Giải phương trình: 4 sin( 3x+cos3x)=cosx+3sinx
HD:
Bài 22 (ĐH 2004A–db2) Giải phương trình: 1 sin- x+ 1 cos- x = 1
HD:
Bài 23 (ĐH 2004B–db1) Giải phương trình: x
2 2 cos
4 sin cos
p
HD:
Bài 24 (ĐH 2004B–db2) Giải phương trình: sin 4 sin 7x x=cos3 cos6x x
HD:
Bài 25 (ĐH 2004D–db1) Giải phương trình: 2sin cos2x x+sin 2 cosx x=sin 4 cosx x
HD:
Bài 26 (ĐH 2004D–db2) Giải phương trình: sinx+sin 2x= 3(cosx+cos2 )x
HD:
Bài 27 (ĐH 2005A) Giải phương trình: cos 3 cos22 x x-cos2x= 0
HD: PT Û 2 cos 42 x+cos4x - = Û x k3 0
2
p
=
Bài 28 (ĐH 2005B) Giải phương trình: 1 sin+ x+cosx+sin 2x+cos2x= 0
HD: PT Û (sinx+cos )(2 cosx x + = 1) 0 Û x k
4
2 2 3
é = - + ê
ê
ê = ± + ë
Bài 29 (ĐH 2005D) Giải phương trình: cos4x sin4x cos x sin 3x 3 0
+ + ç - ÷ ç - ÷- =
HD: PT Û sin 22 x+sin 2x - = Û x2 0 k
4
= +
Bài 30 (ĐH 2005A–db1) Tìm nghiệm trên khoảng (0; p ) của phương trình:
4sin2 x 3 cos2x 1 2 cos2 x 3
p
è ø
Trang 4HD: PT Û cos 2x cos( x)
6
Bài 31 (ĐH 2005A–db2) Giải phương trình: 2 2 cos3 x 3cosx sinx 0
4
p
HD: PT Û cos3x+sin3x+3cos sin2x x+3cos sinx 2x-3cosx-sinx = 0
Xét 2 trường hợp:
a) Nếu cosx = thì PT Û 0 x
3
cos 0 sin sin 0
2
p p
= + b) Nếu cosx ¹ thì ta chia 2 vế của PT cho 0 cos3x
Khi đĩ: PT Û x
x
cos 0 tan 1
4
p p
= +
Vậy: PT cĩ nghiệm: x k
2
4
= +
Bài 32 (ĐH 2005B–db1) Giải phương trình :sin cos2x x+cos2x(tan2x- +1 2sin) 3x= 0
HD: Điều kiện: cosx ¹ PT Û 0 2sin2x+sinx - = Û 1 0 x k
2 6
5 2 6
p p
é
= + ê
ê
ê = + ë
x
2
2
cos2 1 tan 3tan
p
HD: Điều kiện: cosx ¹ PT Û 0 tan3x = - Û x1 k
4
p p
= - +
x
2 1 cos
p
HD: Điều kiện: sinx ¹ PT Û 0 2sinx = Û 1 x k
2 6
5 2 6
é
= + ê
ê
ê = + ë
Bài 35 (ĐH 2005D–db2) Giải phương trình: sin 2x+cos2x+3sinx-cosx- = 2 0
HD: PT Û (2sinx-1)(sinx-cosx - = 1) 0 Û x
x
1 sin
2
2 sin
4 2
p
é
= ê ê
ê ç - ÷=
ê è ø ë
Û
2 6
5 2 6 2 2 2
é
= + ê
ê
ê = + ê
ê
= + ê
ê = + ë
Bài 36 (ĐH 2006A) Giải phương trình: ( x x) x x
x
2 cos sin sin cos 0
2 2sin
HD: Điều kiện: sinx 2
2
¹ PT Û 3sin 22 x+sin 2x - = Û x4 0 k
4
p p
= +
Đối chiếu điều kiện, kết luận PT cĩ nghiệm: x 5 2m
4
p
p
= +
Bài 37 (ĐH 2006B) Giải phương trình: cotx sin 1 tan tanx x x 4
2
Trang 5HD: Điều kiện: sinx 0, cosx 0, cosx 0
2
cos sin 4 sin +cos = Û x
1 sin 2
2
= Û x k
12 5 12
p p p p
é
= + ê
ê
ê = + ë
Bài 38 (ĐH 2006D) Giải phương trình: cos3x+cos2x-cosx- = 1 0
HD: PT Û sin (2 cos2x x + = 1) 0 Û x k
3
p p p
é = ê
= ± + ê
ë
Bài 39 (ĐH 2006A–db1) Giải phương trình: cos3 cosx 3x sin3 sinx 3x 2 3 2
8
+
HD: PT Û cos 4x 2
2
16 2
= ± +
Bài 40 (ĐH 2006A–db2) Giải phương trình: 2sin 2x 4sinx 1 0
6
p
HD: PT Û sinx( 3 cosx+sinx+2)= 0 Û x k
x 7 k2 6
p
é = ê
= + ê
ë
Bài 41 (ĐH 2006B–db1) Giải phương trình: (2sin2x-1 tan 2) 2 x+3 2 cos( 2x- = 1) 0
HD: Điều kiện: cos2x ¹ PT Û 0 cos2 tan 2x( 2 x-3)= 0 Û x k
6 2
= ± +
Bài 42 (ĐH 2006B–db2) Giải phương trình: cos2x+ +(1 2 cos )(sinx x-cos ) 0x =
HD: PT Û (sinx-cos )(cosx x-sinx + = 1) 0 Û
4 2 2 2
é = + ê
ê
ê = + ê
ê = + ë
Bài 43 (ĐH 2006D–db1) Giải phương trình: cos3x+sin3x+2sin2x= 1
HD: PT Û (cosx+sin )(1 cos )(sinx - x x + = 1) 0 Û
x k
4 2 2 2
p p p
é
= - + ê
ê = ê
ê = - + êë
Bài 44 (ĐH 2006D–db2) Giải phương trình: 4sin3x+4sin2x+3sin 2x+6 cosx= 0
HD: PT Û (sinx+ -1)( 2 cos2 x+3cosx+2) 0= Û x k
2 2
2 2 3
p p
é
= - + ê
ê
ê = ± + ë
Bài 45 (ĐH 2007A) Giải phương trình: (1 sin+ 2x)cosx+ +(1 cos2x)sinx= +1 sin 2x
HD: PT Û (sinx+cos )(1 sin )(1 cos ) 0x - x - x = Û
x k
4 2 2 2
p
é = - + ê
ê
ê = + ê
ê = ë
Trang 6
Bài 46 (ĐH 2007B) Giải phương trình: 2sin 22 x+sin 7x- =1 sinx
HD: PT Û cos 4 2sin3x( x- =1) 0) Û
8 4 2
18 3
18 3
é = + ê
ê
ê = + ê
ê
= + êë
Bài 47 (ĐH 2007D) Giải phương trình: sin x cosx 2 3 cosx 2
HD: PT Û 1 sin+ x+ 3 cosx = Û 2 cos x 1
6 2
p
- =
è ø Û
2 2 2 6
p p p p
é
= + ê
ê
ê = - + ë
sin 2 sin 2 cot 2
2sin sin 2
HD: Điều kiện sin 2x ¹ PT Û 0 cos2 2 cosx( 2x+cosx + = 1) 0 Û x k
4 2
= +
Bài 49 (ĐH 2007A–db2) Giải phương trình:
2 cos2x+2 3 sin cosx x+ =1 3(sinx+ 3 cos )x
HD: PT Û 2 cos2 x 3cos x 0
3
p p
= +
HD: PT Û cos3x 2 cos x 2 0
p
2
3 3 2 2 2
é
= + ê
ê
ê = + ê
ê = + ë
sin 2 cos2 tan cot cos + sin = -
HD: Điều kiện: sin 2x ¹ PT Û 0 cosx= -cos2x Û x k2
3
p p
= ± +
Bài 52 (ĐH 2007D–db1) Giải phương trình: 2 2 sin x cosx 1
12
p
HD: PT Û sin 2x cos sin5
Bài 53 (ĐH 2007D–db2) Giải phương trình: (1– tan )(1 sin 2 ) 1 tanx + x = + x
HD: Điều kiện: cosx ¹ PT Û 0 (cosx+sin )(cos2x x - = 1) 0 Û x k
x k 4
p
é
= - + ê
ê = ë
2
p p
ỉ - ư
Trang 7
HD: Điều kiện: sinx 0, sin x 3 0
2
p
¹ ç - ÷¹
è ø
1 (sin cos ) 2 2 0
sin cos
4 8 5 8
p p p p p p
é
= - + ê
ê
ê = - + ê
ê
= + êë
Bài 55 (ĐH 2008B) Giải phương trình: sin3x- 3 cos3x=sin cosx 2x- 3 sin2xcosx
HD: PT cos2 sinx( x+ 3 cosx)= 0 Û x k ; x k
= + = - +
Bài 56 (ĐH 2008D) Giải phương trình: 2sin (1 cos2 ) sin 2x + x + x= +1 2 cosx
HD: PT Û (2 cosx+1)(sin 2x - = 1) 0 Û x 2 k2 ; x k
= ± + = +
Bài 57 (ĐH 2008A–db1) Tìm nghiệm trên khoảng (0; p ) của phương trình:
4sin2 x 3 cos2x 1 2 cos2 x 3
p
è ø
HD: PT Û -2 cosx= 3 cos2x-sin 2x Û cos 2x cos( x)
6
Do x (0; )Ỵ p nên chỉ chọn x 5 ; x 17 ; x 5
Bài 58 (ĐH 2008A–db2) Giải phương trình: 2 2 cos3 x 3cosx sinx 0
4
p
ỉ - ư- - =
HD: PT Û cos3x+sin3x+3cos sin2x x+3cos sinx 2x-3cosx-sinx = 0
Xét 2 trường hợp:
a) Nếu cosx = thì PT Û 0 x
3
cos 0 sin sin 0
2
p p
= + b) Nếu cosx ¹ thì ta chia 2 vế của PT cho 0 cos3x
Khi đĩ: PT Û x
x
cos 0 tan 1
4
p p
= +
Vậy: PT cĩ nghiệm: x k
2
4
= +
Bài 59 (ĐH 2008B–db1) Giải phương trình: sin cos2x x+cos2x(tan2x- +1 2sin) 3x= 0
HD: Điều kiện: cos 0
2
x¹ Û ¹ +x p k p
PT Û 2sin2x+sinx - = Û x1 0 k2 ; x 5 k2
x
2
2
cos2 1 tan 3tan
p
HD: Điều kiện: cosx ¹ PT Û 0 tan3x = - Û x1 k
4
p p
= - +
Trang 8Bài 61 (ĐH 2008D–db1) Giải phương trình: x x
x
2 1 cos
p
HD: Điều kiện: sinx ¹ PT Û 0 (cosx+1)(2sinx - = 1) 0 Û x k
2 6
5 2 6
é = + ê
ê
ê = + ë
Bài 62 (ĐH 2008D–db2) Giải phương trình: sin 2x+cos2x+3sinx-cosx- = 2 0
HD: PT Û (2sinx-1)(sinx-cosx - = 1) 0 Û x
x
1 sin
2
2 sin
4 2
p
é
= ê ê
ê ç - ÷=
ê è ø ë
Bài 63 (ĐH 2009A) Giải phương trình: x x
(1 2sin ) cos 3 (1 2sin )(1 sin )
HD: Điều kiện: sinx 1, sinx 1
2
¹ ¹ -
PT Û cosx- 3 sinx=sin 2x+ 3 cos2x Û cos x cos 2x
Û x k2
18 3
= - +
Bài 64 (ĐH 2009B) Giải phương trình: sinx+cos sin 2x x+ 3 cos3x=2 cos 4( x+sin3x)
HD: PT Û sin3x+ 3 cos3x=2 cos4x Û cos 3x cos 4x
6
p
ỉ - ư=
2 6 2
42 7
é
= - + ê
ê
ê = + ë
Bài 65 (ĐH 2009D) Giải phương trình: 3 cos5x-2sin 3 cos2x x-sinx= 0
HD: PT Û 3cos5x 1sin 5x sinx
2 -2 = Û sin 3 5x sinx
p
- =
18 3
6 2
é
= + ê
ê
ê = - + ë
Bài 66 (ĐH 2010A) Giải phương trình:
x x
(1 sin cos2 )sin 1
4 cos
p
è ø = +
HD: Điều kiện: cosx¹0; 1 tan+ x ¹ 0
PT Û sinx+cos2x = Û x0 k2 ; x 7 k2
= - + = +
Bài 67 (ĐH 2010B) Giải phương trình: (sin 2x+cos2 ) cosx x+2 cos2x-sinx= 0
HD: PT Û (sinx+cosx+2) cos2x = 0 Û x k
4 2
= +
Bài 68 (ĐH 2010D) Giải phương trình: sin 2x-cos2x+3sinx-cosx- = 1 0
HD: PT Û (2sinx-1)(cosx+sinx+2) 0= Û x k2 ; x 5 k2
Bài 69 (ĐH 2011A)
1
Trang 9II TỔ HỢP – XÁC SUẤT
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
Bài 1 (TN 2002) Cĩ bao nhiêu số tự nhiên chẵn cĩ bốn chữ số đơi một khác nhau?
ĐS: 2296
Bài 2 (TN 2003) Giải hệ phương trình cho bởi hệ thức sau:
C x y+1:C x y+1:C x y-1=6 : 5 : 2
ĐS: (x=8;y = 3)
Bài 3 (TN 2004) Giải bất phương trình (với hai ẩn là n, k Ỵ N): P n k n
n k4 60A 23
( )!
+ +
+
£
ĐS: BPT Û k nì £í +ỵ(n 5)(n+4)(n k- + £1) 60
+ Xét với n ³ 4: BPT vơ nghiệm
+ Xét với n Ỵ {0, 1, 2, 3} được các nghiệm (n; k) là: (0; 0), (1; 0), (1; 1), (2; 2), (3; 3)
Bài 4 (TN 2005) Giải bất phương trình, ẩn n thuộc tập số tự nhiên: C n n 12 C n n 2 5A n2
2
-+ + + >
ĐS: n ³ 2
Bài 5 (TN 2006–kpb) Tìm hệ số của x5 trong khai triển nhị thức Niutơn của (1+x)n , nỴN*, biết tổng tất cả các hệ số trong khai triển trên bằng 1024
ĐS: C105 =252
Bài 6 (TN 2007–kpb) Giải phương trình: C n4+C n5 =3C n6+1 (trong đĩ C là số tổ hợp chập k n k của n phần tử)
ĐS: n = 6
Bài 7 (TN 2007–kpb–lần 2) Giải phương trình: 3C n3+2C n2 =3A n2 (trong đĩ A là số chỉnh n k hợp chập k của n phần tử, C là số tổ hợp chập k của n phần tử) n k
ĐS: n = 6
Bài 8 (TN 2008–kpb) Giải bất phương trình: (n2-5)C n4+2C n3£2A n3 (trong đĩ A là số n k chỉnh hợp chập k của n phần tử, C là số tổ hợp chập k của n phần tử) n k
ĐS: n = 4; n = 5
Bài 9 (TN 2008–kpb–lần 2) Tìm hệ số của x7 trong khai triển nhị thức Niutơn của
x 10
(2 -1)
ĐS: -27 3C10
Bài 10 (TN 2011)
ĐS:
Trang 10ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Bài 1 (ĐH 2002A) Cho khai triển nhị thức:
(n là số nguyên dương) Biết rằng trong khai triển đĩ C n3=5C n1, số hạng thứ tư bằng 20n
Tìm n và x
HD: n = 7; x = 4
Bài 2 (ĐH 2002B) Cho đa giác đều A A A nội tiếp đường trịn (O; R) Biết rằng số tam 1 2 2n giác cĩ các đỉnh là 3 trong 2n điểm A , A , , A nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật cĩ 1 2 2n các đỉnh là 4 trong 2n điểm A , A , , A , tìm n 1 2 2n
HD: Số tam giác là: C23n Số hình chữ nhật là: C n2 ĐS: n = 8
Bài 3 (ĐH 2002D) Tìm số nguyên dương n sao cho: C0n+2C1n+4C2n+ 2 C+ n nn =243
HD: n = 5
Bài 4 (ĐH 2002A–db2) Giả sử n là số nguyên dương và (1+x)n =a0+a x1 + + a x n n Biết
rằng tồn tại số k nguyên dương (1 £ k £ n – 1) sao cho a k 1 a k a k 1
2- = 9 = 24+ , hãy tính n
HD:
2 9 24
Bài 5 (ĐH 2002B–db2) Tìm số n nguyên dương thoả bất phương trình A n3+2C n n-2£9n
(trong đĩ A C n k, n k lần lượt là số chỉnh hợp và số tổ hợp chập k của n phần tử)
HD: n = 3; n = 4
Bài 6 (ĐH 2002D–db1) Gọi a a1 2, , ,a11 là các hệ số trong khai triển sau:
(x+1) (10 x+2)=x11+a x1 10+a x2 9+ + a11
Hãy tính hệ số a5
HD: a5 =C105 +2C104 =672
Bài 7 (ĐH 2002D–db2) Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đĩ cĩ 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10 Hỏi cĩ bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối cĩ ít nhất một em được chọn
HD: C188 -(C135 +C124 +C113) 41811=
Bài 8 (ĐH 2003A) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niutơn của
n
x
x
5 3
1
+
è ø , biết rằng:
C ++14-C +3 =7(n + (trong đĩ n là số nguyên dương, x > 0, 3)
k
n
C là số tổ hợp chập k của n phần tử)
HD: C124 =495
Bài 9 (ĐH 2003B) Cho n là số nguyên dương Tính tổng
S = C n C n C n n C n n
n
0 2 1 1 2 1 2 2 1
+
+ (C là số tổ hợp chập k của n phần tử) n k
Trang 11HD: Sử dụng khai triển của (1+x)n Tính 2 x dx n
1 (1+ )
n
3 2 1
+ - + +
Bài 10 (ĐH 2003D) Với n là số nguyên dương, gọi a3 3n- là hệ số của x3 3n- trong khai triển thành đa thức của (x2+1) (n x+2)n Tìm n để a3 3n- =26n
HD: Ta cĩ: (x2+1)n=C x n0 2n+C x n1 2 2n- +C x n2 2 4n- + + C n n
(x+2)n =C x n0 n+2C x n1 n-1+22 2C x n n-2+ + 2n n C n
+ Kiểm tra n = 1, n = 2: khơng thoả điều kiện bài tốn
+ Với n ³ 3 thì x3 3n- =x x2n n-3=x2 2n- x n-1 Þ hệ số của x3 3n- trong khai triển thành đa thức của (x2+1) (n x+2)n là: a3 3n- =2 3 0C C n n3+2 .C C n n1 1
Từ đĩ: a3 3n- =26n Û n = 5
Bài 11 (ĐH 2003A–db1) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
mà mỗi số cĩ 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3 ?
HD: 192
Bài 12 (ĐH 2003A–db2) Cĩ bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số cĩ 4 chữ số khác nhau ?
HD: 952
Bài 13 (ĐH 2003B–db1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số cĩ 6 chữ số và thoả mãn điều kiện: Sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đĩ tổng của ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị ?
HD: 108
Bài 14 (ĐH 2003B–db2) Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em trong đĩ số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4 Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn như vậy ?
HD: 462
Bài 15 (ĐH 2003D–db1) Từ 9 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau ?
HD: 90720
Bài 16 (ĐH 2003D–db2) Tìm số tự nhiên n thoả mãn: C C n n2 n-2+2C C n n2 3+C C n n3 n-3 =100 (C là số tổ hợp chập k của n phần tử) n k
HD: n = 4 (Chú ý: k n k ( )k
C C - = C 2)
Bài 17 (ĐH 2004A) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1-x)]8
HD: Khai triển [1+x2(1-x)]8 Xác định được a8 =C C83 32+C C84 40 =168 70 238+ =
Bài 18 (ĐH 2004B) Trong một mơn học, thầy giáo cĩ 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khĩ, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đĩ cĩ thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải cĩ đủ 3 loại câu hỏi (khĩ, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ khơng ít hơn 2 ?
HD: Chia thành nhiều trường hợp ĐS: C C C15 10 52 2 1+C C C15 10 52 1 2+C C C15 10 53 1 1=56875
Bài 19 (ĐH 2004D) Tìm các số hạng khơng chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của
x
7 3
4 1
+
è ø với x > 0
HD: C74 =35
Bài 20 (ĐH 2004A–db1) Cho tập A gồm n phần tử, n ³ 7 Tìm n, biết rằng số tập con gồm 7